北京市高考數(shù)學(xué)試卷理科解析講解

1、2021年北京市高考數(shù)學(xué)試卷理科一、選擇題共8小題，每題5分，共40分在每題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合 題目要求的一項(xiàng).1. 5 分2021?北京集合 A=x|x| V 2 , B=- 1, 0, 1, 2, 3，那么 AH B=A. 0 , 1 B. 0 , 1, 2 C. - 1, 0, 1D. - 1, 0, 1, 22. 5分2021?北京假設(shè)x, y滿足，丈+応3 ，那么2x+y的最大值為A. 0 B. 3C. 4D. 53. 5分2021?北京執(zhí)行如下圖的程序框圖，假設(shè)輸入的a值為1,那么輸出的k值 為 A. 1 B. 2C. 3D. 44. 5分2021?北京設(shè)；，是向量，貝那么

2、“| |=|同是“| 麗|同-b 的A.C.5.A.充分而不必要條件 充分必要條件 丨5分2021?北京B . sinx - siny > 0 C .匸6.丄-丄0* y 5分A.B.2021?北京13B.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件x, y R,且 x>y>0,那么1 yv 0D. lnx+lny > 0某三棱錐的三視圖如下圖，那么該三棱錐的體積為D. 17.5 分2021?北京將函數(shù)y=sin 2x-'圖象上的點(diǎn)P, t 向左平移sJT3A.C.s> 0個單位長度得到點(diǎn) t=g, s的最小值為 t=2, s的最小值為271B. t=:，：；

3、6I271D. t=：32P'T,s的最小值為4|',假設(shè)P'位于函數(shù)y=sin2x的圖象上，貝U,s的最小值為8. 5分2021?北京袋中裝有偶數(shù)個球，其中紅球、黑球各占一半.甲、乙、丙是 三個空盒.每次從袋中任意取出兩個球，將其中一個球放入甲盒，如果這個球是紅球， 就將另一個放入乙盒，否那么就放入丙盒.重復(fù)上述過程，直到袋中所有球都被放入盒中，那么A. 乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B. 乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多C. 乙盒中紅球不多于丙盒中紅球D. 乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多 二、填空題共6小題，每題5分，共30分.9. 5分2021?北京設(shè)a R,假設(shè)復(fù)數(shù)1+i

4、 a+i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上，貝U a=.10. 5分2021?北京在1- 2x 6的展開式中，x2的系數(shù)為.用數(shù) 字作答11. 5分2021?北京在極坐標(biāo)系中，直線p cosB-旳p sin 9- 1=0與圓p =2cos 9交于A, B兩點(diǎn)，那么|AB|=12. 5分2021?北京an為等差數(shù)列,S為其前n項(xiàng)和.假設(shè)a1=6，a3+as=0, 那么 Ss=.13. 5分2021?北京雙曲線a>0, b>0的漸近線為正方形 OABC勺邊OA OC所在的直線，點(diǎn)B為該雙曲線的焦點(diǎn).假設(shè)正方形 OABC勺邊長為2,那么 a=.14. 5分2021?北京設(shè)函數(shù)f x= 假設(shè)a=

5、0,那么f x的最大值為 假設(shè)f x無最大值，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是.三、解答題共6小題，共80分，解容許寫出文字說明，演算步驟或證明過程.15. 13 分2021?北京在厶 ABC中, a2+c2=b2+ :ac.I求/B的大?。籙求 tcosA+cosC的最大值.16. 13分2021?北京A, B, C三個班共有100名學(xué)生，為調(diào)查他們的體育鍛煉情 況，通過分層抽樣獲得了局部學(xué)生一周的鍛煉時間，數(shù)據(jù)如表單位：小時 ：A班678B班6789101112C班36912I試估計C班的學(xué)生人數(shù)；U從A班和C班抽出的學(xué)生中，各隨機(jī)選取一個人， A班選出的人記為甲，C班選 出的人記為乙.假設(shè)所有學(xué)生

6、的鍛煉時間相對獨(dú)立，求該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉 時間長的概率；川再從A, B, C三班中各隨機(jī)抽取一名學(xué)生，他們該周鍛煉時間分別是7, 9,單位：小時，這3個新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記為卩1,表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為 卩o,試判斷卩0和卩1的大小.結(jié)論不要求證明17. 14 分2021?北京如圖，在四棱錐 P- ABCDK 平面 PADL平面 ABCD PALPD, PA=PD AB丄AC, AB=1, AD=2 AC=CD拓.l求證：PDL平面PABU求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；m在棱PA上是否存在點(diǎn)M使得BM/平面PCD假設(shè)存在，求馬的值，假設(shè)不存在，說明理由.1

7、8. 13 分2021?北京設(shè)函數(shù) f x =xea-x+bx，曲線 y=f x在點(diǎn)2, f 2 處的切線方程為y= e- 1 x+4,I求a, b的值；U求f x的單調(diào)區(qū)間.19. 14分2021?北京橢圓C:2X42 v2 ab2=1 a>0, b>0的離心率為A (a,0), B (0, b), O(0, 0), OAB的面積為 1.(I)求橢圓C的方程；(n)設(shè)P是橢圓C上一點(diǎn)，直線PA與y軸交于點(diǎn)M直線PB與 x軸交于點(diǎn)N.求證: |AN|?|BM| 為定值.20. (13分)(2021?北京)設(shè)數(shù)列 A: ai, a2,，aN (N>2).如果對小于 n (2&l

8、t;nWN) 的每個正整數(shù)k都有a«an,那么稱n是數(shù)列A的一個“G時刻，記G(A)是數(shù)列A 的所有“G時刻組成的集合.(I)對數(shù)列A：- 2, 2,- 1,1, 3,寫出G (A)的所有元素；(n)證明：假設(shè)數(shù)列A中存在an使得an>a,貝U G(A)工?;(川)證明：假設(shè)數(shù)列 A滿足an- an-1< 1 (n=2, 3,，N),那么G (A)的元素個數(shù)不小 于 aN- a1.2021年北京市高考數(shù)學(xué)試卷(理科)參考答案與試題解析一、選擇題共8小題，每題5分，共40分.在每題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合 題目要求的一項(xiàng).1. (5 分)(2021?北京)集合 A=x|x

9、| V 2 , B=- 1, 0, 1, 2, 3，那么 AH B=() A. 0 , 1 B. 0 , 1, 2 C. - 1, 0, 1 D. - 1, 0, 1, 2【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算.【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；集合.【分析】先求出集合A和B,由此利用交集的定義能求出 AH B.【解答】解：集合 A=x|x| V2=x| - 2VxV2,B=- 1, 0, 1, 2, 3, AH B=- 1, 0, 1.應(yīng)選：C.【點(diǎn)評】此題考查交集的求法，是根底題，解題時要認(rèn)真審題，注意交集定義的合理 運(yùn)用.2. (5分)(2021?北京)假設(shè)x, y滿足，丈+応3 ，那么2x+y的最大值為

10、()A. 0 B. 3 C. 4 D. 5【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃.【專題】計算題；規(guī)律型；數(shù)形結(jié)合；函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化思想.【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是直線的縱截距，利用 數(shù)形結(jié)合即可求z的取值范圍.【解答】解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：(陰影局部).工>0設(shè) z=2x+y 得 y= - 2x+z,平移直線y= - 2x+z,由圖象可知當(dāng)直線y= - 2x+z經(jīng)過點(diǎn)A時，直線y= - 2x+z的截距最大， 此時z最大.由F"°,解得佇，即A( 1, 2),代入目標(biāo)函數(shù)z=2x+y得z=1 X 2+2=4.即目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最大值為4.

11、應(yīng)選：C.【點(diǎn)評】此題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的 數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的根本方法.3. 5分2021?北京執(zhí)行如下圖的程序框圖，假設(shè)輸入的 a值為1,那么輸出的k值 為 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【考點(diǎn)】程序框圖.【專題】計算題；操作型；算法和程序框圖.【分析】根據(jù)的程序框圖可得，該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量S的值，模擬程序的運(yùn)行過程，可得答案.【解答】解：輸入的a值為1,那么b=1，第一次執(zhí)行循環(huán)體后，a=-*，不滿足退出循環(huán)的條件，k=1 ；第二次執(zhí)行循環(huán)體后，a=- 2,不滿足退出循環(huán)的條件，k=2；第三次執(zhí)行循環(huán)體后，a=1

12、，滿足退出循環(huán)的條件，故輸出的k值為2，應(yīng)選：B【點(diǎn)評】此題考查的知識點(diǎn)是程序框圖，當(dāng)循環(huán)次數(shù)不多，或有規(guī)律可循時，可采用 模擬程序法進(jìn)行解答.4. 5分2021?北京設(shè)，是向量，貝那么“| |=|同是“| |=3-b I的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【考點(diǎn)】充要條件；向量的模.【專題】轉(zhuǎn)化思想；平面向量及應(yīng)用；矩陣和變換.【分析】根據(jù)向量模相等的幾何意義，結(jié)合充要條件的定義，可得答案.【解答】解：假設(shè)“1|=| 4，那么以為鄰邊的平行四邊形是菱形；假設(shè)“I - |+卜=| I - I，| ，那么以I，i為鄰邊的平行四邊形是矩形；故“I -|

13、=|是“I +i，|=|仃| 的既不充分也不必要條件；應(yīng)選：D.【點(diǎn)評】此題考查的知識點(diǎn)是充要條件，向量的模，分析出“I i|=| M 與“I ：+'|=| I-b| 表示的幾何意義，是解答的關(guān)鍵.5. 5 分2021?北京 x，y R,且 x>y >0,貝UA.丄-2>0B. sinx - siny >0 C. 2 x-丄yv0 D. lnx+lny >0|x| y22【考點(diǎn)】不等關(guān)系與不等式.【專題】轉(zhuǎn)化思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式.【分析】x, y R,且x > y > 0 ,可得：二sinx與siny的大小關(guān)系不確定, x y,Inx

14、+lny與0的大小關(guān)系不確定，即可判斷出結(jié)論.【解答】解：Ix , y R,且x>y>0,貝貝!<丄x y,即I* x-丄y< 0 , Inx+lny與0的大小關(guān)系不確定.,sinx與siny的大小關(guān)系不確定,V -應(yīng)選：C.【點(diǎn)評】此題考查了不等式的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬 于中檔題.6. 5分2021?北京某三棱錐的三視圖如下圖，那么該三棱錐的體積為C.二 D. 12A.B.由三視圖求面積、體積.計算題；空間位置關(guān)系與距離；立體幾何.由中的三視圖可得：該幾何體是一個以俯視圖為底面的三棱錐，進(jìn)而可【考點(diǎn)】【專題】【分析】得答案.【解答】棱錐的底

15、面面積S x 1 x 1=_,2 2解：由中的三視圖可得：該幾何體是一個以俯視圖為底面的三棱錐,1高為1,故棱錐的體積應(yīng)選：A【點(diǎn)評】此題考查的知識點(diǎn)是由三視圖，求體積和外表積，根據(jù)的三視圖，判斷 幾何體的形狀是解答的關(guān)鍵.7. 5分2021?北京將函數(shù)s> 0個單位長度得到點(diǎn)A. t=g , s的最小值為C. t=g , s的最小值為【考點(diǎn)】【專題】【分析】JTT,假設(shè)P'位于函數(shù)y=sin2x的圖象上，貝Us的最小值為一丄6s的最小值為-丄3y=sin (2x -一丄71B. t=，：6271D. t=；32P'圖象上的點(diǎn)P ,t向左平移s函數(shù)y=Asin 3 x+&

16、#169; 的圖象變換. 轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).將x=代入得：t=-，進(jìn)而求出平移后P'的坐標(biāo)，進(jìn)而得到s的最小值.427T4JI7116 '1代入得：t=sin4圖象上的點(diǎn)P向左平移s個單位,-占 丿點(diǎn),假設(shè)P'位于函數(shù)y=sin2x的圖象上，【解答】解：將x=將函數(shù)y=sin (2x -s,貝U sin 丄-2s =cos2s=-,2 2貝 U 2s=+2kn, k Z,_ 3貝U s=+ +kn, k Z,由s>0得：當(dāng)k=0時，s的最小值為，應(yīng)選：A.【點(diǎn)評】此題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)y=Asin x+© A> 0,®

17、;> 0的圖象和性質(zhì)， 難度中檔.8. 5分2021?北京袋中裝有偶數(shù)個球，其中紅球、黑球各占一半.甲、乙、丙是 三個空盒.每次從袋中任意取出兩個球，將其中一個球放入甲盒，如果這個球是紅球， 就將另一個放入乙盒，否那么就放入丙盒.重復(fù)上述過程，直到袋中所有球都被放入盒中，那么A. 乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B. 乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多C. 乙盒中紅球不多于丙盒中紅球D. 乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多【考點(diǎn)】進(jìn)行簡單的演繹推理.【專題】推理和證明.【分析】分析理解題意：乙中放紅球，那么甲中也肯定是放紅球；往丙中放球的前提是 放入甲中的不是紅球，據(jù)此可以從乙中的紅球個數(shù)為切入點(diǎn)進(jìn)行分析

18、.【解答】解：取兩個球共有4種情況： 紅+紅，那么乙盒中紅球數(shù)加1個； 黑+黑，那么丙盒中黑球數(shù)加1個； 紅+黑紅球放入甲盒中，那么乙盒中黑球數(shù)加1個； 黑+紅黑球放入甲盒中，那么丙盒中紅球數(shù)加1個.設(shè)一共有球2a個，那么a個紅球，a個黑球，甲中球的總個數(shù)為a,其中紅球x個，黑 球 y 個, x+y=a.那么乙中有x個球，其中k個紅球，j個黑球，k+j=x ； 丙中有y個球，其中I個紅球，i個黑球，i+l=y ；黑球總數(shù) a=y+i+j，又 x+y=a，故 x=i+j由于x=k+j，所以可得i=k，即乙中的紅球等于丙中的黑球. 應(yīng)選B.【點(diǎn)評】該題考查了推理與證明，重點(diǎn)是找到切入點(diǎn)逐步進(jìn)行分析

19、，對學(xué)生的邏輯思 維能力有一定要求，中檔題二、填空題共6小題，每題5分，共30分.9. 5分2021?北京設(shè)a R,假設(shè)復(fù)數(shù)1+i a+i 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上，貝U a= - 1.【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù).【分析】1+i a+i =a- 1+ a+1 i，那么a+仁0,解得答案.【解答】解：1+i a+i =a- 1+ a+1 i ,假設(shè)復(fù)數(shù)1+i a+i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上，那么 a+1=0,解得：a= - 1,故答案為：-1【點(diǎn)評】此題考查的知識點(diǎn)是復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，難度不大，屬于根底題.10.

20、5分2021?北京在1 - 2x 6的展開式中，x2的系數(shù)為 60 .用數(shù)字作答 【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用.【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化思想；二項(xiàng)式定理.【分析】利用二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng)公式即可得出.【解答】解：1-2x 6的展開式中，通項(xiàng)公式Tr+1=F - 2x r= - 2 7rxr,6 0令r=2，那么x2的系數(shù)= ： I=60.S故答案為：60.【點(diǎn)評】此題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于根底題.11. 5分2021?北京在極坐標(biāo)系中，直線p cosB-Vp sin 9- 1=0與圓p =2cos 9交于A，B兩點(diǎn)，那么|AB|=2.【考點(diǎn)】簡單曲線的極坐標(biāo)方程.【

21、專題】計算題；方程思想；綜合法；直線與圓.【分析】把圓與直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，利用圓心C在直線上可得|AB| .【解答】解：直線p cos 9- VI p sin 9 - 1=0化為y直線x -靈y- 1=0.圓 p =2cos 9 化為 p 2=2 p cos 9，：x 2+y2=2x，配方為x - 1 2+y2=1，可得圓心 C 1， 0，半徑 r=1 .那么圓心C在直線上，二|AB|=2 .故答案為：2.【點(diǎn)評】此題考查了把圓與直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，考查了計算能力， 屬于根底題.12. 5分2021?北京an為等差數(shù)列，S為其前n項(xiàng)和.假設(shè)a1=6，a3+as=0

22、, 那么 $= 6.【考點(diǎn)差數(shù)列的前n項(xiàng)和.【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列.【分析】由條件利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出公差，由此利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式能求出S6.【解答】解： an為等差數(shù)列，S為其前n項(xiàng)和.a1=6，a3+as=0,°.a1+2d+a+4d=0, 12+6d=0,解得d=- 2,°S6=門，-.=36 30=6.故答案為：6.【點(diǎn)評】此題考查等差數(shù)列的前6項(xiàng)和的求法，是根底題，解題時要認(rèn)真審題，注意 等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用.13. (5分)(2021?北京)雙曲線 呂-假設(shè)=1 (a>0, b>0)的漸近線為正方形 OAB

23、C勺 邊OAOC所在的直線，點(diǎn)B為該雙曲線的焦點(diǎn).假設(shè)正方形OABC勺邊長為2,那么a= 2.【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì).【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.【分析】根據(jù)雙曲線漸近線在正方形的兩個邊，得到雙曲線的漸近線互相垂直，即雙曲線是等軸雙曲線，結(jié)合等軸雙曲線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【解答】解：雙曲線的漸近線為正方形 OABC勺邊OA OC所在的直線，漸近線互相垂直，那么雙曲線為等軸雙曲線，即漸近線方程為y=± x,即 a=b，正方形OABC勺邊長為2，- OB=2 二，即 c=2f.：，貝 U a2+b2=c2=8，即 2a2=8，那么 a2=4， a=2，故答案為

24、：2【點(diǎn)評】此題主要考查雙曲線的性質(zhì)的應(yīng)用，根據(jù)雙曲線漸近線垂直關(guān)系得到雙曲線 是等軸雙曲線是解決此題的關(guān)鍵.14. (5分)(2021?北京)設(shè)函數(shù)f (x)= 假設(shè)a=0,那么f (x)的最大值為 2 ; 假設(shè)f (x)無最大值，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-，- 1).【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用.【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.【分析】將a=0代入，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分析函數(shù)的單調(diào)性，可得當(dāng)x=- 1時，f (x) 的最大值為2；ra>-l假設(shè)f (x )無最大值，那么，或-為> J 加，解得答案.-2a>2【解答】解：假設(shè)a=0,那么f (x)=當(dāng)x v- 1時，f

25、'( x )> 0,此時函數(shù)為增函數(shù), 當(dāng)x >- 1時，f'( x) v 0,此時函數(shù)為減函數(shù), 故當(dāng)x= - 1時，f (x)的最大值為2；令 f'(x) =0,那么 x=± 1,fa>-l假設(shè)f x 無最大值，那么忑殳，或-戈呂 3渲，- 亦> a3 - 3a-2a>21解得：a x, 1.故答案為：2, -X,- 1【點(diǎn)評】此題考查的知識點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最值，分類討論思想，難度中檔.三、解答題共6小題，共80分，解容許寫出文字說明，演算步驟或證明過程.15. 13 分2021?北京在厶 ABC中，a2+c2=b2

26、+ :ac.I求/B的大小；U求:-cosA+cosC的最大值.【考點(diǎn)】解三角形的實(shí)際應(yīng)用.【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；解三角形.【分析】I根據(jù)和余弦定理，可得 cosB=:，進(jìn)而得到答案；2|兒由I 得：C=-A,結(jié)合正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得 cosA+cosC的最 大值.【解答】解：Iv在厶 ABC中, a2+c2=b2+ ac.a2+c2- b2=/.ac. cosB=i=工2ac2ac I 2T B=7兒由I 得:-A,C=-4: cosA+cosC= :cosA+cos (371-A)='cosA-；cosA+ si nA2 2=cosA+ si nA2 2),故當(dāng)

27、A+n),=sin (A).兀一時，sin (A-)取最大值1,即:cosA+cosC的最大值為1.【點(diǎn)評】此題考查的知識點(diǎn)是余弦定理，和差角公式，正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難 度中檔.16. 13分2021?北京A, B, C三個班共有100名學(xué)生，為調(diào)查他們的體育鍛煉情 況，通過分層抽樣獲得了局部學(xué)生一周的鍛煉時間，數(shù)據(jù)如表單位：小時 ：A班678B班6789101112C班36912I試估計C班的學(xué)生人數(shù)；U從A班和C班抽出的學(xué)生中，各隨機(jī)選取一個人， A班選出的人記為甲，C班選 出的人記為乙假設(shè)所有學(xué)生的鍛煉時間相對獨(dú)立，求該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉 時間長的概率；川再從A，B，C三班中

28、各隨機(jī)抽取一名學(xué)生，他們該周鍛煉時間分別是7, 9,單位：小時，這3個新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記為卩1,表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為 卩0,試判斷卩0和卩1的大小.結(jié)論不要求證明【考點(diǎn)】古典概型及其概率計算公式；用樣本的頻率分布估計總體分布.【專題】計算題；定義法；概率與統(tǒng)計.【分析】I 由先計算出抽樣比，進(jìn)而可估計 C班的學(xué)生人數(shù)；U根據(jù)古典概型概率計算公式，可求出該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的概 率；川根據(jù)平均數(shù)的定義，可判斷出卩。 卩1.【解答】解：I 由題意得：三個班共抽取 20個學(xué)生，其中C班抽取8個，故抽樣比K j ,100 5故C班有學(xué)生8十一=40人，5n從從A班

29、和C班抽出的學(xué)生中，各隨機(jī)選取一個人，共有5X 8=40種情況，而且這些情況是等可能發(fā)生的，當(dāng)甲鍛煉時間為6時，甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長有 2種情況； 當(dāng)甲鍛煉時間為時，甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長有3種情況；當(dāng)甲鍛煉時間為7時，甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長有 3種情況； 當(dāng)甲鍛煉時間為時，甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長有3種情況；當(dāng)甲鍛煉時間為8時，甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長有 4種情況； 故周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的概率 P=丄；402川卩0卩1 .【點(diǎn)評】此題考查的知識點(diǎn)是用樣本的頻率分布估計總體分布，古典概型，難度中檔.17. 14 分2021?北京如圖，在四棱錐 P- AB

30、CDK 平面 PADL平面 ABCD PALPD, PA=PD AB丄AC, AB=1, AD=2 AC=CD=j.I求證：PDL平面PABU求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；rn在棱PA上是否存在點(diǎn)M使得BM/平面PCD假設(shè)存在，求畔的值，假設(shè)不存在， 說明理由.【考點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系.【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何.【分析】(I)由結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得 AB丄平面PAD進(jìn)一步得到AB丄PD再 由PDL PA由線面垂直的判定得到 PDL平面PAB(U)取AD中點(diǎn)為0,連接CO PQ由可得CQLAD, POLAD以0為坐標(biāo)原點(diǎn)， 建立空間直角坐標(biāo)系，求得 P

31、(0, 0, 1), B (1, 1, 0), D(0,- 1, 0), C(2, 0, 0), 進(jìn)一步求出向量 的坐標(biāo)，再求出平面 PCD的法向量i,設(shè)PB與平面PCD的夾角為 0,由 sin® =| coff n*二 IEL* PB求得直線PB與平面PCD所成角的正弦值；(川)假設(shè)存在M點(diǎn)使得BM/平面PCD設(shè)型,M (0, y1, Z1),由可得 M(0, 1-入，入)，V I： - 1.,由BM/平面PCD可得'-,由此列式求得當(dāng) 時，M點(diǎn)即為所求.AP 4【解答】(I)證明：平面 PADL平面ABCD且平面PACT平面ABCD=AD 且 AB丄 AD, AB?平面

32、ABCD AB丄平面PAD PD平面 PAD AB丄 PD,又 PDL PA 且 PAT AB=A PDL平面 PAB(U)解：取AD中點(diǎn)為Q連接CQ PQv CD=AC=., CQL AD,又v PA=PD PQL AD以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖：那么 P (0 , 0 , 1) , B (1 , 1 , 0), D (0, - 1 , 0), C (2 , 0 , 0),那么丄-一；，PC=(2, 03 -1) , CD= ( - 2. -1, 0)，口二(7訂1)為平面PCD的法向量,-冗-口2兀_匸0設(shè)PB與平面PCD的夾角為0 ,那么由一ln-PC=0，得(川)解：假設(shè)存

33、在,貝U門二訃，- I. 1) 那么7(0 ,屮,zj,sirt = |cas< n> PB> 1= I由( n)知，A( 0,1, 0), P (0, 0, 1),麗二破 Q, 7 1)，B( 1,1, 0)，AM= (0,- h 忑 J ,那么有丁 ；7 ；,可得M (0, 1 -入，入)， BM/平面 PCD:二G -E 1)為平面PCD的法向量, T - ,即:.二，解得-二二.4綜上，存在點(diǎn)M即當(dāng)'時，M點(diǎn)即為所求.AP 4【點(diǎn)評】此題考查線面垂直的判定，考查了直線與平面所成的角，訓(xùn)練了存在性問題 的求解方法，建系利用空間向量求解降低了問題的難度，屬中檔題.

34、18. (13 分)(2021?北京)設(shè)函數(shù) f (x) =xeax+bx，曲線 y=f (x)在點(diǎn)(2, f (2) 處的切線方程為y= (e- 1) x+4,(I)求a, b的值；(n)求f (x)的單調(diào)區(qū)間.【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用.【分析】(I)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)的切線斜率以及f (2),建立方程組關(guān)系即可求a, b的值；(n)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可求f (x)的單調(diào)區(qū)間.【解答】解：(I)： y=f (x)在點(diǎn)(2, f (2)處的切線方程為y= (e- 1) x+4,當(dāng) x

35、=2 時，y=2 (e- 1) +4=2e+2,即 f (2) =2e+2,同時 f'( 2) =e- 1,f (x) =xea-x+bx,a-xa-x . f(x) =e - xe +b,f 二f =ea_2-2ea_2+b=e-l ?即 a=2, b=e；(n)： a=2, b=e；2 _x、2 - x-xe +e= (1 - x) e +e, -(1 - x) e2-x= (x - 2) e2-x,(x)v 0 得 xv2, f (x) =xe2- x+ex, f'( x) =e2-x f ( x) =- e2-x由 f ( x)> 0 得 x>2,由 f 即

36、當(dāng) x=2 時，f'( x)取得極小值 f'( 2) = (1 - 2) e2 2+e=e- 1 > 0, f'( x )> 0恒成立， 即函數(shù)f (x)是增函數(shù)，即f (x)的單調(diào)區(qū)間是(-x,+x).【點(diǎn)評】此題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合切線斜率建立方程關(guān) 系以及利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決此題的關(guān)鍵.綜合性較強(qiáng).19. (14分)(2021?北京)橢圓C:2 Xa=1 (a>0, b>0)的離心率為；,A(a，0), B (0, b), 0(0, 0), OAB的面積為 1.(I)求橢圓C的方程；(n)設(shè)P是橢圓C

37、上一點(diǎn),直線PA與y軸交于點(diǎn)M直線PB與 x軸交于點(diǎn)N.求證: |AN|?|BM| 為定值.【考點(diǎn)】直線與橢圓的位置關(guān)系.【專題】方程思想；分析法；直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.【分析】(I)運(yùn)用橢圓的離心率公式和三角形的面積公式，結(jié)合a , b , c的關(guān)系，解方程可得a=2 , b=1 ,進(jìn)而得到橢圓方程；(n)方法一、設(shè)橢圓上點(diǎn)P (xo , yo),可得Xo2+4yo2=4 ,求出直線PA的方程，令x=0 , 求得y , |BM| ；求出直線PB的方程,令y=0 ,可得x , |AN| ,化簡整理,即可得到|AN|?|BM| 為定值4.=.=；a2方法二、設(shè)P (2cos 9

38、, sin 9)( 0<9< 2n),求出直線PA的方程,令x=0 ,求得y , |BM| ;求出直線PB的方程,令y=0 ,可得x , |AN| ,運(yùn)用同角的平方關(guān)系,化簡整理, 即可得到|AN|?|BM|為定值4.【解答】解：(I)由題意可得eIOAB的面積為X可得匸ab=1, 且 a2 - b2=c2,解得 a=2, b=1, c='；,可得橢圓C的方程為_!+y2=1；(U)證法一：設(shè)橢圓上點(diǎn) P (X0, y°), 可得 x°2+4y°2=4,那么 |BM|=|1 +7(x - 2),令 x=0,可得 y=-直線PB: y=yn - 1x+1 ,令 y=0 ,可得 x=-那么 |AN|=|2+I -可得 |AN|?|BM|=|2+I=I-1； 1 7 Iv - ' 'V |- _' I - _|2+xqZo _ SQ _ 2y0即有|AN|?|BM|為定值4. 證法二：設(shè) P (2cos 0,直線PA y=|1=4 ,sin 0) , (0<0< 2n), (x 2),令 x=0,可得 y=-直線PB: y=sin 82gos 8 - 2sin +cqs Q 11 - cos 8=x+1,令 y=0,可得 x=-貝 U |AN|=|1 - sin 9即有|