第十屆華杯賽口試試題及解案

1、第十屆華杯賽口試試題題1(共答題1)粵10    在上面的算式中，粵、惠、州、華、羅、庚、金、杯、賽代表19這九個(gè)不同的數(shù)字。請給出一種填數(shù)法，使得等式成立。    題2(群答題1)    跳繩的時(shí)候，可以認(rèn)為繩子的中間點(diǎn)在同一個(gè)圓周上運(yùn)動(dòng)。如果小光用05秒跳一個(gè)“單搖”，用0.6秒跳一個(gè)“雙搖”，則跳“單搖”時(shí)繩中間點(diǎn)的速度和跳“雙搖”時(shí)繩中間點(diǎn)的速度之比是多少?(說明：“單搖”是腳離地面一次，繩子轉(zhuǎn)一圈；“雙搖”是腳離地面一次，繩子轉(zhuǎn)兩圈。)    題3(必答題A1)如圖

2、，陰影正方形的頂點(diǎn)分別是大正方形EFGH各邊的中點(diǎn)，分別以大正方形各邊的一半為直徑向外作半圓，再分別以陰影正方形的各邊為直徑向外作半圓，形成8個(gè)“月牙形”。這8個(gè)“月牙形”的總面積為5平方厘米，問大正方形EFGH的面積是多少平方厘米?   題4(必答題A2)   兩個(gè)自然數(shù)a，b的最小公倍數(shù)等于50，問ab有多少種可能的數(shù)值?   題5(必答題A3)   如圖所示，三角形ABC中，點(diǎn)X，Y，Z分別在線段AZ，BX，CY上，且YZ=2ZC，ZX3XA，XY4YB，三角形XYZ的面積等于24，求三角形ABC的面積。&#

3、160;  題6(必答題A4)   你能在3×3的方格表(如圖)中填入彼此不同的9個(gè)自然數(shù)(每個(gè)格子里只填一個(gè)數(shù))，使得每行、每列及兩條對角線上三個(gè)數(shù)的乘積都等于2005嗎?若能，請?zhí)畛鲆焕?，若不能，請說明理由。       題7(必答題A5)已知長方形的長為8，寬為4，將長方形沿一條對角線折起壓平，如圖所示。求重疊部分(灰色三角形)的面積。題8(必答題A6)   開始有三個(gè)數(shù)為1，1，1，每次操作把其中的一個(gè)數(shù)換成其他兩數(shù)的和。問經(jīng)過10次操作后所得的三個(gè)數(shù)中，最大數(shù)的最大可能值是多

4、少?   題9(群答題2)   中國古代的“黑火藥”配制中硝酸鉀、硫磺、木炭的比例為1523。今有木炭50千克，要配制“黑火藥”1000千克，還需要木炭多少千克?   題10(群答題3)圖中的大正方形ABCD的面積是18平方厘米，灰色正方形MNPQ的邊MN在對角線BD上，頂點(diǎn)P在邊BC上，Q在邊CD上。問灰色正方形MNPQ的面積是多少平方厘米?   題11(共答題2)將25塊邊長為1的正方體積木堆放成一個(gè)幾何體，如圖所示，看誰堆放的幾何體的表面積最小?最小的表面積是多少?(說明：這是一道現(xiàn)場動(dòng)手操作題，每隊(duì)的4名選

5、手，既要?jiǎng)邮郑忠獎(jiǎng)幽X，而且要有很好的合作精神。參賽隊(duì)如果都沒得到“最小表面積是54”的堆放法，就以堆放表面積最小的隊(duì)為勝者。因此，本題以“看誰堆放的幾何體的表面積最小?最小的表面積是多少?”來設(shè)問)   題12(必答題B1)下圖是中國古代的“楊輝三角形”，問：寫在圖中“網(wǎng)點(diǎn)”處所有數(shù)的和是多少?    題13(必答題B2)一張面積為717平方厘米的平行四邊形紙片WXYZ放在另一張平行四邊形紙片EFGH上面，如上頁右圖所示，得出A，C，B，D四個(gè)交點(diǎn)，并且ABEF，CDWX。問紙片EFGH的面積是多少平方厘米?說明理由。   題14；

6、(必答題B3) 小于10且分母為36的最簡分?jǐn)?shù)共有多少個(gè)?    題15(必答題B4)如圖所示，如果長方形ABCD的面積是56平方厘米，那么四邊形MNPQ的面積是多少平方厘米?   題16(必答題B5)   你能用寫有數(shù)字的卡片，排成兩個(gè)自然數(shù)，使得其中的一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的2倍嗎?如果能，請排出一例，如果不能，請說明理由。    題17(必答題B6)從下圖a那樣的等邊三角形開始，將三角形的每條邊三等分，然后以中間的線段為邊向外作新的等邊三角形，如圖b，得到一個(gè)“雪花六角形”。接著將“雪花六角形”

7、的12條邊的每一條三等分，仍以中間的線段為邊向外作新的等邊三角形，如圖c，得到一個(gè)新的“雪花形”。問：圖c的面積與圖a的面積的比是多少?    題18(群答題4)    構(gòu)成自然數(shù)。的所有數(shù)字互不相同，這些數(shù)字的乘積等于360。求n的最大值。    題19(群答題5)    鵝城西湖落天鵝，一湖一對兩鵝多，一湖三只三只少，共落天鵝有幾多?    (說明：惠州別稱“鵝城”，城中的西湖是著名風(fēng)景區(qū)，由豐、鱷、平、菱、南5個(gè)湖區(qū)組成。題意是說：一個(gè)湖區(qū)

8、落一對天鵝多兩只天鵝，一個(gè)湖區(qū)落三只天鵝少三只天鵝，問共落有多少只天鵝?)    題20(共答題3)編號為19的九位小朋友，胸前都別著一個(gè)漢字，依次為：惠、州、西、湖、豐、鱷、平、菱、南，如圖所示站在五個(gè)圓的標(biāo)志中，且每個(gè)圓中的小朋友的編號的和均為13，請指出別著“豐”字的小朋友的編號最大是幾？   題21(搶答題1)   13位同學(xué)參加某項(xiàng)賑災(zāi)捐款，每人的捐款數(shù)均為整數(shù)元。馬小虎很快計(jì)算出他們的平均捐款數(shù)為6496元，可惜百分位的數(shù)字有誤。問：這13位同學(xué)的捐款總數(shù)是多少元?   題22(搶答題2)右圖

9、中的兩個(gè)滑塊A，B由一個(gè)連桿連接，分別可以在垂直和水平的滑道上滑動(dòng)。開始時(shí)，滑塊A距O點(diǎn)20厘米，滑塊B距O點(diǎn)15厘米。問；當(dāng)滑塊A向下滑到O點(diǎn)時(shí)，滑塊B滑動(dòng)了多少厘米?   題23(搶答題3)算盤上一左一右列出了兩個(gè)十進(jìn)位的數(shù)，左邊的是個(gè)7位數(shù)，右邊的是個(gè)4位數(shù)，如圖所示，問左邊的數(shù)除以右邊的數(shù)的商是多少?   題24(搶答題4)如圖所示，圓周上的十個(gè)點(diǎn)將圓周十等分，連接間隔兩個(gè)點(diǎn)的等分點(diǎn)，共得出圓的十條弦，它們彼此相交，構(gòu)成各種幾何圖形。請回答：圖中共有多少個(gè)平行四邊形?    題25(搶答題5)  

10、  圓上的100個(gè)點(diǎn)將該圓等分為100段等弧，隨意將其中的一些點(diǎn)染成紅點(diǎn)，要保證至少有4個(gè)紅點(diǎn)是一個(gè)正方形的4個(gè)頂點(diǎn)，問：你至少要染紅多少個(gè)點(diǎn)?   題26(搶答題6)用數(shù)字1，2，3，4，5，6填滿一個(gè)6×6的方格表，如右圖所示，每個(gè)小方格只填其中的一個(gè)數(shù)字。將每個(gè)2X 2正方格內(nèi)的四個(gè)數(shù)字的和稱為這個(gè)2×2正方格的“標(biāo)示數(shù)”。問能否給出一種填法，使任意兩個(gè)“標(biāo)示數(shù)”均不相同?如果能，請舉出一例；如果不能，請說明理由。   題27(共答題4(操作)   一個(gè)考古發(fā)現(xiàn)的正多邊形殘片，如圖所示：只用一副學(xué)生

11、三角板和一支鉛筆為工具，請你判定這個(gè)正多邊形的邊數(shù)。(說明：所給正多邊形殘片中的EABZFBA165°，需要選手動(dòng)手去量)    題28(群答題6)下面的兩條橫幅：    中華少年 杯賽聯(lián)誼 切磋勾股    炎黃子孫 惠州弘志 振興中華每個(gè)字代表一個(gè)小于25的非零自然數(shù)，不同的字代表不同的數(shù)，相同的字代表相同的數(shù)。已知這些字代表的34個(gè)數(shù)的平均值是12喪。問“中華”兩個(gè)字代表的自然數(shù)之和的最大值是多少?參考答案1答案不唯一，寫出一個(gè)即可。如：    910，910，

12、910，    910，710， 610，    610均為解答。2答案：3：5分析：設(shè)繩中間點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的圓周的半徑為r，則繩子轉(zhuǎn)一圈繩中間點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了2r的距離，“單搖”和“雙搖”時(shí)的速度分別為和，所以速度之比為    ：3：53答案：10    分析：如圖所示，連接AB和CD相交于O，容易由勾股定理和半圓面積公式得到三角形，ACH的面積，即得到三角形AOC的面積等于AH，HC上兩個(gè)“月牙形”的面積之和。因此，這8個(gè)“月牙形”的總面積等于正方形ACBD的面積。  

13、;  由于這8個(gè)“月牙形”的總面積為5平方厘米，而正方形EFGH的面積為正方形ACBD的面積的2倍，所以正方形EFGH的面積等于10平方厘米。    4答案：8    分析：因?yàn)椋?0=2×5，a，b是50的約數(shù)，它們只能取1，2，5，10，25，50。不妨設(shè)ab，當(dāng)取a50時(shí)，b1，2，5，10，25，50；當(dāng)取a25時(shí)，b2，10    所以，ab共有8種可能的不同數(shù)值。    兩個(gè)自然數(shù)a，b的最小公倍數(shù)等于50，當(dāng)ab時(shí)，ab取不同數(shù)值可列表如下：

14、    5答案：59    分析：連接AY，CX，BZ，如圖所示，由三角形XYZ的面積等于24，YZ2ZC，三角形XZC的面積等于12。    又ZX3XA，三角形XZC的面積等于12，所以三角形AXC的面積等于4。三角形AYX的面積等于8。注意到XY4YB，三角形ABY的面積等于2。三角形ZBY的面積等于6，三角形CBZ的面積等于3。    所以三角形ABC的面積24124826359。    6答案；不能   

15、分析：如果能填，則填入的彼此不同的9個(gè)自然數(shù)將是2005的9個(gè)彼此不同的約數(shù)，然而2005的彼此不同的正約數(shù)只有1,5，401，2005這4個(gè)，故不能。    7答案：10分析：如圖所示，因?yàn)镋BDEDB，顯然    BEDE，AECE設(shè)BEDEx，則    AECE8x由勾股定理得    (8一z)4=x解之得x5所以，S·BE·CD×5×4108. 答案：144分析：每次把三個(gè)數(shù)從小到大排序，再把前面的最小的數(shù)換成后面兩個(gè)數(shù)的和，結(jié)

16、果為1，1，11，1，21，2，3，2，3，5)3，5，85，8，13    經(jīng)觀察，最大的數(shù)構(gòu)成一個(gè)斐波那契(Fibonacci)數(shù)列，開始的兩個(gè)數(shù)是1，2，從第三項(xiàng)開始，每個(gè)數(shù)是前面兩個(gè)數(shù)的和。因此為    1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144   經(jīng)過lO次操作后，該數(shù)列中第11個(gè)數(shù)是144，即最大數(shù)的最大可能值是144。    9答案：100    分析：由硝酸鉀，硫磺，木炭的比例為15：2：3求得，木炭所占的比例為，因此，配制

17、1000千克的“黑火藥”需要木炭1000×150(千克)，今有木炭50千克，故還需要木炭150千克50千克100千克。    10答案：4    分析：連接AC交BD于O，作大正方形ABCD的外接正方形EFGH，如圖所示，則正方形EFGH的面積是36平方厘米。所以，DBAC6厘米。易知DMMQMNNB2厘米所以灰色正方形的面積是4平方厘米。11答案：54分析：25塊邊長為1的正方體積木堆放成一個(gè)幾何體，當(dāng)小積木自相重合的面最多時(shí)表面積最小。設(shè)想27塊邊長為1的正方體積木，其表面積為54(圖a)。  

18、60; 現(xiàn)在要去掉2塊小積木成為25塊，其總表面積不會減少。要使得總表面積最小，發(fā)現(xiàn)在一個(gè)角處去掉相鄰的兩塊小積木時(shí)(圖b)，或在兩個(gè)角上各去掉一塊小積木時(shí)(圖C)，總表面積不變，與邊長為3的立方體的表面積相等，為3×3×654。所以堆放25塊小積木的最小表面積是54。    12答案：127    分析：這是一道找規(guī)律的速算題。    第1行的數(shù)是1；第2行的2個(gè)數(shù)的和是2；第3行的3個(gè)數(shù)的和是4；第4行的4個(gè)數(shù)的和是8；第5行的5個(gè)數(shù)的和是16；第6行的6個(gè)數(shù)的和是32；第7行的7

19、個(gè)數(shù)的和是64。求和：1248163264127。    13答案：7.17    分析：連接AC，CB，BD，DA，如圖所示，因?yàn)锳BEFGH，所以ABC的面積是平行四邊形AEFB面積的一半，ABD的面積是平行四邊形的AHGB面積的一半，因此四邊形ACBD的面積是平行四邊形EFGH面積的一半。同理可證，四邊形ACBD的面積也是平行四邊形WXYZ面積的一半。因此，平行四邊形EFGH的面積平行四邊形WXYZ的面積7.17平方厘米14. 答案：120個(gè)分析：設(shè)滿足題設(shè)條件的數(shù)為x，則x，其中0n9，r取小于36且與36互質(zhì)的自然數(shù)1，5，

20、7，11，13，17，19，23，25，29，31，35，共計(jì)12個(gè)。所以，小于10且分母為36的最簡分?jǐn)?shù)共有l(wèi)O×12120(個(gè))。    15. 答案：32.5    分析：如圖所示，過M，N，P，Q分別作長方形ABCD的各邊的平行線。易知交成中間的陰影正方形的邊長為3厘米，面積等于9平方厘米。設(shè)MQD，NAM，PBN，QCP的面積之和為S，四邊形MNPQ的面積等于x，則     解上述方程，得2x=65，所以x=32.5平方厘米。    16答案：不

21、能    分析：設(shè)一個(gè)數(shù)為a，另一個(gè)數(shù)為b，依題意a2b，則Sab2bb3b，所以3S。但S被3除的余數(shù)等于ab被3除的余數(shù)，等于a被3除的余數(shù)與b被3除的余數(shù)之和，即等于2345678944被3除的余數(shù)，但是這個(gè)余數(shù)不等于0，矛盾!所以不能用寫有數(shù)字的卡片排成兩個(gè)自然數(shù)，使得一個(gè)自然數(shù)是另一個(gè)自然數(shù)的2倍。    17答案：40：27    分析：設(shè)圖a的等邊三角形的面積是l，在圖b中，每條邊上增加的等邊三角形的面積是共增加了3個(gè)等邊三角形，所以圖b的面積和圖a的面積的比是。類似地，圖c中外邊緣增加的小

22、等邊三角形的面積是，共增加了12個(gè)小的等邊三角形，所以圖c的面積是12×。    所以，圖c的面積和圖a的面積比是40：27。    18答案：95421    分析：3602×3×51×2×4×5×9，所以a的最大值為95421。    19答案：12只    分析：    方法一：(算術(shù)法)由“一湖一對兩鵝多”，知天鵝數(shù)是2的倍數(shù)；由“一湖三只

23、三只少”，知天鵝數(shù)是3的倍數(shù)。又(2，3) 1，可知天鵝數(shù)是6的倍數(shù)：6，12，18，24，驗(yàn)算得：共落有12只天鵝。    方法二：(代數(shù)法)設(shè)天鵝數(shù)為x只，落在Y個(gè)湖中。則2y23y3，解得y5，則x2y22×5212，即共落天鵝12只。    20答案：8    分析：易知    惠州西湖豐鱷平菱南45        惠2×州西2×湖豐2×鱷平2×菱南13

24、15;565        得：    州湖鱷菱20    又    湖豐鱷=13若“豐”9，則只能    湖鱷13此時(shí)由得    州菱201316    但州、菱都小于9，所以    州菱8715    矛盾!所以“豐”不等于9，“豐”的最大可能值等于8。事實(shí)上，惠4，州9，西1，湖3，豐8，鱷2

25、，平5，菱6，南7，合乎要求。所以“豐”的最大值等于8。    21. 答案：844    分析：設(shè)這13位同學(xué)的捐款總數(shù)為x元，則    64.9064.99    所以    843.7x844.87    由于x為整數(shù)，所以x844元。    22答案：10     分析：由ABA0OB201525，可知連桿的長度等于25厘米。當(dāng)滑塊A向下滑到O點(diǎn)時(shí)，

26、滑塊B距O點(diǎn)的距離是25厘米，故滑塊B滑動(dòng)了251510(厘米)。    23. 答案：430    分析：左、右邊的數(shù)分別為12341×10，287×10，兩數(shù)之比為43×1043×10430    24. 答案：5    分析：連接圓周上的十個(gè)等分點(diǎn)的“對徑點(diǎn)”，共連接出5條直徑，每條直徑是一個(gè)平行四邊形的較長的那條對角線，與一個(gè)平行四邊形對應(yīng)。因此圖中共有5個(gè)平行四邊形。    25. 答案：76&#

27、160;   分析：如圖所示：圓的一對直徑AC，BD互相垂直時(shí)，則ABCD恰是一個(gè)正方形。反過來，如果圓上的四點(diǎn)A，B，C，D恰是一個(gè)正方形ABCD的4個(gè)頂點(diǎn)，則對角線AC，BD恰是該圓的一對互相垂直的直徑。    圓上的100個(gè)點(diǎn)將該圓等分為100段等弧，恰有25對互相垂直的直徑，由互相垂直的直徑的4個(gè)端點(diǎn)恰可構(gòu)成25個(gè)不同的正方形。最不利的情形是：每對互相垂直的直徑的4個(gè)端點(diǎn)中染紅3個(gè)點(diǎn)，則總計(jì)在圓的100個(gè)等分點(diǎn)中染紅了75個(gè)點(diǎn)，其中任意的4個(gè)紅點(diǎn)都不是一個(gè)正方形的4個(gè)頂點(diǎn)。這時(shí)，我們只要再染一個(gè)紅點(diǎn)，即染76個(gè)紅點(diǎn)，而763×251，就必定會出現(xiàn)一個(gè)正方形的4個(gè)頂點(diǎn)都是紅點(diǎn)，因此，要保證至少有一個(gè)正方形的4個(gè)頂點(diǎn)為紅點(diǎn)，至少要將這100個(gè)等分點(diǎn)中的76個(gè)點(diǎn)染成紅點(diǎn)。    26答案：不能    分析；每個(gè)2×2正方格內(nèi)的四個(gè)數(shù)字的和最大是24，最小是4，從4至24共有21個(gè)不同的數(shù)值，但是在6×6的方格表中，共有25個(gè)不