2018新課標(biāo)II數(shù)學(xué)試題理解析

1、2018新課標(biāo)II理、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符 合題目要求的.4 , 33 43 , 48- -C- -r5i D- -5+5i河北、山東、甘肅、陜西、內(nèi)蒙古、北京、天津資源投稿 qq： 23553945011 + 2i (1 + 2i) (1 + 2i)1 2i (12i) (1 + 2i)3 4,= 5+3,選DDC DB Cex e x3.函數(shù)f(x) = -x2的圖像大致為排除C, D,只有B項(xiàng)滿足.一，x2 y25雙曲線*1(a>0b>0)的離心率為<3,則其漸近線方程為(A.y= ±V2xC.B

2、. y=康xD. y=(3x2,已知集合A=(x, y)|x2+y2<3, xeZ, yeZ,則A中元素的個(gè)數(shù)為A.9 B【解析】法一 由x2+y2W3知，-X3<x<g -<3<y<73-又xCZyCZ,故 xC 1, 0, 1, yC1, 0, 1,故 A 中元素的個(gè)數(shù)為 c3c3= 9,故選A.法二 根據(jù)集合A的元素特征及圓的方程在坐標(biāo)系中作出圖形，如圖，易 知在圓x2 + y2=3中有9個(gè)整點(diǎn)，即為集合 A的元素個(gè)數(shù)，故選 A.A. A Bex_ex1【解析】f(x) =x2為奇函數(shù)，排除 A;當(dāng)x>0時(shí)，f(1)=ee>2,4.已知向量

3、 a, b 滿足 |a|= 1, a b= - 1,則 a (2a b)=A. 4 B【解析】a (2ab) = 2a2ab=2( 1)=3,故選 B.法一：由題意知e=a=g,所以 c=3a,所以 b=l，c2-a;2= J2a,所以。所以該雙曲線的漸近線方程為 y=號=W2x,故選A .法二：由e= S=q 1、a=v3,得 =v2,所以該雙曲線的漸近線方程為y= /x= ±.h 2x,故選A.6.在 ABC 中，cosC =吏，BC=1, AC=5,則 AB=()25A. 4也B. V30C. V29D. 鄧【解析】 因 cos C=2cos2C- 1 = 2X 5-1 = -

4、 3,故由余弦定理，得 AB2=AC2+BC22AC BCcos C3= 25+1 -2X 5X 1 X (-)=32,故 AB=4'2,故選 A . 5點(diǎn)睛：解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的.2+3 4+ + 99 100設(shè)計(jì)了下面的程序框圖，則在空白框中應(yīng)填入7.為計(jì)算S= 1 -A. i=i+1 B. i = i+2C. i = i + 3D. i = i + 4【解析】由$= 1 1+：+上土得程序框圖先對奇數(shù)項(xiàng)累加， 偶數(shù)項(xiàng)累加，最后再相減.因 2 3 499 100此在空白框中應(yīng)填入i=

5、i+2,選B.8 .我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如30=7 + 23.在不超過30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于 30的概率是()A.112D.118【解析】不超過30的素?cái)?shù)有2, 3,5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,共10個(gè)，從中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)有C20種不同的取法，其中兩素?cái)?shù)相加等于30的有7和23, 11和19, 13和17,共有3種情況，故所求概率 P=* = 11,故選C.C10 159 .在長方體 ABCD A1B1C1D1中，AB = BC=1, AA

6、1=g,則異面直線 AD1與DB1所成角的余弦值為()1A, 5bYD-¥【解析】法如圖，連接BDi,交DBi于O,取AB的中點(diǎn)M,連接DM,OM .易知 O為BDi的中點(diǎn)，故 ADi / OM,則/ MOD為異面直線 ADi與DBi所成角.因?yàn)樵陂L方體 ABCDA1B1C1D1 中，AB=BC=1, AAi=3, ADi ='AD2+ DD2 = 2 , DM =AD2+ 加 2=奈 DBi = AB2+AD2+DD2 =一175.故 OM = 2AD1 = 1OD=2DB1 = 5,于是在DMO中，由余弦定理，得；:，3 、 XO*1 f JIt .，j I i . /

7、%r CW'cos/ MOD =12+¥2-¥ 亞亞9= 15,即異面直線 ADi與DB1所成角的余弦值為 七法二 以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA, DC, DDi所在直線分別為x軸,立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.由條件可知D(0, 0, 0), A(1,0, 6), Bi(1, 1,於)，故AD1=(T, 0, V3)，DBi=(1, 1,ADi, DBi> =2'' 55|ADi| |DBi| 丫,即異面直線 AD1與DB1所成角的余y軸，z軸建術(shù)).則cos0, 0), Di(0,弦值為?.5a的最大值是10 .若 f(x) = cos x sin

8、x在a, a是減函數(shù)，則A. B. C.3TD.兀424【解析】f(x) = cos x- sin x= 42cos(x+4),且函數(shù), 一、一.、，、一、，. 一.，兀y= cos x在區(qū)間0, nt止單倜遞減，則由 0Wx+4< Tt,得一4& xW芋.因f(x)在a, a上是減函數(shù),故a> - 4,且 aw 3j5,解得 aw j,故 0V awj,故a的最大值是j 11.已知f(x)是定義域?yàn)?一8,十8酌奇函數(shù)，滿足f(1x) = f(1+x).若f(1)=2,則f(1) + f(2)+f(3)+ +f(50)=()A. 50B. 0C. 2D. 50【解析】法一

9、,f(x)是定義域?yàn)?一8, +OO的奇函數(shù)，且f(1 x) = f(1+x),故f(4+x) = f(x),故f(x) 是周期函數(shù)，且一個(gè)周期為 4,又 f(0) = 0,知 f(2) = f(0) , f(4) = f(0) = 0,由 f(1)=2,知 f(1)= 2 則 f(3) = f( 1)= 2,從而 甲)+ 2)+3)+*4) = 0,故甲)+*2) + 3)+*4)+ + f(50) = 12X0+f(49) + f(50) = f(1) + f(2)=2,故選 C.、，一、I兀法二由題意可設(shè)f(x) = 2sin(2x),作出f(x)的部分圖象如圖所示.由圖可知，f(x)的

10、一個(gè)周期為 4,故 f(1) + f(2) + f(3)+f(50)=12f(1) + f(2)+f(3) + f(4) + f(49) + f(50)= 12X0+f(1) +f(2)= 2.x2 y212.已知Fi, F2是橢圓A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過AC： a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),且斜率為13的直線上， PF1F2為等腰三角形，/ FiF2P= 120°,則C的離心率為()1C, 3D.1B, 2【解析】由題意可得橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，如圖所示，設(shè)|F1F2|=2c,因?yàn)镻F1F2為等腰三角形，且/F1F2P=120° ,所以 |PF2|=

11、 |FF2|=2c,所以 |OF2|=c,所以點(diǎn) P 坐標(biāo)為(c+ 2ccos 60° , 2csin60° ),即點(diǎn)P(2c,43c).因?yàn)辄c(diǎn)P在過點(diǎn)A,且斜率為噂的直線上，所以X3C =£3,解得日=：，*62c + a 6 a 4所以e=1,故選D .二、填空題：本題共 4小題，每小題5分，共20分.13 .曲線y=2ln(x+ 1)在點(diǎn)O(0, 0)處的切線方程為 .2【解析】由題思得y=x7 ,在點(diǎn)O處切線斜率k= y x0 = 2,故曲線y=2ln(x+1)在點(diǎn)(0, 0)處的 切線方程為y-0=2(x- 0),即y=2x.x+ 2y- 5>01

12、4 .若x, y滿足約束條件x-2y+3>0,則z= x+ y的最大值為 x 5< 0x+ y= 0,平移該【解析】畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示.作出直線15.已知 sin a+ cos 3= 1直線，當(dāng)直線過點(diǎn)B(5,解析因 sin a+ cos 3= 1, cos a+ sin 3= 0,故 sin2 a+ cos2 計(jì) 2sin ocos 3= 1 ，cos2 a+ sin2 3+ 2cos osin 3= 0， +得，sin2a+ cos2a+ sin2 3+ cos2 計(jì)2(sin ocos 汁 cos osin 9=1,故 sin(什 份=一 12,

13、16.已知圓錐的頂點(diǎn)為 S,母線SA, SB所成角的余弦值為 三, SA與圓錐底面所成角為45°.若 SAB的面積為5y15,則該圓錐的側(cè)面積為.【解析】如圖所示，設(shè)S在底面的射影為 S',連接AS', SS'. aSAB的面積為；SA SB sinZ ASB= 2 SA2 y'l - cos2/ ASB = 16 SA2= 5小5,所以 SA2= 80, SA= 4T5.因?yàn)?SA與底面所成的角為 45°, 所以/SAS'= 45°, AS'=SA cos 45 = 4/5x22=2710.所以底面周長 1 = 2

14、tiAS'= 4.；T0 tt,所以圓錐1的側(cè)面積為->415刈師戶40M2兀三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第 1721題為必考題， 每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知ai = 7, S3 = - 15.（1）求an的通項(xiàng)公式;（2）求Sn,并求Sn的最小值.【解析】（1）設(shè)an的公差為d,由題意得3a1+3d= 15.由a1=7得d=2.故 an的通項(xiàng)公式為an= 2n 9.（2）由（1）得Sn=n2-8n=（n-4）2-16.故當(dāng)n=4時(shí)，Sn取得最

15、小值，最小值為一16.18.下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額 叱單位：億元）的折線圖.為了預(yù)測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額， 建立了 y與時(shí)間變量t的兩個(gè)線性回歸模型.根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量t的值依次為1,2,，17）建立模型：y=- 30. 4+ 13. 5t;根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量t的值依次為1, 2,，7）建立模型：y= 99+17. 5t.分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值；.你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測值更可靠？并說明理由.【解析】（1）利用模型，該地區(qū) 2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的

16、預(yù)測值為y=- 30. 4+13. 5X19= 226. 1（億元）.利用模型，該地區(qū) 2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為y=99+17. 5>9= 256. 5(億元).(2)利用模型得到的預(yù)測值更可靠.理由如下：從折線圖可以看出，2000年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)沒有隨機(jī)散布在直線y=30. 4+ 13. 5t上下，這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢.2010年相對2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的附近，這說明從2010年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線

17、一一一 A 一性增長趨勢，利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型 y=99+17. 5t可以較好地描述 2010年 以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢，因此利用模型得到的預(yù)測值更可靠.以上給出了 2種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分.19.設(shè)拋物線C： y2=4x的焦點(diǎn)為F,過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A, B兩點(diǎn)，|AB|(1)求l的方程;(2)求過點(diǎn)A, B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程.【解析】y= k (x 1) y2= 4x(1)由題意得 F(1, 0), l的方程為y=k(x-1)(k>0).設(shè)A(X1,y1),B(X2,y2).由

18、9;得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0. A= 16k2+16>0,故 x + x2 =2k2+ 4.所以 |AB|= |AF|4k2+ 4,一十 |BF|= (x+1)+(x2+1) = k2 .由題設(shè)知4k2+ 4k2=8,解得k=1(舍去)，k=1.因此l的方程為河北、山東、甘肅、陜西、內(nèi)蒙古、北京、天津 資源投稿qq： 235y= x- 1.(2)由(1)得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3, 2),所以AB的垂直平分線方程為 y-2=-(x- 3),即y=-xy0 = xo + 5,+ 5.設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(xo,yo),則(xo+1) 2 =(y0X0+1)2-+ 16,xo=

19、3,xo= 11,解得 或yo= 2yo= 6.因此所求圓的方程為 (x- 3)2+ (y- 2)2= 16 或(x 11)2+ (y+ 6)2= 144.20.如圖，在三棱錐 PABC 中，AB=BC = 242, PA= PB= PC= AC= 4證明：PO,平面ABC;(2)若點(diǎn)M在BC上，且二面角 M PAC為30°,求PC與平面PAM所成角的正弦值.【解析】(1)證明 因?yàn)锳P = CP=AC=4,。為AC的中點(diǎn)，故 OPLAC,且。為AC的中點(diǎn).OP=2'3.連接OB,因?yàn)锳B=BC = *AC,故 ABC為等腰直角三角形，且1OBXAC, OB = 2AC=2,

20、由 OP2+OB2=PB2 知 POLOB.由 OPOB, OP，AC 且 OB AAC= O ,(2)解如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OB的方向?yàn)閤軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,由已知得O(0,0, 0), B(2, 0, 0), A(0, 2, 0)2, 0),P(0, 0, 25 AP=(0,2, 2、&.取平面PAC的一個(gè)法向量知PO,平面ABC.OB =539450C。(2, 0, 0).設(shè) M(a, 2-a, 0)(0<a< 2),則AM = (a, 4 a, 0).設(shè)平面 PAM 的法向量為 n = (x, y,-2y+2J3z=0,z).由AP n = 0

21、, AM n= 0得ax+ ( 4 a) y= 0,可取 n = ( 3(a- 4), /3a, a),故 cosOB, n>233 (a 4)2%；3 (a4) 2+3a2+a2由已知可得|cosOB,點(diǎn)故2、向a4|=點(diǎn)2，2M3 (a4) 2+3a2+a22得 a= - 4(舍去)，a = 4,故 n= 8±3, 4-3, 4 .又PC= (0, 2, 2百)，故 cosPC,n=+3.故 33334PC與平面PAM所成角的正弦值為洋21.已知函數(shù) f(x)=ex-ax2.若a=1,證明：當(dāng)x>0時(shí)，f(x)> 1;(2)若f(x)在(0, +8)只有一個(gè)零點(diǎn)

22、，求 a.【解】(1)證明 當(dāng) a=1 時(shí)，f(x) = ex x2,則 f' x0=ex 2x.令 g(x)= f' x),則 g'x) = ex2 .令 g ' x)=0,解得 x= ln 2 .當(dāng) xC (0, ln 2)時(shí)，g'x)v0;當(dāng) xC (ln 2 ,+8時(shí), g x)>0.故當(dāng) x>0 時(shí)，g(x)> g(ln 2)=22ln 2 >0,故 f(x)在0 , + 8止單調(diào)遞增，故 f(x)>f(0) = 1.(2)解 若f(x)在(0, +叫上只有一個(gè)零點(diǎn)，即方程ex- ax2=0在(0, + 8止只有一

23、個(gè)解，由a=x2,exex (x2)令 嶇)=孑 xC(0, +8), - x)=x3，令 4'x)=0,解得 x=2.當(dāng) xC(0, 2)時(shí)，(j)'x)v0;當(dāng) xC (2, +8肘，-x)>0.故(f(x)min= 4(2) = ：故 a= e.【解】.【法一】當(dāng)a= 1時(shí)，f(x)> 1等價(jià)于(x2+1)e-x1 w 0.設(shè)函數(shù)f(x)= (x2+1)e-x1,則g ' x) =(x1)2e x.當(dāng) xwi時(shí),g x)<0,故 g(x)在(0, +5單調(diào)遞減.而 g(0)=0,故當(dāng) x>0時(shí)，g(x)<Q即 f(x) > 1.

24、【法二】當(dāng) a=1 時(shí)，f(x) = ex-x2,則 f'x)=ex 2x, f' x)#ex2,令，乂)40 得，x= ln 2,當(dāng) xC (0, In 2)時(shí)，f'刈40；當(dāng)xC(ln 2, 十%時(shí)，f'刈£0,故當(dāng)x= In 2時(shí)，f'x)取得最小值f ln 2) = 2 2ln 2=2(1In 2)>0,故f' x)>0在(0 , +丐是恒成立，即f(x)在0 , + 8止單調(diào)遞增，故f(x)min = f(0) = 1,故當(dāng) x>0 時(shí)，f(x)>1；【法三】當(dāng) a= 1 時(shí)，f(x)= ex-x2,則

25、 f' x) = ex- 2x>ex- 2x=(e- 2)x>0 在(0, 十 丐上恒成立，即 f(x)在0, +8)上單調(diào)遞增，故 f(x)min=f(0) = 1,故當(dāng) x>0 時(shí)，f(x)>1；.【法一】設(shè)函數(shù) h(x)=1-ax2e x. f(x)在(0 , +叫只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)h(x)在(0, +只有一個(gè)零點(diǎn).I.當(dāng)aw。時(shí)，h(x)>0, h(x)沒有零點(diǎn)；II .當(dāng) a>0 時(shí)，h'x)=ax(x 2)e x.當(dāng) xC (0, 2)時(shí)，h'x0v0;當(dāng) xC (2, +丐時(shí)，h x)>0.故 河北、山東、甘肅、

26、陜西、內(nèi)蒙古、北京、天津 資源投稿 qq： 23553945014ax= 1+ tCOS a,(t為參數(shù)).h(x)在(0, 2)單調(diào)遞減，在(2, +8詳l調(diào)遞增.故h(2) = 1£是h(x)在(0, + 8)的最小值. .若h(2)>0,即av e2, h(x)在(0, +巧沒有零點(diǎn)；4e2 .若h(2)=0,即a= ep h(x)在(0, +巧只有一個(gè)零點(diǎn)； .若h(2)<0,即a>e2,由于h(0)=1,故h(x)在(0, 2)有一個(gè)零點(diǎn)，由知，當(dāng)x>0時(shí),3 33ex>x2,故 h(4a)=1墨= 1 譚>1(1招 4 =1；>0

27、.故 h(x)在(2, 4a)有一個(gè)零點(diǎn)，因 此h(x)在(0, 十丐有兩個(gè)零點(diǎn).綜上，f(x)在(0, +巧只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，a=e2.4【法二】f x)=ex-2ax,當(dāng)awo時(shí)，f x)>0在(0, +丐上恒成立，則f(x)在(0, + 8憚?wù){(diào)遞增，而 f(0) = 1>0,故當(dāng) aw。時(shí)，f(x)在(0, +8)無零點(diǎn)；故 a>0,因 f(0)=i>0,要使得 f(x)在(0, +8) 只有一個(gè)零點(diǎn)，則f(x)在(0, +丐必須有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，即f'x) = 0在(0, +8)須有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1, x2(否則f' x)>0在(0, +丐上恒成立，則f(x)在(0, +8單調(diào)遞增，而f(0)=1>0, f(x)在(0, +叫無零點(diǎn))，設(shè)xvx2,要使得f(x)在(0, +叫只有一個(gè)零點(diǎn)，則f(x)