拉格朗日中值定理在高考題中的妙用

1、拉格朗目中值定理在高考題中的妙用 X jr jl BColnPany number :WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998拉格朗日中值定理在高考題中的妙用【摘要】近幾年，以高等數學為背景的高考命題成為熱點許多省市一些高考題 可以用拉格朗曰中值定理來解答本文歸納了可用拉格朗曰中值定理解決的四類 題型，再通過一些具體的高考試題，體現高觀點解題的好處.【關鍵詞】拉格朗曰中值定理高考題高觀點引言新課程中，高中數學新増加了許多近、現代數學思想，這為中學數學傳統(tǒng)的 內容注入了新的活力，也為解決一些初等數學問題的方法提供了更多的選 擇尤其在近幾年在近幾年的數學高考試題中，經常遇到一些題

2、目，雖然可以 利用中學的數學知識解決，但是在高等數學中往往能找出相關的“影子"，也即 所謂的“高觀點"試題這樣的試題或以高等數學知識為背景，或體現高等數學中 常用的思想方法.這類試題常受到命題者的青睞，成為高考中一道亮麗的風 景，其中不乏以拉格朗曰中值定理為背景的高考試題拉格朗曰中值定理是利 用導數的局部性研究函數整體性的重要工具，它是溝通函數與其導數之間的橋 梁，建立了函數值與導數值之間的定量聯系，因而可以用它來研究函數的性 態(tài)拉格朗曰中值定理是高考試題設置高等數學背景的一個熱點素材.一拉格朗日中值定理拉格朗曰中值定理：若函數/滿足如下條件:(i) /在閉區(qū)間S切上連續(xù)；

3、(ii) /在開區(qū)間(.Z?)內可導；則在(仏方)內至少存在一點使得心幾何意義在滿足定理條件的曲線上y = /(X)至少存在一點P(,f(),該曲線在該點處的 切線平行于曲線兩端的連線AB (如圖)二求割線斜率大小幾何意義的利用由拉格朗曰中值幾何意義可知:曲線上兩點的割線斜率,可以轉化為曲線上切 線的斜率.即連續(xù)函數上任意兩點的連線總與某條切線平行.下面通過下題具體分 析.例1： (2011年福建省質檢理19題)已知函數/(x) = A + -+InxX(I) 求/的單調遞增區(qū)間；(II) 設 = ,g() = (),問是否存在實數J使得函數g(x)上任意不同兩點連線 的斜率都不小于R若存在，

4、求R的取值范圍；若不存在，說明理由.解(【)略(H)當“ 時，g(x) = -÷÷l,假設存在實數J使得的圖象上任意不同A* A'兩點連線的斜率都不小于4即對任意a-2>a1>0,都有 3")M即求任意 x i兩點割線斜率的大小，由中值定理知存在X(-1,X2)i有g (X)=W Wh轉½ - AI為求切線斜率的大小.即(A)=4-4在(0芒)上恒成立.(以下同參考答案)Jr f評析:該題若用初等方法解決，構造函數同是本題的難點和突破口將血g衛(wèi)k,轉化為1)-a-,轉而考查函數IM = S(X)-kx,學生不是 吃一易很容易想到，但若

5、利用拉格朗曰中值定理，則只需求二次導函數在所給區(qū)間的 最小值即可，學生易接受.二.利用拉格朗日中值定理證最值(1)證/UF"或/一/Cb_ab_a即證廠與久的大小關系例2: (2009年遼寧卷理21題)已知函數/(X) = +疋-x + (dT)lnx, > 1(I )討論函數/(X)的單調性；(II)證明：若 “<5,則對任意 A1,X, (0.-o), -l X, J 有>-1. 看一心(I)略;(II)要證 z-z2>- 成立，即證f(g)="d+呼>-1.令g()1-a-Y) + a-l 貝IJ = (-l)2-4(-l) = (d-l

6、)(-5).于 l<<5,所以 <0從而g(g)>O在 R 恒成立也即 1 -aa->- .X(xpx2), XHA2 (0.+) t故 30則 WT>7 即 f( =÷>-.也即 Wg>-】d召一兀評注：這道題(II)小題用初等方法做考慮函數g(n) = ()+.為什么考慮函數 O=")+*很多考生一下子不易想到而且g(x)的放縮也不易想到.證明Zi>或g<d成立(其中x>0,XX/(0) = 0)A-O即證例3: (2007年高考全國卷I第20題)設函數 f(x)ex-e-:-(1 )證明:/(x)的導數

7、f W2 ；(11)證明：若對所有XhO,都有/(a)a- I貝IJa的取值范圍是(-,2.(I) 略.(II) 證明:(i)當X = O時1對任意的,都有f(x)ax(ii)當X > 0時，問題即轉化為 S t-t-對所有X > 0恒成立.令XG(X) =土匕理.由拉格朗曰中值定理知(0)內至少存在一點g (從 XX-O而g>o),使得f(g)=Wj(o),即Gam+八,由于X-Of)ei-e-eo-e-o(>0)t 故f(g)在(Oj)上是增函數,讓XTo 得G(XLn = f"+小 f(0) = 2,所以"的取值范圍是(-.2 評注:用的是初等

8、數學的方法即令8(x)f(x)-ax,再分心和“>2兩種情 況討論其中，“>2又要去解方程HX) = 0.但這有兩個缺點：首先，為什么0的 取值范圍要以2為分界展開.其次，方程g (X) = O求解較為麻煩但用拉格朗曰中 值定理求解就可以避開討論，省去麻煩.例4 : (2008年全國卷22題)設函數/(X)=Sinx2 + cosx(I )求/(H的單調區(qū)間；(H)如果對任何x0,都有f(x)ax,求"的取值范圍證明(I )略；(H)證明：當x = 0時，顯然對任何"，都有f(x)ax ；當x>0時，/(x)/(a)-(0)X 一 X-O由拉格朗曰中值定理

9、，知存在go)，使得凹=.y f)由(I)A-X-O知 f (A-)= Q斗，從而 f=GWg)(E7 令f (X)。得(2 + cosx)(2 + cosx)X(2 + 1)b,(2÷2)；令/ (x)0得,Xw2S(2R + l)r.所以在O+ l)r,(2Ar + 2)刃上，廣的最大值f 嗣=f (2R + 2)龍)=* 在2S(2J1)< 上/ (x)的最大值/ (a)ux =f (2k) = .從而函數/(X)在2S(2Ar + 2)刃上的最大 值是/ (x)m =*MN知，當x>0時，f(X)的最大值為f ()ux =*.所以，f'() 的最大值f (

10、九X =牛為了使/ (C"恒成立，應有f (九II " 所以"的取值范圍 是名T評注：這道題的參考答案的解法是令8(x) = ax-f(x),再去證明函數g(x)的最 小值(A-Ln0.這與上述的思路是一樣的.但首先參考答案的解法中有個參數“， 要對參數"進行分類討論淇次為了判斷g(x)的單調性,還要求g(x)O和g(x)O 的解這個求解涉及到反余弦arccos3較為復雜而用拉格朗曰中值定理就可以避 開麻煩，省去討論再次體現了高觀點解題的優(yōu)越性三利用拉格朗日中值定理證不等式在近幾年的數學高考中，出現了不少含有拉格朗曰中值定理的試題常以不 等式恒成立問題為

11、基本切入點，具有一定的深度，既符合高考命題“能力立意" 的宗旨，又突出了數學的學科特點，較好地甄別了學生的數學能力.下面以近 幾年全國各地的數學高考試題為例，說明拉格朗曰中值定理的不同形式在高考 中不等式的應用，更好地體會用“高觀點"解題的優(yōu)勢(1)用于證明f(h)-f與Ad的大小關系例5 : (2006年四川卷理第22題)已知函數/(x) = X2 + - + Inx(x>0), f(X)的導函數是f () I對任意兩個不相等的正X,2,證明：(Il)當"4時I ()-(2)>kx2證明：由 /(a) = A-2+- + (7 InxM, /(x)

12、= 2x + - 令 g(x) = f(x)則由拉格朗 兀X A曰中值定理得:Ig(XJ-g(j)=g (久"心-尤2)|下面只要證明：當A4時，任意兄>0,都有g")>l,則有g(A-) = 2÷4-4>l1即證必4時，<÷-恒成立這等價于證明疋+的最小值X Jra-X大于4 由x2+- = a2÷-÷-34 ,當且僅當兀=返時取到最小值，又4<34 ,故必4時，2÷4-4>I恒成立所以由拉格朗曰定理得：Ig(Xj-g(2)=g (兄)(兀廠“ITgoIIX 廠 2>-2評注：這道

13、題用初等數學的方法證明較為冗長，而且技巧性較強因而思路 較為突兀，大多數考生往往難以想到相比之下，用拉格朗曰中值定理證明，思 路較為自然、流暢體現了高觀點解題的優(yōu)越性，說明了學習高等數學的重要性. 證明的,4字|, g(b)三者大小的關系例6: (2004年四川卷第22題)已知函數 f(x) = In(I + X)- a g (x) = AIn X.(I )求函數/(Q的最大值；(H )設 0<a<b<2a ,證明:g()+g() - 2g 筈=<(b-)ln2.證明(1 )略；(II)證明：依題意,有g (x) = Inx + l,I U b-a I b b-a =I

14、n < In 2 a 2g() + g(b)-2g(苛弓=他-&(苓Hg苓由拉格朗曰中值定理得, 存在八卜嘗”(學片使得<ln.ab_a=(b - a)ln2卜g(a) =(g (")-g (刃)弓= (In“一HU)耳評注:對于不等式中含有g.g(b),g學討呦的形式 我們往往可以把 彳畔卜和只心(苓4分別對S(yS和的-寸字兩次運用 拉格朗曰中值定理.例7 : (2006年四川卷理第22題)已知函數/(x) = x2+- + lnx(x>0),(x)的導函數是/ (a),對任意兩個不相等的正數x,a-2.證明：(I)當“SO時，/也)；"“)&

15、gt;/(苓弓=/(©)¥,彳寧)(xj=f(ej寧又證明：(I )不妨設,<21即證)->/(1) 由拉格 朗曰中值定理知，存在不彳心寧)齊(芒工花)，則泊©且f(x)-fy!÷x22 一,(a) = 2- + -i f (x) = 2 + t-$.當"0時，/ (x)n.所以 f (X)是一個單調遞 X減函數 故f(gl)<從而/()-/(寧)>/(寧|-/(XJ成立，因此命題 獲證.四:利用拉格朗日定理證明根的存在F證明方程根的存在性,所給根的范圍就是區(qū)間把所給方程設為函數/3就可用拉格朗曰中值定理證明方程根的存在

16、性,一般用反證法.例1設f (X)在0,1可導且O<(x)<l,對于(0.1)內所有的點有,() T證明方程/(A-) + x-l = 0在(0.1)內有唯一的實根分析:要證明方程有唯一的實根,分兩步證明,先證明有根,再證明根是唯一的證明:先證方程有根，令 g(x) = /(x)+ A-I ,又因為 O < f(x) < 1,貝 IJg(O) = /(0)-l < O,g(T) = /(!) > 0,得至 IJg(O)g(l)<O.所以,函數g(x)在(0,1)內至少有一個實根.再證唯一性；假設方程/()+T = 0在(0,1)內有兩個實根&.

17、0不妨設為0<cx<3<y則有/(0) = l-0J(Q) = I對函數/E)在匕0上運用拉格朗曰中值定理有WLE = M(D .因此廠=(1-0)-(1-儀)0_a這和已知條件,(A)-1矛盾所以方程/(x) + xT = 0在(OJ)內有唯一的實根結束語拉格朗曰中值定理是數學分析的一個重要定理，是解決函數在某一點的導數的重要具，不少高考壓軸題以導數命題，往往可以用拉格朗曰中值定理求解固 然，這些壓軸題用初等數學的方法也可以求解但求解時一般都需要學生巧妙的 構造新函數，成為難點且往往計算量較大這時用拉格朗曰中值定理交易解決充 分體現了高等數學的優(yōu)越性，有力反駁了“高數無用論

18、"的錯誤的想法從而使學 生感受到高等數學與初等數學的聯系，増加學習的興趣.參考文獻1 陳紀修,於崇華,金路數學分析（上冊）M.北京：高等教育出版社， 2010, 123-124 .2 吳旻玲高考中的拉格朗曰中值定理J 中學教研（數學）,2012, ：44.3 王一棋.高觀點下的中學數學拉格朗日中值定理在中學數學中的應用J-數學教學通訊,63.4 李惟峰.拉格朗曰中值定理在中學數學中的應用J.教學參考,200& : 40.英文摘要APPliCatiOn Of Lagrange's mean VaIUe theorem in the COnegeentrance examinationAbstract】In recent years, the COnege entrance examination PrOPOSitiOn is Set in higher mathematics become a hot spot.Some COnege entrance examination questions Of many PrOVinCeS and CitieS Can U