二次根式知識點及典型例題

1、第17章:二次根式第一課時：二次根式的概念與性質(zhì) 知識點1:二次根式的定義：(1) 形如,a (a> 0)的式子叫做二次根式。(2) a (a > 0)表示非負數(shù)a的算術(shù)平方根(3) 二次根式的要求 根指數(shù)為2 被開方數(shù)可以是數(shù)，也可以是單項式、多項式、分式等，但必須是非負數(shù) 類型一：二次根式的識別例1：已知式子 血 Jx2 +1；3価V4；刁， 其中一定是二次根式的是。知識點2:二次根式中字母的取值范圍：(1) 二次根式有意義的條件：被開方數(shù)大于或等于0(2) 二次根式無意義的條件：被開方數(shù)小于 0(3) 二次根式做分母時：被開方數(shù)大于0.類型一：求字母的取值范圍例1: x取何值

2、時，下列各式有意義？3 X72 x - 1 1(1八 X - 5x 6解：(1 )由題意知所以當(2 )由題意知-5 > 0 解得 x > 5且x豐6.-6工0有意義3 - x > 02 x - 1> 0J x - 2 豐 0所以當2 時 一 3 一 x丁2 x 1|x|-2有意義類型二：根據(jù)字母隱含的的取值范圍，求代數(shù)式的值(較難)例2： :x2 4 4 x21若x、y為實數(shù)，且y =,求.x y的值分析：要使-x2-4有意義，則x2-40，即x2> 4,要使4X2有意義，貝V 4X20,即x2 W 4,1所以x2 =4,又因為x 2工0,所以x=2,y二4解：

3、由題意知：x2 4>0且4 x20 . x2=4,1又；x 2工0, x=2 y =4知識點3:二次根式的性質(zhì):(1) 雙重非負性：被開方數(shù)為非負數(shù)，即a> 0;二次根式的值為非負數(shù)，即(2) 兩個性質(zhì)：性質(zhì) 1: (、一 a)2 = a( a> 0)語言敘述：一個非負數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于它本身。或敘述為：一個非負數(shù)先開平方再平方等于這個數(shù)本身。r2. a (a0)性質(zhì) 2： J a = a = j-a (aVO)語言敘述：一個數(shù)先平方再開平方等于這個數(shù)的絕對值。證明：性質(zhì) 1 :設x2 = a則x = _ a或x = -_a把x二二ja代入式得(ja2=a把x二二一 j

4、a代入式得(-"s/a)2 = a性質(zhì)2 :設、/a 2 = x (x0),兩邊平方得：(Q2 =由性質(zhì)1得：a2=x2(x > 0)所以 x =aa(a > 0)=<-a (av 0)所以va =aa(a0)=a (av 0)2x類型一：簡單的計算與化簡例1:計算與化簡(1)(2 .3)2;.、(匚8)2(3).(1-、2)2( 4).( x 匚 3)2解：(1) (2 3)2=22(、.3)2 =4 3=12.(2) 、._(一8)2=8 =8 或、(-8)2 二.82 =8(3) J(1 _妁2 = 1=_1 或 J (1= J(77_1)2 =屈_1(4 )

5、.37= X3 二 x-3 (x> 0)+1 I3-x(xv 0)類型二：在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解 例2:在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解。(1) a2 -3 (2)16b2 -11解：1)a2 -3=a2 - (.3)2 =(a 、G)(a -、3);(2) 16b2 -11 =(4b)2 -(不)2 =(4b 不)(4b-、？i)注：性質(zhì)1的逆用：a=(.a)2 (a>0)類型三：利用非負數(shù)定理進行的較復雜的計算2 1例 3:已知實數(shù) x、y、z 滿足 2 x-y + J2y + z+z -z+= 0,4求x+y+z的值。解：原式化為:因為 2|x-y > 0,2 yx _ y = 0

6、所以 2 y z = 0 解得 y =z -2 = 012 x y .亍三(z 2)2 =01 2z> 0, (z ) > 0 且 2 x y| J2yx = - ；(z _ -)2=o21 11-4 所以 x.yz = _ .(_) = 0,442z = ?注：非負數(shù)定理：幾個非負數(shù)和為0,則這幾個非負數(shù)均為 0.類型四:根字母的取值范圍、字母隱含的的取值范圍、圖象或三角形三邊關(guān)系等及公式4a=a (a>0)進行較復雜的化簡、-a (aV0)例 4:化簡x2 - 亦環(huán)2 - x2 -6x 9 (2 ： x : 3)解:V 2 : x : 3 x 0, x - 20, x -

7、3 ： 0” 原式=x + x_2 _x_3 =x+(x_2)_(3_x)=3x_5 注： x_3 = _(x_3) =3_x例 5:化簡：-、4x2 -4x 1 -(. 2x -3)2分析:J4x2 -4x+1= J(2x-1)2 = 2x -1要脫掉絕對值符號必須知道2x -1是大于0,還是小于0.解：由. 23®2x-3>0 所以2x>3,從而 2x-1 0 又；4x2 -4x +1 =(2x _1)2 = 2x_1 =2x _1 .原式=(2x-1)-(2x-3) =2x-1-2x 3 = 2例6:實數(shù)a,b在數(shù)軸上數(shù)軸上位置如圖所示，化簡a +b + J(b _

8、a)2111a0b解：由圖象可知：ac0,b>0 且 a Ab 二 a+b£0,ba0仁”原式=a +b|+|ba| = -(a+b)+(b_a) = a_b+b_a = -2a例 7:若 a、b、cABC的三邊長，化簡、(a-b-c)2 、.、(a-b c)2-£(c-a-b)2解：a 、b、c是.-： ABC的三邊二 a <bc , ac b ,c :ab”a _ b-c ：0,a -b+c 0, c a b ：0”原式=a - b-c+la-bc _ | c - a - b=(bc -a )(a-bc ) -( ab - c )a - b+ 3 c類型五：

9、復雜問題的分析方法之一：從特殊到一般例8:已知m n是兩個連續(xù)的自然數(shù)(m<n ,且q=mn,設p = Jq n q - m,則p是奇數(shù)還是偶數(shù)？分析：對于復雜問題我們可從特例入手，尋找解題的方向。如取 m=2,則n=3,p= , 2 3 3.2 3-2 = 3： 22 =3 2 = 5解：由題意知： n=m+1,貝V q+n=n(n-1)+n=n , q 一 m = m(m 1) - m = m所以 p = n2 -：- Jm2 = n| “|m = n m因為m、n為連續(xù)的自然數(shù)，所以 m n中必定有一奇一偶。所以n m必定為奇數(shù)，所以 p總是為奇數(shù)fa (a0)注：對于性質(zhì)2:=a

10、一定要分兩步走，這樣避免出錯。-a (aVO)知識點4：(肓)2與s a2的不同點與聯(lián)系不同點：從運算順序來看：(、a)2先開方后平方.a2先平方后開方注：C.a)2表示一個正數(shù)a的算術(shù)平方根的平方，而、_ a2表示一個實數(shù)a的平方的算術(shù)平方根; 從取值范圍來看：(.a)2: a>0. a2 :a可以是正數(shù)、0、負數(shù)。 從運算結(jié)果看：(冷a ) 2 = a (a>0) Ua2 =|a=«a (a °)1I-a (av 0)聯(lián)系：當被開方數(shù)都是非負數(shù)，即a>0時(.a)2 = a2 = a當av0時( a)2無意義，而a2二二-a第二課時：二次根式的運算知識

11、點5:二次根式的性質(zhì) 3 (二次根式的乘法法則)：Ji ”Jb = J5b(a£0,b£0) 語言敘述：二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變。注：(1)公式逆向運用可得：ab二、a b(a _ 0,b _ 0)語言敘述：積的算術(shù)平方根，等于積中各因式的算術(shù)平方根的積。(2)千萬注意公式中a,b必須滿足a>0,b>0,否則易出錯證明：左邊二(a b)2 = a)2|_C. b)2 二=右邊 得證注：證明時性質(zhì)2的逆用：ah*a2 (a>0) 最后的結(jié)果必須是最簡的。如：違二廠2 =,海、2=2.21 _ 3 _ .3 3 9 ,93 或 ' 3

12、.3.3 .3L.33類型一：公式成立的條件例1:等式'、x 1L, x1 7 x21成立的條件是什么？分析：丫 . x 1 丄 x -1 = * x2 -1 = (x. x 1> 0, x -10x +10解：由題意知：解得：x1,故成立的條件是：X1x10例 2計算：(-9)(-25).小南的解是：(-9) (-25)二；9L 三5 二(-3) (-5)=15小穎的解是：.(-9) (-25)二.9 25 i 乩.25 =3 5 = 15 請你判斷正誤，并說明理由。解：小穎的解題過程正確，小南的解題過程是錯誤的。小南沒有考慮到公式'鼻.b二ab的成立條件：a0,b0

13、.類型二：二次根式比較大小例3:比較-2-3和-3'、2解軍：；2 3 二 < 43 = 4 3=123、2 = $92 = 9 2 =、182 3 3、2-2、3-3,2即、都是沒有意義的方法二：作差比較法；(-2,3) -(-3.2)12.180- 2 3-3、2例4:比較,1 ,14與. 12+., 13的大小解：；(.11、14)2 -('、12 .13)2 =(25 2 _154) 一(25 2 156)=2 iS54- .156) 0.( .11 54)2 ：(,12、13)2, .J4 ：、12 一 13例 5:比較 a b與2,ab(a 0,b 0)解：v

14、(a b) -2 . ab = (, a)2 -2, a , b (、b)2=- ,b)2>0.a b>2, ab (當且僅當a=b時，取“二”)注:比較大小最常用的方法是作差比較法，其次是作商比較法。例4不是直接作差比較，而是先平方再作差比較。類型三：二次根式的簡單計算與化簡例 6:計算 ,* ,32; (2)6 .8 (-3、一2); (3) .156 ,20解：(1)原式=乂 32= 4( 2)原式=6疋(-3)漢 丁8 疋 2 = 18 漢 4 = 72(3) 原式=J15 6 20 = ：1800 =訐90此 '.2=-30* 2例7.化簡:勵吋儘屈詹解：(1)原

15、式二 24a18a324 18a_a34 6 3 6a4=12、3a22、2(2)原式咒塹衛(wèi)Y 5b 3c 5a V 255類型四：挖掘字母的隱含條件進行較復雜的二次根式化簡(1)已知xy<0,化簡 x2y例8.化簡：(a-1 Ja解:(1) xy ： 0, x2y0 x ： 0, y 0.原式 =x2L. y = x_,'y = -x. y1由題意知：>0>且0解得原式二 _(1 a)(1-a)2-1 - a1 -a例9閱讀下列解答過程，然后答題.已知a為實數(shù)，化簡TO3 -aN a解：原式一孑一沖一1）=a . -a -、-a=（a -1）-a（1）上述解答是否有

16、錯誤？有；（填“有”或“無”）（2） 若有錯誤，錯在 ，錯誤原因是a小于0由根號內(nèi) 移到根號外要變號，由根號外移到根號內(nèi)也要變號。（3）寫出正確的解題過程。解：由題意知：-a30且a0,解得a ： 0所以原式 =Ja2L（-a） +（_a） J1 =|a|+ （a）21）=_a、. _a '、_a = （-a 1 -a類型五：把根號外面的數(shù)移入根號內(nèi)。例10.把根號外面的數(shù)或字母移入根號內(nèi)(1)2.3-2.3(5)2a、b(a ： 0)解:（1）原式八22 3 =121由題意知：丄>0,所以a>0a(2)原式二 -22 3 二 -、12 (3)原式二 二原式=(a2)2=J

17、aT1 = Ta3 丫a : 0 .原式二 -2a) . b - F(-2a)2_b =4a2_b注：只能把正數(shù)由根號外移入根號內(nèi)，負數(shù)中負號的一定要寫在根號外。 類型六：二次根式的估算（主要采用放縮法）例11.計算.臣y .25的結(jié)果估計在7至_8之間（填整數(shù)）分析：原式 3212516、10=4、一 10：' . 9 "10： .163 ： 、10 ： 443 4.10：4 47： 4、10 ： 8例12.求n2 n （n為正整數(shù)）的整數(shù)部分。解：;n2: n2n ： n2 2n 1、n2：- n2n ： n22n1-n ： '. n2 n ： n 1- n2 n

18、的整數(shù)部分為 n類型七：利用乘法公式進行復雜的二次根式化簡。例 13.已知 a 二、5 2,b =、5 -2,求 a2 b2 7的值解：a2 b2 =(a-b)2 2ab = 42 2 (5-4)=18.原式二.18 7 二 Z25 =5注：或a2 b2 =(a b)2 -2ab = (2.5)2 -2 (5-4) =18或a2 b2 =(5 4 4、5) (5 4-4、5) =18例 14.若 x= 2 1,y-,2-1,求 x2 xy y2 的值。解：x - y ( 一 2 1)-(、2 -1) = 2, xy ( 21)(& -1) = (、2)2-仁 1.原式=(x - y)2

19、 3xy = 22 3 1 =7注：方法二：原式=(x y)2 -xy =(2、2)2 一1=8-1 = 711答案：匕21 1 練課課練 P8 第 5 題：已知 x = ( j、5、d('、7 - 、. 5),求x2 - xy y2的值.2 2b> 0)課課練P9達標3：已知x 一2-1,求x2 2x 1的值。答案：2知識點6:二次根式的性質(zhì) 4 (二次根式的除法法則語言敘述：二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變。注：(1)公式逆向運用可得:語言敘述：商的算術(shù)平方根，等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根。(2)千萬注意公式中a,b必須滿足a>0,b 0,否則易出

20、錯(3)最后的結(jié)果必須是最簡二次根式：見知識點7類型一：公式成立的條件土4的值例1.已知：二:，且x為偶數(shù)，求（X） 解：要使，9-x9-X成立，必須9-x0解得©XT.V-6 Jx_6x6>0又因為x為偶數(shù)，所以x=8從而x 10原式（1 x）2L-（8一1廠（8一4）=一12 =6、一 3類型二：二次根式的簡單計算與化簡例2.計算(1)解：原式=.3497蘭26 _13 27(4) .18“83343131131原式=（4）原式18原式="? -1二二-1 3二.4-1 3 = 2-13 = 4434318 4 4二、32= 16 2=4 ,2例3化簡32叫麺（5

21、）(a 0,b0) (3),；解：（1）原式=、25篤b * Vab 乂心 42 (x 0)5x5x- ab . ab2；a|L后=（面廠荷（a 0，b 0）（3）原式.aa(a - 0)(a : 0)沖® a®原式彳*寧|疣誇石類型三：二次根式大小的比較把 a、b、25 749c連接起來.、.5 可,4949mn(mn ： 0)52525 7u乂c .： a : b494949知識點7:最簡二次根式與分母有理化1. 最簡二次根式應滿足的條件為：(1) 被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式且二次根式不做分母(2) 被開方數(shù)中不得含有開得盡方的因數(shù)或者因式。如、3 =.戸=4 、

22、2 =2、213.3.3132. 二次根式的分母有理化：分母有理化因式(1)分母為單項式：；a或m、a -Ja(2)分母為多項式：m、,a n . b m_a-注：利用公式C.a)a(a>0)和公式(a b)(a-b) =a2-b2來去掉根號.類型一：最簡的二次根式的識別例1.下列二次根式中，是最簡的二次根式的有 石"76仮770Ja2 +9JX3X2晉 J詳+洛分析:Jx3 - X2 = Jx2(x-1)=因為隱含了 x> 1這個條件(mn 0)類型二：已知最簡二次根式，求字母取值。例2.若、3xz和53x"2都是最簡二次根式，求x、y的值(xv-'2

23、=11x=1解：由題意知V解得l3x_2y+2=1卜=2類型三：簡單的分母有理化。例3.定義a*b =需0 +J旦,試求3*5解：3*5 =+型=VT5 +車=715 十勺5注：二次根式前面的系數(shù)要寫成假分數(shù)的形式，不能寫成帶分數(shù)。如本題中6、15中的系數(shù)655不能寫成11。另外3=-15 。5躬（5用5練課課練P6中考2化簡： 2 _（1 .24 一3、一 12）答案：3、3362例4.若x =丁2 1,求x 1的值.x解：一 1 一 1 （遼 1）_ 占 1_* x _ 72_1 _（屁_1）漢（屁+1）_（j2）2_12 _ .原式=（、,21） （、2 -12,2練課課練P7達標2：計

24、算一2= -（57） 答案：- 23J7練課課練P9達標4:若a = 2+j3,b = ,則a與b的關(guān)系是a=b2-品類型四：n r n -1與'、n - n -1互為倒數(shù)的應用：計算與比較大小證明：；(，n . n -1)( n - . n -1) =C- n)2n -1)2 = n -(n -1)=1.n . n -1 與、. n -fn-1 互為倒數(shù).注:由證明可知:例 5.計算：( 一+ 廠1J l + + 1 )U(J2012+1)丁2 十1 J3 + 丁2 (4+丁3J2012+J2011解：原式二(、2 -1 G -，2、4、2012 - . 2011)(、. 20121

25、)=C，2012 -1)0, 20121) = ( 2012)2 -12 = 2012 -1 二 2011注：裂項相消法是解決帶省號問題的常用方法。常用的裂項技巧：(1)1!(- ) (2)，1=1(、.廠！-打)n(n +k) k n n+k 7n + k+(n k練課課練P9課堂3:化簡:1 1.21.321431、20102009練課課練P12第8題：猜想并證明：n 1-塚n與、.n-、n-1的大小。知識點8同類二次根式的概念及二次根式的加減與混合運算。1 同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式后，若被開方數(shù)相冋，則稱它們?yōu)閮疹惗胃?。（即：先化簡一一最簡二次根式；再判斷一一被開放

26、數(shù)相同）2. 二次根式相加減：先把每個二次根式化成最簡二次根式，再把同類二次根式分別進行合并。解答二次根式加減問題的三步曲：即“先化簡一一再判斷一一最后合并”。3. 二次根式的混合運算順序：與整式運算的順序類似，先做乘方、開方，再做乘除，最后做加 減，有括號的先算括號里面的。在二次根式的運算中，整式的運算律及乘法公式仍然適用。類型一：同類二次根式的識別例1.下列二次根式中，與-5,3是同類二次根式的是（D）A. ,18 b. ,03 c. 一30D.、一300分析:=J3、*、2 = 3/2 Jo.3=J-3 = J-30 =30 J300 = VT"3=ioV3類型二：根據(jù)同類二次根式求字母的值。例2 .若ab麗與最簡二次根式.廠3b是同類二次根式，求a b的值.解：由玄'"Ba是二次根式得a b = 2,又、茹=2.石a =-又由同類二次根式得2a = a 3b1 a b = 2聯(lián)立方程組，得a b 2 解得 2（2a=a+3b_丄a 二2且此時a劉站=