立體幾何——點(diǎn)線面的位置關(guān)系

1、點(diǎn)線面的位置關(guān)系（1）四個(gè)公理公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。符號(hào)語(yǔ)言：。公理2：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。 三個(gè)推論： 經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面 經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面 經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面 它給出了確定一個(gè)平面的依據(jù)。公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線（兩個(gè)平面的交線）。符號(hào)語(yǔ)言：。 公理4：（平行線的傳遞性）平行與同一直線的兩條直線互相平行。符號(hào)語(yǔ)言：。（2）空間中直線與直線之間的位置關(guān)系1.概念 異面直線及夾角：把不在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做

2、異面直線。 已知兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O作直線，我們把與所成的角（或直角）叫異面直線所成的夾角。（易知：夾角范圍） 公理4：（平行線的傳遞性）平行與同一直線的兩條直線互相平行。符號(hào)語(yǔ)言：。 定理：空間中如果一個(gè)角的兩邊分別與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。（注意：會(huì)畫兩個(gè)角互補(bǔ)的圖形）2.位置關(guān)系：（3）空間中直線與平面之間的位置關(guān)系直線與平面的位置關(guān)系有三種：（4）空間中平面與平面之間的位置關(guān)系平面與平面之間的位置關(guān)系有兩種：考點(diǎn)1:點(diǎn)，線，面之間的位置關(guān)系例1.(2014遼寧,4,5分)已知m,n表示兩條不同直線,表示平面.下列說(shuō)法正確的是()A.若m,n,則mnB

3、.若m,n,則mnC.若m,mn,則nD.若m,mn,則n答案 1.B解析 1.A選項(xiàng)m、n也可以相交或異面,C選項(xiàng)也可以n,D選項(xiàng)也可以n或n與斜交.根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知選B.例2.(2014山東青島高三第一次模擬考試, 5) 設(shè)、是兩條不同的直線，、是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（    ）A若則B若則C若則D若則答案 2.  D解析 2.A選項(xiàng)不正確，因?yàn)槭强赡艿?；B選項(xiàng)不正確，因?yàn)?，時(shí)，都是可能的；C選項(xiàng)不正確，因?yàn)?，時(shí)，可能有；D選項(xiàng)正確，可由面面垂直的判定定理證明其是正確的故選D例3. (2014廣西桂林中學(xué)高三2月月考，4) 設(shè)、是兩條不同的

4、直線，、是兩個(gè)不同的平面下列命題中正確的是(    ) (A)     (B) (C)   (D) 答案 3.  D解析 3.  若，則平面與垂直或相交或平行，故（A) 錯(cuò)誤；若，則直線與相交或平行或異面，故（B) 錯(cuò)誤；若，則直線與平面垂直或相交或平行，故（C) 錯(cuò)誤；若，則直線，故（D) 正確. 選D.例4. (2014周寧、政和一中第四次聯(lián)考，7) 設(shè)表示不同的直線，表示不同的平面，給出下列四個(gè)命題：若，且則；         若，且. 則；若，則；若且, 則

5、.其中正確命題的個(gè)數(shù)是   （   ）A1          B2       C3     D4答案 4.  B解析 4.  正確；直線或，錯(cuò)誤；錯(cuò)誤，因?yàn)檎襟w有公共端點(diǎn)的三條棱兩兩垂直；正確. 故真正確的是，共2個(gè).2. 空間幾何平行關(guān)系轉(zhuǎn)化關(guān)系：直線、平面平行的判定及其性質(zhì)歸納總結(jié)定理定理內(nèi)容符號(hào)表示分析解決問(wèn)題的常用方法直線與平面平行的判定平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行在已知平面內(nèi)“找出”一條直線與已知直線平行就可以

6、判定直線與平面平行。即將“空間問(wèn)題”轉(zhuǎn)化為“平面問(wèn)題”平面與平面平行的判定一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行判定的關(guān)鍵：在一個(gè)已知平面內(nèi)“找出”兩條相交直線與另一平面平行。即將“面面平行問(wèn)題”轉(zhuǎn)化為“線面平行問(wèn)題”直線與平面平行的性質(zhì)一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行平面與平面平行的性質(zhì)如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行1. 證明線線平行的方法：（平行線的傳遞性）平行與同一直線的兩條直線互相平行。即 公理4證明這條兩條直線的方向量共線。如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。即面面平行的性質(zhì)。

7、2證明直線和平面相互平行的方法證明直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線相互平行；證明這條直線的方向量和這個(gè)平面內(nèi)的一個(gè)向量相互平行；證明這條直線的方向量和這個(gè)平面的法向量相互垂直。3證明兩平面平行的方法：（1）利用定義證明。利用反證法，假設(shè)兩平面不平行，則它們必相交，再導(dǎo)出矛盾。（2）判定定理：一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行，這個(gè)定理可簡(jiǎn)記為線面平行則面面平行。用符號(hào)表示是：ab，a ，b ，a，b，則。（3）垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行。用符號(hào)表示是：a，a則。（4）平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行。4.兩個(gè)平面平行的性質(zhì)有五條：（1）兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任一直線

8、必平行于另一個(gè)平面，這個(gè)定理可簡(jiǎn)記 為：“面面平行，則線面平行”。用符號(hào)表示是：，a ，則a。（2）如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行，這個(gè)定理可簡(jiǎn)記為：“面面平行，則線線平行”。用符號(hào)表示是：，=a，=b，則ab。（3）一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)平面,它也垂直于另一個(gè)平面。這個(gè)定理可用于證線面垂直。用符號(hào)表示是：，a，則a。（4）夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等（5）過(guò)平面外一點(diǎn)只有一個(gè)平面與已知平面平行3. 空間幾何垂直關(guān)系 1線線垂直判斷線線垂直的方法：所成的角是直角，兩直線垂直；垂直于平行線中的一條，必垂直于另一條。三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這

9、個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那麼它也和這條斜線的射影垂直。推理模式： 。注意：三垂線指PA，PO，AO都垂直內(nèi)的直線a 其實(shí)質(zhì)是：斜線和平面內(nèi)一條直線垂直的判定和性質(zhì)定理 要考慮a的位置，并注意兩定理交替使用。2線面垂直（1）定義：如果一條直線l和一個(gè)平面相交，并且和平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線l和平面互相垂直其中直線l叫做平面的垂線，平面叫做直線l的垂面,直線與平面的交點(diǎn)叫做垂足。直線l與平面垂直記作：l。（2）直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么

10、這條直線垂直于這個(gè)平面。（3）直線和平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面,那么這兩條直線平行。3面面垂直（1）兩個(gè)平面垂直的定義：相交成直二面角的兩個(gè)平面叫做互相垂直的平面。（2）兩平面垂直的判定定理：（線面垂直面面垂直）如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直。（3）兩平面垂直的性質(zhì)定理：（面面垂直線面垂直）若兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們的交線的直線垂直于另一個(gè)平面?？键c(diǎn)2：證明線面之間的平行與垂直例1 .如圖,四邊形ABCD為正方形,PD平面ABCD,DPC=30°,AFPC于點(diǎn)F,FECD,交PD于點(diǎn)E.(1)證明:CF平面ADF

11、;解析 1.(1)證明:PD平面ABCD,PDAD,又CDAD,PDCD=D,AD平面PCD,ADPC,又AFPC,AFAD=A,PC平面ADF,即CF平面ADF.例2. (2011江蘇, 16, 14分) 如圖, 在四棱錐P-ABCD中, 平面PAD平面ABCD, AB=AD, BAD=60°, E, F分別是AP, AD的中點(diǎn). 求證:() 直線EF平面PCD;() 平面BEF平面PAD. 答案 () 在PAD中, 因?yàn)镋, F分別為AP, AD的中點(diǎn), 所以EFPD. 又因?yàn)镋F平面PCD, PD平面PCD, 所以直線EF平面PCD. () 連結(jié)BD. 因?yàn)锳B=AD, BAD

12、=60°, 所以ABD為正三角形. 因?yàn)镕是AD的中點(diǎn), 所以BFAD. 因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD, BF平面ABCD, 平面PAD平面ABCD=AD, 所以BF平面PAD. 又因?yàn)锽F平面BEF, 所以平面BEF平面PAD. 例3. (2009江蘇, 16, 14分) 如圖, 在直三棱柱ABC-A1B1C1中, E、F分別是A1B、A1C的中點(diǎn), 點(diǎn)D在B1C1上, A1DB1C. 求證:() EF平面ABC;() 平面A1FD平面BB1C1C. 答案 3.() 因?yàn)镋、F分別是A1B、A1C的中點(diǎn), 所以EFBC, EF面ABC, BC面ABC. 所以EF平面ABC. () 因

13、為直三棱柱ABC-A1B1C1, 所以BB1面A1B1C1, BB1A1D, 又A1DB1C, 所以A1D面BB1C1C, 又A1D面A1FD, 所以平面A1FD平面BB1C1C. 例4.(2008江蘇, 16, 14分) 如圖, 在四面體ABCD中, CB=CD, ADBD, 點(diǎn)E、F分別是AB、BD的中點(diǎn). 求證:() 直線EF平面ACD;() 平面EFC平面BCD. 答案 4.() 在ABD中, 因?yàn)镋、F分別是AB、BD的中點(diǎn), 所以EFAD. 又AD平面ACD, EF平面ACD, 所以直線EF平面ACD. () 在ABD中, 因?yàn)锳DBD, EFAD, 所以EFBD. 在BCD中, 因?yàn)镃D=CB, F為BD的中點(diǎn), 所以CFBD. 因?yàn)镋F平面EFC, CF平面EFC, EF與CF交于點(diǎn)F, 所以BD平面EFC. 又因?yàn)锽D平面BCD,