人教A版必修一各章題型例題加變式

1、必修一各題型例題加變式題型一、集合例題1：已知集合M0,1,2,3,4，N1,3,5，PMN，則P的子集共有()A2個(gè) B4個(gè)C6個(gè) D8個(gè)【解析】選B.M0,1,2,3,4，N1,3,5，MN1,3MN的子集共有224個(gè)變式1設(shè)A2，1，x2x1，B2y，4，x4，C1,7，且ABC，求x、y的值【解析】解：ABC1,7，必有7A,7B，1B.即有x2x17x2或x3.當(dāng)x2時(shí)，x42，又2A，2AB，但2C，不滿足ABC，x2不符合題意當(dāng)x3時(shí)，x47，2y1y.因此，x3，y.變式2已知，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍【解析】解：，或當(dāng)時(shí)，當(dāng)，解得由上述知： 例題2：已知集合（1）若的取值范圍；（

2、2）若的值【解析】（1）當(dāng)時(shí)，B為空集，不合題意當(dāng)時(shí)，應(yīng)滿足當(dāng)時(shí)，應(yīng)滿足時(shí)，（2）要滿足，顯然且時(shí)成立，此時(shí)，而，故所求的值為3【點(diǎn)評】同不等式有關(guān)的集合問題是高考命題的熱點(diǎn)之一，也是高考常見的命題形式，且多為含參數(shù)的不等式問題，需討論參數(shù)的取值范圍，主要考查分類討論的思想，此外，解決集合運(yùn)算問題還要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用變式3：設(shè)全集是實(shí)數(shù)集，則圖中陰影部分所表示的集合是 （ ）A BC D【答案】C【點(diǎn)評】本題考查了集合之間的關(guān)系、集合的交集、補(bǔ)集的運(yùn)算，考查了同學(xué)們借助于圖解決集合問題的能力變式4：定義集合運(yùn)算：設(shè)，則集合的所有元素之和為 （ ）A0 B2 C3 D6【解析】本題為新定義

3、問題，可根據(jù)題中所定義的的定義，求出集合，而后再進(jìn)一步求解由的定義可得：，故選D【點(diǎn)評】本題給出了集合一種新的運(yùn)算，只要讀懂新的運(yùn)算法則，此類題就不難解決題型二、函數(shù)的概念及其性質(zhì)1、函數(shù)的定義域問題例題1、函數(shù)y的定義域?yàn)?()A. 4,1 B. 4,0)C. (0,1 D. 4,0)(0,1【解析】求y的定義域，即4,0)(0,1. 答案：D變式1、函數(shù)y的定義域?yàn)?()A. (4，1) B. (4,1)C. (1,1) D. (1,1【解析】定義域 1x1. 答案：C變式2、，則 【答案】變式3、設(shè)函數(shù)f(x)則的值為 ()A. BC. D18【答案】A2、函數(shù)的值域問題例題：分別求下列

4、函數(shù)的值域：（1）y；（2）yx22x(x0,3)；（3）；（4）y.【解析】（1）分離變量法將原函數(shù)變形為y2.x3，0.y2，即函數(shù)值域?yàn)閥|yR且y2.（2）配方法y(x1)21，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得原函數(shù)的值域是3,1.（3）換元法令（），則， 所以因?yàn)楫?dāng)，即時(shí)，無最小值。所以函數(shù)的值域?yàn)椤?（4）分離常數(shù)法y12x1，02，111，所求值域?yàn)?1,1).3、三要素間的關(guān)系例題：下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（ ）A BC D【答案】C4、函數(shù)單調(diào)性例題1.（2009·福建高考）下列函數(shù)f(x)中，滿足“對任意x1，x2(0，)，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)&g

5、t;f(x2)”的是 ()A. f(x) B. f(x)(x1)2C. f(x)ex D. f(x)ln(x1)【解析】對任意的x1，x2(0，)，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，f(x)在(0，)上為減函數(shù).答案：A例題2、如果函數(shù)f(x)x22(a1)x2在區(qū)間(，4上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ()A. 3，) B. (，3C. (，5 D. 3，)【解析】f(x)x22(a1)x2的對稱軸為x1a，f(x)在(，1a上是減函數(shù)，要使f(x)在區(qū)間(，4上是減函數(shù)，則只需1a4，即a3.答案：B例題3、已知函數(shù)f(x)=x+,x>0，證明當(dāng)0<x&

6、lt;1時(shí)，函數(shù)f(x)是減函數(shù)；當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)f(x)是增函數(shù).【解析】證明：任取x1、x2（0，+）且x1x2，則f（x1）f（x2）=（x1）（x2+）=（x1x2）+=，x1x2，x1x2<0，x1x2>0.當(dāng)0x1x21時(shí)，x1x2-1<0，f（x1）f（x2）0.f（x1）f（x2），即當(dāng)0<x<1時(shí)，函數(shù)f(x)是減函數(shù).當(dāng)1x1x2時(shí)，x1x2-1>0，f（x1）f（x2）0.f（x1）f（x2）,即當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)f(x)是增函數(shù).變式1、函數(shù)ylog(43xx2)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是 ()A. (， B. ，)C. (1，) D. ，4)【

7、解析】由t43xx20得1x4，即函數(shù)ylog(43xx2)的定義域?yàn)?1,4)，又ylogt是減函數(shù)，t43xx2在，4)上遞減，所以函數(shù)ylog(43xx2)在，4)上遞增.答案：D變式2、已知函數(shù)f(x)(a1).（1）若a0，則f(x)的定義域是；（2）若f(x)在區(qū)間(0,1上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【解析】（1）當(dāng)a0且a1時(shí)，由3ax0得x，即此時(shí)函數(shù)f(x)的定義域是(，；（2）當(dāng)a10，即a1時(shí)，要使f(x)在(0,1上是減函數(shù)，則需3a×10，此時(shí)1a3.當(dāng)a10，即a1時(shí)，要使f(x)在(0,1上是減函數(shù)，則需a0，此時(shí)a0.綜上所述，所求實(shí)數(shù)a的取值范

8、圍是(，0)(1,3.答案：(1)(， (2)(，0)(1,35、函數(shù)的奇偶性例題：已知yf(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是 ()yf(|x|)；yf(x)；yxf(x)；yf(x)x.A. B. C. D. 【解析】由奇函數(shù)的定義驗(yàn)證可知正確，選D.答案：D變式1：已知函數(shù)f(x)ax4bcosxx，且f(3)7，則f(3)的值為 ()A. 1 B. 7C. 4 D. 10【解析】設(shè)g(x)ax4bcosx，則g(x)g(x).由f(3)g(3)3，得g(3)f(3)34，所以g(3)g(3)4，所以f(3)g(3)3431.答案：A變式2：設(shè)函數(shù)f(x)(xR)為奇函數(shù)

9、，f(1)，f(x2)f(x)f(2)，則f(5) ()A. 0 B. 1C. D. 5【解析】由f(1)，對f(x2)f(x)f(2)，令x1，得f(1)f(1)f(2).又f(x) 為奇函數(shù)，f(1)f(1)，于是f(2)2f(1)1；令x1，得f(3)f(1)f(2)，于是f(5)f(3)f(2).答案：C6、函數(shù)的性質(zhì)綜合應(yīng)用例題1：已知f(x)是定義在(，)上的偶函數(shù)，且在(，0上是增函數(shù)，設(shè)af(log47)，bf(3)，cf(0.20.6)，則a，b，c的大小關(guān)系是 ()A. c<b<a B. b<c<aC. c>a>b D. a<b&l

10、t;c【解析】由題意f(x)f(|x|).log47log2>1，|3|log23>1,0<0.20.6<1， |3|>|log47|>|0.20.6|.又f(x)在(，0上是增函數(shù)且為偶函數(shù)， f(x)在0，)上是減函數(shù).c>a>b.答案：C變式1：若是奇函數(shù)，且在（0，）上是增函數(shù)，又，則的解是（）A. B. C. D. 【解析】選D。由題可知：f（x）是奇函數(shù)，（0，）上是增函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱要使，則當(dāng)x>1時(shí)，f（x）<0,由圖可知當(dāng)x<1時(shí)，f（x）>0,由圖可知【點(diǎn)評】此題考查奇函數(shù)的圖像特點(diǎn)。例題2：已知

11、函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)，且對任意的正實(shí)數(shù)x，y都有f(xy)f(x)f(y)，且當(dāng)x1時(shí)，f(x)0，f(4)1，（1）求證：f(1)0； （2）求f()； （3）解不等式f(x)f(x3)1.【解析】解：（1）證明：令x4，y1，則f(4)f(4×1)f(4)f(1).f(1)0.（2） f(16)f(4×4)f(4)f(4)2，f(1)f(×16)f()f(16)0， 故f()2.（3）設(shè)x1，x20且x1x2，于是f()0，f(x1)f(×x2)f()f(x2)f(x2). f(x)為x(0，)上的增函數(shù).又f(x)f(x3)fx(x3)1

12、f(4)， 3x4.原不等式的解集為x|3x4.例題3：已知函數(shù)，且（1）求m的值；（2）證明的奇偶性；（3）判斷在上的單調(diào)性，并給予證明;【解析】（1），. （2）因?yàn)?，定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)成對稱區(qū)間. 又，所以是奇函數(shù). （3）設(shè)，則 因?yàn)?，所以?所以，因此在上為單調(diào)增函數(shù). 變式：已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且對任意，都有，且?dāng)時(shí)，恒成立，證明：（1）函數(shù)是上的減函數(shù)；（2）函數(shù)是奇函數(shù) 【解析】證明：（1）設(shè)，則，而函數(shù)是上的減函數(shù)（2）由得即，而，即函數(shù)是奇函數(shù) 【點(diǎn)評】在判斷一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性時(shí)，要嚴(yán)格按照單調(diào)性和奇偶性的定義來判斷在判斷此題函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，需將再用題目給的關(guān)系式化為

13、作差法的第一步題型三、基本初等函數(shù)I1、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的定義域、值域問題例題1：求下列函數(shù)的定義域和值域（1） 2； （2）()； （3）10；（4）； （5）；【解析】提示：由于指數(shù)函數(shù)y=ax,(a0且a1)的定義域是R，所以這類類似指數(shù)函數(shù)的函數(shù)的定義域要借助指數(shù)函數(shù)的定義域來求，教師適時(shí)點(diǎn)撥和提示，求定義域，只需使指數(shù)有意義即可，轉(zhuǎn)化為解不等式.（1）令x-40，則x4，所以函數(shù)y=2的定義域是xRx4， 又因?yàn)?，所以21，即函數(shù)y=2的值域是y|y>0且y1.（2）因?yàn)?|x|0，所以只有x=0. 因此函數(shù)y=()的定義域是xx=0. 而y=()=()0=1，即函數(shù)y=(

14、)的值域是yy=1.（3）令0，得0， 即0，解得x<-1或x1， 因此函數(shù)y=10的定義域是xx<-1或x1. 由于-10，且2，所以0且1. 故函數(shù)y=10的值域是yy1,y10.（4）令，則， ， ，即函數(shù)值域?yàn)椋?）令，則， ， 即函數(shù)值域?yàn)椤军c(diǎn)評】求與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域和值域時(shí)，要注意到充分考慮并利用指數(shù)函數(shù)本身的要求，并利用好指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，特別是第（1）題千萬不能漏掉y>0.變式：函數(shù)恒過定點(diǎn)_ .【解析】因?yàn)閥=ax過點(diǎn)（0，1），所以當(dāng)x=0時(shí)，y=0+5=5，所以原函數(shù)過定點(diǎn)（-5,2）【點(diǎn)評】解決定點(diǎn)問題，關(guān)鍵是理解指數(shù)與對數(shù)函數(shù)的定點(diǎn)2、解指數(shù)式、

15、對數(shù)式方程例題：已知，則（ ） 2 4 8 32【解析】例題：已知 ，求的值 ； ，求的值?！窘馕觥?解：原方程可化為，x2=2，解得x=或x=.經(jīng)檢驗(yàn)，x=是原方程的解，x=不合題意，舍去. x=1或x= 6變式：解方程：（1）； （2）【解析】（1）解：原方程為6×3-x27=0，(3-x3)(3-x9)=0.3-x30，由3-x9=0得3-x=32.故x=2是原方程的解.（2）解：原方程為lg2(x10)3lg(x10)4=0，lg(x10)4lg(x10)1=0.由lg(x10)=4，得x10=10000，x=9990；由lg(x10)=1，得x10=0.1，x=9.9.檢驗(yàn)

16、知： x=9990和9.9都是原方程的解.3、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖像例題1：在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖像，可能正確的是（ ）【答案】Dy=dxy=cxy=bxy=axOyx變式：（1）如圖，設(shè)a,b,c,d>0，且不等于1，y=ax，y=bx，y=cx，y=dx,在同一坐標(biāo)系中的圖象如圖，則a,b,c,d的大小順序（ ）A、a<b<c<d B、a<b<d<cC、b<a<d<c D、b<a<c<d（2）根據(jù)對數(shù)函數(shù)圖象判斷底數(shù)的大小關(guān)系：【答案】（1）C （2）由圖可知4、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)例題1：已知指數(shù)函數(shù)

17、的圖象過點(diǎn)（） （1）求的值； （2）利用圖像比較三個(gè)函數(shù)值的大小。【解析】（1）設(shè)指數(shù)函數(shù)f(x)=ax（a0且a1）因?yàn)閳D象過點(diǎn)（3,）,所以f(3)=a3=,即a=,f(x)=()x.再把0,1,3分別代入,得：f(0)=0=1, f(1)=1=, f(-3)=-1=.（2）由圖易知f(1)>f(0)>f(-3)【點(diǎn)評】根據(jù)待定系數(shù)的多少來確定構(gòu)建方程的個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵,這是方程思想的運(yùn)用.例題2：解不等式：（1）； （2）（3）【解析】（1）（2）（3）由題意得又原不等式可化為例題3：比較下列兩個(gè)數(shù)的大小:（1）； （2）； （3）； （4）,2.【解析】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

18、對兩個(gè)數(shù)進(jìn)行大小的比較：對（1）因?yàn)楹瘮?shù)y=3x在R上是增函數(shù)，0.80.7，所以30.8>30.7；對（2）因?yàn)楹瘮?shù)y=0.75x在R上是減函數(shù)，0.1-0.1，所以0.75-0.1>0.750.1；對（3）由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知1.80.6>1.80=1=0.80>0.81.6，所以1.80.6>0.81.6；對（4）由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知()>()0=1=20>2，所以()>2.【點(diǎn)評】在利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)對兩個(gè)數(shù)進(jìn)行大小比較時(shí)，首先把這兩個(gè)數(shù)看作指數(shù)函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較。若兩個(gè)數(shù)不是同一函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值，則尋求一個(gè)中間量，兩

19、個(gè)數(shù)都與這個(gè)中間量進(jìn)行比較，這是常用的比較數(shù)的大小的方法，然后得兩個(gè)數(shù)的大小，數(shù)學(xué)上稱這種方法為“中間量法”.變式：比較大小設(shè)alog0.70.8，blog1.10.9，c1.10.9，則a、b、c的大小順序是（ ）A、a<b<c B、b<c<a C、b<a<c D、c<b<a【解析】選C。因?yàn)?<a<1，b<0，c>1，所以b<a<c例題4：判斷下列函數(shù)的奇偶性。 （1） （2）【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?又 是奇函數(shù)（2）恒成立，故的定義域?yàn)椋?， 所以，為奇函數(shù)?！军c(diǎn)評】討論奇偶性前先討論函數(shù)定義域，再

20、判斷f(-x)與f(x)的關(guān)系。5、冪函數(shù)的概念與基本性質(zhì)例題1：個(gè)冪函數(shù)：；，其中定義域?yàn)榈氖?（ ） 只有 只有 只有 只有【答案】C變式：設(shè)，則使函數(shù)的定義域?yàn)榍覟槠婧瘮?shù)的所有值為 （ ） ， ， ， ，【答案】A例題2：當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)（ ） 或 【答案】A6、基本初等函數(shù)的綜合應(yīng)用例題1：已知函數(shù)，（1）求函數(shù)的定義域；（2）討論奇偶性；（3）討論函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性【解析】（1）由，解得定義域?yàn)椋?），函數(shù)為奇函數(shù)（3）在區(qū)間內(nèi)，任取，且設(shè)，則， 在在上單調(diào)遞減，又是奇函數(shù)， 所以在上也是減函數(shù)【點(diǎn)評】求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域時(shí)，要注意到充分考慮并利用對數(shù)函數(shù)本身的要

21、求，并用單調(diào)性與奇偶性的定義證明其單調(diào)性與奇偶性例題2：函數(shù)的定義域?yàn)镸，函數(shù)（）.（1）求M；（2）求函數(shù)的值域；（3）當(dāng)時(shí)，若關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，求b的取值范圍，并討論實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù).【解析】解：（1）， （2）設(shè)， 當(dāng)時(shí)遞減，當(dāng)時(shí)遞增，所以時(shí)，； 當(dāng)時(shí)遞增，所以 故的值域?yàn)?（3），即，方程有實(shí)根ó函數(shù)與函數(shù)（）的圖象有交點(diǎn). 由（2）知， 所以當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根. 下面討論實(shí)根個(gè)數(shù)：當(dāng)或當(dāng)時(shí)，方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根變式：已知函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【解析】令，則，由以上知的圖象關(guān)于直線對稱且此拋物線開口向

22、上因?yàn)楹瘮?shù)的底數(shù)21，在區(qū)間上是減函數(shù)所以在區(qū)間上也是單調(diào)減函數(shù)，且，解得故a的取值范圍是【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，注意對滿足函數(shù)定義域的討論題型四、函數(shù)的應(yīng)用1、函數(shù)與方程例題1：（1）若函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；（2）若函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【解析】（1）若a=0，則, 令，即，得，故符合題意；若a0，則是二次函數(shù)，故有且僅有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于=1+4a=0，解得，綜上所述或（2）若有4個(gè)零點(diǎn)，即有四個(gè)根，即有四個(gè)根， 令，作出的圖象，由圖象可知如果要使有四個(gè)根， 那么與的圖象應(yīng)有4個(gè)交點(diǎn)故需滿足，即a的取值范圍是【點(diǎn)評】本題（1）注意討論零點(diǎn)時(shí)，討論二次項(xiàng)系數(shù)

23、是否為0；本題（2）主要考查函數(shù)與方程思想的運(yùn)用，需數(shù)形結(jié)合，把函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題變式1：若函數(shù)f (x)=ax -x-a(a>0且a1)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 【解析】設(shè)函數(shù)a1)和函數(shù)，則函數(shù)f (x)=ax -x-a(a>0且a1)有兩個(gè)零點(diǎn)，就是函數(shù) a1)與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖象可知當(dāng)時(shí)兩函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合，當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過點(diǎn)(0,1)，而直線所過的點(diǎn)（0，a）一定在點(diǎn)(0,1)的上方，所以一定有兩個(gè)交點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是【點(diǎn)評】本題考查了指數(shù)函數(shù)的圖象與直線的位置關(guān)系，隱含著對指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的考查，根據(jù)其底數(shù)的不同取值范圍而分別畫出函數(shù)的圖象進(jìn)行解答變式2：設(shè)二次函數(shù)，方程的兩根和滿足（I）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（II）試比較與的大小并說明理由【解析】（）令，則由題意可得故所求實(shí)數(shù)的取值范圍是（II），令當(dāng)時(shí)，單調(diào)增加，當(dāng)時(shí)，即<【點(diǎn)評】本題主要考查二次方程根的分布和二次函數(shù)的基本性質(zhì)，注意數(shù)形結(jié)合，二次方程根的分布問題