完全平方公式教案

1、完全平方公式（一） 教學(xué)目標(biāo) （一）教學(xué)知識(shí)點(diǎn) 1完全平方公式的推導(dǎo)及應(yīng)用 2完全平方公式的幾何理解 （二）能力訓(xùn)練要求 1使學(xué)生理解完全平方公式,掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特 征 ,并會(huì)用這兩個(gè)公式進(jìn)行計(jì)算. 2重視學(xué)生對(duì)算理的理解，有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的思維條理性和表達(dá)能力 （三）情感與價(jià)值觀要求 在靈活應(yīng)用公式的過程中激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)創(chuàng)新能力和探索精神 教學(xué)重點(diǎn) 完全平方公式的推導(dǎo)過程、結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、幾何解釋，靈活應(yīng)用 教學(xué)難點(diǎn) 理解完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征并能靈活應(yīng)用公式進(jìn)行計(jì)算 教學(xué)方法 自主探索法 有了平方差公式的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，學(xué)生可以在教師引導(dǎo)下自主探索完全平方公式，最后達(dá)到靈活、準(zhǔn)確

2、應(yīng)用公式的目的 教具準(zhǔn)備 投影片教學(xué)過程一.復(fù)習(xí) 1.敘述平方差公式的內(nèi)容并用字母表示. 2.用簡便方法計(jì)算 （1）103×97 （2）103 × 103 1.敘述平方差公式的內(nèi)容并用字母表示. 兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積, 等于這兩個(gè)數(shù)的平方差. 公式表示: (a+b) (a-b)=a2 b2 2.（1）103× 97=（100+3）（ 100-3） 二提出問題，創(chuàng)設(shè)情境 師請(qǐng)同學(xué)們探究下列問題： （出示投影片） 一位老人非常喜歡孩子每當(dāng)有孩子到他家做客時(shí)，老人都要拿出糖果招待他們來一個(gè)孩子，老人就給這個(gè)孩子一塊糖，來兩個(gè)孩子，老人就給每個(gè)孩子兩塊塘， （1）

3、第一天有a個(gè)男孩去了老人家，老人一共給了這些孩子多少塊糖？ （2）第二天有b個(gè)女孩去了老人家，老人一共給了這些孩子多少塊糖？ （3）第三天這（a+b）個(gè)孩子一起去看老人，老人一共給了這些孩子多少塊糖？ （4）這些孩子第三天得到的糖果數(shù)與前兩天他們得到的糖果總數(shù)哪個(gè)多？多多少？為什么？ 生（1）第一天老人一共給了這些孩子a2糖 （2）第二天老人一共給了這些孩子b2糖 （3）第三天老人一共給了這些孩子（a+b）2糖 （4）孩子們第三天得到的糖塊總數(shù)與前兩天他們得到的糖塊總數(shù)比較，應(yīng)用減法即： （a+b）2（a2+b2） 我們上一節(jié)學(xué)了平方差公式即（a+b）（a-b）=a2-b2，現(xiàn)在遇到了兩個(gè)數(shù)的

4、和的平方，這倒是個(gè)新問題師老師很欣賞你的觀察力，這正是我們這節(jié)課要研究的問題導(dǎo)入新課 師能不能將（a+b）2轉(zhuǎn)化為我們學(xué)過的知識(shí)去解決呢？ 生可以我們知道a2=a·a，所以（a+b）2=（a+b）（a+b），這樣就轉(zhuǎn)化成多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘積了 師像研究平方差公式一樣，我們探究一下（a+b）2的運(yùn)算結(jié)果有什么規(guī)律 （出示投影片） 計(jì)算下列各式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？ （1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=_； （2）（m+2）2=_； （3）（p-1）2=（p-1）（p-1）=_； （4）（m-2）2=_； （5）（a+b）2=_； （6）（a-b）2=_ 生甲（1）（p+1）2=（p

5、+1）（p+1）=p2+p+p+1=p2+2p+1 （2）（m+2）2=（m+2）（m+2）=m2+2m+m·2+2×2=m2+4m+4 （3）（p-1）2=（p-1）（p-1）=p2+p·（-1）+（-1）·p+（-1）×（-1）=p2-2p+1 （4）（m-2）2=（m-2）（m-2）=m2+m·（-2）+（-2）·m+（-2）×（-2）=m2-4m+4 （5）（a+b）2=（a+b）（a+b）=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2 （6）（a-b）2=（a-b）（a-b）=a2-ab-ab+b2=a2-

6、2ab+b2 生乙我還發(fā)現(xiàn)（1）結(jié)果中的2p=2·p·1，（2）結(jié)果中4m=2·m·2，（3）、（4）與（1）、（2）比較只有一次項(xiàng)有符號(hào)之差，（5）、（6）更具有一般性，我認(rèn)為它可以做公式用 師大家分析得很好可以用語言敘述嗎？ 生兩數(shù)和（或差）的平方等于這兩數(shù)的平方和再加（或減）它們的積的2倍 生它是一個(gè)完全平方的形式，能不能叫完全平方公式呢？ 師很有道理它和平方差公式一樣，使整式運(yùn)算簡便易行于是我們得到完全平方公式： 文字?jǐn)⑹觯簝蓴?shù)和（或差）的平方，等于它們的平方和，加（或減）它們的積的2倍 符號(hào)敘述：（a+b）2=a2+2ab+b2 （a-b）2=

7、a2-2ab+b2 其實(shí)我們還可以從幾何角度去解釋完全平方差公式 （出示投影片）你能根據(jù)圖（1）和圖（2）中的面積說明完全平方公式嗎？ 生甲先看圖（1），可以看出大正方形的邊長是a+b 生乙還可以看出大正方形是由兩個(gè)小正方形和兩個(gè)矩形組成，所以大正方形的面積等于這四個(gè)圖形的面積之和 生丙陰影部分的正方形邊長是a，所以它的面積是a2；另一個(gè)小正方形的邊長是b，所以它的面積是b2；另外兩個(gè)矩形的長都是a，寬都是b，所以每個(gè)矩形的面積都是ab；大正方形的邊長是a+b，其面積是（a+b）2于是就可以得出：（a+b）2=a2+ab+b2這正好符合完全平方公式 生丁那么，我們可以用完全相同的方法來研究圖（

8、2）的幾何意義了 如圖（2）中，大正方形的邊長是a，它的面積是a2；矩形DCGE與矩形BCHF是全等圖形，長都是a，寬都是b，所以它們的面積都是a·b；正方形HCGM的邊長是b，其面積就是b2；正方形AFME的邊長是（a-b），所以它的面積是（a-b）2從圖中可以看出正方形AEMF的面積等于正方形ABCD的面積減去兩個(gè)矩形DCGE和BCHF的面積再加上正方形HCGM的面積也就是：（a-b）2=a2-2ab+b2這也正好符合完全平方公式 師數(shù)學(xué)源于生活，又服務(wù)于生活，于是我們可以進(jìn)一步理解完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征現(xiàn)在，大家可以輕松解開課時(shí)提出的老人用糖招待孩子的問題了 （a+b）2-（a

9、2+b2） =a2+2ab+b2-a2-b2=2ab于是得孩子們第三天得到的糖果總數(shù)比前兩天他們得到的糖果總數(shù)多2ab塊 應(yīng)用舉例： 出示投影片：例1應(yīng)用完全平方公式計(jì)算： （1）（4m+n）2 （2）（y-）2 （3）（-a-b）2 （4）（b-a）2 例2運(yùn)用完全平方公式計(jì)算： （1）1032 （2）1992 分析：利用完全平方公式計(jì)算，第一步先選擇公式；第二步準(zhǔn)確代入公式；第三步化簡 例1解： （1）（4m+n）2=（4m）2+2·4m·n+n2 （a+b）2=a2+2·a·b+b2 =16m2+8mn+n2 （2）方法一： （y-）2=y2-2&

10、#183;y·+（）2 （a-b）2=a2-2·a·b+b2 =y2-y+ 方法二：（y-）2 =y+（-）2=y2+2·y·（-）+（-）2 （a+b）2=a2+2·a·b+b2 =y2-y+ （3）（-a-b）2=（-a）2-2·（-a）·b+b2=a2+2ab+b2 （4）（b-a）2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2 從（3）、（4）的計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)： （a+b）2=（-a-b）2，（a-b）2=（b-a）2 例2解：（1）1032=（100+3）2 =1002+2×100×3+32 =10000+600+9 =10609 （2）1992=（200-1）2 =2002-2×200×1+12 =40000-400+1 =39601 師請(qǐng)同學(xué)們總結(jié)完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征 生公式的左邊是一個(gè)二項(xiàng)式的完全平方；右邊是三項(xiàng)，其中有兩項(xiàng)是左邊二項(xiàng)式中每一項(xiàng)的平方而另一項(xiàng)是左邊二項(xiàng)式中兩項(xiàng)乘積的2倍 師說得很好，我們還要正確理解公式中字母的廣泛含義：它可以是數(shù)字、字母或其他代數(shù)式，只要符合公式的結(jié)構(gòu)特征，就可以運(yùn)用這一公式 隨堂練習(xí) 課本P181練習(xí)1、