2018東城一模理科數(shù)學試題及答案

1、北京市東城區(qū)2017-2018 學年度第二學期高三綜合練習（一）數(shù)學（理科）2018. 4 本試卷共4 頁，共 150 分?？荚嚂r長120 分鐘?？忌鷦毡貙⒋鸢复鹪诖痤}卡上，在試卷上作答無效。考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共40 分）一、選擇題共8 小題，每小題5分，共 40 分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。(1)若集合31axx,12bx xx或，則ab(a)32xx(b) 31xx(c)11xx (d)11xx(2）復數(shù)1izi在復平面上對應的點位于(a)第一象限(b) 第二象限(c) 第三象限(d) 第四象限(3)已知,a br，且ab，則下

2、列不等式一定成立的是(a)220ab(b)coscos0ab(c)110ab(d) 0abee(4)在平面直角坐標系xoy 中，角以 ox 為始邊，終邊與單位圓交于點（35，45） ，則tan()的值為(a)43(b)34(c)43(d) 34(5)設拋物線24yx上一點 p到 y 軸的距離是2，則 p到該拋物線焦點的距離是(a)1 (b) 2 (c)3 (d)4 (6)故宮博物院五一期間同時舉辦“戲曲文化展” 、“明代御窖瓷器展” 、“歷代青綠山水畫展” 、“趙孟頫書畫展”四個展覽某同學決定在五一當天的上、下午各參觀其中的一個，且至少參觀一個畫展，則不同的參觀方案共有(a)6 種（ b) 8

3、 種（ c) 10 種（ d) 12 種(7)設na是公差為d 的等差數(shù)列，ns為其前n項和，則“ d0”是“ns為遞增數(shù)列”的(a）充分而不必要條件（b)必要而不充分條件(c）充分必要條件（d）既不充分也不必要條件(8)某次數(shù)學測試共有4 道題目，若某考生答對的題大于全部題的一半，則稱他為“學習能手” ，對于某個題目，如果答對該題的“學習能手”不到全部“學習能手”的一半，則稱該題為“難題” 已知這次測試共有5 個“學習能手” ，則“難題”的個數(shù)最多為(a)4(b) 3(c)2(d)1 第二部分（非選擇題共110 分）二、填空題共6小題，每小題5 分，共 30 分。(9)在 abc中，角 a,

4、b,c所對的邊分別為a,b,c，若 a2 +c2 =b2 +ac，則 b=. (10)在極坐標系中，圓2cos的圓心到直線sin1的距離為 . (11)若 x，y 滿足041xyxyx，則 2x+y 的最大值為 . (12)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為(13）設平面向量a,b,c 為非零向量能夠說明“若a? b =a? c，則 b =c” 是假命題的一組向量 a,b,c的坐標依次為. (14）單位圓的內接正n(n 3)邊形的面積記為( )f n，則 f(3)=; 下面是關于( )f n的描述：2( )sin2nf nn( )f n的最大值為( )f n(1)f n( )f n

5、(2 )fn2( )f n其中正確結論的序號為（注：請寫出所有正確結論的序號）三、解答題共6小題，共80 分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。(15)（本小題13 分）已知函數(shù)f(x)=sin2x+2sin xcos x-cos2x. （）求( )f x的最小正周期；()求( )f x在0,2上的最大值和最小值(16)（本小題13 分）從高一年級隨機選取100 名學生， 對他們期中考試的數(shù)學和語文成績進行分析，成績如圖所示()從這 100 名學生中隨機選取一人，求該生數(shù)學和語文成績均低于60 分的概率；(ii）從語文成績大于80 分的學生中隨機選取兩人，記這兩人中數(shù)學成績高于80 分的

6、人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望e(); (ill）試判斷這100 名學生數(shù)學成績的方差a 與語文成績的方差b 的大?。ㄖ恍鑼懗鼋Y論）(17)（本小題14 分）如圖 1，在邊長為2 的正方形abcd中， p 為 cd中點，分別將pad, pbc沿 pa,pb所在直線折疊，使點c與點 d 重合于點o，如圖 2在三棱錐p-oab中， e為 pb中點()求證： poab; (ii）求直線bp與平面 poa所成角的正弦值；(）求二面角p-ao-e的大小(18)（本小題13 分）已知橢圓c：22221xyab（0ab）的離心率為32，且過點a(2,0). （）求橢圓c的方程；(ii）設 m,n 是橢圓c上不

7、同于點a 的兩點，且直線am，an 斜率之積等于14，試問直線mn 是否過定點？若是，求出該點的坐標；若不是，請說明理由(19)（本小題14 分）已知函數(shù)( )(1)xf xea x. 若曲線( )yf x在(0,(0)f處的切線斜率為0，求 a 的值；(）若( )0f x恒成立，求a 的取值范圍；(）求證：當a0a時，曲線( )yf x(x0)總在曲線2lnyx的上方(20)（本小題13 分）在nxn(n 2)個實數(shù)組成的n 行n 列的數(shù)表中，, i ja表示第i 行第j 列的數(shù)，記12(1)iiiinraaain12(1)jjjnjcaaajn若, i ja -1,0,1 (1,)i jn

8、)，且 r1,r2, ,rn,c1,c2,.,cn，兩兩不等，則稱此表為“n 階 h 表” ，記h= r1,r2, ,rn,c1,c2,.,cn. (i）請寫出一個“2 階 h 表” ; (ii）對任意一個“n 階 h 表” ，若整數(shù), n n，且nh，求證：為偶數(shù)；(）求證：不存在“5 階 h 表” . 北京市東城區(qū)2017-2018 學年度第二學期高三綜合練習（一）數(shù)學（理科）一、 1-8 bbda ccdd 第二部分（非選擇題共 110 分）二、填空題：本大題共6 小題 ,每小題 5 分,共 30 分 .9.【答案】3【解析】2221cos222acbacbacac,3b10.【答案】1

9、【解析】即求2220 xyx圓心到直線1y的距離，2211xy的圓心為1,0.距離 為1. 11. 【答案】6【解析】可行域如右圖所示：設2 +zx y即2yzx，當2yzx過(2, 2)b時，z取最大值，所以6z.12.【答案】2 3+12【解析】該幾何體如圖所示：可知2abacbc,abc為等邊三角形, 所以12332abcs,所以四邊形11acc a的面積為1 1224acc as,所以11232 312abcacc asss表. 13.【答案】(1,1)a =，(1,2)b=，(2,1)c=（答案不唯一）【解析】設(1,1)a =，(1,2)b=，(2,1)c=,則3a b=，3a c

10、=，所以a b= a c但bc，所以若a b= a c，則b= c為假命題。14.【答案】3 34；【解析】內接正n邊形可拆解為n個等腰三角形， 腰長為單位長度1，頂角為2n.每個三角形的面積為12sin2n，所以正n邊形面積為2( )sin2nf nn.32333 3(3)sin23224=f， 正確；正n邊形面積無法等于圓的面積，所以 不對；隨著n的值增大，正n邊形面積也越來越大，所以 正確；當且僅當3n時，有2 (3)(6)ff，由幾何圖形可知其他情況下都有(2 )2( )fnf n，所以 正確 .三、解答題共6小題 , 共 80 分. 解答應寫出文字說明，驗算步驟或證明. 15.【解析

11、】( ) 由題意得：( )sin2cos22sin(2)4f xxxx, 22t( ) 當0,2x時，32,444x當242x時, 即38x時 ,( )f x取得最大值2. 當244x時 , 即0 x時 ,( )f x取得最小值1. 所以( )f x在0,2上的最大值和最小值分別是2和1. 16.【解析】（）由圖知有9 名學生數(shù)學和語文成績均低于60 分,則從 100 名學生中隨機選一人,該生數(shù)學和語文成績均低于60 分的概率為9100. （）由題可知 ,的可能取值為0,1,2 26210151(0)=453cpc1164210248(1)4515ccpc2421062(2)=4515cpc1

12、824( )012315155e（）ab17. 【解析】（）由圖1 知,pdad pccb由圖 2 知,c d重合于點o. 則,poao poboaobooao面aobbo面aobpo面aob, 又ab面aobpoab（）由題知1op2oaobababo為等邊三角形過o取1of延長作ofao建立如圖空間直角坐標系0 1 2 ( )p13815215則0,0,02,0,0 ,0,0,11, 3,0oapb，易知面poa的法向量為0,1,0of13,1bp，設bp與平面poa夾角為則315sincos,515ofbpof bpofbp直線bp與平面poa所成角正弦值為155（）由（）知面poa的法

13、向量為0,1,0of設面eoa法向量為( , , )mx y z易知e為pb中點13 1()222e，13 1()222oe，(2 0 0)oa， ，00oe moa m即3022220 xzyx令1y則(0, 1, 3)m則11cos,2 12m ofm ofmof由圖知二面角為銳角，二面角paoe為318【解析】（）32e，32ca，過2,0，2a，3c，2221bac，2214xy（）當mn斜率不存在時，設00,mxy，則00,n xy，00001224amanyykkxx，2200124yx，又00,mxy在橢圓上，220014xy，解得00 x，01y，:0mnlx 當mn斜 率 存

14、 在 時 ， 設:mnlykxm， 與 橢 圓 聯(lián) 立 ， 由2214xyykxm得222148440kxkmxm，0，即22410km，設11,mx y，22,n xy，則12221228144414kmxxkmx xk，2212122414mky ykxmkxmk，12121212122224amanyyy ykkxxx xxx222222222222441144416416416164141414mkmkkmkmkmkmkkkk，2222444mkmkmk，220mkm，0m或2mk，當2mk時，:2mnlyk x，恒過2,0不符合，當0m時，:mnlykx，結合，恒過0,0，綜上，直線

15、mn恒過0,019. 【解析】（）( )xfxea，由題可得(0)0f，即10a，故1a（）( )xfxea當0a時，( )0 xf xe恒成立，符合題意。 當0a時 ，()0fx恒 成 立 ， 則( )fx在r上 單 調 遞 增 ， 當11xa時 ，111(1)10afea，不符合題意，舍去；當0a時，令( )0fx，解得lnxa當x變化時，( )f x和( )fx變化情況如下x(,ln)aln a(ln,)a( )fx0( )f x極小值min( )(ln )(ln1)f xfaaaa，由題意可min( )0f x，即ln0aa，解得01a。綜上所述，a的取值范圍為0,1（）由題可知要證(

16、 )f x的圖像總在曲線2lnyx上方，即證2lnxex恒成立，即要證明ln2xex恒成立，構造函數(shù)( )lnxg xex1( )xg xex，令1( )xh xex，故21( )0 xh xex，則( )h x在(0,)單調遞增，則( )g x單調遞增 .因為(1)10ge，121( )202ge，由零點存在性定理可知，( )gx在(0,)存在唯一零點，設該零點為0 x，令( )0g x，即001xex，且01(,1)2x當x變化時，( )g x和( )g x變化情況如下x0(0,)x0 x0(,)x( )g x0( )g x極小值則000( )()lnxg xg xex， 因 為001xex， 所 以00ln xx， 所 以0001( )()2g xg xxx， 當 且 僅 當01x時 取 等 ， 因 為01(,1)2x， 故0()()2g xg x， 即l n2xex恒 成 立 ， 曲 線( )(0)yf xx總 在 曲 線2lnyx的上方 . 20. 【解析】（）（）若11,nnrrcc共2n個數(shù) , ,nnz，共21n個數(shù)，1212+=+nnrrrccc，121212+=2(+)=0-nnnrrrcccrrr所以為偶數(shù) . （）設整數(shù) 5,5，且5h，可取42