(完整word版)矩陣論考博題選

1、設(shè)矩陣A (aj) Cnn滿足naiiaij(i 1,2,L , n)j i則稱A為嚴格對角占優(yōu)矩陣。證明(i)(i)A是非奇異矩陣。(ii)(ii)D diag(aii,L松)，B I證明n0,由akjXj0，得akkXkj inakjxj，兩邊取絕對值又得j ij k而B的任一特征值i，即(B) i。證明設(shè)A的特征多項式為由 Hamilton-CayleyHamilton-Cayley 定理，f(A)(i)反證。假設(shè)A是 奇異矩陣(即A0)，則Ax 0有非零解:X (Xi,X2丄,Xn)T。XkakkakjXjj；nXkj ij kakjakkakji k這與A是嚴格對角占優(yōu)矩陣矛盾。故A

2、是非奇異矩陣。證畢。(ii(ii)B I DiA Di(D A)，B的特征多項式為det( IiiB) det(D ( D AD) det(D )det( D (A D)(i)如果B的某個特征值oi，則顯然D (A D)也是嚴格對角占優(yōu)矩陣。由結(jié)論(i i).det(oD (A D)0。把式(i i )中 換成o，左邊等于零，右邊不等于零，矛盾。從A是非奇異的充要條件是存在常數(shù)項不為零的多項式g()使得g(A) 0。D1A，證明(B)1設(shè)xkmax xf()nanaa0(a。( i)nA)mm ig(A) A am iALaiA a0I O必要性：如a。0，g()f()，即得證。充分性：設(shè)g(

3、)mm iam iL aia(a。0)，且2，2移項A (Am 1a0am 1Am 2L Ql) I，說明A可逆。設(shè)A Cnnn是矩陣A的n個特征值,證明aiji 1 j 1證明 由 SchurSchur 定理，對于任意的A Cnn,存在n階酉矩陣U ,使得HAU其中R(rij)n n為對角元為A的特征值的上三角矩陣。對上式兩端取共軛轉(zhuǎn)置并兩式相乘得:UHAHAURHR即AHA與RHR酉相似。從而tr(AHA) tr(RHR)，因為R為對角元為A的特征值的上三角矩陣，所以22iriirijni 1i 1 j 1n n設(shè)A為n階的 HermiteHermite 矩陣， 其特征佂證明因A為n階的

4、HermiteHermiteUy，則xHAx所以1(y1y2y1y2ynHtr(RHAx AxHx xR)矩陣，故存在酉矩陣UHU AU diag(1,H .y (UHAU)y1y12Htr(A A)naijj 1n,證明對任意非零向量x使得y2Cn有2yn)xHAxn(y1所以y21HHHHAx Ax1x x x AxnX x，1Hnx x所以設(shè)A是n階矩陣，證明rank A rank(A I) nA2A2證明 設(shè)A A，A(A I) O，從而由常用結(jié)論，rankA rank(A又I A (I A)，由常用結(jié)論，n rank I ran k A (I A) rankA ran k(I A)

5、rankA綜上，rankA ran k(A I) n。反之，Cn, A (I A)，所以CnR(A) R(I A)又rankA rank(A I) n，則由維數(shù)公式R(A) I R(I A) 0因2 2A Cm n，證明:max ari i JI A2Vmn max aiiij證明(i 1,2,L ,m)為A的行，則AxT2X2mnmax aiji, j特別地取xei,e2丄從而A2max ajmaxML1Ax2mn max(1,0丄，0), L等。得IA2靜皿卜引aijmax a”1 j n ijI) nrank( A I)R(I A)1(A A) A(I A) R(A),又(AA) (I

6、A)A只有（A2A）0，由 的任意性得A2A O。設(shè)B是n m矩陣，C是m n矩陣，證明m rank( InBC ) n rank( Imrank( InBC) rank(ImCB) n m注：我想此題應有其它方法CB)證明 由常用結(jié)論BC與CB非零特征值一樣當然秩相等）設(shè)（由SchurSchur 分解定理）1P11(BC )P11,P21(CB)P20m其中1,L ,tP11(InBC)P1rank( InP21(ImCB)P21BC) rank P11(InBC )P1, rank(ImCB)1rank P2(ImCB)P2它們的秩是上面非零對角元的個數(shù)，顯然有（不妨nm）設(shè)矩陣A (ai

7、j) Cn n為 HermiteHermite 正定矩陣，證明aiia22L ann兩邊取行列式設(shè)A,B是 n n 階實矩陣，且AB 0, B2BV1x|Ax0, V2x| Bx 0,證明（1 1）RnV1V2(2)上面為直和的充要條件是rank( A) rank( B) n證明 （1 1）x, x Bx （I B）x，又ABx 0，B（I B）x 0,說明證明A有三角分解（CholeskyCholesky 分解）Haii|ii|ii|iiAiLHHLLH|ii|iiLLHaiiAi由于 A A 也是正定的,依次遞推得證。設(shè)A, B均為n階 HermiteHermite 矩陣，A正定,(1 1

8、)證明(2 2)證明證明(1 1)aaU|jaaUjj(2 2)由于A中模最大的AB特征值都是實數(shù)由于A正定，則A的所有主子式都是正定的。反證，如果aij(i j)最大，則aij2aiiaij0,這與_正定矛盾。aijajjA正定，有分解A PPH(P可逆)ABP(PHBP)P1，說明AB與PHBP相似，它們有相同的特征值，而后者是HermiteHermite 矩陣，特征值為實數(shù)，故AB的特征值也是實數(shù)。aiiajjBx V1,( I B)x V2，從而RnViV2。dim V1dim V2nn rank A n rankB nrank A rankB nA (a Cnn,B (b) Cn n均為 HermiteHermite 矩陣，定義C (ajbij)，證明如果A 0, B 0，則C 0證明把B進行滿秩分解設(shè)矩陣A(aij) Cn n為 HermiteHermite 矩陣，滿足naiiaj(i 1,2,L , n)j 1證明A正定。證明設(shè)A的特征值為，由蓋氏圓盤定理則bjrgikgjkk 1(少共軛)nnrrnxHCxxiaijbijxjXiajgikgjkXjaj(Xigik)(gjkXi,j 1i,j 1 k 1k 1 i, j 1、口(k)記yixgik(i1,L ,n ,k 1,L,r)則rxHC