精選平面向量壓軸填空題

1、1. 在 ABC 中，已知uuuruuurAB 4，AC 3， P 是邊 BC 的垂直平分線上的一點，則 BCAP _【答案】解析：72BC AP ( AC AB) (AQ QP) (AC AB) AQ ( AC AB) 1 ( AB AC)722APBQC2. 已知 OA1, OB3,OA OB0 ，點 C 在AOB ，AOC30o .BCuuuruuuruuurR) ，則 m 等于OA設 OCmOAnOB( m,nn【答案】 3C ( x, y)uuuruuuruuurR) 得 解析 ：法一：建立坐標系，設則由 OCmOAnOB (m, n( x, y)m(1,0)n(0,3)xm而 AO

2、C300故 tan 300ymy3nx3nuuuruuuruuurR) 兩邊同乘 OA 或 OB 得法二： OC mOA nOB (m, nOC OAm3mOCm2兩式相除得3OC OB3nOC 13 3nn23. 在 ABC 中，若 AB ? ACAB ? CB4 ，則邊 AB 的長等于2 2解析： AB ? ACAB?CB 42(CB)8AB8AB ACABC 的重心， 點 P 是uuuruuuruuur4.已知點 G是GBC 一點， 若 APABAC, 則的取值圍是 _ ( 2,1)3AGBPCP G解析：APAGGP2 AG'GP '31( ABAC)t (mGB nG

3、C) ( 其中 0t 1, mn1)3=1(AB AC)t m1( ABCB) n1 (ACBC)333=1 (1mt ) AB1 (1nt) AC ，則21 t(2,1)333335. 已知 O為ABC 所在平面一點，滿足uuur 2uuur2uuur2uuur 2OABCOBCAuuur 2uuur 2，則點 O是 ABC的OCAB心垂心解析：uuur 2uuur 2uuur 2uuur 2(OAOB)(OAOB)( BCCA)( BC CA) 0OABCOBCABA 2OC0 ，可知 OCAB ，其余同理6. 設點 O 是 ABC 的外心， AB c ， AC b ， b12c21則BC

4、· AO的取值圍- 1,24AOBC解析：b1 2c21c22bb200b2BCAO( ACAB)AObRcoscRcosbR bcR c1 (b 2c 2 )2R2R2b 2b (b1)2 1- 1,22447. 在 ABC 和 AEF 中， B 是 EF 的中點， AB=EF=1， BC=6 ，CA33 ，若 AB AEAC AF2 ，則 EF 與 BC 的夾角的余弦值等于2_3解析：（2007全國聯賽類似38.39題）因為 ABAEACAF2，所以AB (ABBE)AC (ABBF )2AB BEACABAC BF2 。因2，即 AB21 ，為 ABACAB33331361，

5、BEBF ，所以 1BF (ACAB)12 ，即13312BFBC2 。設 EF 與 BC 的夾角為，則有 | BF | | BC | cos 2 ，即 3cos=2，所以cos 23ur urrururururur rurruruur8. 已知向量,滿足| |1, | |,() () 0 .若對每一確定的, | 的最大值和最小值分別為ur, mn 的最小值是1m, n ,則對任意2CDBA解析：數形結合 .AB, AC, BC, AD,CD, BDCDBD ，點 D 在以 BC 為直徑的圓上運動， m n 就是 BC ，而 ACBC, AB1 2BC1BC19題相同 .（ A, B, C 共

6、線時取等號）和29. 已知向量 a ， b ， c 滿足 |a | = 1 ， | a - b | = |b | ， ( a -c) (b -c ) = 0，若對每一個確定的b，| c |的最大值和最小值分別為 m，n，則對于任意的向量b ， m + n 的最小值為 _ 32解析：本題和 8完全相同。數形結合，具體參見810.設e1 ,e2是夾角為600 的兩個單位向量， 已知OMe1 ,ON e2OP xOMyON，若PMN 是以 M 為直角頂點的直角三角形，則實數 xy 取值的集合為 _1解析：畫圖解即可11. 如圖放置的邊長為 1 的正方形 ABCD 的頂點 A, D 分別在 x 軸，

7、y 軸上正半軸上滑動，則 OB OC 的最大值為 _2yCDBOAx解析：(OA AB)(OD DC)sin 2112. 給定兩個長度為1 的平面向量 OA 和 OB ，它們的夾角為1200 。如圖所示， 點 C 在以 O為圓心的圓弧AB 上變動， 若 OCxOAyOB ，其中 x, yR， BC則 xy的最大值是 _2解析：OC22y 22xyOA OBx 2y 2xy( xy) 23xy1OAx( xy) 213xy13 ( xy) 22【研究】如果要得到x, y 滿足的準確條件，則建系，OA(1,0), OB( 1 ,3) 則22OC (x1 y, 3 y) ， 則 滿 足 ( x1 y

8、) 2( 3 y) 21xy 2xy 1 ， 且2222x1 y1 , y022【變題】給定兩個長度為1 且互相垂直的平面向量OA 和 OB ，點 C 在以 O 為圓心的圓弧AB 上運動，若 OCxOA yOB ，其中 x、 yR，則 (x1) 2y 2 的最大值為2解析：建系，利用坐標法是可以得到x, y 最準確的滿足條件，如OA(1,0),OB(0,1)OC(x, y) ，點 C 在以 O 為圓心的圓弧AB 上運動，故滿足 x 2y 21( x0, y0)13. 在平行四邊形ABCD 中，已知 AB2, AD1,DAB60 ，點 M 為 AB 的中點，點P 在 BC與 CD 上運動（包括端

9、點） ，則 AP ? DM 的取值圍是1 ,12解析：分兩種情形，結合圖形分析。（1）當 P 在 BC 上時， APAB BP，則APDMABDMBPDM1BP1,1 ；同理，當P在 CD上時，111 DM1,122APDM2222uuuuruuurPMN 中， MN7，1614.在周長為 16的6，則 PMPN 的取值圍是uuuuruuura2b2c2a2b236ab ，因 ab10 ，解析： PMPNab cosab322ab2故 ab(ab) 2uuuur uuur32ab7，或者用消元的方法25， PMPN2uuuuruuuraba(10a)(a5) 22525 ，當 ab5 時取等號

10、，故 PMPN32ab7 ；同時 ab610a6a8，當 a8時 ab16 ，故 ab16，uuuuruuur32ab16PMPN另法：本題可以得出P 的軌跡是橢圓，得出橢圓方程然后設P 坐標來解決uuuruuuruuuruuuruuur2y1AOB是鈍角，若15.已知 |OA|4,| OB |6,OCxOAyOB , 且 x，f (t)uuuruuuruuur的最小值是6 111| OAtOB | 的最小值為 23，則 |OC |37解析： OCxOAyOB'C, A, B' 共線，用幾何圖形A解） f (t )uuuruuur3 根據幾何意義即| OAtOB | 的最小值為

11、 223uuurCAOB為 A 到 OB的距離， 易得1200 ，要使 |OC |最小，則 OCAB' ，利用面積法可求得OBB16. 如圖，在正方形ABCD 中， E 為 AB 的中點， P 為以 A 為圓心、 AB 為半徑的圓弧上uuuruuuruuur1的任意一點，設向量ACDEAP ，則的最小值為2( 1 ,解析：坐標法解，AC(1,1), DE1), AP(cos,sin )uuuruuur2uuur由ACDEAP得1cos12sin2 cos2 cossin2，3sin12cossin2 sin2 cos31 sin，令2 cossin312cossinf (1 sin,

12、0, ， f ' (2 2sincos0，故 f () 最小值為)sin)22cos2(2 cossin )1最小值為1f (0)，2217.已知 P 為邊長為1 的等邊ABC 所在平面一點，且滿足CPCB2CA ，則PA PB =_3PABCCPCB2CABP 2CA， PA PB=解析：如圖( PBBA)PB2BA PB4 12cos12003PB18.已知向量M=aa =(1,2)+(3,4)R ， N= aa =(-2,2)+(4,5)R ，則M N=_ (46,62)1324'解析：425152'19. 等腰直角三角形ABC 中， A90 ，AB2， AD是B

13、C邊上的高， P為 AD的中uuuuruuur1點，點 M 、N 分別為 AB 邊和 AC 邊上的點，且 M 、N 關于直線 AD 對稱，當 PM PN2時， AM_3BMB解析： PMPN( PAAM )( PAAN )ED20. 如圖在三角形 ABC中， E 為斜邊 AB的中點， CD AB，AB 1,uuur uuuruuur uuur2CA則CACDCA CE 的最大值是27解析：uuur uuuruuur uuur1 CD 2 CA cos A1 CA 3 sin 2 Acos A1 sin 2 A cos4 A2CA CDCA CE2222721.已知A，B，C是平面上不共線上三點

14、，動點P滿足OP1(1)OA(1)OB(12 )OC(R且0),則P 的軌跡一定通過ABC的3_ 重心解析：設重心為G，OPOG(OAOBOC)GP(CA CB)2CD3233CG ，故 C,G, P 三點共線22. 已知點 O為ABC 的外心，且AC4, AB2, 則 AO?BC6解析： AO BCAO( ACAB)4R cosCAO2R cosBAO4R22R16RR23. 設 D 是 ABC 邊 BC 延長線上一點，記ADAB(1) AC ，若關于 x 的方程2sin 2x (1) sin x10在 0,2) 上恰有兩解，則實數的取值圍是 _4 或221解 析 ： 令 tsin x則 2

15、t 2(1)t 10在 (1,1)上恰有一解，數形結合知f ( 1)f (1)04 或2 ，或者0221又 ADAB(1) ACCDCB0所以4 或221uuuruuuruuur24. O 是銳角ABC所在平面的一定點,動點 P滿足: OPOAuuurAB2ABCABSinuuuruuurAC,0, 則動點 P 的軌跡一定通過ABC的 _心心2ACSin ACB解析：設高為AD ，則 AP( ABAC )1顯然成立ABACADuuuruuura,0uuuruuur3,4uuur25. 已知 O 為坐標原點， OPx, y ，OA，OB0,a ，OC，記PA、uuuruuurPB 、 PC 中的

16、最大值為M，當 a 取遍一切實數時，M的取值圍是 _ 726,解析：不妨設PAPB，即 yx，此時 Mmax PA , PC , 當 a 取遍一切實數時，點A 在 x 軸上滑動，而到點C 的距離等于到x 軸距離的點的軌跡是以C 為焦點， x 軸為準線CA的拋物線，其方程為(x3) 28( y2), 它交直線y x 于點 P (726,726 ) ，顯然此時PAPC ，而 A為 PAx 的垂足時 M 最小，即最小是 726法 2：對于某個固定的a, 到M的最大值顯然可以趨向M最小值呢？實際上就是當P，為 ABC 外心時，此時PAPBPCM 的最小值，因為當P 不是外心時，PA , PB , PC

17、 至少有一個會變大，這樣M 就變大 . 解得外心坐標為P ( a 225 , a 225) ,2a142a14要使得 PAPBPC 最小，則圓與坐標軸相切，此時a225aa7262a1426. 已知 ABC 中， I 為心， AC 2,BCuuruuuruuury 的值為3,AB 4,且AIxAByAC ，則 x_ .2 ,3解析：延長 AI 交 BC于點 I',則 3 AIAI 'AB2 BC1 AB2 AC233327. 設 G是ABC 的重心，且 ( 56 sin A)GA( 40 sin B)GB( 35 sinC)GC0 ，則角 B 的大小為 _ 60°解析

18、：由重心性質知56sin A40 sin B35sin C56a40b35c ，下面用余弦定理即可求解28. 平面兩個非零向量,，滿足1，且與的夾角為 1350，則的取值圍是_ (0,2解析：數形結合。利用正弦定理得，1，sin 450sin(0, 3)4329. 在ABC 中， AB 1, AC2，O為ABC 外接圓的圓心，則 AO BC _2ADEO解析：BC2AO ( AC AB)2( AO AD AO AE) 2( AD2 3AE )230. ABC 接于以 O 為圓心的圓，且uuuruuuruuurrC 1353OA4OB5OC0 則uuuruuuruuurr9OA2224OA OB

19、25OC2解析： 3OA4OB5OC016OBOAOBOCrAOB90 031.在 ABC 中， AB 8， BC 7，AC=3 ，以 A 為圓心， r=2 為半徑作一個圓，設PQ 為圓A的任意一條直徑，記T BP ?CQ ,則 T 的最大值為 22CPABQ解析：設 BC, AQ的夾角為，注意到由余弦定理知CAB600 ，故BP?CQ(BAAP)(CAAQ)BA CA BA AQAP CAAP AQ8 3cos600AQ (BACA)48 AQBC814 cos6,22如圖，在中，uuuruuuruuur1uuur uuur=_ 3ADAB，AD，則AC AD32.ABCBC3BD，則 AO

20、B、 AOC、 BOC 的面積33. 已知點 O 為 ABC 一點，且 OA 2OB3OC 0之比等于 _3:2:1法一：延長 OB,OC 至 B,C，使得 OB'2OB , OC'3OC ，則 O為AB'C' 重心，然后由面積計算；法二：建立坐標系，設A(0,0),C(c,0),B(a,b),O(x,y)，2a3c6x0b3ySAOC:S ABC1: 32b6y034.已知 A.B.C是 ABC的三個頂點，AB 2AB ACAB CBBC CA, 則 ABC 為_三角形 .直角三角形解：注意到 AB AC AB CB2CA0AB ,故 BC35.PA, PB2

21、2PA PB0 ,PCPAPB平面上的向量滿足 PAPB4，且若向量1233，則 PC 的最大值為 _解析：兩邊平方后知PC21216PC4(4 3PB )9，即 P, A重合時 .93136. 已 知 在 平 面 直 角 坐 標 系 中 ， O(0,0), M (1,), N (0,1), Q( 2,3), 動點 P( x, y), 滿 足20 OPOM1,0OP ON1.則OP OQ 的最大值為解析：即已知0x2 y 1求 2x3y 最大值問題，線性規(guī)劃問題 .0y137、在 ABC 中，已知 AB2，BC 3， ABC60， AHBC于H，M 為AHuuuuruuuruuur.的中點，若

22、 AMABBC ，則解析：1 AHABBC ，兩邊同數乘 BC 得3 ；兩邊同數乘 AB 得 86321 ,12解方程組得26338. 如圖，在ABC 和AEF 中， B 是 EF 的中點， ABEF2，CA CB3 ，uuuruuuruuuruuuruuuruuur_ 1若 ABAEACAF7，則 EF 與BC 的夾角的余弦值等于3解析： 39 題類似， EF BC2 3 6，下面求EFBC( AFAE)( ACAB)( ABAEACAF )( (ABAFAEAC)7AB (ABBF )( ABBE) AC =72AB BFAB AC BFAC7 4BF CB AB AC AB= 741 E

23、FBC 2 ，解方程得 EFBC2239.如圖，在ABC和AEF中，B是EF 的中點， AB=EF=1 ，CA=CB=2 ，若uuur uuuruuuruuuruuuruuurAB AEACAF2 ，則 EF 與 BC 的夾角等于；解析：解題思路：在已知等式中，將不知模長的向量作替換轉化。3uuuruuuruuuruuuruuur uuuruuuruuuruuuruuurABAEACAFAB (ABBE)AC (ABBF )1uuuruuuruuuruuuruuuruuurAB BEACABAC BFuuuruuuruuuruuuruuuruuurEF與BC的夾角 EF 與BC 的夾角 BEB

24、F ，uuuruuuruuuruuur1uuuruuuruuuruuuruuur ABAEACAF( ACAB)BFACAB1uuuruuuruuuruuurBC BFACAB 2而 在 等 腰 ABC 中 ， 作 底 邊 的 高 CD ， 則 在 Rt ACD中由已知邊長可得11uuuruuurcos CAB2。2，設 EF 與 BC 的夾角為4 1uuuruuuruuuruuurCAB2 ，| BC | | BF | cos| AC | | AB | cos從而 cos1，又 0，。2340.如圖，已知 RtBCD 的一條直角邊BC 與等腰 Rt ABC 的斜邊BBC重合，若AB2 ，uuuvuuuvuuuvCBD30o ， ADmABnAC ，D則 m n .-1uuuvuuuvuuuv解析： ADmABnAC 兩邊分別同乘AB, AC 分別得到ACAD