初中數(shù)學(xué)第15章分式教案及試題

1、第十五章分式基礎(chǔ)知識(shí)通關(guān)15.1 分式1. 分式的概念兩個(gè)整式 a、b 相除，即a ，如果 b 中含有，那么a 叫做分式， a 叫分式的分子，b 叫b b 分式的分母 . 2. 分式有意義 ( 或分式存在 ) 的條件 ：分母，即 b0.3. 分 式 為 零 的 條 件 ； . 4. 分式的基本性質(zhì)分式的分子和分母同乘( 或除以 ) 同一個(gè)不為零的整式，分式的值不變. 5. 約分 ：把一個(gè)分式的分子與分母中約去 . 最簡(jiǎn)分式 ：一個(gè)分式的分子與分母沒(méi)有相同的因式（1 除外） . 6.通分 ：將幾個(gè)異分母的分式分別化為與原來(lái)分式的值相等的同分母分式的過(guò)程. 最簡(jiǎn) 公 分 母 ： 各 分 母 與 的

2、 積 . 7.最簡(jiǎn)分式 ：分子分母沒(méi)有公因式（1 除外）的分式 . 15.2 分式的運(yùn)算8. 分式的乘除(1)乘法 : 兩個(gè)分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母. (2) 除法：兩個(gè)分式相除，把除式的分子和分母后再與被除式相乘. (3)乘方：分式的乘方是指把分式的分子、分母分別乘方. a c a c a c a d分式的乘法= ；分式的除法：= . b d b d 9.分式的加減bd b c (1)同分母分式相加減：分母不變,分子相加減(2)異分母分式相加減：先通分, 化為同分母分式, 按照同分母的加減法法則計(jì)算. a b a b a c ad bc (3)同分母分

3、式相加減：= ；異分母分式相加減：= . 10.分式的混合運(yùn)算cc c b d bd (1) 運(yùn)算順序 : 乘方乘除加減; (2) 若有括號(hào)，先算括號(hào)內(nèi)的; (3) 若含有多項(xiàng)式并且能進(jìn)行因式分解，要先分解因式，進(jìn)行約分，再按照法則運(yùn)算.11. 分式的化簡(jiǎn)求值根據(jù)題目本身的特點(diǎn)，將已知條件或所求分式適當(dāng)變形，巧妙求解. 12. 整數(shù)指數(shù)冪規(guī)定ap( 其中a 0,p 是自然數(shù) ) 。如：1xx1 . 在a0 時(shí)，an中的指數(shù) n 可以是正整數(shù)、零和負(fù)整數(shù)，這就是說(shuō)，an是整數(shù)指數(shù)冪 . 四個(gè)基本公式：am an am n；am an am n； am n amn；abm ambm . 13.整數(shù)

4、指數(shù)冪的應(yīng)用科學(xué)記數(shù)法不僅可以表示絕對(duì)值較大的數(shù)，也可以表示絕對(duì)值較小的數(shù). 一般形式為 a10n，其中 1 |a| 10，n 為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的 0 的個(gè)數(shù)所決定15.3 分式方程14.分式方程的概念 ：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程. 15.解分式方程的一般方法(1)去分母：在方程的兩邊同時(shí)乘以，把原方程化為整式方程 . (2)解整式方程：移項(xiàng) 合并 兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù) 得出方程的解 . (3)驗(yàn)根：把得到的方程的根代入最簡(jiǎn)公分母中，檢驗(yàn)分母是否為 0. 【注意】增根：能讓整式方程成立，但會(huì)使原分式方程的分母為0. 16.分式方程的應(yīng)用列分式應(yīng)用題的一般步驟是：

5、審設(shè)列解檢答即(1)審題；(2)設(shè)未知數(shù)；(3)找出相等關(guān)系，列出分式方程；(4) 解分式方程；(5) ，看方程的解是否滿足方程和符合題意；(6) 作答 . 【注意】列分式方程解應(yīng)用題的檢驗(yàn)：(1) 由于列的方程是分式方程，而分式方程在解的過(guò)程中可能會(huì)產(chǎn)生增根，故必須驗(yàn)根；(2) 檢驗(yàn)是否符合題意，不符合題意的解必須舍去，這一點(diǎn)與解整式方程應(yīng)用題一樣.本章知識(shí)結(jié)構(gòu)圖：，2一選擇題（共 10 小題）單元檢測(cè)x x-15+y 4 2 11.下列各式：，xy ，其中是分式的有（）2 x+2 3 ba1 個(gè)b2 個(gè)c3 個(gè)d 4 個(gè)2下列各式中所有字母都不為零，這些等式不成立的是（）aac x-yy-

6、xx+ya= b= c1 0.3a+b= d3a+10bbbca+2x+yx-yx2+xy x= 0.2a+0.5b2a+5b3.要使分式有意義，則a 的取值范圍是（）a-4aa4 ba4 ca4da 2 1 14.分式2 和最簡(jiǎn)公分母是（）6x y 2xyza6x2yz b6xyz c12x2yz d12xyz x-25.若分式的值為 0，則 x 的值是（）x+2a2 b0 c 2 d任意實(shí)數(shù)2y6計(jì)算+ x的結(jié)果是（）x-2y2y-xa1 b 1 c2yx dx2y 7在下列關(guān)于x 的方程中分式方程的個(gè)數(shù)有（）1 2 2x a x2- 9 12x-1 x -3x+40 = 4 = 5 =1

7、 = 6 = x+72 a xx+3x+2 3a2 個(gè)b3 個(gè)c4 個(gè)d5 個(gè)8當(dāng)代數(shù)式2（ x+1）1 與 3（ x2）1 的值相等時(shí)， x（）a7 b 7 c8 d 8 9化簡(jiǎn)21 2 的結(jié)果是，則 a 的值是（）x2- 1x-ax+1a1 b 1 c2 d 2 10已知 a 1，則 a+1的值是（）-a = - 3 aa 5 b 7 c 5 d 7二填空題（共 10 小題）11 當(dāng) x 時(shí)， 分式2 x-312在分式 . b ，a+b8a a-b2xx-yx2- y2 1x-y，x +2xy+y2中，最簡(jiǎn)分式有個(gè)13化簡(jiǎn)2 2 -結(jié) 果 是 x -64yy xx+8y114將2x，3y2

8、 ，4xy通分后的結(jié)果分別為1 115若 a+b 3ab0，則+ a b=16 已 知 x2 4x+10， 則 x2+1 = x2 的值是 1 17如果 a2a1 0，那么代數(shù)式（a-2a-1）?a2 的值是a a-12x+m18.若關(guān)于 x 的方程x-1= 3 的解為正數(shù)，則m 的取值范圍是19.dna 是遺傳物質(zhì)脫氧核糖核酸的英文簡(jiǎn)稱(chēng)，dna 分子的直徑只有 0.0000007cm ，則 0.0000007 用科學(xué)記數(shù)法表示是20.汽車(chē)以 a 千米/ 時(shí)的速度從甲地開(kāi)往乙地，已知甲、乙兩地相距 120 千米，則汽車(chē)從甲地到乙地 用 小 時(shí) 三解答題（共 6 小題）21計(jì)算：（ a1+b1）

9、1（ a2b2）122.化簡(jiǎn)2a+4（1）a2- 4 + 1 （2）x2- y22x xy2 （-）x +2xy+y2 x+y23.解方程：1+x 12 2x 1（1）2-x- 3 = x-2（2）-x+11-x2= x-124.閱讀材料：運(yùn)用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，還可以應(yīng)用其他公式，如立方和與立方差公式，其公式如下：立方和公式： x3+y3（ x+y）（ x2xy+y2）立方差公式： x3y3（ xy）（ x2+xy+y2）根據(jù)材料和已學(xué)知識(shí)，先化簡(jiǎn)，再求值：3x -x2- 2xx2+2x+4，其中 x 3x3- 825.某市為促進(jìn)經(jīng)濟(jì)發(fā)展，增強(qiáng)對(duì)外貿(mào)易的競(jìng)

10、爭(zhēng)力，把距離港口 360 千米的普通公路升級(jí)成了同等長(zhǎng)度的高速公路，結(jié)果汽車(chē)行駛的平均速度比原來(lái)提高了 50%，行駛時(shí)間縮短了 2 小時(shí)，求汽車(chē)原來(lái)的平均速度26.已知關(guān)于 x 的分式方程2+ x-1mx (x-1)(x+2)1= x+2（1）若方程的增根為x1，求 m 的值（2）若方程有增根，求m 的值（3）若方程無(wú)解，求m 的值( 2（1）( 2四附加題（共 2 小題，每題 10 分）27.在一次數(shù)學(xué)興趣小組的活動(dòng)課上，有下面的一段對(duì)話，請(qǐng)你閱讀完后再解答問(wèn)題x x 老師：同學(xué)們，今天我們來(lái)探索如下方程的解法：) - 4( ) + 4 = 0 x2 4xx-1x-1學(xué)生甲：老師，原方程可整

11、理為-(x-1)2老師：很好，當(dāng)然可以這樣做x-1+ 4 = 0，再去分母，行得通嗎？再仔細(xì)觀察，看看這個(gè)方程有什么特點(diǎn)？還可以怎樣解答？x學(xué)生乙：老師，我發(fā)現(xiàn)是整體出現(xiàn)的！老師：很好，我們把x-1x x看成一個(gè)整體，用y 表示，即可設(shè)= y，那么原方程就變?yōu)閥2 4y+40 x-1x-1全體學(xué)生：噢，等號(hào)左邊是一個(gè)完全平方式？！方程可以變形成（y2）20 老師：大家真會(huì)觀察和思考，太棒了！顯然 y24y+40 的根是 y 2，那么就有xx-1= 2 學(xué)生丙：對(duì)啦，再解這兩個(gè)方程，可得原方程的根x2，再驗(yàn)根就可以了！老師：同學(xué)們，通常我們把這種方法叫做換元法，這是一種重要的轉(zhuǎn)化方法全體同學(xué)：

12、ok ，換元法真神奇！現(xiàn)在，請(qǐng)你用換元法解下列分式方程（組）：2x 4x ) -+ 1 = 0 x-1x-16 +4 = 3x-yx+y （ 2） 9 1 x-y -x+y = 1= 2+ - 528.定義：如果一個(gè)分式能化成一個(gè)整式與一個(gè)分子為常數(shù)的分式的和的形式，則稱(chēng)這個(gè)分式為x+1 “和諧分式”如：x-1x-1+2= x-1x-1= + x-12x-11+ 2 ，x-12x-32x+2-52x+2= = + - 5 x+1 2x-3，則和x+1 都是“和諧分式”x+1x+1x+1x+1x-1x+1（1）下列分式中，屬于“和諧分式”的是（填序號(hào)）；x+1 2+x x+2 y2+1；x 2

13、x+1 y2a2- 2a+3（2）將“和諧分式”a-1化成一個(gè)整式與一個(gè)分子為常數(shù)的分式的和的形式為：a2- 2a+3a-1=+ ；3x+6x-1x2- 1（3）應(yīng)用：先化簡(jiǎn)-x+1x x2+2x，并求 x 取什么整數(shù)時(shí)，該式的值為整數(shù)= 21.字母基礎(chǔ)知識(shí)通關(guān)答案2.不等于零3.分母不為零，分子為零5.相同的因式6.系數(shù)的最小公倍數(shù)，字母因式的最高次冪8. 顛倒位置112. a p 15.最簡(jiǎn)公分母，同類(lèi)項(xiàng)16.檢驗(yàn)一選擇題（共 10 小題）單元檢測(cè)答案1.【分析】 根據(jù)分式的定義進(jìn)行解答即可，即分母中含有未知數(shù)的式子叫分式【解答】 解：x ，5+y，4 xy2的分母中不含有字母，因此它們是

14、整式，而不是分式2 3x-11，x+2的分母中含有字母，因此它是分式b故選： b 【知識(shí)點(diǎn)】 1 2.【分析】 根據(jù)分式的基本性質(zhì)即可求出答案x-y【解答】 解： b. x+yy-x= -x+y，故 b 不成立故選： b 【知識(shí)點(diǎn)】 4 3.【分析】 根據(jù)分式有意義的條件可得 a 40，再解即可【解答】 解：由題意得：a40，解得： a4 故選： c 【知識(shí)點(diǎn)】 2 4.【分析】 確定最簡(jiǎn)公分母的方法是：（1）取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；（2）凡單獨(dú)出現(xiàn)的字母連同它的指數(shù)作為最簡(jiǎn)公分母的一個(gè)因式；（3）同底數(shù)冪取次數(shù)最高的，得到的因式的積就是最簡(jiǎn)公分母1【解答】 解：分式6x y1和2xyz最簡(jiǎn)

15、公分母是 6x2yz 故選： a 【知識(shí)點(diǎn)】 6 5.【分析】 直接利用分式的值為零則分子為零進(jìn)而得出答案x-2【解答】 解：分式的值為 0 x+2x 20，x+20 解得： x2 故選： a 【知識(shí)點(diǎn)】 3 6.【分析】 根據(jù)分式的運(yùn)算法則即可求出答案【解答】 解：原式 = 2y-xx-2y故選： b 【知識(shí)點(diǎn)】 9 7.【分析】 根據(jù)分式方程的定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程進(jìn)行分析a【解答】 解：x2- 9 = 5 1 =1 =6 是分式方程，共 3 個(gè)x故選： b 【知識(shí)點(diǎn)】 14 x+3x+28.【分析】 直接利用負(fù)指數(shù)冪的性質(zhì)以及分式方程的解法計(jì)算得出答案【解答】 解：代數(shù)

16、式 2 （x+1）1 與 3 （x2）1 的值相等 2 x+1 3= x-2則 3 （x+1） 2（ x2）故 3x+3 2x4 解得： x 7 檢驗(yàn)：當(dāng) x 7 時(shí)，（ x+1）（ x2）0，故 x 7 是方程的解故選： b 【知識(shí)點(diǎn)】 12，15 9.【分析】 根據(jù)分式的運(yùn)算法則即可求出答案【解答】 解：1 = 2 2 = x+1= 1x-aa 1 故選： a 【知識(shí)點(diǎn)】 8 x2- 1x+1x2- 1x-110.【分析】 根據(jù) a1，通過(guò)變形可以求得所求式子的值-a = - 3【解答】 解： a 1-a = - 3（ a-1）23 aa2- 2 + 1 =3 a2 a2 + 2 + 1

17、=7 a2 1 2 7 (a + a) = a +1 = 7a故選： d 【知識(shí)點(diǎn)】 11 二填空題（共 10 小題）11.【分析】 根據(jù)題意列式計(jì)算即可【解答】 解：由題意得，x3 2 解得， x5 故答案為： 5 【知識(shí)點(diǎn)】 15 1 12.【分析】 根據(jù)最簡(jiǎn)分式的定義分別對(duì)每一個(gè)式子進(jìn)行判斷，即可得出答案【解答】 解：b ，a+b，x-y是最簡(jiǎn)分式8a x-ya-bx2+2xy+y2x2- y2的分子分母中含有公因式（xy），不是最簡(jiǎn)分式故答案是： 3 【知識(shí)點(diǎn)】 7 13.【分析】 根據(jù)分式的運(yùn)算法則即可求出答案【解答】 解：原式 =2x -x-8y=x+8y=1 1故答案為：x2-

18、64y2x2- 64y2x2- 64y2x-8yx-8y【知識(shí)點(diǎn)】 9 14.【分析】 解答此題的關(guān)鍵是求出最簡(jiǎn)公分母，然后再進(jìn)行通分y【解答】 解：2xx，3y21，4xy的最簡(jiǎn)公分母為 12xy2y 6y3 x4x2 1 3y故= 2x 12xy；= 2 3y212xy2；4xy = 12xy2故答案為：6y34x2 3y，12xy2【知識(shí)點(diǎn)】 6 12xy212xy215.【分析】 根據(jù) a+b 3ab0，通過(guò)變形可以求得所求式子的值【解答】 解：由 a+b 3ab0 得a+b3ab 1 + 1 = a+b = 3ab 3 a b ab ab故答案為 3 【知識(shí)點(diǎn)】 11 16.【分析】

19、 根據(jù) x2 4x+10，可以求得 x +1的值，從而可以求得所求式子的值x【解答】 解：x24x+10 x 41 0 x1 + x = 4 + x = x2+1 （ x+ 1）2242216214 x2 x故答案為： 14 【知識(shí)點(diǎn)】 11 17.【分析】 原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，約分得到最簡(jiǎn)結(jié)果，把已知等式變形后代入計(jì)算即可求出值【解答】 解：a2a10，即 a2 a1 原式a2- 2a+1?a2(a-1)2?a2a（ a1） a2a1 = a故答案為： 1 【知識(shí)點(diǎn)】 11 = a-1a= a-1= 18.【分析】 先將原方程去分母，化為整式方程，用含 m 的式

20、子表示出 x，再考慮方程的解為正數(shù)及出現(xiàn)增根的情況即可解2x+m【解答】 解：由x-1=3 得 2x+m3x 3 x m+3 解為正數(shù)m+3 0 m 3 當(dāng) m 2 時(shí)， x1 檢驗(yàn)：當(dāng) x 1 時(shí)，（ x1） 0 x 1 為原方程的增根故答案為 m 3 且m 2【知識(shí)點(diǎn)】 15 19.【分析】 絕對(duì)值小于 1 的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a10 n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0 的個(gè)數(shù)所決定【解答】 解： 0.0000007 7107故答案為： 7107【知識(shí)點(diǎn)】 13 20.【分析】 根據(jù)汽車(chē)以 a 千米/ 時(shí)的

21、速度從甲地開(kāi)往乙地，甲、乙兩地相距 120 千米路程再根據(jù)時(shí)間 = ，列出代數(shù)式即可速度【解答】 解：甲、乙兩地相距 120 千米，汽車(chē)以 a 千米 / 時(shí)的速度120汽車(chē)從甲地到乙地用a120小時(shí)故答案為：a【知識(shí)點(diǎn)】 16 三解答題（共 6 小題）121.【分析】 先利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義將原式變形為1 1 11 1+ 2-2a b a b再根據(jù)分式的基本性質(zhì)分別化簡(jiǎn)被除式與除式然后利用分式除法法則計(jì)算即可【解答】 解：（ a1+b1）1（ a2b2）1=1 1 1+11 -1 a b a2 b2ab a2b2 = b+a b2- a2 ab ?(b+a)(b-a)b+a?-?= ?a2b

22、2【知識(shí)點(diǎn)】 10， 12 22.【分析】 （1）先化簡(jiǎn)，再根據(jù)分式的加法法則求出即可；（ 2）先化簡(jiǎn)以及計(jì)算括號(hào)內(nèi)的減法，把除法變成乘法，再根據(jù)分式的乘法法則求出即可【解答】 解：（ 1）原式 = 2(a+2) + 1 (a+2)(a-2)= 2 + 1 a-2=2+a-2a-2a= a-2（2）原式 = (x+y)(x-y)x2- xy (x+y)2= x- y?2(x+y)2(x+y) x+y2= xx(x-y)【知識(shí)點(diǎn)】 10 23.【分析】 分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解【解答】（1）解：去分母得：1x3x+61 解得： x1

23、 經(jīng)檢驗(yàn) x 1 是分式方程的解（2）解：去分母得：2x2+2xx+1 解得： x1 經(jīng)檢驗(yàn) x 1 是增根，分式方程無(wú)解【知識(shí)點(diǎn)】 15 24.【分析】 根據(jù)題目中的公式可以化簡(jiǎn)題目中的式子，然后將 x 的值代入化簡(jiǎn)后的式子即可解答本題【解答】 解：3x -x2- 2xx2+2x+4x3- 8= 3x -x2+2x+4 x(x-2)(x-2)(x2+2x+4) =3 -1 x-2x-2= 2 x-2當(dāng) x 3 時(shí)，原式 =2 = 2 3-2【知識(shí)點(diǎn)】 11 25.【分析】 設(shè)汽車(chē)原來(lái)的平均速度為 x 千米/ 小時(shí)，根據(jù)題意列出分式方程，解分式方程即可【解答】 解：設(shè)汽車(chē)原來(lái)的平均速度為 x

24、千米 / 小時(shí)，360 根據(jù)題意得：x360-(1+50%)x = 2 解得： x60 經(jīng)檢驗(yàn)， x60 是原方程的解，且符合題意答：汽車(chē)原來(lái)的平均速度為 60 千米 / 小時(shí)【知識(shí)點(diǎn)】 16 26.【分析】 方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，（1）根據(jù)分式方程的增根為 x 1，代入求出m 的值即可；（2）根據(jù)分式方程有增根，確定出 x 的值，進(jìn)而求出 m 的值；（3）分 m+1 0 與 m+1 0 兩種情況，根據(jù)分式方程無(wú)解，求出 m 的值即可【解答】 解：方程兩邊同時(shí)乘以（x+2）（ x1），去分母并整理得（m+1 ）x 5 （1）x 1 是分式方程的增根1+m 5 解得： m 6 （2）原分式方程有增根（ x+2）（ x 1） 0 解得： x 2 或 x 1 當(dāng) x 2 時(shí)， m 1.5 ；當(dāng) x 1 時(shí)， m 6 （3）當(dāng) m+1 0 時(shí)，該方程無(wú)解，此時(shí) m 1 當(dāng) m+1 0 時(shí)，要使原方程無(wú)解，由（2）得： m 6 或 m=1.5 綜上， m 的值為 1 或6 或 1.5 【知識(shí)點(diǎn)】 15 四、附加題（共 2 小題）27.【分析】 （1）設(shè)2xx-1= y，方程化為關(guān)于 y 的方程，求出方程的解得到 y 的值，即為2x 的x-1值，求出 x 的值