《高等數(shù)學(xué)》電子課件（同濟(jì)第六版）：第四章 第3節(jié) 分部積法

1、2問(wèn)題問(wèn)題 ?dxxex解決思路解決思路利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則.設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xuu 和和)(xvv 具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,vuvuuv , vuuvvu ,dxvuuvdxvu.duvuvudv 分部積分公式分部積分公式一、基本內(nèi)容3例例1 1 求積分求積分.cos xdxx解（一）解（一） xdxxcos xdxxxxsin2cos222顯然，顯然， 選擇不當(dāng)選擇不當(dāng)，積分更難進(jìn)行，積分更難進(jìn)行.vu ,解（二）解（二） xdxxcos xxdsin xdxxxsinsin.cossinCxxx )(cos221xdxxdxxxcoscos22224

2、例例2 2 求積分求積分.2 dxexx解解 dxexx2 dxxeexxx22.)(22Cexeexxxx 總結(jié)總結(jié) 若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正(余余)弦函數(shù)弦函數(shù)或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積, 就考慮設(shè)冪函就考慮設(shè)冪函數(shù)為數(shù)為 , 使其降冪一次使其降冪一次(假定冪指數(shù)是正整數(shù)假定冪指數(shù)是正整數(shù))uxdex2xxxdeex225一般地：一般地：xdxxP sin)(xdxxP cos)(dxexPx )(dxaxPx )(3例例dxxx532 )(xdx53251)(ln )()(ln32553251xdxxx)(lndxxxx5253251Cxxxln

3、)(ln5512532516例例4 4 求積分求積分.arctan xdxx解解 xdxxarctan)(arctan2arctan222xdxxx dxxxxx222112arctan2 dxxxx)111(21arctan222 .)arctan(21arctan22Cxxxx )(arctan221xdx7例例5 5 求積分求積分.ln3 xdxx解解 xdxx ln3 dxxxx3441ln41.161ln4144Cxxx )(ln441xxd6例例dxxx2lnxxd1lnlndxxxxx111Cxxx11ln8一般地：一般地：xdxxQarcsin)(xdxxQarctan)(xd

4、xxQarccos)(xdxxQln)(7例例dxxxarcsin221dxxarcsinarcsindxxxxx222121arcsindxxxxx22211121Cxxxxxxarcsinarcsinarcsin21121212121229例例8 8 求積分求積分.)sin(ln dxx解解 dxx)sin(ln )sin(ln)sin(lnxxdxx dxxxxxx1)cos(ln)sin(ln )cos(ln)cos(ln)sin(lnxxdxxxx dxxxxx)sin(ln)cos(ln)sin(ln dxx)sin(ln.)cos(ln)sin(ln2Cxxx 10例例9 9 求

5、積分求積分.sin xdxex解解 xdxexsin xxdesin )(sinsinxdexexx xdxexexxcossin xxxdexecossin )coscos(sinxdexexexxx xdxexxexxsin)cos(sin xdxexsin.)cos(sin2Cxxex 注意循環(huán)形式注意循環(huán)形式1110例例xdx3secxdxx2secsecxxd tansecxdxxxxxtansectantansecxdxxxxsec)(sectansec12xdxxdxxxsecsectansec3)tanln(secsectansecxxxdxxx3Cxxxxxdx)tanln(

6、sectansecsec21312例例1111 求積分求積分 .1arctan2dxxxx解解 ,1122xxx dxxxx21arctan 21arctanxxd)(arctan1arctan122xdxxx dxxxxx222111arctan1 13dxxxx 2211arctan1令令txtan dxx 211 tdtt22sectan11 tdtsecCtt )tanln(secCxx )1ln(2 dxxxx21arctanxx arctan12 .)1ln(2Cxx 14例例 1212 已知已知)(xf的一個(gè)原函數(shù)是的一個(gè)原函數(shù)是2xe , 求求 dxxfx)(. 解解 dxxf

7、x)( )(xxdf,)()( dxxfxxf,)(2 Cedxxfx ),()(xfdxxf 兩邊同時(shí)對(duì)兩邊同時(shí)對(duì) 求導(dǎo)求導(dǎo), 得得x,2)(2xxexf dxxfx)( dxxfxxf)()(222xex .2Cex 1513例例dxxxxexsinsincos2dxxedxxxexxsinsincos22dxxexdexxsinsin222dxxedxxexexxxsinsinsin2222Cxexsin2216合理選擇合理選擇 ，正確使用分部積，正確使用分部積分公式分公式vu ,dxvuuvdxvu 二、小結(jié)1721234P習(xí)題雙數(shù)雙數(shù)18思考題思考題 在接連幾次應(yīng)用分部積分公式時(shí)，在

8、接連幾次應(yīng)用分部積分公式時(shí)， 應(yīng)注意什么？應(yīng)注意什么？19思考題解答思考題解答注意前后幾次所選的注意前后幾次所選的 應(yīng)為同類型函數(shù)應(yīng)為同類型函數(shù).u例例 xdxexcos第一次時(shí)若選第一次時(shí)若選xucos1 xdxexcosdxxexexx sincos第二次時(shí)仍應(yīng)選第二次時(shí)仍應(yīng)選xusin2 20一、填空題：一、填空題：1 1、 xdxxsin_；2 2、 xdxarcsin_；3 3、計(jì)算、計(jì)算 xdxx ln2， u可設(shè)可設(shè)_ _ , , dv_；4 4、計(jì)算、計(jì)算 xdxexcos， u可設(shè)可設(shè)_ _ _ , , dv_；5 5、計(jì)算、計(jì)算 xdxx arctan2， u可設(shè)可設(shè)_ _

9、 , , dv_； 6 6、 計(jì)計(jì)算算 dxxex， u可可設(shè)設(shè)_ _ _ _ _ _ _, , dv_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .二、二、 求下列不定積分：求下列不定積分：1 1、 dxxx2cos22； 2 2、 dxxx23)(ln；練練 習(xí)習(xí) 題題213、 nxdxeaxcos； 4、 dxex3；5、 dxx)cos(ln； 6、 dxxxex232arctan)1( .三三、 已已知知xxsin是是)(xf的的原原函函數(shù)數(shù)，求求 dxxxf)(. .四四、 設(shè)設(shè) CxFdxxf)()(，)(xf可可微微，且且)(xf的的反反函函數(shù)數(shù))(1xf 存存在在，則則 CxfFxxfdxxf )()()(111. .22一、一、1 1、Cxxx sincos； 2 2、Cxxx 21arcsin； 3 3、dxxx2,ln； 4 4、,xe xdxcos； 5 5、dxxx2,arctan； 6 6、dxexx ,. .二、二、1、Cxxxxxx sincossin21623； 2、Cxxxx 6ln6)(ln3)(