第八講向量及坐標(biāo)表示及其運(yùn)算

1、第八講向量的坐標(biāo)表示及其運(yùn)算一、知識(shí)點(diǎn)（一）向量及其表示：1.平面向量的有關(guān)概念：（1）向量的定義：既有大小又有方向的量叫做向量. （2）表示方法：用有向線段來表示向量.有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，用箭頭所指的方向表示向量的方向 .用字母 a，b，或用 ab ， bc ，表示 . （3）模：向量的長(zhǎng)度叫向量的模，記作|a|或| ab |. （4）零向量：長(zhǎng)度為零的向量叫做零向量，記作0；零向量的方向不確定. （5）單位向量：長(zhǎng)度為1 個(gè)長(zhǎng)度單位的向量叫做單位向量. （6）共線向量：方向相同或相反的向量叫共線向量，規(guī)定零向量與任何向量共線. （7）相等的向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫相等的向

2、量. 2 向量坐標(biāo)的有關(guān)概念（1）基本單位向量（2）位置向量（3）向量的正交分解3.向量的坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)),(),(),(),(1121212211yxayyxxbayxbyxa，4.向量的摸：22yxa（二）向量平行的充要條件：1 向量共線定理：向量b 與非零向量a 共線的充要條件是有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得b=a，即 bab=a（a0）. 2 設(shè) a=（x1，y1） ，b=（x2，y2）則 ba1221yxyx（三）定比分點(diǎn)公式：1 線段的定比分點(diǎn)是研究共線的三點(diǎn)p1，p，p2坐標(biāo)間的關(guān)系 .應(yīng)注意：（1）點(diǎn) p 是不同于p1，p2的直線 p1p2上的點(diǎn)； （2）實(shí)數(shù)是 p 分有向線段21pp所

3、成的比，即p1p，pp2的順序，不能搞錯(cuò)； （3）定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式112121yyyxxx，（ 1）. 2 中點(diǎn)坐標(biāo)公式3 三角形重心坐標(biāo)公式二、典型例題例 1 若向量ba,.滿足 .baba，則ba與所成角的大小為多少? 例 2 下列哪些是向量？哪些是標(biāo)量？（1）濃度（2）年齡（3）風(fēng)力（4） 面積（5）位移（6）人造衛(wèi)星速度（7）向心力（8）電量（9）盈利（10）動(dòng)量例 3abc 中， a（1，1） ， b（-3， 5） ， c（8，-3） ，g 是abc重心，求ga的坐標(biāo)例 4. 已知 a3 ,2,2 ,3,1 , 2,2, 1dcb反向的單位向量求與 ab1的坐標(biāo)，求點(diǎn)，若ebe52

4、23若abdaca求,三點(diǎn)不共線，求證：cba4cdbdadacab來表示，以5坐標(biāo)三點(diǎn)共線，求點(diǎn)，且若ppbaxp3 ,6如圖7所示，若點(diǎn)m 分ba的比為 3：1，點(diǎn) n 在線段 bc 上，且abcamncss32，求點(diǎn) n 點(diǎn)的坐標(biāo)例 5 若 abcd 為正方形， e 是 cd 的中點(diǎn)，且ab =a， ad =b，則 be 等于a.b+21a b.b21ac.a+21b d.a21b例 6.e1、e2是不共線的向量，a=e1+ke2，b=ke1+e2，則 a 與 b 共線的充要條件是實(shí)數(shù)k 等于a.0 b. 1 c.2 d. 1 例 7.若 a=“向東走8 km” ，b=“向北走8 km”

5、 ，則 a+b|=_，a+b 的方向是 _. 例 8 已知向量a、b 滿足 |a|=1，|b|=2，|ab|=2，則 |a+b|等于a.1 b.2c.5d.6例 9 如圖， g 是 abc 的重心，求證：ga+ gb + gc =0. abcdge例 10 設(shè) oa 、 ob 不共線，點(diǎn)p 在 ab 上，求證：op =oa +ob 且+=1，、r. . 例 11 若 a、 b 是兩個(gè)不共線的非零向量（tr）. （1）若 a 與 b起點(diǎn)相同， t 為何值時(shí)， a、tb、31（a+b）三向量的終點(diǎn)在一直線上? （2）若 |a|=|b|且 a 與 b 夾角為 60，那么 t 為何值時(shí)， |atb|的

6、值最小 ? 例 12.若 a、b 為非零向量，且|a+b|=|a|+|b|，則有a.ab 且 a、b 方向相同b.a=bc.a=b d.以上都不對(duì)例 13.設(shè)四邊形abcd 中，有 dc =21ab 且| ad |=|bc |，則這個(gè)四邊形是a.平行四邊形b.矩形c.等腰梯形d.菱形例 14.l1、l2是不共線向量，且a=l1+3l2，b=4l1+2l2，c=3l1+12l2，若 b、c 為一組基底，求向量a. 例 15.設(shè)兩向量e1、e2滿足 |e1|=2，|e2|=1，e1、e2的夾角為60，若向量2te1+7e2與向量e1+te2的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t 的取值范圍 .例 16 已知向量a

7、=2e13e2， b=2e1+3e2，其中 e1、e2不共線，向量c=2e19e2.問是否存在這樣的實(shí)數(shù)、，使向量d=a+b 與 c 共線 ? 例 17.如圖所示， d、 e 是 abc 中 ab、 ac 邊的中點(diǎn)， m、 n 分別是 de、 bc 的中點(diǎn)，已知 bc =a，bd =b，試用 a、b 分別表示de 、 ce 和 mn . abcdmne例 18 在 abc 中， amab=13，anac=14， bn 與 cm 交于點(diǎn) e， ab =a， ac =b，用 a、b表示 ae . abcmne例對(duì) 19 任意非零向量a、b，求證： |a|b|ab|a|+|b|. 三、高考點(diǎn)擊試題1

8、.若平面向量b 與向量 a=（1， 2）的夾角是180，且 |b|=35 ，則 b 等于a.（ 3，6）b.（3， 6）c.（6， 3）d.（ 6，3）2.已知向量a=（3，4） ，b=（sin，cos） ，且 a b，則 tan等于a.43b.43c.34d.343 已知平面向量a=（3，1） ，b=（x， 3）且 ab，則 x 等于a.3 b.1 c.1 d. 3 四、練習(xí)題1如圖，已知四邊形abcd 是梯形， ab cd，e、f、g、h 分別是 ad 、bc、ab 與 cd 的中點(diǎn)，則ef等于（）abcadbdcabcdhagdghbg2下列說法正確的是（）a方向相同或相反的向量是平行向

9、量b零向量的長(zhǎng)度為0 c長(zhǎng)度相等的向量叫相等向量d共線向量是在同一條直線上的向量3在 abc 中， d、 e、f 分別 bc、 ca、ab 的中點(diǎn)，點(diǎn)m 是 abc 的重心，則mcmbma等于（）aobmd4cmf4dme44已知向量ba與反向，下列等式中成立的是（）a|babab|babac|babad|baba5在abcd 中，設(shè)dbdcacbadaab,，則下列等式中不正確的是（）acbabdbacdabdbac6下列各量中是向量的是（）a質(zhì)量b距離c速度d電流強(qiáng)度7在矩形abcd 中， o 是對(duì)角線的交點(diǎn)，若ocedcebc則213,5= （）a)35(2121eeb)35(2121e

10、ec)53(2112eed)35(2112ee8若),( ,robaba 不共線則（）aoboa,booa,cobo,doo,9化簡(jiǎn))24()82(2131baba的結(jié)果是（）aba2bab2cabdba10下列三種說法：一個(gè)平面內(nèi)只有一對(duì)不共線向量可作為表示該平面所有向量的基底一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)對(duì)不共線向量可作為該平面的所有向量的基底零向量不可作為基底中的向量其中正確的是（）abcd11若2121,ppppbopaop，則op等于（）ababbacba)1 (dba11112對(duì)于菱形abcd ，給出下列各式：bcab|bcab|bcadcdab|4|22abbdac2 其中正確的個(gè)數(shù)為（）a 1 個(gè)b2 個(gè)c3 個(gè)d4 個(gè)二、填空題（每小題4 分，共 16 分，答案填在橫線上）1321,ee不共線，當(dāng)k= 時(shí)，2121,ekebeeka共線 . 14非零向量|,bababa 滿足，則ba,的夾角為. 15在四邊形abcd 中，若|,bababadaab且,則四邊形abcd 的形狀是. 16已知cba,的模分別為1、2、3，則|cba的最大值為. 三、解答題（本大題共74 分， 1721 題每題 12 分， 22 題 14 分）17設(shè)21,ee是兩個(gè)不共線的向量，2121212,3,2eecdeecbekeab，若 a、b、d 三點(diǎn)共線，求k 的值