三垂直模型相關(guān)練習(xí)含答案

1、2013年三垂直模型相關(guān)練習(xí)一 選擇題（共13小題）1. （2010?雅安）如圖，直線I過等腰直角三角形 ABC頂點B , A、C兩點到直線I的距離分別是2和3，貝U AB的 長是（）A . 5B 幾C.D.I：'；2. （2007?玉溪）如圖，AE丄AB且AE=AB , BC丄CD且BC=CD，請按照圖中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計算圖中實線所圍 成的圖形的面積S是（ ）C. 65D . 683. （2012?郯城縣一模）如圖，已知直線I1/I2/14,相鄰兩條平行直線間的距離都是1,如果正方形 ABCD的四個頂點分別在四條直線上，則cos爐（）A .",B. VsC.11D . 1*

2、4. 如圖，有三條相互平行的直線，一塊等腰直角三角板的一直角邊與最上面的直線重合.然后繞直角頂點順時針旋轉(zhuǎn)30°恰好B點在中間的一條直線上，A點在下面的一條直線上.上、中兩平行線間的距離是m,中、下兩平行線間的距離是n,那么n: m等于（）A . VS 1B.（丘-1） : 1C.（血+1） : 1D . 2 :訴5. 如圖，在直線L上依次擺放著七個正方形，已知斜放置的三個正方形的面積分別為 方形的面積依次是 &、S2、S3、S4,則S1+2S2+2S3+S4=（）1、3、3.5，正放置的四個正6. 如圖， ABC是等腰直角三角形， DE過直角頂點 A，/ D= / E=90

3、 °則下列結(jié)論正確的個數(shù)有（） CD=AE ； / 1 = / 2; / 3=/ 4; AD=BE .A . 1個B . 2個C . 3個D . 4個7. 如圖所示， AB丄BC, CD丄BC,垂足分別為 B、C, AB=BC , E為BC的中點，且 AE丄BD于F,若CD=4cm , 則AB的長度為（ ）B. 8cmC. 9 cmD . 10cm& （2012?樂山）如圖，在 ABC中，/ C=90° AC=BC=4 , D是AB的中點，點 E、F分別在 AC、BC邊上運動（點E不與點A、C重合），且保持AE=CF，連接DE、DF、EF.在此運動變化的過程中，有下

4、列結(jié)論： DFE是等腰直角三角形； 四邊形CEDF不可能為正方形； 四邊形CEDF的面積隨點E位置的改變而發(fā)生變化； 點C到線段EF的最大距離為'：.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（A . 1個B . 2個C . 3個D . 4個9. （2013?拱墅區(qū)一模）如圖，在 ABC中，已知/ C=90 ° AC=BC=4 , D是AB的中點，點 E、F分別在 AC、BC 邊上運動（點 E不與點A、C重合），且保持AE=CF，連接DE、DF、EF.在此運動變化的過程中，有下列結(jié)論：四邊形CEDF有可能成為正方形； DFE是等腰直角三角形；四邊形CEDF的面積是定值；點C到線段EF的最大距離為

5、匚.其中正確的結(jié)論是（）A .B .C.D .AC11. 兩個全等含30° 60。角的三角板ADE與三角板ABC按如圖所示放置, BD，取BD的中點M，分別連接 ME、MC，那么/ MEC等于（）E、A、C三點在同一條直線上，連接60°C. 45°D . 80°10. 在直角三角形 ABC中，/ C=90 ° BC=2，以AB為邊作正方形 ABDE，連接AD、BE交O, CO=2，則 的長為（）12. （2006?荷澤）如圖，D ABC 的 AB 邊上的一點，/ DCA= / B,若 AC=；汕cm, AB=3cm ,貝U AD 的長為（C.

6、2 cm13. 如圖，正方形 ABCD的邊長為25,內(nèi)部有6個全等的正方形，小正方形的頂點E、F、G、H分別落在邊 AD、AB、BC、CD上，則每個小正方形的邊長為（）DHCA . 6D - "J二填空題（共4小題）14. （ 2012?綏化）如圖所示，直線a經(jīng)過正方形 ABCD的頂點A，分別過正方形的頂點 B、D作BF丄a于點F, DE丄a 于點E,若DE=8 , BF=5，則EF的長為 _.15. （2010?攀枝花）如圖所示，在 ABC中，AB=AC=2，/ BAC=90 °直角/ EPF的頂點P是BC的中點，兩邊PE, PF分別交AB , AC于點E, F,給出以下

7、四個結(jié)論：BE=AF ,Sepf的最小值為_,tan/ PEF=，,23S四邊形AEPF=1,當(dāng)/ EPF在厶ABC內(nèi)繞頂點P旋轉(zhuǎn)時（點E不與A , B重合），上述結(jié)論始終正確是 16. （2013?昆都侖區(qū)一模）如圖所示，在 ABC中，/ C=90 ° AC=BC=4 , D是AB的中點，點 E、F分別在AC、BC邊上運動（點E不與點A , C重合），且保持AE=CF，連接DE , DF, EF.在此運動變化過程中，有下列結(jié)論： DEF是等腰直角三角形 四邊形CEDF不可能為正方形 四邊形CEDF的面積隨點E位置的改變而發(fā)生變化 點C到線段EF的最大距離為:其中正確的有 （填上你認(rèn)

8、為正確結(jié)論的所有序號）17. 如圖，Rt ABC 中，AC=BC , / ACB=90 °CF 交 AB 于 E,BD 丄 CF, AF 丄CF ,DF=5 ,AF=3 ,則 CF=三.解答題（共6小題）18. （2013?東營）（1）如圖（1）,已知：在 ABC中，/ BAC=90 ° AB=AC，直線 m經(jīng)過點 A , BD丄直線 m, CE丄直線m,垂足分別為點 D、E.證明：DE=BD+CE .中的條件改為：在 ABC中，AB=AC , D、A、E三點都在直線 m上，并且有a,其中a為任意銳角或鈍角.請問結(jié)論 DE=BD+CE是否成立？如成立，請你給出證明;（2）如

9、圖（2）,將（1）/ BDA= / AEC= / BAC=若不成立，請說明理由.3）, D、E是D、A、E三點所在直線 m上的兩動點（D、A、E三點互不重合），點F為BD、CE,若/ BDA= / AEC= / BAC，試判斷（3）拓展與應(yīng)用：如圖（ / BAC平分線上的一點，且 ABF和厶ACF均為等邊三角形，連接 DEF的形狀.5分；第（2）、（ 3）小題為選答題，其中，第（2） 如兩題都答，以第（2）小題評分.）19. （2005?揚州）小題滿分3分，第在厶ABC中，/ ACB=90 ° AC=BC，直線 MN經(jīng)過點 C,且AD丄MN于D, BE丄MN于E.（1）當(dāng)直線MN繞點

10、C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證： ADC CEB ; DE=AD+BE ;（2）當(dāng)直線（3）當(dāng)直線加以證明.（本題有3小題，第（1）小題為必答題，滿分（3）小題滿分6分，請從中任選1小題作答,MNMN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，求證: 繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，試問DE=AD - BE;DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系，并注意：第（2）、（ 3）小題你選答的是第 2小題.20. （2002?崇文區(qū)）已知：如圖，在 Rt ABC中, 上，且ED丄FD .求證：S四邊形edfc=<S abc t-i/ ACB=90 ° AC=BC , D 是 AB 的中點，E、F

11、分別在 AC、BC21. (2000?河南)如圖，在等腰 Rt ABC中，/ C=90 ° D是斜邊 AB上任一點，AE丄CD于E, BF丄CD交CD 的延長線于 F, CH丄AB于H，交AE于G,求證：BD=CG .22. 如圖，已知在 CDE中，/ DCE=90 ° CD=CE，直線 AB經(jīng)過點C, DA丄AB , EB丄AB，垂足分別為 A、B , 試說明AC=BE的理由.解：因為 DA丄AB , EB丄AB (已知)所以/ A= Z()因為/ DCA= / A+ / ADC ()即/ DCE+ / RCB= / A+ / ADC .又因為/ DCE=90 °

12、;所以/ = Z ECB .在厶ADC和 ECB中，rZA=ZB (已證)， (已證) (已證)V所以 ADC ECB ()所以 AC=BE ()23. 在 ABC 中，Z ACB=90 ° AC=BC，直線 MN 經(jīng)過點 C,且 AD 丄MN 于 D , BE丄 MN 于 E,(1) 當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，寫出(2) 當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，寫出DE、AD、BE具有的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；DE、AD、BE具有的數(shù)量關(guān)系，不必說明理由;2013年三垂直模型相關(guān)練習(xí)參考答案與試題解析一 選擇題（共13小題）1. （ 2010?雅安）如圖，直線I過等腰直角三角形

13、 ABC頂點B，A、C兩點到直線I的距離分別是2和3，貝U AB的 長是（）A . 5考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形.專題：計算題；壓軸題.分析： 由三角形ABC為等腰直角三角形，可得出 AB=BC，/ ABC為直角，可得出/ ABD與/ EBC互余，在直 角三角形ABD中，由兩銳角互余，利用等角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，及AB=BC ,利用AAS可得出三角形 ABD與三角形BEC全等，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等可得出BD=CE ,由CE=3得出BD=3，在直角三角形 ABD中，由AD=2 , BD=3，利用勾股定理即可求出 AB的長.解答：解：如圖所

14、示： ABC為等腰直角三角形， AB=BC，/ ABC=90 °/ ABD+ / CBE=90 °又 AD 丄 BD，/ ADB=90 °/ DAB+ / ABD=90 °/ CBE= / DAB ,在厶ABD和 BCE中，rZADB=ZBEC=90°' ZDAB=ZCBE ,lab=bc ABD BCE , BD=CE，又 CE=3 , BD=3 ,在 Rt ABD 中，AD=2 , BD=3 ,根據(jù)勾股定理得：AB2wb2 =屆.故選D點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，以及勾股定理，利用了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,

15、靈活運用全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.2. （2007?玉溪）如圖，AE丄AB且AE=AB , BC丄CD且BC=CD，請按照圖中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計算圖中實線所圍 成的圖形的面積S是（ ）考點：全等三角形的判定與性質(zhì).專題：壓軸題.分析：由AE丄AB , EF丄FH , BG丄AG，可以得到/ EAF= / ABG，而 AE=AB，/ EFA= / AGB，由此可以證明 EFA ABG ,所以 AF=BG , AG=EF ;同理證得 BGCDHC , GC=DH , CH=BG .故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16 ，然后利用面積的割補法和面積公式即可求出圖形的面積.C

16、. 65D . 68解答： 解：AE 丄 AB 且 AE=AB , EF丄 FH , BG 丄 FH? / EAB= / EFA= / BGA=90 °/ EAF+ / BAG=90 ° / ABG+ / BAG=90 ° / EAF= / ABG , AE=AB，/ EFA= / AGB，/ EAF= / ABG ? EFA ABG AF=BG , AG=EF .同理證得 BGCDHC 得 GC=DH , CH=BG .故 FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16故 S=(6+4) X16 - 3 >4 - 6X3=50.2故選A.點評：本題考查

17、的是全等三角形的判定的相關(guān)知識作輔助線是本題的關(guān)鍵.3. （2012?郯城縣一模）如圖，已知直線11 12 13 14,相鄰兩條平行直線間的距離都是1,如果正方形 ABCD的四個頂點分別在四條直線上，則cos爐（）A . hB.!C. . !D . 152|冋考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；銳角三角函數(shù)的定義.分析： 過點D作DE丄11于點E并反向延長交14于點F,根據(jù)同角的余角相等求出/a / CDF ,根據(jù)正方形的每條邊都相等可得 AD=DC，然后利用 AAS ”證明 ADE和厶DCF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得 DF=AE ,再利用勾股定理列式求出 AD的長度，然后根據(jù)銳角

18、的余弦值等于鄰邊比斜邊列式計算即可得解.解答： 解：如圖，過點 D作DE丄h于點E并反向延長交14于點F,在正方形 ABCD 中，AD=DC，/ ADC=90 °/ a / ADE=90 ° / ADE+ / CDF=180 °- 90°=90°/ a / CDF,rZct=ZCDF在厶ADE 和厶 DCF 中，/怔D二ZDFC=90解答： 解：過 A作AD丄CE,交CE于點D，過B作BE丄CE ,交DC于點E, / ADC= / CEB=90 °又 ABC為等腰直角三角形， / ACB=90 ° AC=BC , / ACD

19、+ / BCE=90 ° 又/ BCE=30 ° / ACD= / EBC=60 ° ,在厶ACD和 CBE中， ，AD=DC ADE DCF （AAS ）, DF=AE ,相鄰兩條平行直線間的距離都是1, DE=1，AE=2，根據(jù)勾股定理得，AD= I：',卜=八=,.：；二，所以，cos爐=三=二AD V5 5故選A.點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，銳角三角形函數(shù)的定義，作輔助線，構(gòu)造出全等三 角形以及/ a所在的直角三角形是解題的關(guān)鍵.4. 如圖，有三條相互平行的直線，一塊等腰直角三角板的一直角邊與最上面的直線重合.然后繞直角頂

20、點順時針旋轉(zhuǎn)30°恰好B點在中間的一條直線上，A點在下面的一條直線上.上、中兩平行線間的距離是m,中、下兩平行線間的距離是n,那么n: m等于（）AA .1B.（丘-1） : 1C.（血+1） : 1D . 2: V3考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；解直角三角形.專題：計算題.分析： 過A作AD丄CE,交CE于點D，過B作BE丄CE,交DC于點E,可得出一對直角相等， 再由三角形 ABC 為等腰直角三角形，得到 AC=BC，/ ACB=90 °利用平角的定義得到一對角互余，利用同角的余角相等得 到一對角相等，利用 AAS得到三角形ADC與三角形CEB全等，由全

21、等三角形的性質(zhì)得到CE=AD，而AD=m+n ,可得出CE=m+n ,在直角三角形 CBE中，禾U用30°角所對的直角邊等于斜邊的一半得到BC=2m ,利用勾股定理列出 m與n的關(guān)系式，整理后即可求出n: m的值.fZADC-ZCEB-90c二 ZdMCBE二© ，lac=cb ACD CBE （AAS ）,/ AD=CE=m+n ,又在 Rt BEC 中，/ BCE=30 ° BE=m , CB=2EB=2m ,2 2 2 2 2 2利用勾股定理得：BC =CE +BE，即（2m）整理得：n2+2mn - 2m2=0,方程兩邊同時除以 m2,得（）2+2?）-

22、2=0 ,ITIT解得：=7- 1或'=-7- 1 （舍去），rrit則 n： m=（屯-1）: 1.故選BD CEA點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，含30。直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，以及解直角三角形，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.5. 如圖，在直線L上依次擺放著七個正方形，已知斜放置的三個正方形的面積分別為1、3、3.5,正放置的四個正方形的面積依次是 S|、S2、S3、S4,則 S+2S2+2S3+S4=()/ / 3/ /SjX/s浚A . 7.5B . 6.5C . 4.5D . 4考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；正方形的性質(zhì).專題：計算題.分

23、析：先根據(jù)正方形的性質(zhì)得到/ABD=90 °AB=DB，再根據(jù)等角的余角相等得到/CAB= / DBE，則可根據(jù) AAS ”2 2 2 2 2 2判斷 ABC BDE，于是有AC=BE，然后利用勾股定理得到 DE +BE =BD，代換后有 DE +AC =BD , 根據(jù)正方形的面積公式得到S1=AC , S2=DE , BD =1，所以S1+S占1，利用同樣方法可得到 S2+S3=3,S3+S4=3.5，通過計算可得到 S1 +2 S2+2 S3+S4=1+3+3.5=7.5 .解答：解：如圖，圖中的四邊形為正方形，/ ABD=90 ° AB=DB ,/ ABC+ / DB

24、E=90 °/ ABC+ / CAB=90 °/ CAB= / DBE ,在 ABC 和 BDE 中，rZACB=ZBED-ZCAB=ZEBD,lab=bd ABC BDE (AAS ), AC=BE ,222-DE +BE =BD ,222- DE +AC =BD ,2 2 2T S仁AC , S2=DE , BD =1 , 二 S1+S2=1 ,同理可得 S2+S3=3, S3+S4=3.5, - Si+2S2+2S3+S4=1+3+3.5=7.5 .點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有SSS”、 SAS”、ASA ”、AAS ”；全等三角形的

25、對應(yīng)邊相等.也考查了勾股定理和正方形的性質(zhì).6. 如圖， ABC是等腰直角三角形，DE過直角頂點 A，/ D= / E=90 °則下列結(jié)論正確的個數(shù)有（） CD=AE ; / 1 = / 2; / 3=7 4; AD=BE .A . 1個B . 2個C . 3個D . 4個考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形.專題：推理填空題.分析：根等；艮據(jù)直角三角形的性質(zhì)推出72= 7 3,然后利用AAS證明 ABE和厶CAD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相尋，全等三角形對應(yīng)角相等即可對各小題進行判斷.解答：解在故所故眸：/ D=90 °7 1 + 7 3=90° ABC

26、是等腰直角三角形， A為直角頂點，7 1 + 7 2=180 ° - 90°90 ° AB=AC ,7 2= 7 3,& ABE和厶CAD中，fZ2=Z3ZD=ZE=90',.AB 二 AC ABE CAD (AAS ), CD=AE , AD=BE , 7 1 = 7 4,枚小題正確，小題錯誤， 小題錯誤， 小題正確， 斤以結(jié)論正確的有共2個.枚選B .點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形直角邊相等的性質(zhì)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到7 2= 7 3是證明三角形全等的關(guān)鍵，也是解題的突破口.7. 如圖所示， AB丄BC, CD丄BC

27、,垂足分別為 B、C, AB=BC , E為BC的中點，且 AE丄BD于F,若CD=4cm , 則AB的長度為（ ）B. 8cmC. 9 cmD. 10cm考點：全等三角形的判定與性質(zhì).分析：運用等角的余角相等，得出/A= / BFE ,從而得到，AABE BCD，易求.解答： 解：AB丄BC, CD丄BC ,/ ABC= / ACD=90 °/ AEB+ / A=90 °/ AE 丄 BD/ BFE=90 °/ AEB+ / FBE=90 °/ A= / BFE ,又 AB=BC , ABE BCD , BE=CD=4cm , AB=BC E為BC的中

28、點 AB=BC=2BE=8cm .故選B .點評：本題綜合運用了等角的余角相等，三角形全等的判定，性質(zhì)等知識需注意當(dāng)題中出現(xiàn)兩個或兩個以上垂 直時，一般要從中找到一對相等的角.& （2012?樂山）如圖，在 ABC中，/ C=90°, AC=BC=4 , D是AB的中點，點 E、F分別在 AC、BC邊上運動（點E不與點A、C重合），且保持AE=CF，連接DE、DF、EF.在此運動變化的過程中，有下列結(jié)論： DFE是等腰直角三角形； 四邊形CEDF不可能為正方形； 四邊形CEDF的面積隨點E位置的改變而發(fā)生變化； 點C到線段EF的最大距離為'：.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（A

29、 .-1個B.2個C.3個D .4個考點:全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形.專題:壓軸題.分析： 作常規(guī)輔助線連接 CD，由SAS定理可證 CDF和厶ADE全等，從而可證/ EDF=90 ° DE=DF .所以 DFE 是等腰直角三角形； 當(dāng)E為AC中點，F(xiàn)為BC中點時，四邊形 CEDF為正方形； 由割補法可知四邊形 CEDF的面積保持不變； DEF是等腰直角三角形， 譏DE=EF，當(dāng)DF與BC垂直，即DF最小時，F(xiàn)E取最小值2,此時點C到線段EF的最大距離.解答：解：連接CD ； ABC是等腰直角三角形，/ DCB= / A=45 ° CD=AD=DB ;/ AE=

30、CF , ADE CDF ; ED=DF，/ CDF= / EDA ;/ ADE+ / EDC=90 °/ EDC+ / CDF= / EDF=90 ° DFE是等腰直角三角形.故此選項正確;當(dāng)E、F分別為AC、BC中點時，四邊形 CDFE是正方形,故此選項錯誤;如圖2所示，分別過點 D,作DM丄AC , DN丄BC,于點 可以利用割補法可知四邊形 CEDF的面積等于正方形 CMDNM , N,面積，故面積保持不變；故此選項錯誤; DEF是等腰直角三角形，.：DE=EF ,當(dāng) EF/ AB 時，T AE=CF , E, F分別是 AC , BC的中點，故 EF是厶ABC的中

31、位線, EF取最小值十=2 I： CE=CF=2，此時點C到線段EF的最大距離為，EF=.故此選項正2確；故正確的有故選：B.2個,DB點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及正方形、等腰三角形、直角三角形性質(zhì)等知識，根據(jù)圖形利 用割補法可知四邊形 CEDF的面積等于正方形 CMDN面積是解題關(guān)鍵.9. （2013?拱墅區(qū)一模）如圖，在 ABC中，已知/ C=90 ° AC=BC=4 , D是AB的中點，點 E、F分別在 AC、BC 邊上運動（點 E不與點A、C重合），且保持AE=CF，連接DE、DF、EF.在此運動變化的過程中，有下列結(jié)論： 四邊形CEDF有可能成為正方形；

32、DFE是等腰直角三角形；四邊形CEDF的面積是定值；點C到線段EF的最大距離為 匚其中正確的結(jié)論是（）A .B .C .D .考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形.分析： 當(dāng)E為AC中點，F(xiàn)為BC中點時，四邊形 CEDF為正方形； 作常規(guī)輔助線連接 CD，由SAS定理可證 CDF和 ADE全等，從而可證/ EDF=90 ° DE=DF .所以 DFE 是等腰直角三角形； 由 ADE CDF，就有Sade=SaCdf，再通過等量代換就可以求出結(jié)論； DEF是等腰直角三角形， V2DE=EF，當(dāng)DF與BC垂直，即DF最小時，F(xiàn)E取最小值 血，此時點C 至U線段EF的最大距離.解答

33、： 解：當(dāng)E、F分別為AC、BC中點時，四邊形 CDFE是正方形，故此選項正確；連接CD ； ABC是等腰直角三角形，/ DCB= / A=45 ° CD=AD=DB ；在 ADE 和 CDF 中，rAE=CF-ZA=ZDCF.AD二CD ADE CDF ( SAS )； ED=DF，/ CDF= / EDA ；/ ADE+ / EDC=90 °/ EDC+ / CDF= / EDF=90 ° DFE是等腰直角三角形.故此選項正確；/ ADE CDF ,SAADE=S CDF .S 四邊形 cedf=Sa ced+Sacfd,S 四邊形 cedf=Sa ced+S

34、aaed ,S 四邊形 cedf=S adc .四邊形CEDF的面積是定值4,故本選項正確； DEF是等腰直角三角形，'：DE=EF ,當(dāng) EF/ AB 時，T AE=CF , E, F分別是 AC , BC的中點，故 EF是厶ABC的中位線， EF取最小值=二，/ CE=CF=2 ,此時點C到線段EF的最大距離為EF=“J:故此選項正確.2故選D.交 O, CO= T：，貝U AC點評：本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及正方形、等腰三角形、直角三角形性質(zhì)等知識，根據(jù)圖形利 用割補法可知四邊形 CEDF的面積等于正方形 CMDN面積是解題關(guān)鍵.10. 在直角三角形 ABC中，/

35、C=90 ° BC=2，以AB為邊作正方形 ABDE，連接AD、BE 的長為()3考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；正方形的判定與性質(zhì).專題：數(shù)牧形結(jié)合.分析：延分匡長CB過點D作CB延長線的垂線，交點為 F,過點0作OM丄CF，先證明RT ACB也RT BFD，然后 分別表示出OM、CM的長度，在RTAOCM中利用勾股定理可得出答案.D.:解答：解：延長CB過點D作CB延長線的垂線，交點為 則可得0M是梯形ACFD的中位線，F(xiàn),過點0作0M丄CF,/ ABC+ / FBD= / CAB+ / ABC=90 °/ CAB= / FBD ,在 RTA ACB 和 RT

36、BFD 中，rAB=BDZCffi=ZFBD,lZACB=ZBFD RT ACB 也 RT BFD , AC=BF , BC=DF ,設(shè) Ag，則 0M=f CM=匚,2 2 2 - 2在 RTA OCM 中，OM +CM =OC，即 2 (*g)=18,2解得：x=4，即AC的長度為4.故選C.點評：此題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、梯形的中位線定理、全等三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是 正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形，難度較大.11. 兩個全等含30° 60。角的三角板ADE與三角板ABC按如圖所示放置，E、A、C三點在同一條直線上，連接 BD，取BD的中點M，分別連接 ME

37、、MC，那么/ MEC等于()考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；梯形中位線定理.專題：:計算題.分析：jL 1連結(jié)AM，利用三角形 ADE與三角形ABC是兩個全等含 30 ° 60°角的三角板得到/ 2= / 3=60 ° AD=AB ,Z EAD=30 ° DE=AC，易得 DAB為等腰直角三角形，則 AM丄BD，/ 1=45 ° / 4=45°貝UZ EDM= Z CAM=45 °+60°=105°,由 M 點為 BD 的中點，AM=DM=BM ，于是可根據(jù) SAS”判斷 DEM ACM

38、,所以 ME=MC , Z 6= Z 5,由于Z AMD=90 ° 即Z 6+ Z EMA=90 ° 得到Z 5+ Z EMA=90 ° 即Z EMC=90 °可判斷 MEC為等腰直角三角形，根據(jù)等呀漚珠槿艷三角形的性質(zhì)即可得到ZMEC=45 °C. 45D . 80°解答：解：連結(jié)AM，如圖，三角形ADE與三角形ABC是兩個全等含 30° 60°角的三角板,/ 2= / 3=60°, AD=AB，/ EAD=30 °, DE=AC ,/ DAB=90 ° DAB為等腰直角三角形， A

39、M 丄 BD，/ 仁45 ° / 4=45 °/ EDM= / CAM=45 °+60°=105 ° M點為BD的中點， AM=DM=BM ,在厶DEM和厶ACM中rDE=AC-ZEDMZCAM ,tDM=AM DEM ACM ( SAS), ME=MC，/ 6= / 5,/ AMD=90。，即/ 6+ / EMA=90 °/ 5+ / EMA=90。，即/ EMC=90 ° MEC為等腰直角三角形，/ MEC=45 °12. (2006?荷澤)如圖，D ABC 的 AB 邊上的一點，/ DCA= / B,若 AC

40、=J?cm, AB=3cm ,貝U AD 的長為()故選C.A .二mB. 1cmC.2 cmD.5232BC考點：相似三角形的判定與性質(zhì).分析：先先判斷 ADC與厶ACB相似，再利用相似三角形對應(yīng)邊成比例求解即可.解答：解: / A= / A , / DCA= / B , ADCACB , AD : AC=AC : AB,丁 AC= . ym, AB=3cm , AD:空疋:3 ,解得 AD=2cm .故選C.點評：此題主要考查相似三角形的判定及性質(zhì).E、F、G、H分別落在邊 AD、A . 6考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；正方形的性質(zhì).專題：丿玉軸題.分析：3如圖，過點G作GP丄A

41、D ,垂足為P ,可以得到 BGFPGE ,再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)列式求解即可得到 DE和BG,根據(jù)勾股定理可求 EG的長，進而求出每個小正方形的邊長.C.7解答：解：如圖所示:13. 如圖，正方形 ABCD的邊長為25,內(nèi)部有6個全等的正方形，小正方形的頂點 AB、BC、CD上，則每個小正方形的邊長為（）正方形 ABCD邊長為25 ,/ A= / B=90 ° AB=25 ,過點G作GP丄AD，垂足為P,則/ 4=/5=90 °四邊形APGB是矩形，/ 2+ / 3=90° PG=AB=10 ,T六個大小完全一樣的小正方形如圖放置在大正方形中,/ 1

42、 + / 2=90°/ 1 = / FGB , BGFPGE , 一一両阪，.BG 1丟爲(wèi)， GB=5 . AP=5 .同理DE=5 . PE=AD - AP - DE=15 , E8| 7-匚一二巧-，I小正方形的邊長為:匕故選D.4-15HC0本題主要考查了利用相似三角形的判定和相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)和勾股定理，綜合性較強，正確 的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.二填空題（共4小題）14. （ 2012?綏化）如圖所示，直線a經(jīng)過正方形 ABCD的頂點A，分別過正方形的頂點 B、D作BF丄a于點F, DE丄a 于點E,若DE=8 , BF=5，則EF的長為 13.EDBC考點全等三

43、角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì).專題壓軸題.分析:根據(jù)正方形的性質(zhì)、直角三角形兩個銳角互余以及等量代換可以證得 的對應(yīng)邊相等推知 AF=DE、BF=AE，所以EF=AF+AE=13 . AFB AED ;然后由全等三角形解答： 解：T ABCD是正方形（已知）， AB=AD，/ ABC= / BAD=90 ° 又/ FAB+ / FBA= / FAB+ / EAD=90 °/ FBA= / EAD （等量代換）； BF丄a于點F, DE丄a于點E,在 Rt AFB 和 Rt AED 中，fZAFB=ZDEA=90° - ZFBA=ZEAD.AB二DA AFB AE

44、D （AAS ）, AF=DE=8 , BF=AE=5 （全等三角形的對應(yīng)邊相等）， EF=AF+AE=DE+BF=8+5=13.故答案為：13.EF的長度轉(zhuǎn)化為與已知長度的線段點評：本題考查了全等三角形的判定、正方形的性質(zhì)實際上，此題就是將DE和BF數(shù)量關(guān)系.15. （2010?攀枝花）如圖所示，在 ABC中，AB=AC=2，/ BAC=90 °直角/ EPF的頂點P是BC的中點，兩邊PE, PF分別交AB , AC于點E, F,給出以下四個結(jié)論：BE=AF ,Saepf的最小值為 ，tan/ PEF='23s四邊形AEPF=1,當(dāng)/ EPF在厶ABC內(nèi)繞頂點P旋轉(zhuǎn)時（點E

45、不與A , B重合），上述結(jié)論始終正確是 考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義.專題：綜合題；壓軸題.分析：根據(jù)全等三角形的判定和等腰三角形的性質(zhì)，對題中選項一一證明，得出正確結(jié)果. 解答：解：連接PA./ AB=AC , / BAC=90 ° P 是 BC 的中點， PA=PC,/ APC=90 ° / PAE= / PCF=45°/ FPE=/APC=90 °/ CPF=/ APE./ PA=PC,/ PAE= / PCF , cfpa aep . AE=CF./ AB - AE=AC - CF, BE=AF，故始終正確

46、；/ cfpa aep , PE=PF./ EPF=90° EPF為等腰直角三角形./ PEF=45° tan/PEF=1，故 錯誤；/ PA=BP，/ B= / PAF, BE=AF , EBP PAF .T SAEBP+SaAEP+S PAF+SaCFP=SaABC , SAAEP+SaPAF=S 四邊形 AEPF- S 四邊形 AEPF=gsA ABC=g （ 2 >2 吃）=1，故正確； Saepf的最小值為 寺故正確；/ EP+BE > BP , BP=AP=CP , BP > EP.以P點為圓心，EP為半徑的圓不會與 A、B、C三點相交，即點

47、E不會與A、B重合.故 正確. 故選.點評：本題把全等三角形的判定和等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合求解.綜合性強，難度較大.考查學(xué)生綜合運用數(shù)學(xué)知識的能力.16. （2013?昆都侖區(qū)一模）如圖所示，在 ABC中，/ C=90 ° AC=BC=4 , D是AB的中點，點 E、F分別在AC、 BC邊上運動（點E不與點A，C重合），且保持AE=CF，連接DE，DF，EF.在此運動變化過程中，有下列結(jié)論： DEF是等腰直角三角形 四邊形CEDF不可能為正方形 四邊形CEDF的面積隨點E位置的改變而發(fā)生變化 點C到線段EF的最大距離為 匚其中正確的有 （填上你認(rèn)為正確結(jié)論的所有序號）考點：全等三角形的

48、判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；正方形的判定.分析： 作常規(guī)輔助線連接 CD，由SAS定理可證 CDF和厶ADE全等，從而可證/ EDF=90 ° DE=DF .所以 DFE 是等腰直角三角形； 當(dāng)E為AC中點，F(xiàn)為BC中點時，四邊形 CEDF為正方形； 由割補法可知四邊形 CEDF的面積保持不變； DEF是等腰直角三角形， V2DE=EF，當(dāng)DF與BC垂直，即DF最小時，F(xiàn)E取最小值2、應(yīng)，此時點C 至U線段EF的最大距離.解答：解：連接CD ； ABC是等腰直角三角形，/ DCB= / A=45 ° CD=AD=DB ；/ AE=CF , ADE CDF ； ED=DF，/

49、 CDF= / EDA ；/ ADE+ / EDC=90 °/ EDC+ / CDF= / EDF=90 ° DFE是等腰直角三角形.故此選項正確； 當(dāng)E、F分別為AC、BC中點時，四邊形 CDFE是正方形，故此選項錯誤； 如圖2所示，分別過點 D,作DM丄AC , DN丄BC,于點M , N ,可以利用割補法可知四邊形 CEDF的面積等于正方形 CMDN面積，故面積保持不變；故此選項錯誤； DEF是等腰直角三角形，譏DE=EF ,當(dāng) EF/ AB 時，T AE=CF , E, F分別是 AC , BC的中點，故 EF是厶ABC的中位線， EF取最小值 p+2?=2譏,/

50、CE=CF=2 ,此時點C到線段EF的最大距離為 £eF=UE 故此選項正確；故正確的有.故答案為：點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及正方形、等腰三角形、直角三角形性質(zhì)等知識，根據(jù)圖形利 用割補法可知四邊形 CEDF的面積等于正方形 CMDN面積是解題關(guān)鍵.17. 如圖，Rt ABC 中，AC=BC，/ ACB=90 ° CF 交 AB 于 E, BD 丄 CF, AF 丄 CF, DF=5 , AF=3，貝U CF= 8考點：全等三角形的判定與性質(zhì).分析： 根據(jù)全等三角形的判定定理ASA證得 AFC CDB，然后由全等三角形的對應(yīng)邊CD=AF，從而求得CF=A

51、F+DF=5+3=8 .解答： 解：T BD 丄 CF,Z ACB=90 ° AF 丄 CF,/ DCB+ / DBC= / DCB+ / ACF=90 °,/ DBC= / ACF ;/ CAF= / BCD （等角的余角相等）；在厶AFC和厶CDB中，rZCAF=ZBCD-AOBg （已知），lzacf=zdbc AFC CDB （ASA ）, CD=AF=3 , CF=CD+DF=3+5=8 .故答案是：8.點評： 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì).判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS .注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三

52、角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等 時，角必須是兩邊的夾角.三.解答題（共6小題）18. （2013?東營）（1）如圖（1）,已知：在 ABC中，/ BAC=90 ° AB=AC，直線 m經(jīng)過點 A , BD丄直線 m, CE丄直線m,垂足分別為點 D、E.證明：DE=BD+CE .（2） 如圖（2）,將（1）中的條件改為：在 ABC中，AB=AC , D、A、E三點都在直線 m上，并且有/ BDA= / AEC= / BAC= a,其中a為任意銳角或鈍角.請問結(jié)論 DE=BD+CE是否成立？如成立，請你給出證明； 若不成立，請說明理由.（3） 拓展與應(yīng)用：如圖（3）,

53、 D、E是D、A、E三點所在直線 m上的兩動點（D、A、E三點互不重合），點F為 / BAC平分線上的一點，且 ABF和厶ACF均為等邊三角形，連接 BD、CE ,若/ BDA= / AEC= / BAC，試判斷 DEF的形狀.(SO考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定.專題：丿玉軸題.分析：(1) 根據(jù)BD丄直線m , CE丄直線m得/ BDA= / CEA=90 ° °而/ BAC=90 ° °根據(jù)等角的余角相等得/ CAE= / ABD ,然后根據(jù) AAS ”可判斷 ADBCEA ,則 AE=BD , AD=CE ,于是 DE=AE+AD=BD+CE ;(2) 與(1)的證明方法一樣；(3) 與前面的結(jié)論得到 ADB CEA ,則BD=AE , / DBA= / CAE ,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得/ ABF= / CAF=60 ° 則/ DBA+ / ABF= / CAE+ / CAF ,則/ DBF= / FAE ,利用 SAS”可判斷 DBF EAF ,所以 DF=EF , / BFD= / AFE ,于是/ DFE= / DFA+ / AFE= / DFA+ / BFD=60 ° °根據(jù)等邊三角形的判定方法可得到 DEF為等邊三角形.解答：證明：(1 )T BD丄直線m, CE丄直線m,