小題目新探究好方法

1、    小題目新探究好方法    蔣瑜琦一小題目的新探究題目：（2013年廣東省高中數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽改編）設(shè)a，b，n，是橢圓上三點，滿足 ，m為線段ab中點，求m的軌跡方程.圖1證明：證法1：據(jù)文1可知，a，b為一對共軛直徑的兩端點，設(shè)a（x1，y1），b（x2，y2） ，m（x0，y0） .據(jù)共軛直徑的性質(zhì)知有， ，即 。圖2證法2：從證法1可以看出橢圓c2與橢圓c1是相似橢圓，這就使我們聯(lián)想到可以用伸縮變換，將橢圓c1變成圓來處理此題.作伸縮變換（x，y） 。得圓c1：x2+y2=a2。此時a，b依然是圓c1的一對共軛直徑的兩端點，可知此時 . b，a

2、在圓c1上oa=ob=a.在等腰直角三角形abo中有 .m的軌跡方程為圓c2： .再將圓c2通過伸縮變換（x，y） ，得到橢圓c2，從而得到的軌跡方程 .點評：圖2中，若我們將om延長，交圓c1于點n，不難發(fā)現(xiàn) ，根據(jù)伸縮變換關(guān)于線的性質(zhì)（經(jīng)過仿射變換的直線，平行性不變，對曲線的切性不變，平行或共線線段的比例不變）可知，若圖1也做相關(guān)變動，也有 .在這里給出一個定義：若橢圓c1： 和橢圓c2： 滿足，則稱這兩個橢圓相似，m為其相似比，并且若過原點o做一條射線，交c1，c2于n，m.則 （證明略）從此題，我們可以得出這樣一個結(jié)論：命題1：設(shè)橢圓中心為坐標(biāo)原點o，若橢圓c1，橢圓c2，的相似比為

3、（即橢圓c1更大），若a，b分別是橢圓c1一對共軛直徑的兩個端點，則直線ab為橢圓c2的切線，且切點m平分線段ab.證明：首先我們在相似比為 的兩個圓中證明該結(jié)論。在圖2的基礎(chǔ)上再畫一個圓c3： ，延長on交于c3，可知 ，且c3，c1的相似比為，延長oa，ob分別交c3于c，d，連接c，d?？芍猚，d為圓c3的一對共軛直徑的兩個端點，過o作 ，顯然h為c，d中點，oh為o到直線cd距離（如圖3）圖3等腰直角三角形ocdoh= a=圓c半徑cd與圓c相切，點n與點h 重合，n為切點，得證將圓伸縮變換（x，y） 變換成橢圓，根據(jù)伸縮變換關(guān)于線的性質(zhì)可知結(jié)論依然成立，如圖4圖4二對命題1的推廣命題

4、2：設(shè)橢圓中心為坐標(biāo)原點o，若橢圓c2，c1的相似比為 （橢圓c2 更大），做橢圓c1的外切平行四邊形abcd，且a，b，c，d四點在橢圓c2上，則該平行四邊形的對角線為橢圓c2的一對共軛直徑，且該平行四邊形的面積為定值.證明命題2之前，先來證明一個小引理.對圖3進行一些漂亮的改動，如圖5。圖5圖6設(shè)oc，od分別交圓c2于e，f，連n，f交圓c1于k，連ne并延長交圓c1于i，連oi，ok，ic，dkon= a， ，of=a，據(jù)余弦定理可知mf=a， ，f為圓c2的切點，根據(jù)上述結(jié)論可知n，k為圓c1的一對共軛直徑的兩端點，nf=fk，同理可得n，i也為圓c1一對共軛直徑的兩端點，且ne=i

5、eci，o，k在同一直線上.又圓c2與圓c3的相似比為2，可知 ，即f為od中點，又f平分nk，od四邊形kond為平行四邊形，同理cdik也為平行四邊形如果我們將圖4也做相同改動，就會得到類似的美麗圖案，如圖6.根據(jù)伸縮變換可知cdik也為平行四邊形（證明略）不難看出若將平行四邊形cdik的另一半補上，則新形成的平行四邊形就是橢圓c1的外切平行四邊形，且其內(nèi)接于橢圓c2，并且新形成的平行四邊形的對角線即為橢圓c3的一對共軛直徑.由仿射變換關(guān)于面積的性質(zhì)（經(jīng)過仿射變換的封閉圖形，其面積與原面積比皆為一定值）可知，因為在圓中平行四邊形cdik的面積為定值，所以在橢圓內(nèi)也為定值，命題2得證.點評：

6、通過上述探究過程，我們可以看出伸縮變換的好處，他將圓與橢圓緊密聯(lián)系，上面的結(jié)論在圓內(nèi)可以迅速得出，若放在橢圓內(nèi)結(jié)論看起來就不是那么明顯，反而會帶來大量運算量。自編新題1.o為橢圓中心，平面直角坐標(biāo)系上有橢圓e1： 和橢圓e2： ，c（x1，y1），d（x2，y2）為橢圓e2一對共軛直徑的兩端點 ，連cd，平移cd至原點o，交橢圓e1于a，b兩點，連ac，bd.求證：四邊形abcd為平行四邊形.自編新題2.已知平面直角坐標(biāo)系中有n個橢圓，原點o為這一系列橢圓的圓心，且這些橢圓的長半軸長a，短半軸長滿足作第一個橢圓c1： 的外切平行四邊形a1b1c1d1，且該平行四邊形的4個頂點在橢圓c2： 上，以此