探尋解三角形的入手策略

1、探尋解三角形的入手策略內(nèi)蒙古赤峰市翁牛特旗烏丹一中熊明軍解三和形知識(shí)一直是高考?？伎键c(diǎn)，雖然這一塊兒只要運(yùn)用公式、正弦定理與余弦定理 便能解決很多問題，但是如何針對(duì)試題，靈活、準(zhǔn)確、快速地選立相關(guān)立理去入手解題，則 是同學(xué)們很難把握的。木文結(jié)合具體題日，初步探尋一些入手策略，期望對(duì)同學(xué)們有所幫助?！菊叶ɡ砉健垦猚【余眩定理公式】2accmc*如果將公式、正弦定理、余弦定理看成是幾個(gè)“方程”的話，那么解三角形的實(shí)質(zhì)就是 把題目屮所給的已知條件按方程的思想進(jìn)行處理，解題時(shí)根據(jù)已知量與所求量，合理選擇一 個(gè)比較容易解的方程（公式、正弦定理、余弦定理），從而使同學(xué)們?nèi)胧秩菀?，解題簡(jiǎn)潔。一、直接運(yùn)用

2、公式、正弦定理、余弦定理（1）三角公式 在 wu中，已知兩角* b的三角函數(shù)值，求第三個(gè)角c. c存在=證 明有 解（2）止弦定理在中，已知兩角和任意一邊，解三角形; 在中，已知兩邊和其中一邊對(duì)角，解三角形;（3）余弦定理 在aa&7屮，已知三邊，解三角形； 在山1次7中，已知兩邊和他們的夾角，解三介形。直接運(yùn)用正弦定理、余弦定理的上述情況，是我們常見、常講、常練的，因此，在這里 就不加贅述，同學(xué)們可以自己從教材中找-些題目看一看！二、間接運(yùn)用公式、正弦定理、余弦定理（1）齊次式條件（邊或角的正弦）若題目條件中出現(xiàn)關(guān)于角的齊次式或關(guān)于邊的齊次式，可以根據(jù)角的并同選用公式弦切 互化或正弦

3、定理邊角a化;有些題中沒有明顯的齊次式，但經(jīng)過變形得到齊次式的依然適用。1 相同角齊次式條件的弦切互化【例在屮，若則八3c«4d,求二【解析】無論是條件中的4蟲還是0都是關(guān) 于一個(gè)角的齊次式。金/一及是關(guān)于二的一次齊次式；b=0 是關(guān)于三的二次齊次式。因此，我們將弦化切，再利用三角公式求解。sin j3cos>4 = osin 4=3cosj4=>= tasia=3由c8 a；由ij：os 8 _defif+c分 8-i或在aar?中，bc ftda*+tm 81-ta>ate£ o代值可得:當(dāng) lana=3,3+21-2x3當(dāng) tana = 3>

4、tan£=-1 時(shí),.丄l-3x(-i)2 (舍去)。2不同角（正弦）齊次式條件的邊角互化例在中，若心.a+ain1 5-sh asin b =sin<?,丄o&二百，求山mic的 面積?！窘馕觥織l件smta+»-iina«i = «i*c是關(guān)于不同角止弦的二次齊次式。 因此，我們利用止弦處理將角化為邊，然后根據(jù)邊的關(guān)系利用余弦定理求解。由mi*m*（7-f-a1 =cf +6*-' =<>a .2a顯然這個(gè)形式符合余弦定理的公式，因此，可得ab i亦 2slfc, = ocdl a = 6c1 on b = ofrsh

5、 c乂因?yàn)?22，所以3.不同邊齊次式條件的邊角互化【例】2肥的內(nèi)角 a °的對(duì)邊分別為久鼻巳已知4-（7=9（尸，“十卞二j%,【解析】條件十=註是關(guān)于不同邊的一次齊次式。因此，我們利用正弦定理將邊化為角，然后rtix"c=9<r- a+fl+c=i»r將不同角轉(zhuǎn)化為同角，利用化一公式求解。由a+ni3可得:4 邊角混合齊次式條件的邊角互化邊角混合邊為齊次式【例】山貶的內(nèi)角 * °的對(duì)邊分別為條氐&,3a cos5-acos>4 = cfl乍，求aco$j?-icosj = -e【解析】條件5是邊角混合關(guān)于不同邊的一次齊次式，rh于

6、所求為切的值，所以將邊化為角，然后將弦化為切求解。33tinyxilsin b55$h= -an c =-mm + ) =55 *，t» b邊角混合角（止弦）為齊次式【例】的內(nèi)角a. 3. c的對(duì)邊分別為she, 口 4*1 ,m=求三【解析】條件咼咼是邊角混合角（正弦）為不同角的一次 齊次式。因此，我們將角的正弦化為邊，然厲根據(jù)等式形式利用余弦定理求解。市= e“，由于1=】，我們可以得到:&加|）=（血4： n擴(kuò)ff =j2bc ,顯然這個(gè)形式符合余弦定理公式,因此,可得皿*2 °從而得出4 = 45°。 邊角混合邊、角（止弦）都為齊次式【例】的內(nèi)角

7、arc的對(duì)邊分別為丄de ,冃知（牯&）品0十（左衣）1（7 求三【解析】條件加咼卻8卡詢弘c是邊角混合邊、九（正弦）各為 一次齊次式。因此，我們可以隨意邊角互化，但是一般將角轉(zhuǎn)化為邊求解。山仙金4（2b*）；fine十性+6）sitt<7n2d?玄十* =4* 訟*r>* «4e顯然這個(gè)形式符介余弦定理公式，因此，可得f +c*-a* be 1cma -2bc 2bc 2從而得出jl = fi0qo5非三角形內(nèi)角正弦但可化為角（正弦）齊次式【例】m0c的內(nèi)角arc的對(duì)邊分別為* = & , n 時(shí)求證：57的三邊成等比數(shù)列?！窘馕觥織l件適站+顯然不是齊次

8、式，并且角也不全是三角形的內(nèi)角。因此，首先得把這些角轉(zhuǎn)變?yōu)槿切蔚膬?nèi)角，然后再往齊次式化利用正弦定理求 解。c«28+co«jb4ic<n（a"c）b 1a 4*c<rs£cosaco«craia 1只要將變換為題中的條件就變成了關(guān)于不同內(nèi)角正弦的二次齊次式：（2）不同邊的平方關(guān)系（余弦定理）若題目條件中出現(xiàn)關(guān)于邊的平方關(guān)系或求邊的平方關(guān)系，可以選用余弦定理邊角直化, 在上而的一些情況中，有利用正弦定理轉(zhuǎn)化出不同邊的平方關(guān)系，可以作為參考例題?！纠康膬?nèi)角入rc的對(duì)邊分別為.0求二0i解析】條件l jeb含有不同邊的平方關(guān)系，形式顯然符合余弦定理公式。（3）存在消不掉的正弦、余弦值（兩定理同時(shí)使用，邊角互化）若題id條件中的條件不是上述情況，且始終含有消不去的內(nèi)角正弦、余弦，可以同時(shí)使 用正弦、余弦定理邊角互化，要么都化為角（正弦、余弦），要么都化為邊?！纠吭凇傲χ?，已知八血8,= 求二?！?解 析】 由 題 日 屮 條 件a = 2c可 得a = 2ccosc= 2c+-*c*jr=<rrfr接卜來再利用余弦定理可得如，乂£-4c = 8