2020-2021學年高一下學期數學同步強化練習二：余弦定理、正弦定理的綜合應用【含答案全解全析】

1、2020-2021 學年高一下學期數學同步強化練習2 余弦定理、正弦定理的綜合應用一、選擇題1.若鈍角三角形abc 的面積是12,ab=1,bc= 2,則 ac= ()a.5b. 5c.2d.12.若 abc 的內角 a,b,c 的對邊分別為a,b,c,面積 s=?2+?2-?24=?23sin?,則 sin b= ()a. 63b. 22c. 32d.2 233.在 abc 中,角 a,b,c 的對邊分別為a,b,c,且 bc 邊上的高為36a,則?+?的最大值為()a.8b.6c.3 2d.44.在銳角 abc 中,角 a,b,c 的對邊分別為a,b,c, abc 的面積為 s,若 sin

2、(a+c)=2?2-?2,則 tan c+12tan(? -?)的最小值為()a. 2b.2c.1d.2 2二、填空題5.在 abc 中,內角 a,b,c 的對邊分別為a,b,c,若cos?+cos?=sin?,b2+c2-a2=65bc,則 tan b=.6.在 abc 中,角 a,b,c 的對邊分別為a,b,c,已知 b=60 ,b=4, 給出下列說法 :若 c= 3,則角 c 有兩個解 ;若 ? ? ? ? ? ? =12,則 ac 邊上的高為3 3;a+c 不可能等于9.其中正確說法的序號是.7.在 abc 中,角 a,b,c 所對的邊分別為a,b,c,若|? ? ? ? ? -? ?

3、 ? ? ? |=3,? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =6,則 abc 面積的最大值為.8.在銳角 abc 中 ,bc=2,sin b+sin c=2sin a, 則中線 ad 的取值范圍是.三、解答題9.幾千年的滄桑沉淀,凝練了黃山的美,清幽秀麗的自然風光,文化底蘊厚重的旅游環(huán)境.自明清以來 ,文人雅士 ,群賢畢至 ,旅人游子 ,紛至沓來 ,使黃山成為江南的旅游熱點.如圖 ,游客從黃山風景區(qū)的景點a 處下山至 c 處有兩處路徑 ,一種是從 a沿直線步行到c,另一種是先從a 乘景區(qū)觀光車到b,然后從b 沿直線步行到c.現有甲、乙兩位游客從a 處下山 ,甲沿ac 勻速步行 ,速度為 50

4、 米/分鐘 ,在甲出發(fā)2 分鐘后 ,乙從 a 乘觀光車到b,在 b 處停留 20 分鐘后 ,再從 b 勻速步行到c.假設觀光車勻速直線運行的速度為250 米/分鐘 ,山路 ac 長為 2 340 米,經測量 ,cos a=2425,cos c=35.(1)求觀光車路線ab 的長 ;(2)乙出發(fā)多少分鐘后,乙在觀光車上與甲的距離最短?10.已知 abc 的內角 a,b,c 的對邊分別為a,b,c,滿足 (b-a)(sin b+sin a)=(b -c)sin c.(1)求 a;(2)從下列條件 :a= 3;s abc= 3中任選一個作為已知條件,求abc 周長的取值范圍.答案全解全析一、選擇題1

5、.b由 題 意 得 ,12ab bc sin b=12 1 2 sin b=12, sin b=22, b=4或b=34.當b=34時 , 由 余 弦 定 理 得ac2=ab2+bc2-2ab bccos b=1+2+2=5, ac= 5(負值舍去 ),此時 abc 為鈍角三角形 ,符合題意 ;當 b=4時,由余弦定理得 ac2=ab2+bc2-2ab bccos b=1+2-2=1,ac=1( 負值舍去 ),此時 ab2+ac2=bc2, abc 為直角三角形,不符合題意 .故ac= 5.2.d s=?2+?2-?24,12absin c=2?cos?4,即 sin c=cos c,c=4.

6、s=?23sin?,12bcsin a=?23sin?,由正弦定理得12sin bsin csin a=sin2a3sin?,即 sin bsin c=23,sin b=2 23.故選 d.3.d bc 邊上的高為36a,s abc=12a36a=12bcsin a,a2=2 3bcsin a,由余弦定理a2=b2+c2-2bccos a 可得2 3bcsin a=b2+c2-2bccos a,整理得 ,?2+?2?=2 3sin a+2cos a,即?+?=4sin(?+6) .a (0, ),a+6(6,76) ,當 a+6=2,即 a=3時,4sin(?+6)有最大值 ,為 4.?+?的

7、最大值為4.4.a因為 sin(a+c)=2?2-?2,即 sin b=2?2-?2,所以 sin b=?sin?2-?2,因為 sin b 0,所以 b2=c2+ac,由余弦定理得 ,c2+ac=a2+c2-2accos b,即 a-2ccos b=c,再由正弦定理得sin a-2sin ccos b=sin c,因為 sin a-2sin ccos b=sin(b+c) -2sin c cos b=sin(b -c),所以 sin(b-c)=sin c,所以 b-c=c 或 b-c+c= ,所以 b=2c 或 b=( 舍去 ).因為 abc 是銳角三角形,所以0 ?2,0 2?2,0 -

8、3?2,得6c4,所以 tan c( 33,1) ,所以 tan c+12tan(? -?)=tan c+12tan? 2,當且僅當 tan c=22時取等號 .故選 a.二、填空題5.答案4解析b2+c2-a2=65bc,由余弦定理得b2+c2-a2=2bccos a=65bc,cos a=35,sin a=1- cos2a=45.cos?+cos?=sin?,由正弦定理得cos?sin?+cos?sin?=sin?sin?,34+1tan?=1,tan b=4.6.答案解析對于 ,當 c= 3時,cb,cb, 角 c 只有 1 個解 ,錯誤 .對于 ,? ? ? ? ? ? =12,ac

9、cos b=ac cos 60 =12ac=12,ac=24.12ac sin b=12 24 32=6 3.設 ac 邊上的高為h,則12bh=12 4h=6 3,解得 h=3 3,正確 .對于 ,b2=a2+c2-2accos b=a2+c2-2ac cos 60 =a2+c2-ac=16,a2+c2=16+ac,a2+c2 2ac( 當且僅當a=c 時取等號 ),16+ac2ac, ac16,(a+c)2=a2+c2+2ac=3ac+16 3 16+16=64,a+c8 4,?2+ 4 = (4 - b)2+ 4 ?2,?2+ 4 ?2= (4 - b)2,解得32b52.故 bc=b(

10、4-b)=-b2+4b(32 b 52) ,結合二次函數的性質,得154bc 4.? =12(? +? ? ? ? ? ),|? |=12? 2+ ? ? ? ? ? 2+ 2? ? ? ? ? ? cos ?=12?2+ ?2+ 2bc ?2+?2-42?=12 2?2+ 2?2-4=12 28 - 4?,154bc 4, 312 28 - 4? 132,即 ad 的取值范圍為 3, 132) .三、解答題9.解析(1)在abc 中,因為 cos a=2425,cos c=35,所以 sin a=725,sin c=45,從而 sin b=sin-(a+c)=sin(a+c)=sin aco

11、s c+cos asin c=117125.由正弦定理得?sin?=?sin?,所以 ab=?sin? sin c=2 34011712545=2 000(m),所以觀光車路線ab 的長為 2 000 m.(2)假設乙出發(fā)t 分鐘后 ,甲、乙兩游客的距離為d m,此時甲行走了(100+50t)m, 乙距離 a 處 250t m,由余弦定理得d2=(100+50t)2+(250t)2-2 250t (100+50t)2425=1 000(41t2-38t+10)=1 000 41 (? -1941)2+4941.因為 0t 2 000250,即 0 t 8,所以當 t=1941min 時,甲、乙

12、兩游客的距離最短.10.解析(1)因為 (b-a)(sin b+sin a)=(b -c)sin c,所以由正弦定理得(b-a)(b+a)=(b -c)c,即 b2+c2-a2=bc,由余弦定理得cos a=?2+?2-?22?=12,又 a(0, ),所以 a=3.(2)選擇 a= 3.由正弦定理得?sin?=?sin?=?sin?=2,所以 abc 的周長 l=2sin b+2sin c+ 3=2sin b+2sin (23-b) +3=3sin b+3cos b+3=23sin(?+6)+3,因為 b(0,23),所以6b+656,12sin(?+6) 1,所以 2 32 3sin(?+6) + 33 3,即 abc 周長的取值范圍為(2 3,3 3.選