二維隨機變量的函數(shù)分布學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1二維隨機變量的函數(shù)二維隨機變量的函數(shù)(hnsh)分布分布第一頁，共38頁。3.5.1 和的分布和的分布(fnb)3.5.1.1 離散型隨機變量離散型隨機變量(su j bin lin)和的分布和的分布3.5.1.2 連續(xù)型隨機變量和的分布連續(xù)型隨機變量和的分布3.5.2 一般函數(shù)一般函數(shù) 的分布的分布 ),(YXgZ 3.5.4 最大值、最小值的分布最大值、最小值的分布第1頁/共37頁第二頁，共38頁。 在第二章中，我們討論了一維隨機函數(shù)(hnsh)的分布，現(xiàn)在我們進一步討論:我們我們(w men)先討論兩個隨機變量的函數(shù)的分布先討論兩個隨機變量的函數(shù)的分布問題，問題， 然后將其推廣到

2、多個隨機變量的情形然后將其推廣到多個隨機變量的情形.當(dāng)隨機變量當(dāng)隨機變量X1, X2, ,Xn的聯(lián)合分布已知時，的聯(lián)合分布已知時，如何如何(rh)求出它們的函數(shù)求出它們的函數(shù) Y=g(X1, X2, ,Xn), i=1,2,m的分布的分布?第2頁/共37頁第三頁，共38頁。一、離散一、離散(lsn)型分布的型分布的情形情形例例1 若若X、Y獨立獨立(dl)，P(X=k)=ak , k=0,1,2, P(Y=k)=bk , k=0,1,2, , 求求Z=X+Y的概率函數(shù)的概率函數(shù).解解: )()(rYXPrZPriirYPiXP0)()(=a0br+a1br-1+arb0 riirYiXP0),

3、(由獨立性由獨立性此即離散此即離散(lsn)卷積公式卷積公式r=0,1,2, 和的分布：和的分布：Z = X + Y 第3頁/共37頁第四頁，共38頁。解：依題意解：依題意(t y) riirYiXPrZP0),()( 例例2 若若X和和Y相互獨立相互獨立,它們分別服從參數(shù)為它們分別服從參數(shù)為 的泊松分布的泊松分布, 證明證明Z=X+Y服從參數(shù)為服從參數(shù)為21,21的泊松分布的泊松分布.由卷積公式由卷積公式(gngsh)i=0,1,2,j=0,1,2,!)(ieiXPi11 !)(jejYPj22 第4頁/共37頁第五頁，共38頁。riirYiXPrZP0),()(由卷積公式由卷積公式(gng

4、sh)ri 0i - r2-i1-i)!-(rei!e21rire0i - r2i1)(i)!-(ri!r!21,)(!21)(21rre即即Z服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的泊松分布的泊松分布.21r=0,1，第5頁/共37頁第六頁，共38頁。例例3 設(shè)設(shè)X和和Y的聯(lián)合的聯(lián)合(linh)密度為密度為 f (x,y),求求Z=X+Y的密度的密度 解解: Z=X+Y的分布的分布(fnb)函數(shù)是函數(shù)是: FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z)Ddxdyyxf),(這里積分區(qū)域這里積分區(qū)域D=(x, y): x+y z是直線是直線(zhxin)x+y =z 左下方左下方的半平面的半平面.一、連續(xù)型分布的情

5、形一、連續(xù)型分布的情形和的分布：和的分布：Z = X + Y 第6頁/共37頁第七頁，共38頁。 化成化成(hu chn)累次積分累次積分,得得zyxZdxdyyxfzF),()( yzZdydxyxfzF),()( yzdxdyyxf),(dyyyzfzFzfZZ),()()(由由X和和Y的對稱性的對稱性, fZ (z)又可寫成又可寫成 dxxzxfzFzfZZ),()()(以上以上(yshng)兩式是兩個隨機變量和的概率密度的一般公式兩式是兩個隨機變量和的概率密度的一般公式.第7頁/共37頁第八頁，共38頁。 特別，當(dāng)特別，當(dāng)X和和Y獨立，設(shè)獨立，設(shè)(X,Y)關(guān)于關(guān)于X,Y的邊緣密度的邊緣

6、密度分別分別(fnbi)為為fX(x) , fY(y) , 則上述兩式化為則上述兩式化為: dyyfyzfzfYXZ)()()(這兩個公式這兩個公式(gngsh)稱為稱為卷積公式卷積公式(gngsh) .dxxzfxfzfYXZ)()()(第8頁/共37頁第九頁，共38頁。為確定積分限為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為先找出使被積函數(shù)不為(b wi)0的區(qū)的區(qū)域域 例例4 若若X和和Y 獨立獨立,具有共同的概率密度具有共同的概率密度求求Z=X+Y的概率密度的概率密度 . 其它其它, 010, 1)(xxfdxxzfxfzfYXZ)()()(解解: 由卷積公式由卷積公式(gngsh) 1010

7、xzx即即 110 xzxx第9頁/共37頁第十頁，共38頁。其它, 021,210,)(110zzZzzdxzzdxzf如圖示如圖示:于是于是(ysh)為確定積分限為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域的區(qū)域 1010 xzx即即dxxzfxfzfYXZ)()()(110 xzxx第10頁/共37頁第十一頁，共38頁。解法二解法二 從分布從分布(fnb)函數(shù)出發(fā)函數(shù)出發(fā))()(zYXPzFZzyxdxdyyxf),(x+y = z當(dāng)當(dāng)z 0 時時，0)( zFZ1yx1 可用卷積公式直接求密度函數(shù)與通過可用卷積公式直接求密度函數(shù)與通過(tnggu)分分布函數(shù)求密度函數(shù)

8、兩種方法求和的分布布函數(shù)求密度函數(shù)兩種方法求和的分布 zyxYdxdyyfxf)()(X第11頁/共37頁第十二頁，共38頁。x+y = z當(dāng)0 z 1 時， xzzZdydxzF001)( zdxxz0)(22z zzfZ)(1yx1zz第12頁/共37頁第十三頁，共38頁。x+y = z當(dāng)1 z 2 時，xzzZdydxzzF0111) 1()(11)(1zdxxzz1222zzzzfZ 2)(z-11yx1zz第13頁/共37頁第十四頁，共38頁。1yx1x+y = z22當(dāng)2 z 時，1)(zFZ0)(zfZ21,210,20, 0)(zzzzzzzfZ或第14頁/共37頁第十五頁，共

9、38頁。例例5 甲乙兩人約定中午甲乙兩人約定中午12時時30分在某地會面分在某地會面.如如果甲來到果甲來到(li do)的時間在的時間在12:15到到12:45之間是之間是均勻分布均勻分布. 乙獨立地到達乙獨立地到達,而且到達時間在而且到達時間在12:00到到13:00之間是均勻分布之間是均勻分布. 試求先到的人等待另一人試求先到的人等待另一人到達的時間不超過到達的時間不超過5分鐘的概率分鐘的概率. 又甲先到的概率又甲先到的概率是多少？是多少？解解: 設(shè)設(shè)X為甲到達為甲到達(dod)時刻時刻,Y為乙到達為乙到達(dod)時刻時刻以以1212時為起點時為起點, ,以分為以分為(fn wi)(fn

10、 wi)單位單位, ,依題意依題意, ,XU(15,45), YU(0,60)第15頁/共37頁第十六頁，共38頁。其它, 04515,301)(xxfX所求為所求為P( |X-Y | 5) 及及P(XY)其它, 0600,601)(xyfY解解: 設(shè)設(shè)X X為甲到達時刻為甲到達時刻， Y為乙到達時刻為乙到達時刻以以1212時為起點，以分為單位，依題意時為起點，以分為單位，依題意，XU(15,45), YU(0,60)其它, 0600 ,4515,18001),(yxyxf甲先到甲先到的概率的概率(gil)由獨立性由獨立性先到的人等待另一人先到的人等待另一人到達的時間到達的時間(shjin)不

11、超過不超過5分鐘分鐘的概率的概率第16頁/共37頁第十七頁，共38頁。解一：解一： 45155x5xdxdy18001P(| X-Y| 5) xy015451060405yx5yx=P( -5 X -Y 5)=1/6=1/2xy01545106040yx P(XY) 451560 xdxdy18001第17頁/共37頁第十八頁，共38頁。解二：解二：5| yx |dxdy18001P(X Y)P(| X-Y| 5) xy015451060405yx5yxxy01545106040yx 第18頁/共37頁第十九頁，共38頁。例例6 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量(su j bin lin)X和和Y相互獨立

12、相互獨立,且均且均服從標準正態(tài)分布服從標準正態(tài)分布N(0,1),求求Z= X+Y的概率密度函數(shù)的概率密度函數(shù).解解 由題意由題意(t y)得得 ( )( ,)( )()ZXYfzf x zx dxfx fzx dx( ),( )xyXYfxefye22221122X和和Y相互相互(xingh)獨立獨立,故故()xz xeedx222212()zzxeedx224212)tzx22( 令 dteety2422221 ()uedu2224221ye )2 , 0( NY第19頁/共37頁第二十頁，共38頁。結(jié)論結(jié)論: 兩個兩個(lin )獨立的正態(tài)分布的隨機變量的和獨立的正態(tài)分布的隨機變量的和 仍

13、服從正態(tài)分布仍服從正態(tài)分布.X1+X2N(1+ 2,12+ 22)正態(tài)分布的可加性正態(tài)分布的可加性.即:若X1N(1,12), X2N(2,22), X1,X2獨立(dl),則第20頁/共37頁第二十一頁，共38頁。三、三、M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)的分布的分布(fnb)求求M=max(X,Y) 及及N=min(X,Y)的分布的分布(fnb)函數(shù)函數(shù).設(shè)設(shè)X，Y是兩個相互獨立是兩個相互獨立(dl)的隨機變量，的隨機變量，它們的分布函數(shù)分別為它們的分布函數(shù)分別為FX(x)和和FY(y),第21頁/共37頁第二十二頁，共38頁。M=max(X,Y)不大于不大于z等價等價(dngj

14、i)于于X和和Y都不大于都不大于z，故有故有P(Mz)=P(Xz,Yz)又由于又由于X和和Y 相互相互(xingh)獨立獨立,于是于是(ysh)得到得到M=max(X,Y)的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為: FM(z)=P(Mz)=P(Xz)P(Yz)=P(Xz,Yz)即有即有 FM(z)= FX(z)FY(z) 第22頁/共37頁第二十三頁，共38頁。 類似地，可得N=min(X,Y)的分布(fnb)函數(shù)是下面下面(xi mian)進行推廣進行推廣 即有即有 FN(z)= 1-1-FX(z)1-FY(z) =1- -P(Xz,Yz)FN(z)=P(Nz)=1- -P(Nz)=1- - P(Xz)P(

15、Yz)第23頁/共37頁第二十四頁，共38頁。設(shè)設(shè)X1,Xn是是n個相互個相互(xingh)獨立的獨立的隨機變量隨機變量,)(xFiX(i =0,1，, n)它們的分布函數(shù)分別為它們的分布函數(shù)分別為 M=max(X1,Xn)的分布的分布(fnb)函數(shù)為函數(shù)為: )()(1zFzFXM )(zFnXN=min(X1,Xn)的分布的分布(fnb)函數(shù)是函數(shù)是)(1 1)(1zFzFXN )(1 zFnX 特別，當(dāng)特別，當(dāng)X1,Xn相互獨立且具有相同分布函數(shù)相互獨立且具有相同分布函數(shù)F(x)時，有時，有 FM(z)=F(z) nFN(z)=1-1-F(z) n與二維情形類似，可得與二維情形類似，可得: 第24頁/共37頁第二十五頁，共38頁。 需要指出的是，當(dāng)需要指出的是，當(dāng)X1,Xn相互相互(xingh)獨立且具有相同分布函數(shù)獨立且具有相同分布函數(shù)F(x)時時, 常稱常稱M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn)為極值為極值(j zh) . 由于一些災(zāi)害性的自然現(xiàn)象，如地震、洪水由于一些