[數(shù)學(xué)]第三章 控制網(wǎng)平差ppt課件

1、第三章第三章 控制網(wǎng)平差控制網(wǎng)平差 完成控制網(wǎng)丈量的外業(yè)任務(wù)后要進(jìn)展內(nèi)業(yè)計(jì)算，內(nèi)業(yè)計(jì)算分為概算、平差計(jì)算和編制控制點(diǎn)成果表。本章重點(diǎn)引見獨(dú)立三角網(wǎng)的條件平差方法。 第一節(jié) 丈量平差的數(shù)學(xué)模型 第二節(jié) 條件平差原理 第三節(jié) 獨(dú)立三角網(wǎng)條件平差第一節(jié)第一節(jié) 丈量平差的數(shù)學(xué)模型丈量平差的數(shù)學(xué)模型 一、必要觀測(cè)與多余觀測(cè)一、必要觀測(cè)與多余觀測(cè) 在丈量任務(wù)中，最常見的問(wèn)題是要確定某些幾何量的大小。由各種幾何量構(gòu)成的模型丈量中就是各種控制網(wǎng)就是幾何模型。 為了確定一個(gè)幾何模型，并不需求知道該模型中一切元素的大小，而只需求知道其中部分元素，其它元素可以經(jīng)過(guò)知的元素確定。 可以獨(dú)一地確定一個(gè)幾何模型所必要的元

2、素，稱必要元素；確定必要元素的觀測(cè)稱為必要觀測(cè)。必要元素的個(gè)數(shù)用t 表示。 為了確定一個(gè)幾何模型就必需進(jìn)展觀測(cè)。假設(shè)觀測(cè)個(gè)數(shù) n 少于必要元素的個(gè)數(shù)，即 nt，顯然無(wú)法確定該模型，出現(xiàn)了數(shù)據(jù)缺乏的情況；假設(shè)觀測(cè)了 t 個(gè)獨(dú)立量，n =t，那么可獨(dú)一地確定該模型。在這種情況下，假設(shè)觀測(cè)結(jié)果中含有錯(cuò)誤，將無(wú)法發(fā)現(xiàn)。為了能及時(shí)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，并提高丈量成果的精度，就必需使 nt，即必需進(jìn)展多余觀測(cè)。多余觀測(cè)的個(gè)數(shù)在丈量中又稱“自在度。令 r = n t 顯然， r 就是多余觀測(cè)數(shù)。例如: 為確定三角形ABC，只需求3個(gè)必要觀測(cè)，它們可以是： S1, a, b或： S1, a, c或： S1, S2, b或

3、： S1, S2, S3 C c S2 S3 b a B S1 A假設(shè)觀測(cè)了一切六個(gè)元素，那么有3 個(gè)多余觀測(cè)二、平差的數(shù)學(xué)模型二、平差的數(shù)學(xué)模型 丈量中是經(jīng)過(guò)觀測(cè)來(lái)確定控制網(wǎng)中的某些幾何量，因此思索的模型總是數(shù)學(xué)模型。由于觀丈量是一種隨機(jī)變量，所以平差的數(shù)學(xué)模型應(yīng)同時(shí)包含函數(shù)模型和隨機(jī)模型。函數(shù)模型和隨機(jī)模型總稱為數(shù)學(xué)模型。 函數(shù)模型是由描畫觀丈量和待求量間的函數(shù)關(guān)系的模型，隨機(jī)模型是描畫觀丈量及其相互間統(tǒng)計(jì)相關(guān)性質(zhì)的模型。建立這兩種模型是丈量平差中最根本而首先思索的問(wèn)題。 丈量平差通常是基于線性函數(shù)模型的，當(dāng)函數(shù)模型為非線性方式時(shí)，是將其用泰勒公式展開，并取其一次項(xiàng)化為線性方式。 對(duì)于一個(gè)

4、實(shí)踐平差問(wèn)題，可建立不同方式的函數(shù)模型，相應(yīng)地就有不同的平差方法。丈量中常見的控制網(wǎng)平差方法有條件平差和間接平差兩種。 1、條件平差法 以觀丈量之間必需滿足一定的條件方程為函數(shù)模型的平差方法，稱為條件平差法 。例如：為了確定B、C、D三點(diǎn)的高程，其必要觀測(cè)數(shù) t =3，實(shí)踐觀測(cè)了6 段高差, 故多余觀測(cè)數(shù) r = nt =3，應(yīng)列出3個(gè)線性無(wú)關(guān)條件方程. h1 A B h2 C h3 h4 h5 h6 D 這個(gè)水準(zhǔn)網(wǎng)可以列出7個(gè)條件方程,其中只需3個(gè)是相互獨(dú)立的,我們?nèi)。篘oImage000452461231hhhhhhhhh式中： 表示觀丈量 hi 的平差值。這就是用平差值表達(dá)的條件方程。i

5、ha由于平差值應(yīng)該等于觀測(cè)值與其矯正數(shù)之和，即：iiivhh代入(a)式得： 其中：0, 00354226411321wvvvwvvvwvvv(b)542364123211hhhwhhhwhhhw321,011010101001000111wwwWA令：V = ( v1 v2 v3 v4 v5 v6)T那么條件方程可表達(dá)為以下矩陣方式： AV +W=0 c這就是條件平差函數(shù)模型的普通方式。條件方程 AV +W=0 中， A 為r n 階矩陣，稱為系數(shù)矩陣； V 為n 1列陣，稱為矯正數(shù)向量； W為r 1列陣，稱為閉合差向量。 2、間接平差法 一個(gè)幾何模型中，只會(huì)有 t 個(gè)獨(dú)立量，假設(shè)平差時(shí)就以

6、這 t 個(gè)獨(dú)立量為參數(shù)，模型中的一切量都一定是這 t 個(gè)獨(dú)立參數(shù)的函數(shù)，亦即每個(gè)觀丈量都可表達(dá)成所選 t 個(gè)獨(dú)立參數(shù)的函數(shù)。 選擇幾何模型中 t 個(gè)獨(dú)立量為平差參數(shù)，將每一個(gè)觀丈量表達(dá)成所選參數(shù)的函數(shù)，即列出 n 個(gè)這種函數(shù)關(guān)系式，以此為平差的函數(shù)模型，稱為間接平差法，又稱參數(shù)平差法。例如： ABC中，觀丈量為其中的三個(gè)內(nèi)角，選定A和B為平差參數(shù)，設(shè)為X1和 X2，將每一個(gè)觀丈量均表達(dá)為這兩個(gè)平差參數(shù)的函數(shù)，構(gòu)成數(shù)學(xué)模型: C L3 X1 X2 L1 L2A B1802132211XXLXLXL18000,11100121321321321dXXXBVLvvvLLLLLLL令：那么間接平差的函

7、數(shù)模型可用以下矩陣方式表達(dá)： L+V=BX+d或： V=BX l此式稱為間接平差誤差方程。式中，L 為觀測(cè)值向量 n 1 階； V 為矯正數(shù)向量 n 1 階 ； B 為系數(shù)矩陣 n t 階 ； X 為未知數(shù)向量 t 1 階 ； l =L d 為常數(shù)矩陣 n 1 階 。第二節(jié)第二節(jié) 條件平差原理?xiàng)l件平差原理 條件方程 AV +W=0 中， A 為 r n 階矩陣， V 為 n 1 列陣， 即有 r 個(gè)方程，n 個(gè)未知數(shù),且 r n，這樣的方程組有無(wú)窮多組解。然而，根據(jù)最小二乘準(zhǔn)那么，觀丈量的最或然值應(yīng)該滿足VTPV=min。在 AV +W=0的條件下確定 VTPV 的最小值，這在數(shù)學(xué)中是求函數(shù)=

8、VTPV的條件極值問(wèn)題。條件平差，實(shí)踐上是確定條件方程滿足VTPV=min 的獨(dú)一解。 根據(jù)計(jì)算函數(shù)的條件極值的拉格朗日乘數(shù)法那么組成新函數(shù)： = VTPV 2KTAV+W) 其中： K =k1, k2，kr )T 是拉格朗日乘數(shù)，丈量平差中稱之為聯(lián)絡(luò)數(shù)向量。 顯然，只需令對(duì)V的一階導(dǎo)數(shù)等于零就可以求出 VTPV 的極值。矩陣求導(dǎo)的兩個(gè)公式：(1) 設(shè)C為常數(shù)陣，X為列陣，那么 dXdYZdXdZYdXZYdTTT)(CdXCXd)(2)設(shè)Y、Z 均為列陣，那么：一、矯正數(shù)方程令其等于零，留意到 (PV )T = V T P，從而有： V T P =K T A 轉(zhuǎn)置后左乘 P 1 得： V =

9、P 1 ATK (1)該公式表達(dá)了矯正數(shù) V 與聯(lián)絡(luò)數(shù) K 的關(guān)系。AKPVPVdVdTTT2)(函數(shù) = VTPV 2 KT ( AV+W ) 對(duì) V 求導(dǎo)：二、法方程式將1式代入條件方程 AV +W=0 中得： AP 1 AT K+W=0 2這就是條件平差的法方程式。式中，P為觀測(cè)值的權(quán)矩陣，設(shè)第 i 個(gè)觀測(cè)值的權(quán)為 pi , 那么npppP.21顯然 P 是一個(gè)對(duì)角陣，其逆存在，且：npppP1.1.1211三、法方程的解 令 N = AP 1 AT 3 那么法方程式的方式為 N K+W =0 其中N 稱為法方程式系數(shù)矩陣，是一個(gè)滿秩二次型方陣，其逆存在。從而可解出聯(lián)絡(luò)數(shù)向量： K =

10、N 1 W 4四、條件平差的普經(jīng)過(guò)程1列出條件方程 AV +W=0 2組成法方程系數(shù)矩陣 N = AP 1 AT 3解法方程得到聯(lián)絡(luò)數(shù) K = N 1 W 4計(jì)算矯正數(shù) V=P 1 ATK 5計(jì)算平差值 6精度評(píng)定VLL上一講內(nèi)容回想 條件平差函數(shù)模型的普通方式：條件平差函數(shù)模型的普通方式： AV +W=0 條件平差的法方程式條件平差的法方程式 AP 1 AT K+W=0 或或 NK+W=0 法方程的解法方程的解K = N 1 W 矯正數(shù)矯正數(shù) V=P 1 ATK 條件平差的普經(jīng)過(guò)程條件平差的普經(jīng)過(guò)程1列出條件方程列出條件方程VLLAV +W=0 2組成法方程系數(shù)矩組成法方程系數(shù)矩陣陣 N =

11、 AP 1 AT 3解法方程得到聯(lián)絡(luò)數(shù)解法方程得到聯(lián)絡(luò)數(shù) K = N 1 W 4計(jì)算矯正數(shù)計(jì)算矯正數(shù) V=P 1 ATK 5計(jì)算平差值計(jì)算平差值 6精度評(píng)定計(jì)算單位權(quán)方差、觀測(cè)值中誤精度評(píng)定計(jì)算單位權(quán)方差、觀測(cè)值中誤差、平差值函數(shù)的中誤差等差、平差值函數(shù)的中誤差等第三節(jié) 獨(dú)立三角網(wǎng)條件平差 根據(jù)三角網(wǎng)中起算數(shù)據(jù)的多少，三角網(wǎng)有根據(jù)三角網(wǎng)中起算數(shù)據(jù)的多少，三角網(wǎng)有獨(dú)立三角網(wǎng)網(wǎng)中僅有必要的起算數(shù)據(jù)和非獨(dú)立三角網(wǎng)網(wǎng)中僅有必要的起算數(shù)據(jù)和非獨(dú)立三角網(wǎng)網(wǎng)中具有多余的起算數(shù)據(jù)之分。獨(dú)立三角網(wǎng)網(wǎng)中具有多余的起算數(shù)據(jù)之分。三角網(wǎng)平差有按角度平差和按方向平差兩種方三角網(wǎng)平差有按角度平差和按方向平差兩種方法。本節(jié)

12、討論獨(dú)立三角網(wǎng)按角度進(jìn)展條件平差法。本節(jié)討論獨(dú)立三角網(wǎng)按角度進(jìn)展條件平差時(shí)，條件方程式列立、法方程式組成和解算的時(shí)，條件方程式列立、法方程式組成和解算的詳細(xì)步驟和方法。詳細(xì)步驟和方法。 一、圖形條件一、圖形條件 圖形條件通常是指平差后三角形內(nèi)角應(yīng)滿足圖形條件通常是指平差后三角形內(nèi)角應(yīng)滿足的幾何條件，所以也稱為三角形閉合條件。的幾何條件，所以也稱為三角形閉合條件。 條件平差時(shí)，關(guān)鍵是列出條件方程。獨(dú)立條件平差時(shí)，關(guān)鍵是列出條件方程。獨(dú)立三角網(wǎng)的觀丈量主要是三角形的內(nèi)角，這些角三角網(wǎng)的觀丈量主要是三角形的內(nèi)角，這些角在幾何上應(yīng)該滿足一定的條件，這些條件就是在幾何上應(yīng)該滿足一定的條件，這些條件就是列

13、立條件方程的根底。列立條件方程的根底。 根據(jù)幾何條件的不同，獨(dú)立三角網(wǎng)的條件根據(jù)幾何條件的不同，獨(dú)立三角網(wǎng)的條件方程分為圖形條件、圓周角條件、極條件、基方程分為圖形條件、圓周角條件、極條件、基線條件四種類型。線條件四種類型。1.1.平差值表達(dá)的圖形條件平差值表達(dá)的圖形條件 對(duì)于有對(duì)于有 n 個(gè)三角形組成的中點(diǎn)多邊形個(gè)三角形組成的中點(diǎn)多邊形 (a)或三角鎖或三角鎖 (b)，可以列出，可以列出 n 個(gè)圖形條件：個(gè)圖形條件：0180 iiicbai =1，2， ，n a1 ci an bn b1 c1 ci ai bi ai bi cn (a) (b) 對(duì)于大地四邊形，對(duì)于大地四邊形， 可以列出可以

14、列出7個(gè)圖形條件，個(gè)圖形條件，但是只需但是只需 3 個(gè)是相互獨(dú)個(gè)是相互獨(dú)立的，其他幾個(gè)可以由立的，其他幾個(gè)可以由這這 3 個(gè)方程推導(dǎo)出來(lái)：個(gè)方程推導(dǎo)出來(lái)： a3 b3 b2 a4 a2 b4 b1 a1018001800180443333222211babababababa2. 2. 矯正數(shù)表達(dá)的圖形條件矯正數(shù)表達(dá)的圖形條件 代入用平差值表達(dá)的條件方程，整理后可得代入用平差值表達(dá)的條件方程，整理后可得 ;aiiivaa;biiivbbciiivcc平差值、觀測(cè)值、矯正數(shù)三者的關(guān)系為：平差值、觀測(cè)值、矯正數(shù)三者的關(guān)系為：1 1中點(diǎn)多邊形和三角鎖：中點(diǎn)多邊形和三角鎖：vai+vbi+vci+wi=

15、0; wi= ai+ bi +ci - 180 2 2大地四邊形：大地四邊形：va1+vb1+va2+ vb2 +w1=0; va2+vb2+va3+ vb3 +w2=0; va3+vb3+va4+ vb4 +w3=0; w1= a1+ b1 +a2 +b2- 180w2= a2+ b2 +a3 +b3- 180w3= a3+ b3 +a4 +b4- 180 a3 b3 b2 a4 a2 b4 b1 a13.3.圖形條件閉合差的限差圖形條件閉合差的限差 設(shè)角度觀測(cè)中誤差為設(shè)角度觀測(cè)中誤差為m，運(yùn)用誤差傳播定律，運(yùn)用誤差傳播定律可得三角形閉合差可得三角形閉合差 w 的中誤差為的中誤差為 3mmw

16、32mw限取閉合差中誤差的兩倍作為閉合差的限值，即取閉合差中誤差的兩倍作為閉合差的限值，即同理，同理，n 個(gè)角的圖形條件閉合差的限值為個(gè)角的圖形條件閉合差的限值為nmw2限二、圓周角條件二、圓周角條件 在中點(diǎn)多邊形中，雖然一切三角形的圖形在中點(diǎn)多邊形中，雖然一切三角形的圖形條件都滿足，但在中心點(diǎn)處，依然能夠出現(xiàn)條件都滿足，但在中心點(diǎn)處，依然能夠出現(xiàn)各角度值之和不等于各角度值之和不等于360360的景象，平差時(shí)除的景象，平差時(shí)除了要滿足三角形閉合條件外，還必需使中心了要滿足三角形閉合條件外，還必需使中心點(diǎn)處的角度滿足以下條件：點(diǎn)處的角度滿足以下條件：0360ic a1 b1 c1 ci ai b

17、i 用矯正數(shù)表達(dá)的圓周角條件為：用矯正數(shù)表達(dá)的圓周角條件為：其中，其中，wo 稱為圓周角條件閉合差。稱為圓周角條件閉合差。nmw2限式中，式中， m 為角度觀測(cè)中誤差；為角度觀測(cè)中誤差； n 為圓周角的個(gè)數(shù)。為圓周角的個(gè)數(shù)。360iocw0ociwv；對(duì)對(duì)wo運(yùn)用誤差傳播定律，并以運(yùn)用誤差傳播定律，并以2倍中誤差作倍中誤差作為限差，那么圓周角閉合差的限差為：為限差，那么圓周角閉合差的限差為：三、極條件 以中點(diǎn)多邊形為例，假設(shè)從OA邊出發(fā)，依次解算三角形、，最后解算出的OA邊長(zhǎng)應(yīng)與出發(fā)邊OA相等。即： A a1 EB b1 c1 O a2 c2 ci b2 ai bi C D11sinsinba

18、SSOAOB212122sinsinsinsinsinsinbbaaSbaSSOAOBOCnnOAOAbbbaaaSSsinsinsinsinsinsin.21211.1.平差值方式的極條件方程平差值方式的極條件方程1sinsinsinsinsinsin2121nnbbbaaa01)sin()sin()sin()sin()sin()sin(22112211bnnbbannaavbvbvbvavava 依次解算的三角形有共同頂點(diǎn)依次解算的三角形有共同頂點(diǎn)O，這個(gè)共同頂，這個(gè)共同頂點(diǎn)點(diǎn)O成為極點(diǎn)，故這種條件稱為極條件。成為極點(diǎn)，故這種條件稱為極條件。 將上述公式中的平差值用觀測(cè)值加矯正數(shù)的方將上述

19、公式中的平差值用觀測(cè)值加矯正數(shù)的方式表達(dá)，那么有：式表達(dá)，那么有：即：即：2.2.矯正數(shù)方式的極條件方程矯正數(shù)方式的極條件方程 上述方程按臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開取至矯正數(shù)的一次上述方程按臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開取至矯正數(shù)的一次項(xiàng)使其線性化：項(xiàng)使其線性化：0)sincos(sinsinsinsinsinsin)sinsin(sinsinsinsinsincos1sinsinsinsinsinsin1)sin()sin()sin()sin()sin()sin(12121211112121212122112211 bnnnnannnnbnnbbannaavbbbbbaaavaabbbaaabbbaaavbvbvbvava

20、va令令 ai = ctg ai , bi = ctg bi )sinsin1 (iisabw稱為極條件閉合差。稱為極條件閉合差。那么上式可化簡(jiǎn)為：那么上式可化簡(jiǎn)為：ai vai bi vbi+ws = 0 其中：其中： 3. 3. 極條件閉合差的限差極條件閉合差的限差對(duì)極條件閉合差的表達(dá)式運(yùn)用誤差傳播定律得：對(duì)極條件閉合差的表達(dá)式運(yùn)用誤差傳播定律得：mmmwow22限mwo2 = a12 ma12+ a22 ma22+ bn2 mbn2由于通常各三角形內(nèi)角是等精度觀測(cè)，即由于通常各三角形內(nèi)角是等精度觀測(cè)，即mai = mbi = m, 以以2倍中誤差為閉合差的限差，從而得到極條件倍中誤差為閉

21、合差的限差，從而得到極條件閉合差的限差為：閉合差的限差為： 四、基線條件四、基線條件 對(duì)于有兩條基線的三角網(wǎng)，其角度觀測(cè)值對(duì)于有兩條基線的三角網(wǎng)，其角度觀測(cè)值平差后應(yīng)滿足：兩條基線經(jīng)三角形邊長(zhǎng)傳算后平差后應(yīng)滿足：兩條基線經(jīng)三角形邊長(zhǎng)傳算后相等。例如以下三角鎖中，相等。例如以下三角鎖中， B1、B2為兩條基為兩條基線，由線，由 B1 經(jīng)三角形、經(jīng)三角形、傳算到傳算到 B2 后，應(yīng)該與后，應(yīng)該與 B2 相等。這個(gè)條件稱為基線條件。相等。這個(gè)條件稱為基線條件。 c 1 ci an bn B1 B2 a1 b1 ai bi cn 1.1.平差值表達(dá)的基線條件方程平差值表達(dá)的基線條件方程nnbbbaaa

22、BBsinsinsinsinsinsin212112 根據(jù)正弦定理，上述三角鎖中，仿照極條件根據(jù)正弦定理，上述三角鎖中，仿照極條件的推導(dǎo)過(guò)程，基線的推導(dǎo)過(guò)程，基線 B1，B2 與傳距角與傳距角 ai，bi的的平差值應(yīng)該滿足：平差值應(yīng)該滿足：2.2.矯正數(shù)表達(dá)的基線條件方程矯正數(shù)表達(dá)的基線條件方程)sinsin1(12aBbBwB0)sin()sin()sin()sin()sin()sin(2221122111BvbvbvbvavavaBbnnbbannaa 上式中的平差值用觀測(cè)值加矯正數(shù)的方式表上式中的平差值用觀測(cè)值加矯正數(shù)的方式表達(dá)并移項(xiàng)后得：達(dá)并移項(xiàng)后得：線性化后令線性化后令ai = ct

23、g ai ,bi = ctg bi ，那么有：，那么有：ai vai bi vbi+wB= 03.3.基線條件閉合差的限差基線條件閉合差的限差 2222212122BmBmmwBBB限稱為基線條件閉合差。運(yùn)用誤差傳播定律可稱為基線條件閉合差。運(yùn)用誤差傳播定律可計(jì)算其中誤差，取計(jì)算其中誤差，取 2 倍中誤差為限差可得：倍中誤差為限差可得：)sinsin1 (12aBbBwB五、典型三角網(wǎng)的條件方程五、典型三角網(wǎng)的條件方程 設(shè)獨(dú)立三角網(wǎng)中觀測(cè)值個(gè)數(shù)為設(shè)獨(dú)立三角網(wǎng)中觀測(cè)值個(gè)數(shù)為 n，三角點(diǎn)的，三角點(diǎn)的總數(shù)為總數(shù)為N，其中要有，其中要有 2 個(gè)是知坐標(biāo)的點(diǎn)，未個(gè)是知坐標(biāo)的點(diǎn)，未知點(diǎn)個(gè)數(shù)為知點(diǎn)個(gè)數(shù)為N

24、- 2，每個(gè)未知點(diǎn)需求，每個(gè)未知點(diǎn)需求 2 個(gè)必個(gè)必要觀測(cè)以確定其要觀測(cè)以確定其 x，y 坐標(biāo)，那么必要觀測(cè)的坐標(biāo)，那么必要觀測(cè)的個(gè)個(gè)數(shù)為數(shù)為 t = 2(N - 2) , 獨(dú)立的條件方程數(shù)目為：獨(dú)立的條件方程數(shù)目為： r = n - t 其中大地四邊形和中點(diǎn)多邊形要有其中大地四邊形和中點(diǎn)多邊形要有1個(gè)極條件。個(gè)極條件。網(wǎng)中每添加網(wǎng)中每添加 1條知邊，應(yīng)添加條知邊，應(yīng)添加 1個(gè)基線條件。個(gè)基線條件。條件方程的數(shù)目：條件方程的數(shù)目：1.1.三角鎖三角鎖條件方程的個(gè)數(shù)：條件方程的個(gè)數(shù)： c 1 ci an bn B1 B2 a1 b1 ai bi cn 第一個(gè)三角形有第一個(gè)三角形有3個(gè)點(diǎn)，每添加個(gè)

25、點(diǎn)，每添加1個(gè)三角形添個(gè)三角形添加加1個(gè)點(diǎn)，個(gè)點(diǎn)，n個(gè)三角形共有個(gè)三角形共有n+2個(gè)點(diǎn)，必要觀測(cè)個(gè)點(diǎn)，必要觀測(cè)個(gè)數(shù)是：個(gè)數(shù)是：t = 2 (n + 2 2) = 2n ； 共有共有3n個(gè)角度觀測(cè)值，個(gè)角度觀測(cè)值，2條基線，其中一條條基線，其中一條是起算邊長(zhǎng)，因此條件方程的個(gè)數(shù)為：是起算邊長(zhǎng)，因此條件方程的個(gè)數(shù)為： r = 3n - 2n +1 = n +1條件方程的種類：條件方程的種類： 圖形條件圖形條件n個(gè)：個(gè)：)sinsin1(12aBbBwB vai+vbi+vci+wi=0; wi= ai+ bi +ci 180 (i = 1,2,n)基線條件基線條件1 1個(gè)：個(gè)： ai vai bi

26、 vbi+wB= 02.2.大地四邊形大地四邊形 共有共有4個(gè)點(diǎn)，其中個(gè)點(diǎn)，其中2個(gè)為起算點(diǎn)，個(gè)為起算點(diǎn)，2個(gè)未個(gè)未知點(diǎn)，應(yīng)有知點(diǎn)，應(yīng)有4個(gè)必要個(gè)必要觀測(cè)觀測(cè)t=4，共有，共有8個(gè)觀測(cè)值個(gè)觀測(cè)值(n=8)，條件方程的個(gè)數(shù)為：條件方程的個(gè)數(shù)為： r = n - t = 4 a3 b3 b2 a4 a2 b4 b1 a1 B其中圖形條件其中圖形條件3 3個(gè)：個(gè)： va1+vb1+va2+ vb2 +w1=0; w1= a1+ b1 +a2 +b2 180 va2+vb2+va3+ vb3 +w2=0; w2= a2+ b2 +a3 +b3 180 va3+vb3+va4+ vb4 +w3=0; w

27、3= a3+ b3 +a4 +b4 180極條件極條件1 1個(gè)個(gè): : ai vai bi vbi +ws = 0 ；其中：其中：)sinsin1 (iisabwai = ctg ai , bi = ctg bi3.3.中點(diǎn)多邊形中點(diǎn)多邊形條件方程的數(shù)目：條件方程的數(shù)目： A a1 EB b1 c1 O a2 c2 ci b2 ai bi C Dt=2(n+1 2)=2n 2共有共有n+1個(gè)點(diǎn)，必個(gè)點(diǎn)，必要觀測(cè)個(gè)數(shù)：要觀測(cè)個(gè)數(shù)：觀測(cè)值個(gè)數(shù)觀測(cè)值個(gè)數(shù)3n；條件方程個(gè)數(shù)：條件方程個(gè)數(shù)：r = 3n (2n 2 ) = n+2 條件方程的種類：條件方程的種類： 圖形條件圖形條件n個(gè)：個(gè)：)sinsi

28、n1 (iisabwvai+vbi+vci+wi=0; wi= ai+ bi +ci 180 (i = 1,2,n)圓周角條件圓周角條件1個(gè)：個(gè)： vci+wo= 0 ； wo= ci -360極條件極條件1個(gè)：個(gè)： ai vai bi vbi+ws= 0六、精度評(píng)定六、精度評(píng)定 在條件平差中，精度評(píng)定包括計(jì)算單位權(quán)方差和平差值函數(shù)的中誤差。rPVVrpvvT2其中，其中，r 為條件方程的個(gè)數(shù)，為條件方程的個(gè)數(shù)， pvv=VTPV 可可以根據(jù)矯正數(shù)向量以根據(jù)矯正數(shù)向量 V 直接計(jì)算，也可以根據(jù)直接計(jì)算，也可以根據(jù)聯(lián)絡(luò)數(shù)向量聯(lián)絡(luò)數(shù)向量 K 計(jì)算。計(jì)算。1.1.單位權(quán)方差：?jiǎn)挝粰?quán)方差：由于由于 V

29、=P-1ATK所以所以 VTPV=KTAP-1PP-1ATK= KTNK式中，式中，N 為法方程系數(shù)矩陣。為法方程系數(shù)矩陣。VTPV還可以用閉合差向量還可以用閉合差向量W 進(jìn)展計(jì)算。進(jìn)展計(jì)算。將將V=P-1ATK 代入代入VTPV 中得：中得：VTPV=VTPP-1ATK=(AV)TK而由條件方程而由條件方程AV+W=0知：知：W= AV 所以有：所以有： VTPV=WTK 2. 2. 平差值函數(shù)的權(quán)倒數(shù)平差值函數(shù)的權(quán)倒數(shù) 我們知道，未知量我們知道，未知量 x 的中誤差的平方的中誤差的平方 mx2 與單位權(quán)中誤差的平方與單位權(quán)中誤差的平方 2 成正比，與該量的成正比，與該量的權(quán)權(quán) Px 成反比

30、，即：成反比，即：xxpm22 同樣，對(duì)于平差值的函數(shù)，只需可以確定同樣，對(duì)于平差值的函數(shù)，只需可以確定它的權(quán)它的權(quán)Px，根據(jù)單位權(quán)中誤差，就可以計(jì)算，根據(jù)單位權(quán)中誤差，就可以計(jì)算出該函數(shù)的中誤差。出該函數(shù)的中誤差。設(shè)有平差值函數(shù)為設(shè)有平差值函數(shù)為TnLLLf21 ),(21nLLLf iiLf那么平差值函數(shù)的權(quán)倒數(shù)公式那么平差值函數(shù)的權(quán)倒數(shù)公式為為 P -1=f T P-1 f - (AP-1f )TN-1AP-1f其中：其中：P為觀測(cè)值的權(quán)矩陣；為觀測(cè)值的權(quán)矩陣；A為條件方程系數(shù)為條件方程系數(shù)矩陣；矩陣；N為法方程系數(shù)矩陣；為法方程系數(shù)矩陣；f 為列矩陣：為列矩陣：可見，列出平差函數(shù)式后，

31、只需求出可見，列出平差函數(shù)式后，只需求出f 列陣的系數(shù)列陣的系數(shù) 即可由上式計(jì)算函數(shù)的權(quán)倒數(shù)。即可由上式計(jì)算函數(shù)的權(quán)倒數(shù)?！纠?-1 】 p.49) 某一級(jí)小三角網(wǎng)如圖，知A點(diǎn)坐標(biāo)為(500.000，500.000)，AB邊坐標(biāo)方位角 =321236，長(zhǎng)度S=872.562m，三角網(wǎng)角度觀測(cè)值如下表，計(jì)算各點(diǎn)坐標(biāo)。七、獨(dú)立三角網(wǎng)條件平差算例 B b1 a2 S c1 c2 D c3 a1 b2 b3 a3A C 列條件方程列條件方程 此題有此題有2 2個(gè)未知點(diǎn)，需個(gè)未知點(diǎn)，需4 4個(gè)必要觀測(cè)，實(shí)個(gè)必要觀測(cè)，實(shí)踐有踐有9 9個(gè)觀測(cè)值，故應(yīng)列出個(gè)觀測(cè)值，故應(yīng)列出5 5個(gè)條件方程。其個(gè)條件方程。其中

32、中3 3個(gè)圖形條件，個(gè)圖形條件，1 1個(gè)圓周角條件，個(gè)圓周角條件，1 1個(gè)極條個(gè)極條件。件?！窘狻浚?角度觀測(cè)值 三角形 a b c 閉合差 1 30 52 39.2 1.67 42 16 41.2 1.10 106 50 40.6 180 00 01.0 +1.0 2 33 40 54.8 1.50 20 58 26.4 2.61 125 20 37.2 179 59 58.4 -1.6 3 23 45 12.5 2.27 28 26 07.9 1.85 127 48 39.0 179 59 59.4 -0.6 sin 0.1146431 0.1146615 359 59 56.8 2. 2

33、. 閉合差檢核閉合差檢核 一級(jí)小三角網(wǎng)測(cè)角中誤差應(yīng)不大于53 .1732mw限3 .1732 mwO限5 .462mws限圖形條件閉合差檢核：|wi| max =1.6 w限 圓周角條件閉合差檢核：wO = -3.2 wO限 極條件閉合差檢核：限siiswabw1 .33)sinsin1 (3. 3. 列立條件方程列立條件方程 條件方程的矩陣方式為：條件方程的矩陣方式為：AV+W=0, 本例中：本例中：.85. 127. 2.61. 250. 1.10. 167. 11.111.111AW=(1.0 -1.6 -0.6 -3.2 -33.1)TV=( va1 vb1 vc1 v

34、a2 vb2 vc2 va3 vb3 vc3)T4. 4. 組成法方程組成法方程 法方程的組成與解算可以利用Matlab軟件。 翻開Matlab，進(jìn)入命令編輯器后，先輸入常數(shù)矩陣A和W，再進(jìn)展矩陣運(yùn)算，得到法方程式，解法方程式得到聯(lián)絡(luò)數(shù)向量K和矯正數(shù)向量V。留意：本例中一切觀測(cè)值都是等精度角度觀測(cè)留意：本例中一切觀測(cè)值都是等精度角度觀測(cè)值，所以法方程中權(quán)矩陣為單位陣。值，所以法方程中權(quán)矩陣為單位陣。先輸入先輸入2個(gè)常個(gè)常數(shù)矩陣數(shù)矩陣A,W再點(diǎn)擊workspace按鈕，對(duì)這兩個(gè)矩陣進(jìn)展修正常數(shù)矩陣的輸入組成法方程系數(shù)矩陣5. 解算聯(lián)絡(luò)數(shù)和矯正數(shù)Matlab中，函數(shù)必需運(yùn)中，函數(shù)必需運(yùn)用小寫字母用小寫字母6. 6. 精度評(píng)定精度評(píng)定直接在直接在MATLAB中計(jì)算中計(jì)算PVV：45. 353972.59rpvvmm10闡明該三角網(wǎng)角度觀測(cè)到達(dá)精度要求。闡明該三角網(wǎng)角度觀測(cè)到達(dá)精度要求。？PVV=V*VPVV =59.3972據(jù)此計(jì)算測(cè)角中誤差：據(jù)此計(jì)算測(cè)角中誤差：7. 7. 計(jì)算觀丈量的平差值計(jì)算觀丈量的平差值 三角形 角 觀測(cè)值 v 平差值 a 30 52 39.2 1.58 30 52 40.78 b 42 16 41.2 -2.86 42 16 38.34 c 106 50 40.6 0.27