（新高考）2021屆小題必練10 計(jì)數(shù)原理與概率-教師版

1、（新高考）小題必練10：計(jì)數(shù)原理與概率1掌握古典概率的基本特征，解決簡(jiǎn)單的概率實(shí)際問(wèn)題，借助古典概型初步認(rèn)識(shí)有限樣本空間、隨機(jī)事件，以及隨機(jī)事件的概率2能夠根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的需求，選擇恰當(dāng)?shù)某闃臃椒ǐ@取樣本數(shù)據(jù)，重點(diǎn)提升數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)3了解分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及其意義，利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式，能用多項(xiàng)式運(yùn)算法則和計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理，會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題1【2020全國(guó)新高考卷】名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每名同學(xué)只去個(gè)場(chǎng)館，甲場(chǎng)館安排名，乙場(chǎng)館安排名，丙場(chǎng)館安排名，則不同的安排方法共有（ ）A種B種C種D

2、種【答案】C【解析】【點(diǎn)睛】本題主要考查計(jì)數(shù)原理的相關(guān)知識(shí)，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算2【2020全國(guó)II卷理科】在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開(kāi)通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓為解決困難，許多志愿者踴躍報(bào)名參加配貨工作，已知該超市某日積壓份訂單未配貨，預(yù)計(jì)第二天的新訂單超過(guò)份的概率為志愿者每人每天完成份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于，則至少需要志愿者（ ）A名B名C名D名【答案】B【解析】由題意知超市第二天能完成份訂單的配貨，如果沒(méi)有志愿者幫忙，則超市第二天共會(huì)積壓超過(guò)份訂單的概率為，因此要使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不

3、小于，至少需要志愿者（名），故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查概率知識(shí)在生活中的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析一、單選題1某電視臺(tái)一個(gè)綜藝欄目對(duì)六個(gè)不同的節(jié)目排演出順序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，則不同的排法共有（ ）A種B種C種D種【答案】B【解析】最前排甲，共有種，最前只排乙，最后不能排甲，有種，根據(jù)加法原理可得，共有種，故選B2某班班會(huì)準(zhǔn)備從甲、乙等名學(xué)生中選派名學(xué)生發(fā)言，要求甲、乙兩人至少有一人參加當(dāng)甲乙同時(shí)參加時(shí)，他們兩人的發(fā)言不能相鄰那么不同的發(fā)言順序的和數(shù)為（ ）ABCD【答案】C【解析】根據(jù)題意，分種情況討論，若只有甲乙其中一人參加，有種情況；若甲乙兩人都參加，有種情況，其中甲乙相

4、鄰的有種情況，則不同的發(fā)言順序種數(shù)為種，故選C3某校畢業(yè)典禮由個(gè)節(jié)目組成，考慮整體效果，對(duì)節(jié)目演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前三位，且節(jié)目丙、丁必須排在一起，則該校畢業(yè)典禮節(jié)目演出順序的編排方案共有（ ）A種B種C種D種【答案】A【解析】根據(jù)題意，由于節(jié)目甲必須排在前三位，分種情況討論：甲排在第一位，節(jié)目丙、丁必須排在一起，則丁、丙相鄰的位置有個(gè)，考慮兩者的順序，有種情況，將剩下的個(gè)節(jié)目全排列，安排在其他三個(gè)位置，有種安排方法，則此時(shí)有種編排方法；甲排在第二位，節(jié)目丙、丁必須排在一起，則丁、丙相鄰的位置有個(gè)，考慮兩者的順序，有種情況，將剩下的個(gè)節(jié)目全排列，安排在其他三個(gè)位置，有安排方法，則

5、此時(shí)有種編排方法；甲排在第三位，節(jié)目丙、丁必須排在一起，則丁、丙相鄰的位置有個(gè)，考慮兩者的順序，有種情況，將剩下的個(gè)節(jié)目全排列，安排在其他三個(gè)位置，有種安排方法，則此時(shí)有種編排方法，則符合題意要求的編排方法有種，故選A4若二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的系數(shù)是，則實(shí)數(shù)（ ）ABCD【答案】C【解析】二項(xiàng)式的展開(kāi)式，即的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為，所以，令，解得，代入得，解得，故選C5展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)之和為，則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為（ ）ABCD【答案】D【解析】展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)之和為，時(shí)，展開(kāi)式中的一項(xiàng)為，的此項(xiàng)為，展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為，故選D6“暑假”期間，三個(gè)家庭（每家均為一對(duì)夫婦和一個(gè)孩子）去“沈陽(yáng)世博園”游玩

6、，在某一景區(qū)前合影留念，要求前排站三個(gè)小孩，后排為三對(duì)夫婦，則每對(duì)夫婦均相鄰，且小孩恰與自家父母排列的順序一致的概率是（ ）ABCD【答案】B【解析】前排站三個(gè)小孩，后排為三對(duì)夫婦的排列為種，前排站三個(gè)小孩，后排為三對(duì)夫婦，則每對(duì)夫婦均相鄰，且小孩恰與自家父母排列的順序一致，故有種，故每對(duì)夫婦均相鄰，且小孩恰與自家父母排列的順序一致的概率，故選B7已知集合，若從集合中任取個(gè)不同的數(shù)，則這三個(gè)數(shù)可以作為三角形三邊長(zhǎng)的概率為（ ）ABCD【答案】B【解析】不妨設(shè)取出的三個(gè)數(shù)為，且，若，能夠成三角形，則有以下幾種情況；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，一共有組，所求的概率為8中國(guó)剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻

7、花紋，用于裝點(diǎn)生活或配合其他民俗活動(dòng)的民間藝術(shù)，蘊(yùn)涵了極致的數(shù)學(xué)美和豐富的傳統(tǒng)文化信息現(xiàn)有一幅剪紙的設(shè)計(jì)圖，其中的個(gè)小圓均過(guò)正方形的中心，且內(nèi)切于正方形的兩鄰邊若在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自黑色部分的概率為（ ）ABCD【答案】A【解析】分析題意可知，陰影部分剛好可以拼湊成一個(gè)圓形，設(shè)圓的半徑為，該正方形的邊長(zhǎng)為，則對(duì)于正方形的對(duì)角線而言，可以分為三個(gè)部分，第一個(gè)部分為正方形的對(duì)角線上的頂點(diǎn)到圓心的距離，兩圓的圓心距，對(duì)角線上頂點(diǎn)到圓心的距離，故，解得，故概率，故選A二、多選題9為弘揚(yáng)我國(guó)古代的“六藝文化”，某夏令營(yíng)主辦單位計(jì)劃利用暑期開(kāi)設(shè)“禮”“樂(lè)”“射”“御”“書”“數(shù)”六門體驗(yàn)課程，

8、每周一門，連續(xù)開(kāi)設(shè)六周則（ ）A某學(xué)生從中選門，共有種選法B課程“射”“御”排在不相鄰兩周，共有種排法C課程“禮”“書”“數(shù)”排在相鄰三周，共有種排法D課程“樂(lè)”不排在第一周，課程“御”不排在最后一周，共有種排法【答案】CD【解析】門中選門共有種，故A錯(cuò)誤；課程“射”“御”排在不相鄰兩周，共有種排法，故B錯(cuò)誤；課程“禮”“書”“數(shù)”排在相鄰三周，共有種排法，故C正確；課程“樂(lè)”不排在第一周，課程“御”不排在最后一周，共有種排法，故D正確10已知二項(xiàng)式的展開(kāi)式中第項(xiàng)與第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比是，則下列說(shuō)法正確的是（ ）A所有項(xiàng)的系數(shù)之和為B所有項(xiàng)的系數(shù)之和為C含的項(xiàng)的系數(shù)為D含的項(xiàng)的系數(shù)為【答案】A

9、C【解析】二項(xiàng)式展開(kāi)式通項(xiàng)為：，因?yàn)檎归_(kāi)式中第項(xiàng)與第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比是，所以，解得；則該二項(xiàng)式為，令，則所有項(xiàng)的系數(shù)之和為，故A正確，B錯(cuò)誤；則展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，則，因此含的項(xiàng)的系數(shù)為，故C正確，D錯(cuò)誤11一袋中有大小相同的個(gè)紅球和個(gè)白球，給出下列結(jié)論：從中任取球，恰有一個(gè)白球的概率是；從中有放回的取球次，每次任取一球，恰好有兩次白球的概率為；現(xiàn)從中不放回的取球次，每次任取球，則在第一次取到紅球后，第二次再次取到紅球的概率為；從中有放回的取球次，每次任取一球，則至少有一次取到紅球的概率為則其中正確命題的序號(hào)是（ ）ABCD【答案】ABD【解析】一袋中有大小相同的個(gè)紅球和個(gè)白球，從中任取

10、球，恰有一個(gè)白球的概率是，故正確；從中有放回的取球次，每次任取一球，每次抽到白球的概率為，則恰好有兩次白球的概率為，故正確；現(xiàn)從中不放回的取球次，每次任取球，則在第一次取到紅球后，第二次再次取到紅球的概率為，故錯(cuò)誤；從中有放回的取球3次，每次任取一球，每次抽到紅球的概率為，則至少有一次取到紅球的概率為，故正確12如圖所示的電路中，只箱子表示保險(xiǎn)匣分別為、箱中所示數(shù)值表示通電時(shí)保險(xiǎn)絲被切斷的概率，下列結(jié)論正確的是（ ）A所在線路暢通的概率為B所在線路暢通的概率為C所在線路暢通的概率為D當(dāng)開(kāi)關(guān)合上時(shí)，整個(gè)電路暢通的概率為【答案】BD【解析】由題意知，、保險(xiǎn)閘被切斷的概率分別為，所以、兩個(gè)盒子暢通的

11、概率為，因此A錯(cuò)誤；、兩個(gè)盒子并聯(lián)后暢通的概率為，因此C錯(cuò)誤；、三個(gè)盤子混聯(lián)后暢通的概率為，B正確；根據(jù)上述分析可知，當(dāng)開(kāi)關(guān)合上時(shí)，電路暢通的概率為，D正確三、填空題13（北京市海淀區(qū)2018年高三一模）社區(qū)主任要為小紅等名志愿者和他們幫助的位老人拍照，要求排成一排，小紅必須與位老人都相鄰，且兩位老人不排在兩端，則不同的排法種數(shù)是_（用數(shù)字作答）【答案】24【解析】首先小紅必須與位老人都相鄰有種排法，將三人看成一個(gè)整體，從剩下的名志愿者中選出兩人排在兩端有種，剩下的一名志愿者與小紅等三人可亂排有種，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得不同的排法種數(shù)種14(廣東省東莞市2018屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷)，則的值為_(kāi)【答案】【解析】由題意得，取，代入二式項(xiàng)得，15（山西省忻州一中、臨汾一中2020屆聯(lián)考）是半徑為的圓周上一個(gè)定點(diǎn)，在圓周上等可能任取一點(diǎn)，連接，則弦的長(zhǎng)度超過(guò)的概率是_【答案】【解析】根據(jù)題意可得，滿足條件：“弦的長(zhǎng)度超過(guò)”對(duì)應(yīng)的弧，其構(gòu)成的區(qū)域是圓的，故弦的長(zhǎng)度超過(guò)的概率16已知，滿足約束條件