(word完整版)高中數(shù)學必修4平面向量知識點總結(jié),推薦文檔

1、高中數(shù)學必修 4 平面向量知識點歸納一.向量的基本概念與基本運算1 向量的概念：1向量：既有大小又有方向的量 向量一般用a,b,c來表示，或用有向線段的起點與終點的大寫字母uuuuuu表示，女口：AB幾何表示法AB,a；坐標表示法a xi yj （x,y）.向量的大小即向量的模 （長uuu度），記作|AB|即向量的大小，記作丨a丨*向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小.2零向量：長度為 o 的向量，記為0,其方向是任意的，0與任意向量平行 零向量a=0|a|=Qrr由于0的方向是任意的，且規(guī)定0平行于任何向量，故在有關(guān)向量平行（共線）的問題中務(wù)必看清楚是否有非零向量”這個條件.（注意與 o

2、 的區(qū)別）3單位向量：模為 1 個單位長度的向量向量a0為單位向量Ia0I= 14平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量 任意一組平行向量都可以移到同一直線上 方向相同 或相反的向量，稱為平行向量 .記作a/b.由于向量可以進行任意的平移（即自由向量），平行向量總可以 平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量 .數(shù)學中研究的向量是自由向量，只有大小、方向兩個要素，起點可以任意選取，現(xiàn)在必須區(qū)分清楚共線向量中的“共線”與幾何中的“共線”、的含義，要理解好平行向量中的“平行”與幾何中的“平行”是 不一樣的.5相等向量：長度相等且方向相同的向量 相等向量經(jīng)過平移后總可以重合，記為a b大小

3、相等，方向相x1x2同（xyj（X2，y2）yiy22 向量加法求兩個向量和的運算叫做向量的加法uuuruuu rr uuu uuu uuir設(shè)ABa,BCb，則a+b=AB BC=AC（1）0a a0 a；（ 2）向量加法滿足交換律與結(jié)合律；向量加法有“三角形法則”與“平行四邊形法則”：（1）用平行四邊形法則時，兩個已知向量是要共始點的，和向量是始點與已知向量的始點重合的那條對角線，而差向量是另一條對角線，方向是從減向量指向被減向量（2）三角形法則的特點是“首尾相接”，由第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的有向線段就 表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點指向被減向量的終點當兩個向量的

4、起點公共時，用平行四邊形法則；當兩向量是首尾連接時，用三角形法則向量加法的三角形法則可推廣至多個向量相加：uuuuuurumr uuuuuu uuuABBC CDL PQQRAR，但這時必須“首尾相連”.3 向量的減法1相反向量：與a長度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量記作a，零向量的相反向量仍是零向量關(guān)于相反向量有：(i)( a)=a； (ii)a+(a)=(a)+a=O；(iii)若a、b是互為相反向量，則a=b,b=a,a+b=02向量減法：向量a加上b的相反向量叫做a與b的差，記作：a b a ( b)求兩個向量差的運算，叫做向量的減法3作圖法：a b可以表示為從b的終點指向a的

5、終點的向量(a、b有共同起點)4 實數(shù)與向量的積：1實數(shù)入與向量a的積是一個向量，記作入a，它的長度與方向規(guī)定如下：(I)a a；(n)當o時，入a的方向與a的方向相同；當0時，入a的方向與a的方向相反；當0時，a 0，方向是任意的2數(shù)乘向量滿足交換律、結(jié)合律與分配律5 兩個向量共線定理：向量b與非零向量a共線有且只有一個實數(shù)，使得b=a6 平面向量的基本定理：如果e1,e2是一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)1,2使：a1e12e2，其中不共線的向量ei ,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底7 特別注意：(1) 向量的加法與減法是互逆運算(2)

6、相等向量與平行向量有區(qū)別，向量平行是向量相等的必要條件(3)向量平行與直線平行有區(qū)別，直線平行不包括共線(即重合)，而向量平行則包括共線(重合)的情 況(4 )向量的坐標與表示該向量的有向線條的始點、終點的具體位置無關(guān)，只與其相對位置有關(guān)學習本章主要樹立數(shù)形轉(zhuǎn)化和結(jié)合的觀點，以數(shù)代形，以形觀數(shù)，用代數(shù)的運算處理幾何問題，特別是處理向量的相關(guān)位置關(guān)系，正確運用共線向量和平面向量的基本定理，計算向量的模、兩點的距離、向量的夾角，判斷兩向量是否垂直等由于向量是一新的工具，它往往會與三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、解幾等結(jié)合起來進行綜合考查，是知識的交匯點例 1 給岀下列命題：rrr r 若1a| = |b|

7、，則a=b；uuu uuir若 A, B, C, D 是不共線的四點，貝U AB DC是四邊形 ABCD 為平行四邊形的充要條件;3若a=b，b=c，貝 Ua=c，r rr r r r4a=b的充要條件是|a=|b|且a/b；rr rr r r5若a/b，bc，貝 Ua/c，其中正確的序號是_解：不正確.兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同.uuu uuir uuu uuir uuu uur2正確.TAB DC，二| AB | | DC |且AB/ DC，又 A，B，C，D 是不共線的四點，四邊形 ABCD 為平行四邊形；反之，若四邊形 ABCD 為平行四uuu uuiruuu uur邊

8、形，則，AB / DC且| AB | |DC |，uuu uur因此，AB DC.rr3正確.：a=b，二a，b的長度相等且方向相同；rr又b=c，二b，c的長度相等且方向相同，二a，c的長度相等且方向相同，故a=c.r rr r4不正確.當a/b且方向相反時，即使|a|=|b|，也不能得到a=b，故 Ia|=|b|且ab不是r ra=b的充要條件，而是必要不充分條件.r r5不正確考慮b=0這種特殊情況.綜上所述，正確命題的序號是.點評：本例主要復習向量的基本概念向量的基本概念較多，因而容易遺忘為此，復習一方面要構(gòu)建良好的知識結(jié)構(gòu)，另一方面要善于與物理中、生活中的模型進行類比和聯(lián)想.例 2

9、設(shè) A、B、C D、O 是平面上的任意五點，試化簡：uuu uurAB BCuuruuruur uuir ACBD 2,y y)abba(a b) c a (b c)uuu Luur uuur AB BC AC向 量的三角形法則r ra b (x X2,y迪)a b a ( b)r I r1即ka+b=入(a+kb)-(k 入)a+ (1 入 k)y1X1y2X2%X2y22)卷QBIXur(3)右a=(x,y)，則r(4)若ax1,-r a r bx, y)x2,y2，則a/bX1V2X2% 0ra若5)r by1y2Xy2y1卷Xr braru貝減法SI器uuu BAuuuOAuuu AB

10、向a是一個向量，a ( x,y)( a)()a量滿足：的0 時，a與a同向；()a乘aa0 時，a與a異向；法=0 時,a=0 *(ab)ababab向 量a ?b是一個數(shù)a?b xxa?b b ?a的數(shù)a 0或b 0時，(a)?b a?( b)(a?b)量積a?b=0(ab)?ca ?c b?ca0且b 0時,2a|a|2,a| J2 2x ya?b |a|b|cos a,b|a ?b | | al|b|r-r- rr-rr- - rr例 1 已知向量a (1,2), b (x,1), u a 2b,v 2a b，且u /v，求實數(shù)x的值rrrrrrrr解：因為a (1,2),b (x,1)

11、,u a 2b,v 2a b所以u (1,2) 2(x,1) (2x 1,4),v 2(1,2) (x,1) (2 x,3)r r又因為u/v所以3(2x 1) 4(2 x) 0，即10 x51解得x 2例 2 已知點A(4,0), B(4,4),C(26)，試用向量方法求直線AC和OB(O為坐標原點)交點標uuuuuu解：設(shè)P(x, y)，則OP (x, y), AP (x 4, y)因為P是AC與OB的交點所以P在直線AC上，也在直線OB上uuu uuu ULUT umr即得OP/OB, APACuuuuuu由點A(4,0), B(4,4),C(2,6)得，AC ( 2,6), OB (4

12、,4)P的坐得方程組6(x 4) 2y 04x 4y 0解之得故直線AC與三平面向量的數(shù)量積零向量之間不談夾角這一問題rrr9 垂直：如果a與b的夾角為 900則稱a與b垂直，記作a丄b1 兩個向量的數(shù)量積:已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為，則a ）=IaIbIcosrr叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積） 規(guī)定0 a 02 向量的投影：丨bIcosr b - LlaGR,稱為向量 b 在a方向上的投影 投影的絕對值稱為射影3 數(shù)量積的幾何意義：ab等于a的長度與b在a方向上的投影的乘積4 向量的模與平方的關(guān)系：a a a2| a |2rrrrr22r2r2aba bababrr2r2c.r,r2

13、r2rrraa2a b b2a2abb對實數(shù)的結(jié)合律成立:rr ra b a b ab Rrrrrrra c b ccarrrrrab cac；rrrc不能得到bcrr r r（3）a b=o 不能得到a=o或b=o7 兩個向量的數(shù)量積的坐標運算：rr已知兩個向量a （x1,y1）,b （x2,y2），則a -b=X|X2y1y2rr uurruuu r08 向量的夾角：已知兩個非零向量a與b，作OA=a,OB=b，則/AOB=（o01800）叫做向量a與b的夾角r Jcos =cos a, ba ?bx1x2y1y2第=上2yf肩22聶當且僅當兩個非零向量5與b同方向時，e=00，當且僅當a

14、與b反方向時B=1800，同時0與其它任何非5 乘法公式成立:26 平面向量數(shù)量積的運算律：r r交換律成立：a b b a分配律成立：a b c特別注意：（i）結(jié)合律不成立：r（2）消去律不成立a b a10 兩個非零向量垂直的充要條件a丄bab=Ox/?y20，平面向量數(shù)量積的性質(zhì)例 1 判斷下列各命題正確與否：（1）o a o；（ 2）0 a o；r rrr rrr（3）若a 0,a b a c，則b c；rrr若a b a c，則b c當且僅當a o時成立；rrr（5）（sj b） c a （b c對任意a,b,c向量都成立；rrr2（6） 對任意向量a，有a2a解：錯；對；錯；錯；錯；對r r n解：由題意，a b 1，且a與b的夾角為1200，設(shè)為C與d的夾角,點評：向量的模的求法和向量間的乘法計算可見一斑(1)rnn；(2)rh/ri；(3) rnnr b ra2 rn2352一o4 4 rbr n ra rm rm1)例 2 已知兩單位向量a與b的夾角為1200，若c 2a,d 3b a，試求c與d的夾角r bra一r2r rrrr