2018年高考數(shù)學(xué)常見題型解法歸納反饋訓(xùn)練第11講函數(shù)(三角函數(shù)、數(shù)列函數(shù))模型及其應(yīng)用

1、 第 11 講 函數(shù)(三角函數(shù)、數(shù)列函數(shù))模型及其應(yīng)用 【知識(shí)要點(diǎn)】 、在現(xiàn)實(shí)生活中有許多問題， 往往隱含著量與量之間的關(guān)系， 可通過建立變量之間的函數(shù) 關(guān)系和對所得函數(shù)的研究，使問題得到解決. 數(shù)學(xué)模型方法是把實(shí)際問題加以抽象概括， 建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型， 利用這些模型來研究 實(shí)際問題的一般數(shù)學(xué)方法； 數(shù)學(xué)模型則是把實(shí)際問題用數(shù)學(xué)語言抽象概括, 反映或近似地反映實(shí)際問題時(shí)所得出的關(guān)于實(shí)際問題的數(shù)學(xué)描述. 數(shù)學(xué)模型來源于實(shí)際， 它是對實(shí)際問題抽象概括加以數(shù)學(xué)描述后的產(chǎn)物, 際中去檢驗(yàn)，因此對實(shí)際問題有深刻的理解是運(yùn)用數(shù)學(xué)模型方法的前提. 來描述，數(shù)學(xué)應(yīng)用題的建模過程就是信息的獲取、存儲(chǔ)、處理、綜

2、合、輸出的過程，熟悉 些基本的數(shù)學(xué)模型，有助于提高我們解決實(shí)際問題的能力. 三、三角函數(shù)的應(yīng)用一般是先根據(jù)題意建立三角函數(shù)模型 意結(jié)合三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)分析解答 一般根據(jù)函數(shù)的最值確定 和:，根據(jù)函數(shù)的最小 正周期確定*，根據(jù)函數(shù)的最值點(diǎn)確定 四、 數(shù)列的應(yīng)用主要是從實(shí)際生活中抽象出一個(gè)等差、 等比的數(shù)列問題解答， 如果不是等差 等比數(shù)列的，要轉(zhuǎn)化成等差等比數(shù)列的問題來解決 注意數(shù)列的項(xiàng)數(shù) 五、 解決實(shí)際問題的解題過程 (1) 對實(shí)際問題進(jìn)行抽象概括： 研究實(shí)際問題中量與量之間的關(guān)系， 確定變量之間的主、 被動(dòng)關(guān)系，興用 p p、/y y 分別表示問題中的變量； (2) 建立函數(shù)模型：將變量

3、表示為；的函數(shù)，在中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)，我們建立的函數(shù)模型一 般都是函數(shù)的解析式； (3(3)求解函數(shù)模型： 根據(jù)實(shí)際問題所需要解決的目標(biāo)及函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)正確選擇函數(shù) 知識(shí)求得函數(shù)模型的解，并還原為實(shí)際問題的解 再從數(shù)學(xué)角度來 它又要回到實(shí) 二、函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型, 不同的變化現(xiàn)象需要用不同的函數(shù)模型 - ：. ，再根據(jù)題 2 這些步驟用框圖表示:3 六、解應(yīng)用題的一般程序 (1) 讀：閱讀理解文字表達(dá)的題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，這一關(guān)是基礎(chǔ)； (2) 建： 將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言， 利用數(shù)學(xué)知識(shí)， 建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.熟悉基 本數(shù)學(xué)模型， 正確進(jìn)行建“?！笔顷P(guān)鍵的一

4、關(guān)； (3) 解：求解數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論 一要充分注意數(shù)學(xué)模型中元素的實(shí)際意義， 更 要注意巧思妙作，優(yōu)化過程； (4) 答：將數(shù)學(xué)結(jié)論還原給實(shí)際問題的結(jié)果. 【方法講評】 函數(shù)的模型一 三角函數(shù)模型 解題步驟 先建立對應(yīng)的三角函數(shù)模型，再解答 . . 【例已知某海濱浴場的海浪高度(單位：米)與時(shí)間皿斗(單位：時(shí)) 的函數(shù)關(guān)系記作 下表是某日各時(shí)的浪高數(shù)據(jù)： E （時(shí)） 0 0 3 3 P P 6 6 9 9 1212 1515 1818 2121 2424 7(7(米) ) 1.51.5 1.0 0.50.5 1.01.0 1.51.5 1.01.0 0.50.5 1.01.0 1.51

5、.5 經(jīng)長期觀測，“ :;|的曲線可近似地看成是函數(shù) :二:;. . (1) 根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求函數(shù) :、：s 的最小正周期/ ,振幅及函數(shù)表達(dá)式； (2 2 )依據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度高于 1 1 米時(shí)才對沖浪愛好者開放，請依據(jù)(1 1)的結(jié)論，判 斷一天內(nèi)的上午 8 8 : 0000 時(shí)至晚上 20 20 : 0000 時(shí)之間，有多少時(shí)間可供沖浪者進(jìn)行運(yùn)動(dòng)？ 【解析】(1)由表中數(shù)據(jù)知周期丁 = 12,二=干=三， 由= 0 y = 1.5 f 得 T + 由=3=L0 ：得占=1 平飆麟問題 問題解決 期問題結(jié)論k回到跚問題 數(shù)學(xué)問題 1 數(shù)學(xué)皤 1 數(shù)學(xué)問題結(jié)論 4 /, J = 0.5.i

6、 = lj v = cosr + 1 , 2 6 1 亓 y 一 cosf+1 1 (2) 由題知，當(dāng)I I 時(shí)才可對沖浪者開放，【： , cos - 0 7 2ATT r 2t/V +， Ar z 6 2 6 2 0112-3r 12+3, Jeez V0r24,故可令中力分別為 02得 03 或 9ul5或 21Y24. 二在規(guī)定:時(shí)間上午&00至晚上 20:00 之間，有 6 個(gè)小時(shí)時(shí)間可供沖浪者運(yùn)動(dòng)，即上午 9:00 至下午 3:00 . 【點(diǎn)評】（1 1）首先要利用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)求出三角函數(shù)的表達(dá)式， 是函數(shù)的 振幅，w w是相位，】；是初相. .一般通過函數(shù)的最值求

7、，通過周期 1.1.求 b b，通過 最值點(diǎn)求/ . .（ 2 2）解簡單的三角函數(shù)不等式主要是利用三角函數(shù)的圖像和數(shù)形結(jié)合的思想 解答. .三角不等式的解集中一般含有“ 上 Z Z ”，最后給 E E 賦值和實(shí)際范圍求交集 【反饋檢測 1 1】海水受日月的引力，在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮一般地，早潮 叫潮，晚潮叫汐在通常情況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時(shí)返回 海洋.下面是某港口在某季節(jié)每天 從 0 0 時(shí)至 2424 時(shí)的時(shí)間：（單位：時(shí)）與水深（單位：米）的關(guān)系表： X 6 00 00 創(chuàng) 00 9: 00 12:00 15:00 18:00 21:00 2d:00

8、 y 12. 0 15.0 12.0 9.0 12.0 15. Q 12.0 9,0 12.0 （1 1 ）請選用一個(gè)函數(shù)來近似描述這個(gè)港口的水深與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系； （2 2） 一條貨輪的吃水深度（船體最低點(diǎn)與水面的距離）為 1212 米，安全條例規(guī)定船體最 低點(diǎn)與洋底間隙至少要有 1.51.5 米，請問該船何時(shí)能進(jìn)出港口？在港口最多能停留多長時(shí)間？ 5 【例2】某地有三家工廠，分別位于矩形 ABCD 的頂點(diǎn)，J及 CD 的中點(diǎn)_處，已 知厶 .：， 廠二，為了處理三家工廠的污水， 現(xiàn)要在矩形 厶|一二的區(qū)域上(含 邊界)，且，J與等距離的一點(diǎn)_處建造一個(gè)污水處理廠，并鋪設(shè)排污管道 -2，設(shè)排

9、污管道的總長為興直. (I)按下列要求寫出函數(shù)關(guān)系式： o 設(shè)-?J?-:,將表示成：；的函數(shù)關(guān)系式； 設(shè)一：. ，將；表示成丄的函數(shù)關(guān)系式. (n)請你選用(I)中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式，確定污水處理廠的位置，使三條排污管道 總長度最短. jjsls. *jjsls. * 【解析】 I由條件知尸。垂直平分AB , 若 ZA08rad ,則 OA=- = - f 故 0B = - f 又 OP = lO-lOtan0 , cos 6 cos cos 3 = + + = J+J- + 10-10tan6. cos cos 所求的數(shù)關(guān)系式為 y=2Q1Qd- +10 cosy ； 4 r 若OF二如，貝

10、ijC0 = lO-x? 所以血= 0R = J(10_h+10： HJO0X+2Q0. 所求函數(shù)關(guān)系式為 F =工+ 2 20 卄 200 (0 x10). (n)選擇函數(shù)模型,6 t -10 cos 5 cos (20 -1 Gsinff i (- sin 10( 2sin 9-11 y = - 齊 - - - = 巳 則 二 二 1 A 刁打 開 令.得因?yàn)?I,所以-二 I 6I 6 丿時(shí)丿U U，是 0 0 的減函數(shù)；當(dāng) 5 TT G4G4 丿時(shí), 71 八是 0 0 的增函數(shù)，所以當(dāng) 0 0 =6時(shí)，忌二 1 1 + + 1010 這 - A - 沖嚴(yán) - 時(shí)點(diǎn)位于線段的中垂線上，

11、且距離二一邊匚 處. 【點(diǎn)評】(1 1)本題主要考查根據(jù)實(shí)際意義建立函數(shù)模型、 三角函數(shù)性質(zhì)和解決最值問題 的基本知識(shí)，考查了數(shù)形結(jié)合思想和分析問題、轉(zhuǎn)化求解的能力. (2 2)對于較復(fù)雜的三角函 數(shù)的最值，一般利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性從而得到函數(shù)的最值 . .(3 3) 一般以平面幾何為 背景的應(yīng)用題，多以角為自變量建立三角函數(shù)模型，比以邊為自變量建立函數(shù)模型簡單 【反饋檢測 2 2】如圖所示，某園林單位準(zhǔn)備綠化一塊直徑為 的半圓形空地， 外 的地方 種草，二的內(nèi)接 正方形丄；匚為一水池，其余 地方種花. .若 J_ J_ - -ifif 一二 設(shè)二二 T T 的面積為二，正方形-的面積為

12、 =. . 當(dāng)週定， 疫化時(shí)， 求號(hào)取得最小値時(shí)啲值 (2)(2) J J 函數(shù)的模型八 數(shù)列模型 解題步驟 先建立數(shù)列模型，再解答 7 對于任意正整數(shù) 恒成立，解這個(gè)關(guān)于 x x 的一元一次不等式 ， (18 扁 + 1.8 1 - : ri ia ， 上式恒成立的條件為： An) = +1.8 丨-.J- 單調(diào)遞 減，所以， :1:1. .：. . 1-0.94 【點(diǎn)評】(1 1)建立數(shù)列模型的關(guān)鍵是從已知中找到數(shù)列的遞推關(guān)系, 如 1 = 01 = 0 哋+ x 18 +L8 得 一 :丁 由于關(guān)于、的函數(shù) 如二 3030， ，再根據(jù)遞推關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)， 再研究 ( 2 2)解答的關(guān)

13、鍵是化歸為含 【例 3 3】 某城市 20012001 年末汽車保有量為 3030 萬輛，預(yù)計(jì)此后每年報(bào)廢上一年末汽車保 有量的 6%6%并且每年新增汽車數(shù)量相同. .為保護(hù)城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過 6060 萬輛，那么每年新增汽車數(shù)量不應(yīng)超過多少輛 ？ 【解析】2001 年末汽車保有量為毎萬輛，嘆后各年末汽車保有量依次為如萬輛 鳥萬輛，,毎年新增汽車兀萬輛則 = 30 , = 0.94d, + x所兒 當(dāng) Q2 時(shí), 兩式相減得：一如 9斗(虬一帚 J 、 I (1) 顯然，若 E 一=，則 I,I,即二; ;11 - -， 此時(shí)-. .1 1 . .- -II (2) 若g-b

14、工 0,貝懶列 0 初一虬為以-知=x-0.Q=x-Mr 次 24 為公比的等比數(shù)列，所兒 - = 0.94 (x-l.B). 則對于任竜正整數(shù) s 均有入-久“，所兒 方林 如屹 =30, 此時(shí)* x當(dāng)“勵(lì)吋,b2-b. 0,則對于任意正整數(shù)心 均有帚 i一乞 所乩 4 =30.由-V-;=0,941;-(x-1.8),得 s =(i. 5)+為)+.+伍 出一心 9嚴(yán) L30 = S 二叱 L 30 , 、 要使對于任意正整數(shù) 0 0 .Z F - J 參數(shù)的不等式恒成立問題，其分離變量后又轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題 1-0.94 O.IM 8 【例 4 4】 廣州市某通訊設(shè)備廠為適應(yīng)市場需求，

15、提高效益，特投入 9898 萬元引進(jìn)世界先 進(jìn)設(shè)備奔騰 6 6 號(hào)，并馬上投入生產(chǎn)，第一年需要的各種費(fèi)用是 1212 萬元，從第二年開始，所 需費(fèi)用會(huì)比上一年增加 4 4 萬元，而每年因引進(jìn)該設(shè)備可獲得的年利潤為 5050 萬元. . （1 1）引進(jìn)該設(shè)備多少年后，開始盈利？ （2 2）引進(jìn)該設(shè)備若干年后，有兩種處理方案： 第一種：年平均盈利達(dá)到最大值時(shí)，以 2626 萬元的價(jià)格賣出； 第二種：盈利總額達(dá)到最大值時(shí)， 以 8 8 萬元的價(jià)格賣出 問哪種方案較為合算？并說明理 由 【解析】（1 1） h h1 1 + + - - _ _，b b 1 11 1 -/- - - - ；-丨；所以 3

16、 3 年后開始盈利. . （2）方案一：5W9E（12+16+- ） =40-2（+）12 當(dāng)且僅當(dāng)*7時(shí)取等所以方案一最后 n n 的利潤為 7x12+26=110,方案二:v = -2?r+40-98; = 10 時(shí)利潤最大，所以方案二的剎潤為 102-=110,所臥方案一合算. 【點(diǎn)評】（1 1）建立數(shù)列模型的關(guān)鍵是理解數(shù)列函數(shù)的意義，再根據(jù)其意義求出表達(dá)式 . . 屛的總盈利 （2 2）注意理解“年平均盈利”和“年盈利”的含義，年平均盈利 = = 二 年盈利 【反饋檢測 3 3】某企業(yè) 20062006 年的純利潤為 500500 萬元，因設(shè)備老化等原因，企業(yè)的生產(chǎn) 能力將逐年下降 若

17、不能進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測從20072007 年起每年比上一年純利潤減少 2020 萬元, 今年初該企業(yè)一次性投入資金 600600 萬元進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測在未扣除技術(shù)改造資金的情況 500（l+i 下，第、年（今年為第一年）的利潤為 - 萬元（1為正整數(shù)） （I）設(shè)從今年起 的前年，若該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤為 二萬元，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利 潤為+萬元（須扣除技術(shù)改造資金），求-；：、*的表達(dá)式；（n）依上述預(yù)測，從今年起9 該企業(yè)至少經(jīng)過多少年，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤超過不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤? 10 高中數(shù)學(xué)常見題型解法歸納及反饋檢測第 1111 講: 函數(shù)（三角函數(shù)、數(shù)

18、列函數(shù)）模型及其應(yīng)用參考答案 = 12-l-3sin x 【反饋訓(xùn)練 1 1 答案】（1 1） ；（ 2 2）貨船在 1 1 點(diǎn)至 5 5 點(diǎn)可以進(jìn)出港；或 1313 點(diǎn)至 1717 點(diǎn)可以進(jìn)出港每次可以在港口最多能停留 4 4 小時(shí). . 【反攪撿測 1 詳細(xì)解析】（1）a 時(shí)間為橫坐標(biāo)，水深為縱坐標(biāo)考慮用函數(shù)朝刻畫水 尿與時(shí)間之間的對應(yīng)關(guān)系. 從數(shù)據(jù)可嘆得出：4 = 3 = 12.7 = 12=0.由丁工二 1 = 12,得. K 6 所以這個(gè)港口的水深與時(shí)間的關(guān)系可犧 y = 12+3 血;I xe0;人近似描述. 6 貨船需要的安全水深為 12+1-5=13.5,所以半，王 13 上時(shí)

19、就可以進(jìn)港. .sin-xi. ：.2k7T-x2k+ 6 2 6 6 6 即 127c+l x 12A: + 5= A: ez * / 0,24, /. 1 x513 x17 . 因此，貨船在 1點(diǎn)至 5 點(diǎn)可以進(jìn)出港；或 13 點(diǎn)至打點(diǎn)可嘆進(jìn)出港.每次可以在淆口最多能停留 4 小時(shí). = -a1 sin2& S2 =SK1 羽 Q &二蘭 (1(1) ，一二二：二 1 1;(2 2) - 【反饋檢測 2 2 詳細(xì)解析】(1 1) 一丄 _：=, 1 1 a . S1 = -a-a cos &Sinff = a sin 29 7 2 4 設(shè)正方形的邊長為入則BQ = xcot0,RC二x tail已 【反饋檢測 2 2 答案】 11 x+xcot + xtan =陽解得孟二 tisincos l + sin5cosS