2020-2021學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)同步強化練習(xí)四：空間幾何體的內(nèi)切球和外接球【含答案全解全析】

1、2020-2021 學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)同步強化練習(xí)4 空間幾何體的內(nèi)切球和外接球一、選擇題1.已知正三棱柱abc -a1b1c1的頂點都在球o 的球面上 ,ab=2,aa1=4,則球 o 的表面積為()a.323b.32 c.64 d.6432.如圖 ,正四棱錐p-abcd 的側(cè)棱和底面邊長都等于2 2,則它的外接球的表面積為()a.16 b.12 c.8 d.4 3.已知圓錐的底面半徑為3,母線長為5,球 o 與圓錐的底面和側(cè)面均相切,設(shè)球o 的體積為v1,圓錐的體積為v2,則?1?2= ()a.18b.38c.14d.8274.設(shè) a,b,c,d 是同一個半徑為4 的球的球面上四點,abc

2、 為等邊三角形且其面積為9 3,則三棱錐d-abc 體積的最大值為()a.12 3b.18 3c.24 3d.54 35.在封閉的直三棱柱abc -a1b1c1內(nèi)有一個體積為v 的球 .若 ab bc,ab=6,bc=8,aa1=3,則 v 的最大值是()a.4 b.92c.6 d.3236.已知球 o 是正三棱錐a-bcd 的外接球 ,bc=3,側(cè)棱 ab=2 3,點 e 在線段 bd 上,且 bd=3be, 過點 e 作球 o 的截面 ,則所得截面圓面積的取值范圍是()a.54,4 b.2 ,4 c.94,4 d.114,4 二、填空題7.如圖所示 ,邊長為 2 的正方形sg1g2g3中,

3、e、f 分別是 g1g2,g2g3的中點 ,沿 se、sf 及 ef 把這個正方形折成一個三棱錐 s-efg,使 g1、g2、 g3三點重合 ,重合后記為g,則三棱錐s-efg 的外接球的表面積為.8.如圖 ,已知四棱錐p-abcd 的外接球o 的體積為36 ,pa=3, 側(cè)棱 pa 與底面 abcd 垂直 ,四邊形 abcd 為矩形 ,點 m 在球 o 的表面上運動,則四棱錐m-abcd 體積的最大值為.9.如 圖 ,圓 形 紙 片 的 圓 心 為o,半 徑 為12 cm, 該 紙 片 上 的 正 方 形abcd的 中 心 為o,e,f,g,h為 圓o 上 的點, abe, bcf, cdg

4、, adh 分別是以ab,bc,cd,da為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后,分別以 ab,bc,cd,da為折痕折起 abe, bcf, cdg,adh, 使得 e,f,g,h 重合 ,得到一個四棱錐.當(dāng)該四棱錐的側(cè)面積是底面積的2 倍時 ,該四棱錐的外接球的表面積為.10.將半徑為r 的 5 個球放入由一個半徑不小于3r 的球和這個球的內(nèi)接正四面體a-bcd 的四個面分割成的五個空間內(nèi),若此正四面體的棱長為2 6,則 r 的最大值為.答案全解全析一、選擇題1.d過球心 o 作底面 abc 的垂線 ,垂足為 o,易知 oo=2,oa=2332 2=233.由球的截面的性質(zhì)可得oa2=oo2+o

5、a2,所以 oa= 4 +43=4 3,所以球 o 的表面積s=4 oa2=643.故選 d.2.a設(shè)正四棱錐外接球的球心為o,半徑為 r,正四棱錐底面的中心為o1,則 o在正四棱錐的高po1上.在直角三角形abc中,ac= 2ab= 22 2=4,所以 ao1=2,所以正四棱錐的高po1= ?2-a?12= (2 2)2-22= 8 - 4=2,因為 po1=ao1,所以 o 與 o1重合 ,即正四棱錐外接球的球心是底面的中心o1,且球的半徑r=2,故球的表面積s=4r2=16.故選 a.3.b該幾何體的軸截面如圖所示,設(shè)球 o 的半徑為r.易得圓錐的高為52-32=4,故 s sab=12

6、 6 4=12 (5+5+6)r, 解得 r=32,故 v1=43r3=92 ,v2=1332 4=12,故?1?2=92112=38.4.b設(shè) abc的邊長為a,則 s abc=12a a sin 60 =9 3,解得a=6(負(fù)值舍去 ).設(shè) abc的外接圓半徑為r,則 2r=6sin60 ,得r=2 3,則球心到平面abc 的距離為42-(2 3)2=2,所以點 d 到平面 abc 的最大距離為2+4=6,所以三棱錐d-abc 體積的最大值為139 3 6=18 3,故選 b.5.b易得 ac=10. 設(shè) abc 的內(nèi)切圓的半徑為r,則12 6 8=12 (6+8+10) r,所以 r=2

7、,因為 2r=43, 所以當(dāng)球與三棱柱的上、下底面相切時 ,體積最大 ,所以最大球的直徑為3,則半徑 r=32,此時球的體積v=43r3=92.故選 b.解題反思要使球的體積取最大值,該球的半徑應(yīng)取到最大值,即該球與三棱柱內(nèi)切,因此需要討論底面三角形內(nèi)切圓直徑與三棱柱高的關(guān)系 ,從而確定出球半徑的最大值.6.b設(shè) bcd 的中心為 o1,球 o 的半徑為r,連接 ao1,則 o 在 ao1上.連接 o1d,od,o1e,oe,如圖 ,則 o1d=3 sin 6023= 3,ao1= ?2-d?12= 12 - 3=3.在 rt oo1d 中,r2=3+(3-r)2,解得 r=2.bd=3be,

8、 de=2.在 deo1中,o1e=3 + 4 - 2 3 2 cos30 =1,oe=?1?2+ o?12= 1 + 1= 2.過點 e 作球 o 的截面 ,當(dāng)截面與 oe 垂直時 ,截面圓的面積最小,此時 ,截面圓的半徑為22-( 2)2= 2,面積為 2; 當(dāng)截面過球心時 ,截面圓的面積最大,最大面積為4, 故選 b.二、填空題7.答案6解析設(shè)三棱錐s-efg 外接球的半徑為r.由題意可知 ,sgeg,sg gf,ge gf,所以將三棱錐s-efg 補成如圖所示的長方體,它們有同一外接球,因為 sg=2,ge=gf=1,所以外接球的直徑2r=22+ 12+ 12=6,即 r= 62.所以

9、三棱錐s-efg 的外接球的表面積s=4 r2=6.8.答案814解析設(shè)球 o 的半徑為r,則43r3=36,故 r=3.由題易知pa,ab,ad兩兩垂直 ,所以將四棱錐p-abcd 補成長方體 ,可知外接球的直徑為長方體的體對角線,設(shè)長方體的長、寬、高分別為a,b,c,且 c=3,因為 a2+b2+32=62,所以 a2+b2=27,又 a2+b2 2ab, 所以 ab272,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=362時,等號成立 .要使得四棱錐m-abcd 的體積最大 ,只需點 m 為平面 abcd 的中心 o與球心 o 所在的直線與球的交點(點 m、o在球心 o 兩側(cè) ),又 oo=?2- (?2+?22)

10、2=9-274=32,所以四棱錐m-abcd 體積的最大值為13272 (32+ 3) =814.9.答案4003cm2解析如圖 1,連接 oe 交 ab 于點 i.圖 1設(shè)正方形的邊長為x cm(x0), 則 oi=?2cm,ie= (12 -?2)cm.因為該四棱錐的側(cè)面積是底面積的2 倍,所以 4?2 (12 -?2) =2x2,解得 x=8.設(shè) e,f,g,h 重合于點p,該四棱錐的外接球的球心為q,如圖 2,圖 2易知 oc=4 2 cm,pc=ea= 82+ 42=4 5 cm,所以 op= ?2-o?2=4 3 cm.設(shè)外接球的半徑為r cm,則 r2=(4 3-r)2+(4 2)2,解得 r=10 33,所以外接球的表面積s=4 (10 33)2=4003 (cm2).10.答案1解析如圖 1,設(shè) bcd 的中心為o1,則其外接球球心o 在 ao1上 ,連接 od,o1d.圖 1o1d=23 cd 32=2 2,ao1= ?2-d?12=4,設(shè)外接球的半徑為r,則 r2=(?1-r)2+d?12,解得 r=3.設(shè)正四面體a-bcd 內(nèi)切球