有關(guān)圓問題考點分析

1、有關(guān)圓問題考點分析李徳旺圓是初中幾何的重耍學(xué)習(xí)內(nèi)容，它具有很多主要性質(zhì)，知識的前后聯(lián)系密切，能考查 學(xué)生綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的能力，是歷年中考的重點?，F(xiàn)以2005年各省市中考題為例加以 說明。一. 與三角形的有關(guān)知識（全等、相似等）相聯(lián)系此類試題要求通過圓的冇關(guān)性質(zhì)得出兩個三角形對應(yīng)角相等或?qū)?yīng)邊相等或成比例， 進而證明三角形全等或相似。例1（深圳市）如圖1所示，ab是圓o的直徑，點e是半圓上一動點（點e與點 a、b都不重合），點c是be延長線上的一點，且cdlab,垂足為d, cd與ae交于 點h,點h與點a不重合。連接ho。（1）求證：aahd acbd；（2）若cd = ab = 2,求hd

2、 + ho的值。乂 cd1ab,故=zadh = zcdb:.aahd acbd(2) 設(shè) od=xo 由 ab=2, ab 是圓 o 的直徑，可得 a£)= 1 + x, bd = i-x由 ahd cbd可得adcdhdbd1 +兀2hd得hd =在 rthd0中，ho = od2 +hd2z. hd + ho =+= 12 2二. 考查對圓與圓位置關(guān)系的掌握情況這類問題考查的重點是相切關(guān)系的性質(zhì)和判定，試題常由課木習(xí)題改編而成，解答時 需要合理聯(lián)想課本習(xí)題原型。例2.（棗莊市）如圖2所示，圓o和圓02外切于點p，宜線ab是兩圓的外公切線，a、b為切點，試判斷以線段ab為直徑的圓

3、與總線qq的位置關(guān)系，并說明理山。分析：課本屮有類似圖形（不再畫出），我們曾經(jīng)證明過ap丄bp，其方法是過p作 兩圓的公切線，交ab于0。由切線長定理知0a=ob=op,且0p丄0|。2 （公切線的性 質(zhì)）。故以線段ab為直徑的圓與直線qo?相切（如果圓心到直線的距離等于圓的半徑, 那么該直線與圓相切）。三. 圓與函數(shù)和方程相聯(lián)系這類題需綜合函數(shù)、方程、兒何的相關(guān)知識，融計算、證明于-體，具有較強的綜合 性。3例3（武漢市）已知：如圖3所示，直線y = -x + 3交x軸于q,交y軸于。2, 圓。2與x軸相切于0點，交直線于p點，以q為圓心，qp為半徑的圓交x軸 于a、b兩點，pb交関02于點

4、f,陰io】的弦be二bo, ef的延長線交ab于d,連接 pa、poo(1)求證：zapo = zbpo ；（2）求證：ef是圓02的切線;（3）e0的延長線交圓q于c點，若g為bc上一動點，以qg為直徑作圓03, 交oc于點m,交03于n。有下列結(jié)論： qm qn為定值； 線段mn的長度不變。其中只有一個是正確的，請你選出正確的結(jié)論，并證明它，求出它的值。圖3 證明：（1）連接02f ,如圖4所示。*.* 02p = 02f, 0、p = 0、b:.zo2pf = zo2fp, zo,pb = zo,bp:.zo2fp = zobp:.02f i iob,得zoo2f = 90°

5、 zopb =丄 zoo= 45°2 又ab為直徑，故zaps = 90°:.zapo = zbpo = 45°(2)如圖4所示，延長ez)交圓o于點h,連接pe、bho由bo為圓o2的切線, 可得 bo? = bf bp。又因 be = bo,故 be? = bf bp。ku zpbe = zebf （公共角）所以apbeae5f.zbef = zbpe = zbhe故be = bh, aba.ed又由（1）o2f/o,b, &o2f1de 0 故 ef 為圓 o2 的切線。(3) mn的長度不變，證明如下。如圖4所示，過n作圓03的直徑nk,連接mk。

6、則 ak = zmo, n = ze0、d且 znmk = zed0, =90°乂 nk = og = o、e所以 nmk = edo,故 mn = ed3而由直線y = -才x + 3交x軸于o,交y軸于o?，矢口。02 =3, 00 = 4 o故 =5所以01a = 01p = 8, 48 = 16而 od = oor = 3故 ad = 1, bd = 9又 rtabep, ed2 = ad bd故 ed = mn = 3a/7故mn的長度不會發(fā)生變化，其長度為37 o四. 圓與特殊四邊形相聯(lián)系這類題主要是計算弧長、扇形曲積、陰影部分面積等。例4(無錫市)已知p是正方形abcd

7、內(nèi)一點，連接pa、pb、pco(1) 將apab繞點b順時針旋轉(zhuǎn)90°到p，cb的位置(如圖5師)。n圖5設(shè)ab=a, pb=b (b<a),求apab旋轉(zhuǎn)到zp，cb的過程屮線段pa所掃過的區(qū)域 (圖5中的陰影部分)的而積；若 pa=2, pb=4, /apb = 135°，求 pc 的長。(2)如圖6所示，若pa? + pc? =2pbs請說明點p必在對角線ac上。解（1）設(shè)pa所掃過的區(qū)域的面積為s,則90m2 -90加2360十()如圖5所示，由題意知apabzap'cb故 pb = p'b = 4, p'c= pa = 2f zbp,

8、c = 135° , kpbp'=90° 。連接pp，,則apep，是等腰直角三角形。故 pp'=4邁,zpp'c = 90° o在 rl'pp' c中,pc = “戸 + 氏2 = 6 o(2)連接pd,則pa1 + pc2 = pb2 + pd2 (課本中證過的結(jié)論) 乂知 x + pc? =2pb2故 pb = pd。又 ab = adf ap = ap故卜 pab = pad所以 zpab = zpad而対角線ac平分zbad,所以點p必在ac±o五. 方案設(shè)計型這類題通過比較圓的面積和多邊形面積的人小，選

9、擇較優(yōu)方案，考查學(xué)牛動手實踐能 力。例5（麗水市）某公園有一個邊長為4m的正三角形花壇，三角形的頂點a、b、c 上各冇一棵占樹?，F(xiàn)決定把原來的花壇擴建成一個圓形或平行四邊形花壇，要求三棵古樹 不能移動，且三棵古樹位于圓周上或平行四邊形的頂點上（設(shè)計過程中畫圖工具不限）。（1）按圓形設(shè)計，利用圖7畫出你所設(shè)計的圓形花壇示意圖;圖7(2)按平行四邊形設(shè)計，利用圖8曲出你所設(shè)計的平行四邊形花壇示意圖;圖8(3)若使新建的花壇面積較人，選樣以上哪一種方案合適？請說明理由。解(1)如圖9所示，作zabc的外接鬪。圖9(2) 如圖10所示，以ab、bc為邊，ac為對角線作平行四邊形abcdo(3) 在如圖9所示中，可求aabc的外接圓的半