(word版)全等三角輔助線-半角模型-動點問題(含答案)

1、全等三角形典型題目合集【專題一】倍長中線與截長補短1 .如圖1，AA8C中，AD是N3AC的平分線，若AB = AC + C。，那么NAC3與NA8C有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？（1）通過觀察、實驗提出猜想：NAC3與NABC的數(shù)量關(guān)系，用等式表示為：.（2）小明把這個猜想與同學(xué)們進(jìn)行交流，通過討論，形成了證明該猜想的幾種想法：想法1：如圖2,延長AC到b，使CF = C£>,連接。F.通過三角形全等、三角形的性質(zhì)等 知識進(jìn)行推理，就可以得到NAC8與NABC的數(shù)量關(guān)系.想法2：在4?上取一點E,使AE = AC,連接通過三角形全等、三角形的性質(zhì)等知 識進(jìn)行推理，就可以得到NAC3與4

2、3C的數(shù)量關(guān)系.請你參考上面的想法，幫助小明證明猜想中NAC3與443。的數(shù)量關(guān)系（一種方法即可）.2 .【閱讀理解】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題:如圖1, A43C中，若AB = 8, AC = 6,求8c邊上的中線A3的取值范圍.小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AO到點E,使。石= AT>,請根據(jù)小明的方法思考：（1）由已知和作圖能得到MOC三£/犯的理由是.A. SSS B. SAS C. AAS D. HL（2）求得AO的取值范圍是.A. 6<AD<8 B.欠 4伙8 C. <AD<7 D. KADl【感悟】解題時，條

3、件中若出現(xiàn)“中點""中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已 知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個三角形中.【問題解決】（3）如圖2, A0是AA8C的中線，8E交AC于E,交AO于E,且人石=所.求證：AC = BF.3 .閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進(jìn)行證明.已知：如圖，E是BC的中點，點A在。石上，且ZBAE = NCDE.求證：AB = CD.分析：證明兩條線段相等，常用的一般方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì), 觀察本題中要證明的兩條線段，它們不在同一個三角形中，且它們分別所在的兩個三角 形也不全等，因此，要證明A3 = C。，必須添加適

4、當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形或等腰 三角形.現(xiàn)給出如下三種添加輔助線的方法，請任意選擇其中兩種對原題進(jìn)行證明.(1)延長OE到尸，使得EF = DE；(2)作CG_LOE于G , BF工DE于F交DE的延長線于F ；(3)過點C作CFA8交。石的延長線于f.4 .(1)如圖，在四邊形A3C。中，AB = AD. ZB = ZD = 90°. E、/分別是邊3C、CD上的點，且NE4尸 2求證：EF = BE+FD；(2)如圖，在四邊形ABCD中，AB = AD, ZB + ZD = 180°, E、分別是邊8C、CD上 的點，且NEAF.NBAD, 中的結(jié)論是否仍然成立？(3

5、)如圖，在四邊形 A3C。中，AB = AD, Zfi + ZADC = 180° , E、F 分別是邊 8C、CD延長線上的點，且NEAF = gNBAD, (1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明：若 2不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明./ 尸/ By/5 .問題背景：（1）如圖：在四邊形ABC。中，AB = AD 440=120。，ZB = ZADC = 90°, E, F 分別是8C, 8上的點，且下= 60。.探究圖中線段3E，F(xiàn)E，尸。之間的數(shù)量關(guān)系， 請在右面橫線上直接寫出結(jié)論.（2）如圖，若在四邊形ABC。中，AB = AD, ZB + ZA

6、63;）C = 180° . E、分別是8C、 co上的點，且neafJnbad,上述結(jié)論是否仍然成立？說明理由.6 .如圖，四邊形A3DC中，/D = ZABD = 90。，點O為BD的中點、,且。4平分NBAC.（1）求證：CO平分NAC。：(2)求證：AB + CD = AC.ABD7 .如圖，NB = NC = 90。，例是8c的中點，AM平分NO4B,求證：0M平分NADC.【專題二】半角模型1 .如圖正方形A8CD, E、尸分別為8C、8邊上一點.(1)若尸=45°,求證：EF=BE+DF；(2)若該正方形A8CD的邊長為1,如果AC"的周長為2.求N

7、W的度數(shù).2 .如圖，正方形ABC。，E,尸分別為8C、CD邊上一點.若尸=45°,求證：EF = BE+DF；若AAEF繞A點旋轉(zhuǎn)，保持尸=45。，問ACEF的周長是否隨MEP位置的變化而變化?3 .已知，在四邊形A38中，點£、尸分別在邊3C、DC上,連接"、EF.（1）如圖1，若四邊形A88為正方形，且NE4F = 45。，求證：EF = BE+DF；（2）如圖 2,若四邊形 A3CD中，AB = AD ZB+ZD = 180%=，試問（l）2中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由.即圖24 .正方形A38, E、E分別為8C、8邊上

8、一點，AHLEF交EF于點、H.若尸=45°.求證：EF = BE+DF；若A8 = 5,求AEb的周長；求證：AH=CD.5 .通過類比聯(lián)想、引申拓展研究典型題目，可達(dá)到解一題知一類的目的.下面是一個案例,請補充完整.原題：如圖1,點£、戶分別在正方形A88的邊3C、CD±,/= 45。，連接EF,求證：EF=BE+DF.（1）思路梳理,.,他=皿），.把A4BE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。至aADG,可使A3與AO重合./ZA£>G = ZB = 90o, z.ZHX； = ZAZX； + ZAZ）C = 180o,則點尸、D、G 共線.根據(jù),易證M

9、FG三，從而得EF = BE+DF；（2）類比引申B如圖2,四邊形A8C£中，AB=AD, ZBAD = 900點E、尸分別在邊3C、CD±, ZE4F = 45°.若 4、NO都不是直角，但當(dāng)NB與ND滿足等量關(guān)系 時，仍有EF=BE+DF,請給出證明：（3）聯(lián)想拓展如圖 3,在 AABC 中，Zfi4C = 90o, AB = AC,點。、E 均在邊 3c 上，且 4M£=45。， 猜想BD、DE、EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系，并寫出推理過程.【專題三】動點問題1 .如圖，已知AA3C中，AB = AC = Qcm, 8C = &m,點。為AB的中點

10、.如果點P在線 段8c上以女"s的速度由點8向。點運動，同時，點。在線段。上由點。向A點運 動.（1）若點。的運動速度與點。的運動速度相等，經(jīng)過1秒后，MPD與ACQP是否全等, 請說明理由.（2 ）若點。的運動速度與點P的運動速度不相等，當(dāng)點Q的運動速度為多少時，能夠使 MPD與ACQP全等？AD 2 .如圖，在AA3C中，AB = AC = 2Scm, BC = 20cm ,點。是AB邊的中點，若有一動點夕在8c邊上由點3向點。運動，點。在C4邊上由點。向A運動.（1）P、。兩點的運動速度均為攵 ?/s,經(jīng)過2秒后，MPD與ACPQ是否全等,說明理 由（2）若點夕的運動速度為2.

11、5c?/s,點。的運動速度為3.5a/s,是否存在某一時刻，使 SBPD = ACQP.3 .如圖，已知四邊形A5CQ中，A3 = 10厘米，BC = 8厘米，C£） = 12厘米，NB = NC,點 石為鉆的中點.如果點P在線段上以3厘米/秒的速度由4點向。點運動，同時, 點。在線段8上由。點向。點運動.（1）若點。的運動速度與點。的運動速度相等，經(jīng)過1秒后，X3PE與&CQP是否全等? 請說明理由.（2）當(dāng)點。的運動速度為多少時，能夠使與ACQP全等.4 .如圖，AB = AC = 16cm, 3c = 18?，點。為AB的中點，點夕在邊3C上以每秒2a的 速度由點4向點

12、C運動，同時，點在邊。上由點。向點A勻速運動.（1）當(dāng)點M的運動速度與點尸的運動速度相同，經(jīng)過1秒后，MPD與&CMP是否全等? 請說明理由；（2）若點M的運動速度與點夕的運動速度不相等，當(dāng)點M的運動速度為多少時，能夠使 MPD與ACMP全等?5 .如圖，AABC中，。為AB的中點，A£> = 5厘米，NB = NC, 8c = 8厘米.（1）若點P在線段上以3厘米/秒的速度從點3向終點C運動，同時點。在線段CA上 從點。向終點A運動，若點。的速度與點產(chǎn)的速度相等，經(jīng)1秒鐘后，請說明ABPZ）三ACOP：點。的速度與點P的速度不相等，當(dāng)點。的速度為多少時，能夠使MP3三

13、ACP0：（2）若點尸以3厘米/秒的速度從點3向點C運動，同時點。以5厘米/秒的速度從點C 向點A運動，它們都依次沿A48C三邊運動，則經(jīng)過多長時間，點。第一次在的 哪條邊上追上點夕？AD,全等三角形典型題目合集解析【專題一】倍長中線與截長補短故答案為：ZACB = 2ZABC.（2）想法14;是C的平分線，.Zfi4C = ZC4B,AF = AC+B,且 CD = CF .：.AF = AC+CD又 AB = AC+CD：.AB = AF9又AP = AD,:.MBD = MFD.Z2? = ZF,.,CD = CF,，" = /CDF,又 ZACB = ZF + ZCDF 9/

14、. ZACB = 2ZF ,:ZACB = 2ZB.想法2A是NBAC的平分線，/. ZfiAC = ZC4B,又.AC = AE, AD = AD.MED = A4CD>，ED = CD, NC = ZAED,又.A5 = AC + C。，AB = AE+BE. AE = AC,1 .CD=BE,:.DE = BE,." = ZEDB，又,ZAED = 5 + "DB,：.ZAED = 2ZB，又ZC = ZAED，/.ZC = 2ZB.2 . (1)解：.在 AAOC和 AEO8 中AD = DEZADC = ZBDE , BD = CDSADC = SEDB(S

15、AS),故選B ；(2)解：.由(1)知：A4DC = AEDB ,BE = AC = 6, AE = 2AD， .在A4BE中，48 = 8,由三角形三邊關(guān)系定理得：86<2AQ<8 + 6,:.<AD<7,故選C.(3)證明：延長A£>到M,使A£> = ZW,連接 .A3 是 AABC 中線，CD = BD,在 MDC 和 AMDB 中DC = DBZADC =4 MDBDA = DMAADC = AMDB,:.BM = AC, ACAD = ZM , AE = EF,ACAD = ZAFE,ZAFE = ZBFD,:"B

16、FD = /CAD = 5,.BF = BM = AC,即 AC = BF.3.解：方法一：延長OE到q，使得EF = DE,連接8f.在ADEC和AFEB中，DE = FE, Z1 = Z2 ,BE = CEADEC = AFEB ,.-.ZD = ZF, DC = FB,.ZBAE = ZD,ZBAE = ZF ,:.BA = BF, AB = CD .方法二：作CG_LO£于G,于F交OE的延長線于廣yCGLDE, BFLDE,:.ZCGE = ZBFE = 90°r 在ACGE和中，ZCGE = ZBFE < Z1 = Z2,BE = CE/. ACGE =

17、ABFE , :.BF = CG, 在AAB/和ADCG中，"BAF = ZCDG < ZBFA = ZCGD = 90° , BF = CG .AABF = ADCG, :.AB = CD.方法三：過點。作B/AB交OE的延長線于尸.: CFIIAB,ZBAE = ZF , ZB = ZFCE, 在AABE和AFCE中，ZBAE = ZF /B = ZFCE , BE = CE/. A4BE = AFCE, :.AB = FC,v ZBAE = ZD, ZBAE = AF. CF = CD, :.AB = CD.F4.證明：(1)延長所到G,使8G = Z)F,連接

18、AG.Z4BG = Z4BC = ZD = 90。，AB = AD：.MBG = SADF.：.AG = AFf Z1 = Z2./. Z1 + Z3 = Z2 + Z3 = /EAF = ZBAD .2： .ZGAE = ZEAF.又.AE = AE,.AAEG = A4EF .： .EG = EF.EG = BE + BG .:,EF = BE + FD(2) (1)中的結(jié)論/ = 3£+/%)仍然成立.(3)結(jié)論EF = BE+FD不成立,應(yīng)當(dāng)是EF = BE-FD.證明：在8E上截取8G,使8G = DF,連接AG.ZB + ZADC = 180。，Z4DF + Z4DC =

19、 180°,，NB = ZADF.AB = AD.:.MBG = MDF./. ZBAG = ZDAF , AG = AF.：.ZBAG + ZEAD = ZDAF + AEAD= ZEAF = -ABAD.2：.ZGAE = ZEAF.-AE = AE,.AAEG = A4EF .：.EG = EF,EG = BE-BG，EF = BE-FD.5.解：(1) EF = BE+DF,理由如下：如圖中，延長/刀到點G.使£>G = 3E.連結(jié)AG.在A4BE和A40G中，DG = BE< /B = AADG ,AB = AD :.MBE = MDG(SAS), 二

20、. AE = AG， Z£AE = ZDAG ,< / /EAF = L/BAD ， 2.ZGAF = ZDAG + ZDAF = ZBAE + ZDAF = ZBAD-AEAF = ZEAF ,，ZEAF = NGAF ,在AAEF和AGAF中，AE = AG< ZEAF = ZGAF ,AF = AF .：.MEF = AAGF(SAS),：.EF = FG9,;FG = DG + DF = BE + DF ,.EF = BE+DF；故答案為EF = BE+DF.(2)結(jié)論£F = 4e+o仍然成立；理由：延長AZ)到點G.使Z)G = BE.連結(jié)AG,如圖

21、，在MBE和MDG中，DG = BE< /B = AADG ,AB = AD *:.MBE = MDG(SAS),AE = AG, Z£AE = ZDAG ,v NEAF = L/BAD ， 2. .ZGAF = ZDAG + ADAF = ZBAE + ZDAF = ZBAD-AEAF = ZEAF 9在AAEF和AGAF中，AE = AG< NEAF = ZGAF ,AF = AF *:.MEF = MGF(SAS),：.EF = FG,;FG = DG + DF = BE+DF ,:,EF = BE+DFxJ圖6.證明：(1)過O點作QEJ_AC于點£.Z

22、AB。= 90。且OA平分ABAC：.OB = OE,又是3。中點：.OB = OD,：.OE = OD,-OE±AC, ZD = 90°.點O在NACO的角平分線上平分ZAC£).(2)在 RtAABO和 RlAAEO 中OA = OAV OB = OE.RtAABO = RtAAEO(HL),.AB = AE,在 RtACDO 和 RtACEO 中oc = oc ' OE = OD/. RtACDO = RtACEO(HL),，CD = CE，：.AB + CD = AE + CE = AC.7.證明：如圖：過點M作垂足為£,.AW平分4B,

23、.N3 = N4,ME工AD,;.ME = MB （角平分線上的點到角兩邊的距離相等），又.MC = MB,.ME = MC,.MC_LC£>, ME±AD.：.DM平分NAOC （到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上）:【專題二】半角模型答案1. （1）證明：如圖，延長8至E',使DE = BE,連接,四邊形前。為正方形，：.AB = AD = CB = CD, 44） = 4 = 90。,/4D£ = 900 = NA8E,AD = AB在 AA£)£'和 中，ADEr = ZABE ,DE' = BE &

24、#187;.AAOE=A43E(5AS)，:.AE： = AE, ZDAE' = ZBAE,vZ£4F=45°,；ZDAF + ZBAE = 45。,：.ZDAF + ZDAEf = ZE/AF = 45° = ZEAFfAEr = AE在£A” 和 AE4尸中，E'AF = ZEAF ,AF = AF:. E9AF = SEAF(SAS)，:.EF = EF,;EF = DE+DF = BE+DF,:.EF = BE+DF；(2)延長CD至E'使DE = BE,連接AE',由(1)知，AADEABE(SAS) 9:.AE

25、 = AE, zdae = bae,設(shè)8E = x, DF = y 9.正方形ABCD的邊長為1,CE = 1 x 9 CF = 1 y 9ACE尸的周長為2,:.CE+CF + EF = 2,二 1 一 x + 1 - y + EF = 2 ,. EF = x + y = BE + DF = DE' + DF = E'F ,AEf = AE在£!和AE4F中，EfF = EF ,AF = AF.E'AF 三 SEAF(SSS),.ZE'AF = ZEAF,:.ZDAE' + ZDAF = ZBAE+ZDAF = ZEAF,. 4F + NE4

26、E + 4AE = 90。，A ZE4F = 45°.2 .證明：，,四邊形加CD為正方形，. .AB = AD = CB = CD, ZEW = ZB = 90。，,把MBE繞點、A逆時針旋轉(zhuǎn)90°可得到A4DE,:,AEJ = AE, DE = BE, 24E=90。，ZADF = ZADC=90° ,VZE4F = 45°,. AEAF = ZErAE - ZEAF = 45°,:.ZEAF = ZEAF,AEf = AE在a EAF 和 AEAF 中，ZEfAF = ZEAF , AF = AF/. EfAF s SEAF(SAS),:

27、.EF = EF,;EF = DE+DF = BE+DF,:.EF = BE+DF；解：不變化：理由如下：ACEF 的周長= CE+CF + EF = CE+CF + BE+DF = CB + CD.：.AC£F的周長不隨AA£F位置的變化而變化.3 .解：(1)如圖，延長CB到G,使BG = f7),ADZABG = ZD = 90°, AB = AD,:.MBG = MDF,：.ZBAG = ZDAF. AG = AFf-ZEAF = 1 ABAD , 2:.ZDAF+ZBAE=ZEAF,：.AEAF = ZGAE,在M£G和4團(tuán)中，AG = AF&

28、lt; NGAE = ZFAE ,AE = AE:.AAEF = MEG,:.EF = EG = EB+BG = EB+DF ；(2) (1)中的結(jié)論還成立，理由如下：把MD廣繞點A順時針旋轉(zhuǎn)3旬的度數(shù)得到MBG,如圖，：.ZADF = ZABG, /GAF = ZBAD, AG = AF, BG = DF, .,ZABC+ZADC = 180°, .ZABC + ZABG = 180。，二點G在C8的延長線上，GE = BG + BE, , ZEAF = 1 ABAD , 2/.ZE4F = 1ZGAE, 2 . ZfAF = NGAE,AG = AF NGAE = ZFAE ,

29、AE = AE/.SAEGSAEF(SAS),；.EF = GE,4.證明：將MDF繞點人順時針旋轉(zhuǎn)90。得到MBG, 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，DF = BG, AF = AG, ZDAF = ABAG. FAG = ABAG + ABAF = ADAF + ZBAF = ABAD = 9(r. ZE4F = 45°,/.ZE4F = ZE4G = 45°.在MEF和MEG中，AF = AG< ZEAF = ZEAG , AE = AE.AAEFAEG(SAS)9. .EF = EG = BG + BE=DF + BE, :.EF = BE+DF.,四邊形他CD是正方形，AB

30、 = BC = CD = AD = 5,；EF = BE+DF,，此產(chǎn)。的周長=石尸+石。+。/=(8七+ £。) + (6 +。-)=28。= 10.®9 MEF = MEG又.、AB分別是MEF和AAEG對應(yīng)邊上的高, :.AH = AB.5.解：(1)如圖 1, ,AB = AD,二把繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。至A4DG,可使A3與AQ重合.：.ZBAE=ZDAG,440=90°,尸= 45°,.ZBA£+ZZMF = 45°, . ZE4F = ZFAG , .,ZADC = ZB = 90。，:.ZFDG = S0°t

31、 點 F、D、G 共線，在M也和A4FG中AE = AG ZEAF = NE4G ,AF = AF .:.AAFEAFG(SAS),:.EF = FG,HP： EF = BE+DF.故答案為：SAS, MF£：(2) 4+ZD = 180°時，EF = BE+DF：如圖 2, ，AB = AD,二把MBE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。至M)G,可使A3與AQ重合,:.ABAE=ZDAG,.4AD=90°, ZE4F = 45°,：.ABAE+DAF=45°,：.AEAF = ZFAG ,'.'ZADC+ZB = S00,.NF£

32、;)G = 180。，點尸、D、G 共線，在M配和A4FG中AE = AG< NEAF = ZFAG ,AF = AF:.AAFESAFG(SAS)，:.EF = FG,即：EF = BE+DF.故答案為：ZB + ZD = 180°：(3)猜想：DE2 = BD，+ EC：證明：如圖3,連接根據(jù)M£C繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到A4B£,A4EC = ABE',:.BE = EC, AEJ = AE,NC = ZABE, ZEAC = AEAB,在 RtAABC 中，AB = AC,：.ZABC = ZACB=45°,：.ZABC+ZABE

33、, = 9(r,即 ZE'%> = 90°,/. E'B + BD1 =,XvZZME=45°,:.ABAD+EAC=45°,：.ZE,AB + ABAD = 45°,即 Z£*AD = 45°,在 A£7)和M£D中，AE' = AE. NE，AD = ZDAE ,AD = AD /. AEfD 三 SAED(SAS),:.DE = DE.E'【專題三】動點專項答案1 .解：（1）經(jīng)過 1 秒后，PB = 3cm, PC = 5cm, CQ = 3cm . ,A4BC 中，A

34、B = AC 在和ACQP中，BD = PC4BC = AACB , BP = CQ .ABPD 三 ACQP（SAS）.（2）設(shè)點。的運動速度為x（xw3）ss,經(jīng)過rsMPD與&CQP全等:則可知P8 = 3ra，PC = 8 - 3tcm , CQ = xtcm , .AB = AC,/.ZB = ZC,根據(jù)全等三角形的判定定理SAS可知，有兩種情況：當(dāng)BD = PC, 8尸=。0時，當(dāng)BD = CQ, BP = PC時,兩三角形全等：當(dāng)庭） = PC且BP = CQ時，8-3/ = 5且3，= "，解得x = 3,門。3,.舍去此情況：3。=。，BP = PC時,5 ="且%=8-3，解得：x =：4故若點。的運動速度與點P的運動速度不相等，當(dāng)點。的運動速度為時，能夠使4MPD與ACQP全等.2 .解：PD三'CPQ,。是回的中點，又 BP = 3x2 = 6,，C尸= 20-6 = 14, CQ = 3x2 = 6,.A5 = AC,.ZB