知識(shí)點(diǎn)-立體幾何知識(shí)點(diǎn)常見結(jié)論總結(jié)_7703

1、立體幾何高考知識(shí)點(diǎn)和解題思想?yún)R總補(bǔ)充：三角形內(nèi)心、外心、重心、垂心知識(shí)四心的概念介紹：（1）重心中線的交點(diǎn)：重心將中線長度分成2：1；（2）垂心高線的交點(diǎn)：高線與對應(yīng)邊垂直；（3）內(nèi)心角平分線的交點(diǎn)（內(nèi)切圓的圓心） ：角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等；（4）外心中垂線的交點(diǎn)（外接圓的圓心） ：外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等。AAAAEFEFMFEOKOGIBCC BBBDCCDD H垂心重心內(nèi)心外心若 P 為ABC 所在平面外一點(diǎn) , O 是點(diǎn) P 在 ABC 內(nèi)的射影，則：若 PAPB PC或 PA、PB、 PC與所成角均相等 , 則O為 ABC的外心；若 P 到ABC 的三邊的距離相等

2、, 則 O 為 ABC 的內(nèi)心；若 PA 、 PB 、 PC 兩兩互相垂直 , 或 PABC, PBAC 則 O 為ABC 的垂心常見空間幾何體定義：1 棱柱：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱，這兩個(gè)面為底面，其他面為側(cè)面。棱柱具有下列性質(zhì)：1）棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都平行且相等；2）棱柱的兩個(gè)底面與平行于底面的截面是對應(yīng)邊互相平行的全等多邊形。3）直棱柱的側(cè)棱長與高相等；直棱柱的側(cè)面及經(jīng)過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是矩形。棱柱的分類：斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱。直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱

3、柱叫做直棱柱。直棱柱的各個(gè)側(cè)面都是矩形；正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱。正棱柱的各個(gè)側(cè)面都是全等的矩形。平行六面體 : 底面是平行四邊形的棱柱。直平行六面體：側(cè)棱垂直于底面的平行六面體叫直平行六面體。長方體：底面是矩形的直棱柱叫做長方體2 棱錐：有一個(gè)面是多邊形 ，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐 (1) 如果一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，且頂點(diǎn)與底面中心的連線垂直于底面，這樣的棱錐稱為正棱錐正棱錐具有性質(zhì)：正棱錐的頂點(diǎn)和底面中心的連線即為高線；正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形，這些等腰三角形底邊上的高都相等，叫做這個(gè)正棱錐的斜高(2) 底邊長和側(cè)棱長都相

4、等的三棱錐叫做正四面體高中數(shù)學(xué)(3) 依次連結(jié)不共面的四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形叫做空間四邊形常見幾何題表面積、體積公式1旋轉(zhuǎn)體的表面積(1)圓柱的表面積 S 2r 2 2rl (其中 r 為底面半徑， l為母線長 ) (2) 圓錐的表面積 S r 2 rl （其中 r 為底面半徑， l 為母線長 ) (4) 球的表面積公式 S 4 R2 ( 其中 R 為球半徑 ) 2幾何體的體積公式(1) 柱體的體積公式 VSh(其中 S 為底面面積， h 為高 ) 1(2)錐體的體積公式V3Sh(其中 S 為底面面積， h 為高 ) 43(3) 球的體積公式 V3 R ( 其中 R為球半徑 ) 三棱錐外接球問題：一

5、、正四面體： 如圖 1，正四面體 ABCD 的邊長為 a，高為 h ，其外接球與內(nèi)切球球心重合，且有關(guān)系： rRh6 a ，有外接圓球半徑為：6 a ，內(nèi)切圓的球半徑為：6 a ，比例為 3:1。3412DEACB答案： C二、出現(xiàn)“墻角”結(jié)構(gòu)利用補(bǔ)形知識(shí)，聯(lián)系長方體?！驹怼浚洪L方體中從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長分別為a, b, c ，則體對角線長為 la2b2c2 ，幾何體的外接球直徑 2R 為體對角線長 l即 Ra2b2c22【例題】：在四面體 ABCD 中，共頂點(diǎn)的三條棱兩兩垂直，其長度分別為 1， 6 , 3，若該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，求這個(gè)球的表面積。解：因?yàn)椋洪L方體外接球的直

6、徑為長方體的體對角線長，所以：四面體外接球的直徑為AE 的長高中數(shù)學(xué)即： 4R2AB 2AC 2AD 2， 4R2123222 ，球的表面積為 S 4 R2166 16 所以R二、出現(xiàn)兩個(gè)垂直關(guān)系，利用直角三角形結(jié)論?！驹怼浚褐苯侨切涡边呏芯€等于斜邊一半。球心為直角三角形斜邊中點(diǎn)?！纠}】：已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O 的球面上， ABBC且PA 7，PB5 ，PC51 ， AC 10,求球 O 的體積。解： ABBC且 PA7，PB 5， PC51， AC 10,因?yàn)?722所以知 AC 2PA2PC 251 102所以PAPC所以可得圖形為：P在 Rt ABC 中斜邊為 AC 在 Rt

7、 PAC 中斜邊為 ACB取斜邊的中點(diǎn) O ，在 Rt ABC 中 OAOBOCACO在 Rt PAC 中 OP OB OC所以在幾何體中 OPOBOCOA ，即 O 為該四面體的外接球的球心R 1AC 52所以該外接球的體積為V4R350033高中數(shù)學(xué)【總結(jié)】斜邊一般為四面體中除了直角頂點(diǎn)以外的兩個(gè)點(diǎn)連線。立體幾何總結(jié)：1、多邊形內(nèi)角和： (n-2)*1802、 30°直角三角形，邊比例1:2 ：根 33、 30°30° 120°三角形邊比例1:1 ：根 34、 45°直角三角形邊比例1:1 ：根 23V5、多面體的體積為V，表面積為 S，則

8、有內(nèi)切球的半徑為rS第一節(jié)平面、空間直線（3）、求異面直線所成角的方法：遵循“先作角，再求角”的原則，用平移轉(zhuǎn)化法放到三角形中去求，用好正、余弦定理常用的平移方法有：直接平移法；中位線平移法（涉及中點(diǎn)時(shí)常用）；補(bǔ)形法a第二節(jié) 空間直線與平面A核心知識(shí)點(diǎn)a2、線面平行的判定和性質(zhì)（2）線面平行的判定（用來證明直線與平面平行的方法） ：a（判定定理）如果平面外一直線 a 與平面內(nèi)一直線 b 平行，則直線 a 與平面平行，下面的這些定理或推論也是證明線面平行的常用方法：圖 9-2-1如果平面外的兩條平行直線 a, b 中有一條和平面平行，則另一條也和平面平行如果兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任何一

9、條直線都平行于另外一個(gè)平面如果直線 a 垂直于平面 ，平面 外的直線 b 與直線 a 垂直，則直線 b 平行于平面若平面 和 外的一直線 a 都垂直于同一個(gè)平面 ，則直線 a 平行于平面（3）線面平行的性質(zhì)定理：(如圖 9-2-2)如果直線 l 與平面平行，過直線 l 的平面與面相交，則交l高中數(shù)學(xué)線與直線 l 平行3、線面垂直的判定和性質(zhì)：（1）定義：如果一條直線與平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，則這條直線和這個(gè)平面垂直。（2）線面垂直的判定（證明直線與平面垂直的方法）（判定定理 1）如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則這條直線與這個(gè)平面垂直。（判定定理 2）如果兩條平行直線中的一條

10、垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面。（面面平行的性質(zhì)定理） 如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)， 則這條直線垂直于另一個(gè)平面。（面面垂直的性質(zhì)定理）如果兩個(gè)平面垂直，則在其中一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面。如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三個(gè)平面，則交線也垂直于第三個(gè)平面（3）線面垂直的性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，則這兩條直線平行4、線面角（1）如果平面外的直線 l 與平面 不平行也不垂直，則稱直線l 為平面 的斜線，設(shè) lO ，在 l 上任取一點(diǎn) P （P 不與斜足 O 重合），過 P 作面 的垂線，垂足為P' ，則垂足 P' 與斜足 O 的連線

11、 OP' 叫做斜線 l 在平面上的射影， l 與其射影 OP' 的夾角 叫做 l 與面所成的角。規(guī)定：當(dāng) l /或 l時(shí)，0 ， l時(shí)90 ，于是線面角的范圍是 0 ,90 5、三垂線定理：一條 直線，如果和穿過這個(gè)平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直6、三垂線逆定理：一 直線，如果和穿過這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直7、方法總結(jié)：下面的幾個(gè)結(jié)論是找垂足的有力工具：（1）若 P 為ABC 所在平面外一點(diǎn) , O 是點(diǎn) P 在ABC 內(nèi)的射影，則：若 PAPBPC或 PA、PB、 PC與所成角均相等 , 則O為ABC的外心

12、；若 P 到ABC 的三邊的距離相等 , 則 O 為 ABC 的內(nèi)心；若 PA 、 PB 、 PC 兩兩互相垂直 , 或 PABC, PBAC 則 O 為ABC 的垂心（2）面面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面垂直，則在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面。高中數(shù)學(xué)第三節(jié)空間平面與平面核心知識(shí)點(diǎn)：1、面面平行的判定和性質(zhì)（1）面面平行的判定：（判定定理）如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行；（線面平行面面平行）垂直于同一直線的兩平面平行； （線面垂直面面平行）（面面平行的傳遞性）如果兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行；（2）面面平行的性質(zhì)若兩個(gè)平面

13、平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都平行于另一個(gè)平面；（面面平行線面平行）若兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，則兩交線平行；（面面平行線線平行）若一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則該直線也和另一個(gè)平面垂直；夾在兩平行平面間的平行線段相等；經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面與已知平面平行2、兩個(gè)平行平面間的距離：如果直線l 與兩平行平面都垂直，垂足分別為A, B ，則稱線段 AB 的長為兩平行平面間的距離3、二面角的定義及表示方法：（1）定義：平面內(nèi)的一條直線把這個(gè)平面分成兩部分，其中的每一部分都叫做半平面，從一條直線發(fā)出的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫

14、做二面角的面；（2）表示方法：棱為AB （或 l ），面為,的二面角記為AB（或l）4、二面角的平面角在二面角的棱上任取一點(diǎn)，過該點(diǎn)分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作垂直于棱的兩條射線，兩射線所成的角叫做二面角的平面角（范圍： 0 ,180 ）5、面垂直的判定和性質(zhì)（1）面面垂直的判定：（定義法）兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，則稱這兩個(gè)平面垂直（即求證二面角的平面角是直角）（判定定理）如果平面經(jīng)過了平面的一條垂線，則；（線面垂直面面垂直）（2）面面垂直的性質(zhì)：如果兩個(gè)平面垂直，則在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面；（面面垂直線面垂直）若兩平面垂直，則經(jīng)過第一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)且垂直于第二

15、個(gè)平面的直線在第一個(gè)平面內(nèi)方法總結(jié)（1）熟記面面平行和垂直的判定和性質(zhì)的相關(guān)定理，能快速明確題目解體思路，比如，要證面面平行，則只需去其中一個(gè)平面內(nèi)找到兩相交的直線與另一平面都平行即可；又如，證面面垂直，則只需在其中一個(gè)平面內(nèi)去找到一條直線與另一平面垂直即可，解題過程中應(yīng)注意轉(zhuǎn)化的思想；（2）有關(guān)面面平行和垂直的相關(guān)的定理之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，要結(jié)合上節(jié)的知識(shí)；（3）與面面距離相關(guān)的問題：二面角的平面角的作法及求法將在第四、五節(jié)中系統(tǒng)地講解高中數(shù)學(xué)第四節(jié)空間角核心知識(shí)點(diǎn)：高考中立體幾何題的計(jì)算常涉及“求角” 、“求距離”、“求面積或體積”三類問題，其中“求角”問題幾乎年年涉及，求角問題包括異面直線所

16、成的角，線面角及二面角的平面角三種空間角的概念及范圍（1）異面直線所成的角：過空間任一點(diǎn)分別引兩異面直線的平行線，則此兩相交直線所成的銳角（或直角）叫做兩異面直線所成的角異面直線所成角的范圍（2）直線與平面所成的角：當(dāng)l /或 l時(shí)， l 與所成的角為 0 ；當(dāng) l時(shí)，l 與所成的角為 90 ；當(dāng) l 與斜交時(shí)， l 與所成的角是指 l 與 l 在面上的射影 l '所成的銳角線面角的范圍：（3）二面角的平面角須具有以下三個(gè)特點(diǎn)：頂點(diǎn)在棱上；角的兩邊分別在兩個(gè)半平面內(nèi)；角的兩邊與棱都垂直二面角的范圍：方法總結(jié)：1、求異面直線所成角的方法：主要通過平移轉(zhuǎn)化法來作出異面直線所成的角，然后利用

17、三角形的邊角關(guān)系（正、余弦定理）求角的大小，要注意角的范圍2、求線面角的一般過程是： （ 1）在斜線上找到一個(gè)合適的點(diǎn)P ，過 P 作面的垂線（注意垂足P' 的確定），垂足 P'和斜足 A 的連線即為斜線 PA在平面上的射影，則PAP ' 即為所求；（2）將PAP ' 放到PAP ' 或其它包含此角的三角形中去求說明：在解題過程中，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)求角問題難在作角，其中又難在過平面外一點(diǎn)，作平面的垂線后，垂足位置的確定復(fù)習(xí)過程中應(yīng)注意對常用的找垂足的方法進(jìn)行歸納總結(jié)上面的（ 2）及下面的幾個(gè)結(jié)論是找垂足的有力工具：（1）若 P 為ABC 所在平面 外一點(diǎn) ,

18、O 是點(diǎn) P 在 內(nèi)的射影，則：若 PAPBPC或 PA、PB、 PC與所成角均相等 , 則O為ABC的外心；若 P 到ABC 的三邊的距離相等 , 則 O 為ABC ABC 的內(nèi)心；若 PA 、 PB 、 PC 兩兩互相垂直 , 或 PABC, PBAC 則 O 為ABC 的垂心（2）面面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面垂直，則在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面；第五節(jié)空間距離核心知識(shí)點(diǎn)點(diǎn)線距、點(diǎn)面距、線面距、面面距、兩異面直線之間的距離是高考中常見求距離的問題常見的空間距離的求法：（1）求點(diǎn)到直線的距離利用三垂線定理找到垂線段，垂線段就是所求；（2）點(diǎn)到平面的距離的求解方法一般有兩種：直接求解法：從該點(diǎn)向平面引垂線，確定垂足位置，這里要用到兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理，求出點(diǎn)和垂足之間的距離即可“體積代換法”：把點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為以該點(diǎn)為頂點(diǎn)，平面內(nèi)的一個(gè)三角形為底面的三棱錐的高，再通過變換（從方便求高的角度）三棱錐頂點(diǎn)用等體積法，求點(diǎn)到平面的距離高中數(shù)學(xué)這種方法比較常用，應(yīng)掌握（3）直線到它的平行平面的距離通常轉(zhuǎn)化為直線上一個(gè)特殊點(diǎn)到平面的距離，要找到直線和它的平行平面的公垂面，直線和公垂面的垂足就是這個(gè)特殊點(diǎn)，從這點(diǎn)向公垂面和已