2021中考數(shù)學(xué)幾何培優(yōu)之旋轉(zhuǎn)變換(含答案)

1、【例1】如圖，邊長為1的正 AiBiCi的中心為O,將正 AiBiCi繞中心O旋轉(zhuǎn)到 A2B2C2，使得A2B2丄BiCi,那么兩個三角形的公共局部即六邊形ABCDEF 的面積為.【例2】如圖， AOB , COD都是等腰直角三角形，/ AOB=/CQD = 90°,N, M， Q, P分別為AB, CB, CD, AD的中點.求證：四邊形 NMQP為正方形.【例3】如圖，巳知在厶 ABC中，AB = AC, P為形內(nèi)一點，且/ APB<Z APC.求證:PB> PC.【例4】點B，C，E在同一直線上，點 A，D在直線CE的同側(cè),AE，BD交于點F .CED，直線(1)

2、如圖 1 ,假設(shè)/ BAC = 60°(2) 如圖 3，假設(shè)/ BAC = ：,3將圖3中的 ABC繞點;如圖 2,假設(shè)/ BAC= 90° 一用含:的式子表示；C旋轉(zhuǎn)點F不與點A, B重合，得圖4或圖貝AFB =貝AFB =貝AFB =5.在圖4中，/ AFB;在圖 請你任選其中一個結(jié)論證明.與/ :-的數(shù)量關(guān)系是.5中，/ AFB與/的數(shù)量關(guān)系是.圖1D圖3圖5【例5】如圖，凸五邊形 ABCDE中，AB = BC= CD = DE = EA,/ ABC = 2/ DBE .求證：/4 ABC = 60°【例6】如圖，正方形 ABCD內(nèi)一動點E到A, B, C三

3、點的距離之和的最小值為6，求此正方形的邊長.能力訓(xùn)練A級1.如圖，巳知正方形 ABCD中，點E在邊DC 上, DE = 2, EC = 1 ,把線段AE繞點A旋轉(zhuǎn)，使點E落第1題第2題2.如圖，P是正 ABC內(nèi)的一點，且 FA = 6, 得到 P'AB,那么點F與點P'之間的距離為.FB = 8, FC= 10.假設(shè)將 FAC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后,/ AFB =.3 .如圖，直角梯形 ABCD 中，AD / BC, AB丄 BC, AD = 2, BC = 3，/ BCD = 45 ° 將 CD 以點 D90°至ED，連結(jié) AE,貝U ADE的面積是.為中心逆

4、時針旋轉(zhuǎn)4.如圖，在 點D逆時針旋轉(zhuǎn)Rt ABC 中，/ C = 90°m (Ov m v 180)度后，如果點/ B = 50 °點D在邊BC上，BD = 2CD .把 ABC繞著B恰好落在初始 Rt ABC的邊上，那么m =.D第4題第6題5. 如圖，將邊長為 1的正方形ABCD繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn) 60。至AB'C'D的位置，那么這兩個正 方形重疊局部的面積是.6. 如圖，在 Rt ABC中，/ A = 90° AB= 6cm, AC= 8cm.以斜邊 BC上距離點 B6cm的點P為90。至厶DEF ,那么旋轉(zhuǎn)前后兩個三角形重疊局部的面積為

5、.7.如圖，將 ABC繞點C 0, 的坐標為T旋轉(zhuǎn)180得到 A'B'C，設(shè)點A'的坐標為a , b ,那么點A)B . ( _a ,b -1)C.(a , -b 1)D . ( -a , b - 2 )&如圖，為邊的三角形的三個角的大小之比從小到大是)PA, PB, PC是等邊 ABC內(nèi)部一點，/C. 4 : 5 : 6D .不能確定中心，把這個三角形按逆時針方向旋轉(zhuǎn)9. 如圖，在 ABC中，/ BAC = 120 ° P是厶ABC內(nèi)一點，那么A. PA + PB+ PCv AB + ACB. FA + PB+ PC>AB+ ACC. FA +

6、 PB+ PC = AB+ ACD. PA + RB+ PC與AB + AC的大小關(guān)系不確定10. ：如圖1, O為正方形 ABCD的中心，分別延長 OA到點F, OD到點E,使OF = 2OA,a角得到 F'OE'(如圖2).OE = 2OD .連結(jié)EF，將 FOE繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)圖1(1) 探究A'E與BF的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；(2) 當:-=30°時，求證： AOE'為直角三角形.11.在厶ABC和厶DEF中,AB = AC, DE = DF，/ BAC = ZEDF =:，點 M , N 分別是 BE, CF的中點.E, F分別在AB , A

7、C上(如圖假設(shè)點A與點D重合，點MAN與a的數(shù)量關(guān)系是(2)將圖1中的 DEF繞點A (D)旋轉(zhuǎn)(如圖 2),第(1)(1)1),那么AM與AN的數(shù)量關(guān)系是.問的兩個結(jié)論是否仍成立？假設(shè)成立,請證明；假設(shè)不成立，請說明理由.60 °貝U AMN的周長=第1題第2題2.如圖，在等腰=n,那么以線段x ,Rt ABC的斜邊 AB上取兩點n為邊長的三角形的形狀是()° 記 AM = m , MN = x , BNA .銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D. 隨x , m , n的變化而變化3.如圖，直線得到 AO'B',那么點4x 4與x軸，y軸分別交于A,3

8、B的坐標是(B兩點，把 AOB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。后A. (3, 4)B . (4, 5)C. (7,4)D . ( 7, 3)4.如圖，正方形 ABCD中， 求厶AEF的面積.AB =丿3，點分別在BC, CD 上,且/ BAE = 30 ° / DAF = 15 °第4題圖D第5題5. (1)如圖1，在四邊形ABCD 求證：BC+ DC = AC ;(2)如圖2，在四邊形 ABCD 中,中，AB = AD,/ BAD = 60 ° / BCD = 120 °AB= BC ,Z ABC = 60°, P 為四邊形 ABCD 內(nèi)一點，且/ A

9、PD =120 ° 求證：PA+ PD + PC > BD .6.如圖，在 ABC中，AB = AC, / BAC = 120 ° ADE是正三角形，點 D在邊BC上， BD :DC = 2 : 3,當 ABC的面積是50cm2時，求 ADE的面積.MD , MF的關(guān)系；CGEF繞點C順時針旋轉(zhuǎn)45°使得正方形 CGEF的對角線CE在正方形(2)如圖2，假設(shè)將正方形ABCD的邊BC的延長線上， 假設(shè)不成立，請說明理由.(3)如圖3，假設(shè)將正方形M為AE的中點.試問：(1)CGEF繞點C順時針旋轉(zhuǎn):-中探究的結(jié)論是否成立？假設(shè)成立，請證明;,M為AE的中點.試

10、問：第(1)問中探究7. 如圖， 0是銳角三角形 ABC內(nèi)一點，/ AQB=Z BOC = Z COA = 120 ° P是厶ABC內(nèi)任點.求證：PA+ PB + PC> 0A+ 0B + 0C .8. (1)如圖1，正方形 ABCD和正方形 CGEF (CG > BC) , B, C, G在同一條直線上， M為 線段AE的中點.探究：線段的結(jié)論是否成立?圖19.正方形ABCD 取DF的中點G,連結(jié)EG, CG.圖3/ BEF = 90 °按圖1的位置，使點 F在BC上,(1) 探索EG , CG的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系并證明；(2) 將圖中 BEF繞點B順時針旋轉(zhuǎn)

11、45°再連結(jié)DF，取DF中點G (如圖2),第(1 )問中的結(jié) 論是否仍然成立？請你證明；3)，第(1)問中的結(jié)論是否仍成立？不必證明.10.在平面直角坐標系中,O為坐標原點,點A( 3, 0), B( 0, 4).以點A為旋轉(zhuǎn)中心，把厶ABO順時針旋轉(zhuǎn)，得 ACD .記旋轉(zhuǎn)角為：，/ ABO為一：.(1) 如圖1，當旋轉(zhuǎn)后點D恰好落在AB邊上時，求點 D的坐標；(2) 如圖2，當旋轉(zhuǎn)后滿足 BC / x軸時，求：與一：之間的數(shù)量關(guān)系;第10題11. 如圖，在 ABC 中，/ BAC= 60°,AB= 2AD，點 P 在厶 ABC 內(nèi)，且 PA =3 ,PB = 5, PC

12、 =2，求 ABC的面積.參考答案例 1 如圖，連接 OB OB2, B1B2，那么 0B!= OB2,/ OB!B2=Z OB2B1.又/ OBiC= 30°=/ OBzC,.'/ CBiB2=/ CB2B1,故 CBi = CB2.同理，B2D = DC 1.設(shè) CBi = x,那么 CB2= x, CD =x, DC 1= DB2= 2x,S A2B2C2 3S b2cd于是 x +、. 3 x + 2x1X, 故 S六邊形abcdef3.311-3 1x一蘭4242x2si C531A1 1的中點， mn = 2AC.同理MQ =尹，1 1PQ = 一 AC, PN

13、= 一 BD.2 2/ AC = BD , MN = MQ = PQ= PN ,四邊形 NMQP 為菱形MN / AC, MQ / BDAC 丄 BD, a/NMQ = 90°,a菱形 NMQP為正方形.例 3 LAPM APC , AP= AP , - APB= APC , PC= PB .連接 PP ,由 AP = AP 得 APP = AP P,而 AFB V APC ,即 APC < APC , PP Cv P PC ,于是 PC> PC, 即 PB> PC .例2/ N, M分別為線段AB,CB1 1 1(1)60°45°(2)90&#

14、176; r(3)/ afb=90° r / afb=90°+t 對/ afb=90 °BCDC1證明如下：/ AB= AC, EC = ED, / BAC = / CED , / ABCEDC，得/ ACB = / ECD ,2AC/ BCD = / ACE,.A BCDACE，得/ CBD = / CAE.v/ AQF = / BQC,/ CBD = /EC1= 90® a .2 2t EBE = ABC=2 DEB , EBD=. E BD 連接 DE . / BD = BD , EBD= E BD , BE , LEBD JE BD ,得 ED=

15、 E D= CD= CE , aLCDE 為正三角形, DCE = 60° ,1CAF ,例5BE = / AFB = /ACB=他 一 BAC又 BC= CD = CE '貝V . E BD= DCE = 30° ABC= EBE =2 E BD=60 .2例6 將厶ABE繞B點逆時針旋轉(zhuǎn) 60° ,得厶FBG ,連接GE , FC ,那么厶BEG為等邊三角形，GE= BE , FC W FG + GE+ EC ,即 FC < EA + EB + EC , / FC 為定長，當 E 點落在 FC 上時，F(xiàn)C = EA + EB + EC 為最小值.

16、t/ FBC = 150° , FB = BC，/BCF = / BFC = 15° ,而/ GEB = 60°，/ EBC= 45° ,x 即E在正方形 ABCD的對角線 BD上作FH丄BC交CB延長線于 H,設(shè)BC = x,貝U FB = x , FH =2HB = ,在 RtA FHC 中，由 b-2 6) =(Z)2 (x 3 x)2 ,得 x= 2 或 x= 2 (舍去)，即正方222D形的邊長為2.1.1 或 52.6交CD于K ,150° 3.1 4.80 或 120 5.2- 3 提示:如圖，過 B'作 MN/AD，分別

17、 AB,CD 于 M,N,點 B 'C'那么 B 'M=AB 'sin60 ° 3 ,B 'N=13 ,AM= - ,Rt AKB 也 Rt AKD, / KAB '= / KAD=152 2 2/ ADB '=75 °, ADK s DN B ',DKAD_1,DK=2- 3 ,重疊局部面積=2S akd = 21 (2-.3)=2-32DK AD ,DK=2- 3,重疊局部面積=2S akd = 2 1 1 (2- .3)=2-3NB' DN2NB'抑DN126. 過P作PM丄AC于M,PN

18、丄DF于N，可證明四邊形 PMGN為正方形,PM=,S重"S 正方形PMGN56.12過P作PM丄AC于M,PN丄DF于N，可證明四邊形 PMGN為正方形,PM= ,S重"S正方形5PMGN =12 2144(丁)話.7.D 8.A 9.B 提示:仁CPA繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°到 C 'AP ',連結(jié)PP', APP '為等邊三角形.PB+PP'+P'C=PA+PB+PC > AB+AC 'AB+AC.1O.(1)AE '=BF '.(2)證法較多，如取 0E 沖點 G,連結(jié) AG. 1

19、1.(1)AM=AN, / MAN=：.(2)第問的結(jié)論仍成立，理由如下：由 ABE ACF得BE=CF, / ABM= / CAN,進一步可以證明厶ABM CAN.1.2 提示：MN=BM+CN 2.B 提示： ACM BCD. / ACM= / BCD,CM=CD,/ MCN= / NCD=45 ° ，又CN=CN,那么厶 MNC 也厶 DNC,MN=ND= x,AM=BD= m,又/ DBN=45 ° +45 ° =90 °2 2 2,故 m +n =x .3.D4.3 -提示:將厶ADF'繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn) 90° ,到厶AB

20、G.的位置，那么厶 AEF 也厶 AEG. / AEF= / AEG= / FEC=60 ° ,BE=1,EC=BC-BE= .31,EF=EG=2(、3 -1),Saef=Sabg= 1 EG AB= 3 -、3 .25. (1)提示:延長BC至E,使CE=CD連結(jié)DE,證明 ACD BED.(2)將厶ABD繞點A旋轉(zhuǎn)60°到厶ACB ',連結(jié)B 'D,B 'P那么四邊形 AB 'DP符合(1)的條件，于是B 'P=PA+PD連結(jié)AC,那么厶ABD ACB '.BD=B 'C,B 'C< PB'

21、+PC=PA+PD+PC,從而 BD < PA+PD+PC.(第5翹圖；6.直接解題有困難， ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120° ,240°拼成正 MBC(如圖),那么正 ADE變?yōu)檎鼳D1E1和正 AD2E2易知，六邊形DE Di D2E2是正六邊形， DDQ2是正三角形，其面積是厶ADE面積的3倍因此,設(shè)法由正厶MBC面積為150求出 DD1D2的面積，問題就解決了 注意到BD:DC=CD 1：D1M=MD 2：D2B=2:3,連結(jié) DM,貝U 0ade = SBD=36cm，而 生mdq2 二 S dcd2 =36cm .同理,32 1 2可得 Sdd1d2 =15

22、0-3 X 36=42cm ,故 Sade = Ldd1d2 =14cm .3Y篦6題西7如圖，將BP,BO,BC繞點B沿順時針方向旋轉(zhuǎn) 60 °，變?yōu)锽P', BO :BC '連結(jié)00',PP'，那么 B00 ', BPP'都是正三角形因此 00 'OB,PP 'PB,顯然 B0 '' BOC, BP'C BPC,由 于/ B0 'C=/B0C=120 ° =180° -Z B0 '0,二 A,0,0 ',C'四點共線.故 AP+PP'P'C?AC 'A0+00 '0 ', 即 PA+PB+