伯努利方程的應(yīng)用

1、，伯努利方程及其應(yīng)用伯努利，1738，瑞士。動(dòng)能與壓強(qiáng)勢(shì)能相互轉(zhuǎn)換。沿流線的伯努利方程將牛頓第二定律應(yīng)用于控制體內(nèi)的流體元，沿流線切線方向整理后因?yàn)閷⒘黧w元的加速度轉(zhuǎn)換成歐拉形式的加速度，沿流線的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為則導(dǎo)出此式為一維歐拉方程，使用下述關(guān)系將方程沿流線積分。兩邊乘以ds得：沿流線積分此式為歐拉方程的積分式，適合于可壓、無(wú)粘不定常運(yùn)動(dòng)。對(duì)于不可壓定常流動(dòng)，則可簡(jiǎn)化為此式為伯努利方程，三項(xiàng)分別表示單位質(zhì)量流體具有的動(dòng)能、位置勢(shì)能和壓強(qiáng)勢(shì)能。即總機(jī)械能守恒。應(yīng)用伯努利方程時(shí)常采用沿流線上任兩點(diǎn)的總機(jī)械能值相等的形式。伯努利方程使用的限制條件（1）無(wú)粘性流體，（2）不可壓流體（3）定常流（4）沿流

2、線。加入能量損失就可適應(yīng)粘性流體。皮托（pitot）測(cè)速管：總壓強(qiáng)與動(dòng)壓強(qiáng)皮托測(cè)速管又稱(chēng)為皮托-靜壓管，簡(jiǎn)稱(chēng)皮托管，為紀(jì)念法國(guó)人皮托命名。皮托測(cè)速管由粗細(xì)兩根同軸的圓管組成，細(xì)管（直徑約為1.5 mm）前端開(kāi)孔（O點(diǎn)），粗管（直徑約為mm）在距前端適當(dāng)長(zhǎng)距離處的側(cè)壁上開(kāi)數(shù)個(gè)小孔（B點(diǎn)），在孔后足夠長(zhǎng)距離處兩管彎成柄狀測(cè)速時(shí)管軸線沿來(lái)流方向放置設(shè)正前方的流速保持為，靜壓強(qiáng)為，流體密度為。粗細(xì)兩管中的壓強(qiáng)被引入形測(cè)壓計(jì)中，形管中液體密度。試求用形管液位差表示流速的關(guān)系式。解：設(shè)流動(dòng)符合不可壓縮無(wú)粘性流體定常流動(dòng)條件。從皮托管正前方點(diǎn)到端點(diǎn)再到側(cè)壁孔點(diǎn)的線是一條流線，點(diǎn)的速度和壓強(qiáng)分別為和，沿流線段

3、按（）式列伯努利方程+在皮托管端點(diǎn)，流體速度降至零，稱(chēng)為駐點(diǎn)，稱(chēng)為駐點(diǎn)壓強(qiáng)，形管右支管測(cè)到的即是駐點(diǎn)壓強(qiáng)由于，由（a）式可得上式中稱(chēng)為動(dòng)壓強(qiáng)，為流體質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為壓強(qiáng)勢(shì)能時(shí)應(yīng)具有的壓強(qiáng)（b） 式表明駐點(diǎn)壓強(qiáng)為靜壓強(qiáng)和動(dòng)壓強(qiáng)之和，故稱(chēng)為總壓強(qiáng)由（b）式動(dòng)壓強(qiáng)可表為 由于皮托管較細(xì)，流線上的兩點(diǎn)的位置差可忽略，伯努利方程為因，由上式，即形管左支通過(guò)皮托管側(cè)壁小孔測(cè)到的是當(dāng)?shù)仂o壓強(qiáng)在形管內(nèi)列壓強(qiáng)關(guān)系式可得由于實(shí)際流體具有粘性及皮托管加工誤差等原因，流體動(dòng)壓強(qiáng)轉(zhuǎn)化為形管內(nèi)液位差讀數(shù)存在誤差，需乘上一個(gè)修正系數(shù),由（c）,（d）式可得稱(chēng)為皮托管系數(shù)，可通過(guò)用標(biāo)準(zhǔn)皮托管作標(biāo)定測(cè)量后確定由（e）式可得

4、小孔出流：托里拆利公式及縮頸效應(yīng)從一個(gè)大容器側(cè)壁下部距離液面為h處開(kāi)一個(gè)小孔，設(shè)液面水位不變，求出流速度和出流流量。解：=沿流線法向方向的速度壓強(qiáng)關(guān)系式由牛頓第二定律：得考慮到幾何關(guān)系，有整理，得忽略重力，得若密度為常數(shù)，則有此式為沿流線法向方向的伯努利方程，應(yīng)用條件為（1）無(wú)粘性流體，（2）不可壓流體（3）定常流（4）沿流線法向。如果流線位直線時(shí)，曲率半徑為無(wú)限大，則此式與靜壓力公式相同。沿總流的伯努利方程將伯努利方程三項(xiàng)機(jī)械能在有效截面A上按質(zhì)量流量積分，總機(jī)械能沿流束仍保持守恒，即以截面平均流速V代替不均勻的速度分布，引入動(dòng)能修正因子。有考慮到質(zhì)量守恒，得對(duì)于一個(gè)緩變流的兩個(gè)截面，有例題

5、：Venturi管：沿總流的伯努利方程應(yīng)用連續(xù)性方程伯努利方程的意義不可壓縮粘性流體內(nèi)流管道入口流動(dòng)示意圖，設(shè)管直徑為d,管口外均流速度為U。從 開(kāi)始，流體在壁面上被滯止，形成邊界層。邊界層外仍保持為均流，稱(chēng)為核心流。由壁面不滑移條件引起壁面附近的流速降低，為滿足質(zhì)量守恒定律，核心流流速增大，速度廓線由平坦逐漸變?yōu)橥钩觥ｋS著邊界層厚度不斷增長(zhǎng)，核心流不斷加速，直至 處四周的邊界層相遇，核心流消失，整個(gè)管腔被邊界層流動(dòng)充滿，此后速度廓線不再變化。稱(chēng) 為入口段流動(dòng)或發(fā)展中流動(dòng)的速度廓線，均可通過(guò)求解N-S方程獲得。入口段的壓強(qiáng)損失，可利用動(dòng)量方程求解。由例B4.4.1D推導(dǎo)得管道入口段壓強(qiáng)損失系數(shù)

6、為 式中p0,pL 分別為x=0和x=L 處的壓強(qiáng)。 稱(chēng)為達(dá)西摩擦因子，它是管道形狀，雷諾數(shù) 和管壁粗糙度的函數(shù)，在充分發(fā)展定常流動(dòng)中 為常數(shù)（將在C3.6中詳細(xì)討論）。（C3.2.1）式中的項(xiàng)為入口段中相應(yīng)于充分發(fā)展段中的壓強(qiáng)損失。K為入口段中特有的附加壓強(qiáng)損失，它由兩部分組成：將均流加速成充分發(fā)展流動(dòng)所需要的壓強(qiáng)系數(shù)；由于入口段壁面速度廓線陡峭，壁面切應(yīng)力大于充分發(fā)展段的壁面切應(yīng)力，為克服這部分阻力差值所需要增加的壓強(qiáng)系數(shù)。入口段和充分發(fā)展段的壓強(qiáng)損失系數(shù)曲線如圖C3.2.1b(分別為實(shí)線和虛線)所示。入口段附加壓強(qiáng)損失K是入口段長(zhǎng)度L，雷諾數(shù)及管道形狀因子的函數(shù)，可運(yùn)用有限差分法求解N-

7、S方程獲得。根據(jù)計(jì)算的K值可估算入口段的長(zhǎng)度L。圓管入口段長(zhǎng)度與直徑的比值的典型公式為層流, 湍流對(duì)層流，最大的入口段長(zhǎng)度為L(zhǎng)Max=0.06×2300×d=138d, (Re=2300)對(duì)湍流，由于邊界層厚度增加較快，入口段長(zhǎng)度比層流短的多Lt= (2040)d, (Re=104106)在實(shí)際的工程長(zhǎng)管線中，如口段長(zhǎng)度所占的比例往往是微不足道的，因此除特殊要求為其通常不予考慮，全長(zhǎng)均按充分發(fā)展流動(dòng)處理，但對(duì)一些較短的管道，則應(yīng)該考慮入口段影響。平行平板間的層流流動(dòng)是N-S方程具有解析解的典型例子之一，包括固定平板間的壓差流，平板間作相對(duì)平移運(yùn)動(dòng)的剪切流及兩種流動(dòng)同時(shí)存在的

8、一般庫(kù)埃特流。分析庫(kù)埃特流不僅有理論意義而且有工程背景，如氣體或液體在活塞表面與缸壁間的縫隙中的泄漏流動(dòng)，機(jī)床中滑塊與導(dǎo)軌面的間隙中的潤(rùn)滑油流動(dòng)，及滑動(dòng)軸承的軸頸和軸承的間隙中潤(rùn)滑油流動(dòng)等等。由于縫隙（b）很小，流動(dòng)雷諾數(shù)不大，屬于層流流態(tài)，均可用簡(jiǎn)化的無(wú)限大平行平面間的粘性流體定常層流模型來(lái)分析。 圓管湍流流動(dòng)湍流尚無(wú)確切和全面的定義。湍流運(yùn)動(dòng)是有各種大小和不同渦量的渦旋疊加而形成的流動(dòng)，在湍流中隨機(jī)運(yùn)動(dòng)和擬序運(yùn)動(dòng)并存。圓管流動(dòng)沿程水頭形式的伯努利方程式推廣形式為上式中 稱(chēng)為水頭損失，量綱是L。圓管流動(dòng)中水頭損失由兩部分組成：（1） 沿程損失（）是沿等截面管流動(dòng)時(shí)管壁粘性切應(yīng)力引起的摩擦損失

9、；（2） 局部損失(), 是由截面積變化，流動(dòng)分離和二次流等局部因素引起的損失。達(dá)西公式在水平直圓管定常流動(dòng)中只有沿程損失，因，由（B4.6.13b）式中可得用量綱分析法求得 實(shí)驗(yàn)表明與成正比關(guān)系，習(xí)慣上用代替。稱(chēng)為圓管沿程阻力因子或無(wú)量綱摩擦因子，因此上式可表為將上式代入（C3.6.1）式可得上式中稱(chēng)為幾何因子，V為管內(nèi)平均速度，為速度水頭。局部損失管入出口、管截面變化部位，彎頭和三通、各種閥門(mén)等。原因：（1）截面變化引起速度重新分布；（2）流體元相互碰撞和增加摩擦；（3）二次流；（4）流動(dòng)分離成渦。計(jì)算式：K為局部損失因子，V為制定部位的平均速度。入口K=0.5，出口K=1管截面突然擴(kuò)大：

10、局部損失，如圖所示，平均速度分別是V1和V2，求局部損失因子。解：取圖示虛線所示控制體CV，由連續(xù)性方程實(shí)驗(yàn)證明在死水區(qū)（拐角分離區(qū)）的壓強(qiáng) 。忽略側(cè)壁上的切應(yīng)力作用，由動(dòng)量方程由伯努力方程由(a)(b)(c)式 （d）式中為小管中的速度。含局部損失的管道損失當(dāng)管道流動(dòng)中局部損失在總損失中所占比重不能忽略時(shí)，管道計(jì)算中應(yīng)將沿程損失和局部損失均考慮在內(nèi)，全部損失為所有沿程損失和局部損失之和在可壓縮流體流動(dòng)中要考慮的流動(dòng)參數(shù)除速度和壓強(qiáng)外還要加上密度和溫度。連續(xù)性方程不再獨(dú)立，必須與能量方程和狀態(tài)方程聯(lián)合求解，求解的結(jié)果顯然與不可壓縮流體的流動(dòng)規(guī)律不同。例如在一定條件下，可壓縮氣體在截面積逐漸減小

11、的收縮管道內(nèi)作減速流動(dòng)，而在截面積逐漸增大的擴(kuò)張管道內(nèi)可作加速流動(dòng)，均不違背質(zhì)量守恒定律。通常用壓強(qiáng)p、密度和溫度T三個(gè)物理量表示氣體的狀態(tài)，稱(chēng)為基本狀態(tài)參數(shù)。完全氣體的基本狀態(tài)參數(shù)滿足如下方程式中R稱(chēng)為氣體常數(shù)，由下式?jīng)Q定稱(chēng)為通用氣體常數(shù)，數(shù)值是8 314.3J/kgmolK,為氣體平均分子量。氣體的內(nèi)能通常指分子熱運(yùn)動(dòng)所具有的動(dòng)能。完全氣體的內(nèi)能是溫度的單值函數(shù)其微分式可表示為稱(chēng)為氣體的比定容熱容，它也僅是溫度的函數(shù)單位質(zhì)量氣體的焓稱(chēng)為比焓，記為h(J/kg)，定義為h=e+在熱力學(xué)中稱(chēng)為流動(dòng)功，在流體力學(xué)中稱(chēng)為壓能。焓是內(nèi)能和壓能之和。完全氣體的焓的微分式可表示為稱(chēng)為氣體的比定壓熱容，它

12、僅是溫度的函數(shù)引入比熱比與的關(guān)系為如空氣熱力學(xué)第一定律表述為：對(duì)氣體所加的熱能等于氣體內(nèi)能的增加和氣體對(duì)外所做功之和。表達(dá)式為對(duì)完全氣體，可分別表示為單位質(zhì)量氣體的熵稱(chēng)為比熵定義為微分式為熱力學(xué)第二定律表述為：氣體在絕熱的可逆過(guò)程中熵值保持不變；在不可逆過(guò)程中熵值必定增加。對(duì)完全氣體，絕熱而又可逆的過(guò)程稱(chēng)為等熵過(guò)程，ds=0,氣體作無(wú)摩擦絕熱流動(dòng)時(shí)為等熵流動(dòng)。對(duì)完全氣體等熵流動(dòng)可得完全氣體作等熵流動(dòng)時(shí)的狀態(tài)參數(shù)關(guān)系式，常用表達(dá)式為常數(shù)聲速來(lái)表示流體的可壓縮性。聲速是彈性介質(zhì)中微弱擾動(dòng)傳播速度的總稱(chēng)。在圖C5.2.2a中有一豎向的微弱壓強(qiáng)擾動(dòng)波在精致的流體介質(zhì)（V=0）中以聲速c向左運(yùn)動(dòng)。設(shè)某瞬

13、間波前的流體壓強(qiáng)和密度分別為p,。波后的流體速度變成dV壓強(qiáng)為p+dp,密度為。對(duì)地面上的觀察者而言，這是一個(gè)非定常流動(dòng)。為了便于考察波前波后流體狀態(tài)參數(shù)的變化關(guān)系，在擾動(dòng)層上取一薄層控制體CV，兩邊的面積均為A，并將坐標(biāo)系固定在控制體上與波一起前進(jìn)，對(duì)站在坐標(biāo)系上的觀察者而言，流動(dòng)是定常的。左邊的流體壓強(qiáng)為p,密度為，以速度c流入控制體；然后以壓強(qiáng)p+dp,密度，及速度為c-dV流出控制體。由一維連續(xù)性方程（B4.2.11）式有展開(kāi)后得略去二階小量項(xiàng)可得角標(biāo)s 表示等熵過(guò)程。上式是完全氣體的理論聲速公式當(dāng)一個(gè)強(qiáng)烈的壓縮擾動(dòng)在超聲速流場(chǎng)中傳播時(shí),在一定條件下將形成強(qiáng)壓縮波陣面,稱(chēng)為激波.激波是流動(dòng)參數(shù)的強(qiáng)間斷面,流體通過(guò)激波后流動(dòng)參數(shù)發(fā)生突躍地升高,而速度則突躍地降低。截面變化與Ma關(guān)系設(shè)管內(nèi)流動(dòng)沿管軸x方向，平均速度為V。由一維定常流動(dòng)歐拉運(yùn)動(dòng)方程式式中p為截面上的平均壓強(qiáng)，可得由一維可壓縮定常流動(dòng)連續(xù)性方程對(duì)式取微分，并用除，可得利用（C5.4.2）式及聲速公式,由(C5.4.3)式可得因Ma=V/c,上式可化為或由(C5.4.2)式從(C5.4.2)和(C5.4.5)式可看到:Ma<1時(shí),號(hào)說(shuō)明(圖C5.4.1):亞聲速流(Ma<1)在收縮管(dA<o)中,將加速(dV>0)和減壓（dp<0）;在擴(kuò)張管(dA>o)中，將減速dV<0