三角函數(shù)典型例題剖析與規(guī)律總結(jié)

1、三角函數(shù)典型例題剖析與規(guī)律總結(jié)一：函數(shù)的定義域問題1. 求函數(shù)的定義域。分析：要求的定義域，只需求滿足的集合，即只需求出滿足的值集合，由于正弦函數(shù)具有周期性，只需先根據(jù)問題要求，求出在一個(gè)周期上的適合條件的區(qū)間，然后兩邊加上即可。解：由題意知需，也即需在一周期上符合的角為,由此可得到函數(shù)的定義域?yàn)樾〗Y(jié):確定三角函數(shù)的定義域的依據(jù)：（1）正、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的定義域。（2）若函數(shù)是分式函數(shù)，則分母不能為零。（3）若函數(shù)是偶函數(shù)，則被開方式不能為負(fù)。（4）若函數(shù)是形如的函數(shù)，則其定義域由確定。（5）當(dāng)函數(shù)是有實(shí)際問題確定時(shí)，其定義域不僅要使解析式有意義同時(shí)還要使實(shí)際問題有意義。二函數(shù)值域及最大值

2、，最小值（1）求函數(shù)的值域例。求下列函數(shù)的值域（1） （2）分析：利用與進(jìn)行求解。解：（1）（2）評(píng)注：一般函數(shù)的值域求法有：觀察法，配方法判別式法，反比例函數(shù)法等，而三角函數(shù)是函數(shù)的特殊形式，其一般方法也適用，只不過要結(jié)合三角函數(shù)本身的性質(zhì)罷了。（2）函數(shù)的最大值與最小值。例。求下列函數(shù)的最大值與最小值（1） （2）（3） （4）分析：（1）（2）可利用sinx,cosx的值域求解求解過程要注意自變量的去值范圍（3）（4）可利用二次函數(shù)在閉區(qū)間上求最值得方法。解：(1) (2)(3) 當(dāng)，即時(shí)，有最小值；當(dāng)，即，有最大值1。(4)小結(jié)：求值域或最大值，最小值的問題，一般的依據(jù)是：（1）sin

3、x,cosx的有界性；（2）tanx的值可取一切實(shí)數(shù)；（3）連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上存在最大值和最小值。根據(jù)上面的原則，常常把給出的函數(shù)變成以下幾種形式；（1）一次形式（2）或的形式，通過來確定或其他變形來確定。三：函數(shù)的周期性例 求下列函數(shù)的周期分析：該例的兩個(gè)函數(shù)都是復(fù)合函數(shù)，我們可以通過變量的替換，將它們歸結(jié)為基本三角函數(shù)去處理。（1） 把看成是一個(gè)新的變量，那么的最小正周期是，就是說，當(dāng)且必須增加到時(shí)，函數(shù)的值重復(fù)出現(xiàn)，而所以當(dāng)自變量增加到且必須增加到時(shí)，函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)，因此，的周期是。（2） 即的周期是。小結(jié)：由上面的例題我們看到函數(shù)周期的變化僅與自變量的系數(shù)有關(guān)。一般地，函數(shù)或（其中為常

4、數(shù)，的周期。四函數(shù)的奇偶性例 判斷下列函數(shù)的奇偶性分析：可利用函數(shù)奇偶性定義予以判斷。解：（1）函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。（2函數(shù)應(yīng)滿足函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。函數(shù)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)。評(píng)注：判斷函數(shù)奇偶性時(shí)，必須先檢查定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間，如果是，再驗(yàn)證是否等于或，進(jìn)而判斷函數(shù)的奇偶性，如果不是，則該函數(shù)必為非奇非偶函數(shù)。五：函數(shù)的單調(diào)性例：下列函數(shù)，在上是增函數(shù)的是（ ） 分析：解：與在上都是減函數(shù)，排除，知在內(nèi)不具有單調(diào)性，又可排除，應(yīng)選。小結(jié)：求形如的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以通過解不等式的方法去解答，列不等式的原則是：練習(xí)：1. 函數(shù)的定義域?yàn)椋?）2. 函數(shù)，的值域是(

5、)3. 函數(shù)的周期為，則=-.4. 下列函數(shù)中是偶函數(shù)的是（ ）5. 下列函數(shù)中，奇函數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）（1）（2）（3）（4）6. 在區(qū)間上，下列函數(shù)為增函數(shù)的是（ ）7. 函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（ ）8. 如果，則函數(shù)的最小值是9. 函數(shù)的值域?yàn)椋?）答案：b b 3 c c d b b例1已知，且，則可以表示（ ）（a） （b）（c） （d）分析由題意求，不僅要看選擇支給出的四個(gè)角中哪一個(gè)角在區(qū)間內(nèi)，還要看哪一個(gè)角的正弦值為依據(jù)誘導(dǎo)公式，有，由此排除了b和d又，故，因此本題應(yīng)選c點(diǎn)評(píng) 反三角函數(shù)的記號(hào)既然表示一個(gè)特定區(qū)間上的角，就可以此為基礎(chǔ)表示其他指定范圍內(nèi)的角例2 （1）若，則等于（ ）（

6、a） （b）（c） （d）（2）已知，那么的值是（ ）（a） （b）（c） （d）分析 （1）方法1 因?yàn)椋ㄗ⒁?）.（注意由有）.于是原式，故選.方法 2 利用， ，又， ，故選（a）.（2）本題是的條件下，求兩角和的值，只要求出這兩個(gè)角和的正切值，并確定其取值范圍即可 設(shè)，由，有，故，并且，. 由此可知，故選. 點(diǎn)評(píng) 本題是利用反三角函數(shù)的概念，通過設(shè)輔助角，把反三角函數(shù)的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的問題來解決，這是常用的處理方法，同時(shí)，揭示了反三角函數(shù)和三角函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系例3 的值= 分析 本題實(shí)質(zhì)上是求角的大小，可以先求它的某種三角函數(shù)值，再估計(jì)其取值范圍而確定設(shè)，則，且又設(shè)，則，且，故 又由，可得 ，即例4函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?分析所求函數(shù)定義域應(yīng)該由下列條件確定：解得為，故所求定義域?yàn)橛钟?，則， ，即所求值域?yàn)辄c(diǎn)評(píng)求值域時(shí)既要認(rèn)識(shí)給定函數(shù)是復(fù)合函數(shù)，又要注意定義域的制約作用例5函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是 分析由，得函數(shù)的定義域?yàn)橛捎诤瘮?shù)由函數(shù)和復(fù)合而成，而函數(shù)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，故只要求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，為因此，已知函數(shù)的遞增敬意是點(diǎn)評(píng) 這里不僅要正確運(yùn)用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的規(guī)律，而且要注意函數(shù)的單調(diào)區(qū)間定是其定義域的子區(qū)間例6滿足的的取值范圍是 ；滿足的的取值范圍是 分析 此類題既要用到函數(shù)的單調(diào)性，還要注意相應(yīng)式有意義對(duì)的限制條件 例7