8.河北高頻題型專題：特殊四邊形中的綜合性問題

1、旺旺：知行學(xué)堂河北高頻題型專題：特殊四邊形中的綜合性問題類型一 特殊四邊形中求最值、定值問題一、利用對稱性求最值【方法 10】1 .如圖，四邊形 ABCD是菱形，AC =8, DB = 6, P, Q分別是AC, AD上的動(dòng)點(diǎn)，連 接DP, PQ,則DP + PQ的最小值為 .旺旺：知行學(xué)堂第1題圖第2題圖2 . （2017安順中考）如圖，正方形 ABCD的邊長為6, ABE是等邊三角形，點(diǎn) E在正 方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點(diǎn)P,使PD+PE的和最小，則這個(gè)最小值為 . 二、利用面積法求定值3 .如圖，在矩形 ABCD中，點(diǎn)P是線段 BC上一動(dòng)點(diǎn)，且 PEXAC, PFXBD, AB

2、= 6, BC = 8,貝U PE+PF 的值為.【變式題】矩形兩條垂線段之和 一菱形兩條垂線段之和 一正方形兩條垂線段之和（1）（2017石家莊新華區(qū)期末）如圖，菱形ABCD的周長為40,面積為25, P是對角線BD 上一點(diǎn)，分另1J作 P點(diǎn)到直線AB, AD的垂線段PE, PF,則PE+PF等于.（2）如圖，正方形ABCD的邊長為1, E為對角線BD上一點(diǎn)且BE= BC,點(diǎn)P為線段CE 上一動(dòng)點(diǎn)，且 PMLBE于M, PNLBC于N,則PM+PN的值為.類型二 特殊四邊形中與面積相關(guān)的問題4.如圖，M是？ABCD的邊AD上任意一點(diǎn)，若 CMB的面積為S, CDM的面積為 S1, 4ABM的

3、面積為S2,則下列S, Si, S2的大小關(guān)系中正確的是（）AMDA S> 否7177孩鼠: S2/C SS1+S2MD. S與S + S2的大小關(guān)系無法確定C5 . （2017北京中考）數(shù)學(xué)家吳文俊院士非常重視古代數(shù)學(xué)家賈憲提出的“從長方形對角 線上任一點(diǎn)作兩條分別平行于兩鄰邊的直線，則所得兩長方形面積相等（如圖所示）”這一推論，他從這一推論出發(fā)，利用“出入相補(bǔ)”原理復(fù)原了海島算經(jīng)九題古證.（以上材料來源于古證復(fù)原的原理 吳文俊與中國數(shù)學(xué)和古代世界數(shù)學(xué)泰斗劉徽）請根據(jù)下圖完成這個(gè)推論的證明過程.證明： S 矩形 NFGD = Sa ADC - (SaANF + SaFGC) , S 矩

4、形 EBMF = Sa ABC ( + ) 易知 Sa ADC = Sa ABC , = , = .可得 S矩形NFGD = S矩形EBMF .6 . (2017秦皇島海港區(qū)期末)如圖，正方形 ABCD邊長為a,。為正方形ABCD的對角 線的交點(diǎn)，正方形 AiBiCiO繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，則兩個(gè)正方形重疊部分的面積為 .【變式題】 將5個(gè)邊長都是2cm的正方形如圖擺放，點(diǎn) A, B, C, D分別是四個(gè)正方 形對角線的交點(diǎn)，則陰影部分的面積為 .類型三特殊四邊形與中位線的綜合7 .如圖，等腰 ABC中，AB=AC, BD, CE分別是邊 AC, AB上的中線，BD與CE 相交于點(diǎn)。，點(diǎn)M, N分別為線

5、段BO和CO的中點(diǎn).求證：四邊形 EDNM是矩形.8 .我們給出如下定義： 順次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫中點(diǎn)四邊形.(1)如圖，四邊形 ABCD中，點(diǎn)E, F, G, H分別為邊 AB, BC, CD, DA的中點(diǎn),易知中點(diǎn)四邊形 EFGH是平行四邊形；當(dāng)四邊形ABCD的對角線 時(shí)，四邊形EFGH 是矩形；圖圉(2)如圖，點(diǎn) P是四邊形 ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且滿足 PA=PB, PC=PD, / APB = / CPD , 點(diǎn)E, F, G, H分別為邊AB, BC, CD, DA的中點(diǎn)，猜想中點(diǎn)四邊形 EFGH的形狀，并證 明你的猜想；(3)若改變(2)中的條件，使/ APB=Z

6、 CPD=90 °,其他條件不變，直接寫出中點(diǎn)四邊形 EFGH的形狀(不必證明).類型四特殊四邊形中的規(guī)律探究9 .如圖，已知/ MON =45 °, OAi = 1,作正方形 A1B1C1A2,周長記作 Ci ;再作第2個(gè) 正方形A2B2C2A3,周長記作 C2；繼續(xù)作第3個(gè)正方形A3B3c3A4,周長記作 C3；點(diǎn)Ai、A2、 A3、A4、在射線 ON上，點(diǎn)Bi、B2、B3、B4、在射線 OM上依此類推，則第 n個(gè)正 方形 AnBnCnAn+1的周長 Cn=.10 .如圖，在矩形 ABCD中，AD = 4, AB=2,連接其對邊中點(diǎn)，得到四個(gè)矩形，順次 連接AF, FG

7、, AE三邊的中點(diǎn)，得到三角形；連接矩形GMCH對邊的中點(diǎn)，又得到四個(gè)矩形，順次連接 GQ, QP, GN三邊的中點(diǎn)，得到三角形如此操作下去，得到三角形O,n),則三角形的面積為 ,三角形。，n)的面積為第10題圖11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有一菱形 OA=1,現(xiàn)在把菱形向右無滑動(dòng)翻轉(zhuǎn)，每次翻轉(zhuǎn) 續(xù)翻轉(zhuǎn)2017次，則B2017的坐標(biāo)為 第11題圖OABC 且/ ABC= 60°,點(diǎn) O, B 在 y 軸上，60°,點(diǎn)B的落點(diǎn)依次為 B1、B2、B3，連參考答案與解析11 24 解析：如圖，過點(diǎn) Q作QELAC交AB于點(diǎn)E,則PQ=PE,DP+PQ = DP +PE.當(dāng)點(diǎn)D

8、,P,E三點(diǎn)共線的時(shí)候 DP + PQ=DP+PE=DE最小，且DE即為所求.當(dāng)DELAB11時(shí)，DE 最小.四邊形 ABCD 是菱形，ACXBD, OA=-AC = 4, OB =1BD = 3, . . AB =5.S®abcd=1ACBD = ABDE,，1X8X 6= 5 DE , . . DE =24, . . DP + PQ 的最小值為空.22552. 6 解析：如圖，設(shè) BE與AC交于點(diǎn)P,連接BD；點(diǎn)B與D關(guān)于AC對稱，PD = PB,. PD +PE= PB+PE= BE,即P為AC與BE的交點(diǎn)時(shí)，PD + PE最小，且 BE即為 所求.正方形 ABCD的邊長為6,

9、AB=6.又. ABE是等邊三角形，BE=AB=6,所求最小值為6.故答案為6.3. 解析：.四邊形 ABCD 為矩形，ABC = 90°.,. AB = 6, BC= 8, . AC= 10,. “IOB PF , OC PE c.OBmOCm/C：.如圖，連接 OP, &obp+Saocp=Saobc,2 十 -2=Saobc,5 PF 5 PE 己 c 111、/“c5 PF 5 PE-2 + -2- = Saobc.Saobc=S 矩形 abcd = 4AB BC = "X 6X 8= 12, 2-+ 2-= 12,PE+ PF=245 .5【變式題】(1)

10、2 解析：.菱形ABCD的周長為40,面積為25,，AB=AD=10, Saabd25 一25 11125=£.連接 AP,貝 US*bd=S4 abp + Sa adp, . £=AB PE + AD PF ,.鼻 X 10(PE + PF)=金,PE+ PF=5.(2)? 解析：連接 BP,過點(diǎn) E 作 EHBC 于 H. /Sabpe+Sabpc=Sabec,匪詈 +BC產(chǎn)=改產(chǎn).又 BE=BC, .P2M+pN=EH，即 PM+PN=EH.vABEH 為等腰直角三 角形，且 BE = BC = 1,，EH=乎，. PM+PN=EH=.4. B 5,SAEF S CF

11、M S ANF S"EF 字FGC SCFM1c 一、, 一 八6.7a2【變式題】4cm241 _1 _7,證明：BD, CE 分別是 AC, AB 邊上的中線，AE = -AB, AD = 2AC, ED 是 ABC1的中位線，ED/BC, ED=2bC；,點(diǎn)M, N分別為線段BO和CO的中點(diǎn)，OM = BM ,1 ON = CN, MN 是 OBC 的中位線，. MN/BC, MN=BC, . ED/ MN , ED=MN, .四 邊形 EDNM 是平行四邊形，OE = ON, OD = OM.AB = AC,，AE=AD.在ABD 和AACEAB= AC,中， /A=/A,

12、/.A ABDA ACE,，BD=CE, . EO + ON + CN = BM + OM + OD , . 3OE AD= AE,= 3OM,即 OE = OM.又. DM = 2OM, EN=2OE,，DM=EN, .四邊形 EDNM 是矩形.8.解：(1)相互垂直(2)四邊形EFGH是菱形.證明如下：如圖，連接AC, BD/APB=/ CPD,APBAP = BP,+ Z APD = / CPD + Z APD,即/ BPD = / APC.在 APC 和 BPD 中， / APC=/ BPD , PC= PD,1APCABPD,.ACmBD.點(diǎn) E, F, G 分別為邊 AB, BC,

13、 CD 的中點(diǎn)，EF=-AC,1FG=1BD,EF = FG.又二四邊形EFGH是平行四邊形，四邊形 EFGH是菱形.H 。B F(3)四邊形EFGH是正方形. 解析：如圖，設(shè) AC與BD交于點(diǎn)O, AC與PD交于點(diǎn) M, AC 與 EH 交于點(diǎn) N.1. A APCA BPD , Z ACP=Z BDP. /Z DMO =Z CMP , . / COD =/ CPD = 90°. . EH / BD, AC / HG ,. / EHG = / ENO = / BOC = / DOC = 90 . / 四邊形 EFGH是菱形，四邊形 EFGH是正方形.9. 2n+1解析：.一/ MO

14、N =45°,. OAiBi是等腰直角三角形. OAi=1, ,.正方形 A1B1C1A2 的邊長為 1.BiCi/OA2,B2BiCi= / MON =45°,. B1C1B2 是等腰直角三 角形，正方形 A2B2c2A3的邊長為1 + 1 = 2.同理，第3個(gè)正方形 A3B3c3A4的邊長為2 + 2 = 22,其周長為4X 22=24;第4個(gè)正方形A4B4c4A5的邊長為4+4= 23,其周長為4X 23=25; 第5個(gè)正方形A5B5c5A6的邊長為8 + 8=24,其周長為4X24 = 26,則第n個(gè)正方形AnBnCnAn+ 1的周長 Cn = 2n+1.111 一.11122n 1 .故 S二角形一10灑”解析：由題意得AF = 2, AE=1，GQ=1，GN=1,則S三角形=2x2x2 =!； S三角形=1 x != !；S三角形=!= 工；224 232 2 8 251122 人 10 1 =嚴(yán).11.弩！，學(xué) 解析：連接AC,如圖所示