高三專題復(fù)習(xí)：直線與圓知識點及經(jīng)典例題(含答案)

1、名師總結(jié)優(yōu)秀知識點專題：圓的方程、直線和圓的位置關(guān)系【知識要點】圓的定義： 平面內(nèi)與一定點距離等于定長的點的軌跡稱為圓（一）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形如：222)()(rbyax這個方程叫做圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。王新敞說明： 1、若圓心在坐標(biāo)原點上，這時0ba，則圓的方程就是222ryx。2、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的兩個基本要素：圓心坐標(biāo)和半徑；圓心和半徑分別確定了圓的位置和大小，從而確定了圓，所以，只要a,b,r 三個量確定了且r0，圓的方程就給定了。就是說要確定圓的方程，必須具備三個獨立的條件王新敞確定 a,b,r，可以根據(jù)3 個條件，利用待定系數(shù)法 來解決。（二）圓的一般方程將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程222)()(rbyax,展

2、開可得02222222rbabyaxyx?？梢姡魏我粋€圓的方程都可以寫成:022feydxyx。問題： 形如022feydxyx的方程的曲線是不是圓？將方程022feydxyx左邊配方得：22222)24()2()2(fedeydx（1）當(dāng)0422fed時，方程（1）與標(biāo)準(zhǔn)方程比較，方程022feydxyx表示以)2,2(ed為圓心，以2422fed為半徑的圓。（2）當(dāng)0422fed時，方程022feydxyx只有實數(shù)解，解為2,2eydx,所以表示一個點)2,2(ed. （3）當(dāng)0422fed時，方程022feydxyx沒有實數(shù)解，因而它不表示任何圖形。圓的一般方程的定義：當(dāng)0422fed

3、時，方程022feydxyx稱為圓的一般方程. 圓的一般方程的特點： （i）22yx 和的系數(shù)相同，不等于零；（ii ）沒有 xy 這樣的二次項。（三）直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓位置關(guān)系的種類（1）相離 -求距離；(2)相切 -求切線；（3）相交 -求焦點弦長。2、直線與圓的位置關(guān)系判斷方法：幾何方法主要步驟：（1）把直線方程化為一般式，利用圓的方程求出圓心和半徑（2）利用點到直線的距離公式求圓心到直線的距離（3）作判斷 : 當(dāng) dr 時，直線與圓相離；當(dāng)dr 時，直線與圓相切;當(dāng) dr 時，直線與圓相交。代數(shù)方法主要步驟：（1）把直線方程與圓的方程聯(lián)立成方程組（2）利用消元法，得到關(guān)于另

4、一個元的一元二次方程（3）求出其的值，比較與 0 的大?。好麕熆偨Y(jié)優(yōu)秀知識點（4）當(dāng) 0時，直線與圓相交。圓的切線方程總結(jié)：當(dāng)點),(00yx在圓222ryx上時，切線方程為：200ryyxx；當(dāng)點),(00yx在圓222)()(rbyax上時，切線方程為：200)()(rbybyaxax。【典型例題】類型一：圓的方程例 1 求過兩點)4,1(a、)2,3(b且圓心在直線0y上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并判斷點)4,2(p與圓的關(guān)系變式 1：求過兩點)4,1(a、)2,3(b且被直線0y平分的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 變式 2：求過兩點)4,1(a、)2,3(b且圓上所有的點均關(guān)于直線0y對稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 分析

5、： 欲求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出圓心坐標(biāo)的圓的半徑的大小，而要判斷點p與圓的位置關(guān)系，只須看點p與圓心的距離和圓的半徑的大小關(guān)系，若距離大于半徑，則點在圓外；若距離等于半徑，則點在圓上；若距離小于半徑，則點在圓內(nèi)解法一：（待定系數(shù)法 ）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為222)()(rbyax圓心在0y上，故0b圓的方程為222)(ryax又該圓過)4,1 (a、)2,3(b兩點22224)3(16)1(rara解之得：1a，202r所以所求圓的方程為20)1(22yx解法二：（直接求出圓心坐標(biāo)和半徑）因為圓過)4,1(a、)2,3(b兩點， 所以圓心c必在線段ab的垂直平分線l上， 又因為13124abk，故l的

6、斜率為1，又ab的中點為)3,2(，故ab的垂直平分線l的方程為：23xy即01yx又知圓心在直線0y上，故圓心坐標(biāo)為)0,1(c半徑204) 11 (22acr故所求圓的方程為20)1(22yx又點)4,2(p到圓心)0,1(c的距離為rpcd254) 12(22點p在圓外例 2： 求過三點 o（0，0） ，m（ 1，1） ， n（4，2）的圓的方程，并求出這個圓的圓心和半徑。解： 設(shè)圓的方程為：x2 y2 dx ey f 0，將三個點的坐標(biāo)代入方程名師總結(jié)優(yōu)秀知識點02024020fedfedf f 0， d 8， e 6 圓方程為： x2 y28x 6y 0 配方： （ x 4 ）2 （

7、 y 3 ）2 25 圓心：（ 4，3 ） ， 半徑 r 5 例 3： 求經(jīng)過點)5,0(a，且與直線02yx和02yx都相切的圓的方程分析： 欲確定圓的方程需確定圓心坐標(biāo)與半徑，由于所求圓過定點a，故只需確定圓心坐標(biāo)又圓與兩已知直線相切，故圓心必在它們的交角的平分線上解： 圓和直線02yx與02yx相切，圓心c在這兩條直線的交角平分線上，又圓心到兩直線02yx和02yx的距離相等5252yxyx兩直線交角的平分線方程是03yx或03yx又圓過點)5,0(a，圓心c只能在直線03yx上設(shè)圓心)3,(ttcc到直線02yx的距離等于ac，22)53(532tttt化簡整理得0562tt解得：1t

8、或5t圓心是)3,1 (，半徑為5或圓心是)15,5(，半徑為55所求圓的方程為5)3()1(22yx或125)15()5(22yx說明： 本題解決的關(guān)鍵是分析得到圓心在已知兩直線的交角平分線上，從而確定圓心坐標(biāo)得到圓的方程，這是過定點且與兩已知直線相切的圓的方程的常規(guī)求法類型二：切線方程、切點弦方程、公共弦方程例 4、 已知圓422yxo：，求過點42，p與圓o相切的切線解： 點42，p不在圓o上，切線pt的直線方程可設(shè)為42xky根據(jù)rd21422kk.解得43k，所以4243xy，即01043yx因為過圓外一點作圓得切線應(yīng)該有兩條，可見另一條直線的斜率不存在易求另一條切線為2x說明： 上

9、述解題過程容易漏解斜率不存在的情況，要注意補(bǔ)回漏掉的解本題還有其他解法，例如把所設(shè)的切線方程代入圓方程，用判別式等于0 解決（也要注意漏解） 還可以運用200ryyxx，求出切點坐標(biāo)0 x、0y的值來解決，此時沒有漏解例 5、自點 a(-3,3) 發(fā)出的光線l 射到 x 軸上，被 x 軸反射， 其反射光線所在直線與圓074422yxyx相切，求光線所在直線方程。例 6、 兩圓0111221fyexdyxc：與0222222fyexdyxc ：相交于a、b兩點，求它們的名師總結(jié)優(yōu)秀知識點公共弦ab所在直線的方程分析： 首先求a、b兩點的坐標(biāo)，再用兩點式求直線ab的方程，但是求兩圓交點坐標(biāo)的過程太

10、繁為了避免求交點，可以采用“ 設(shè)而不求 ” 的技巧解： 設(shè)兩圓1c、2c的任一交點坐標(biāo)為),(00yx，則有：0101012020fyexdyx0202022020fyexdyx得：0)()(21021021ffyeexdda、b的坐標(biāo)滿足方程0)()(212121ffyeexdd方程0)()(212121ffyeexdd是過a、b兩點的直線方程又過a、b兩點的直線是唯一的兩圓1c、2c的公共弦ab所在直線的方程為0)()(212121ffyeexdd說明： 上述解法中，巧妙地避開了求a、b兩點的坐標(biāo)，雖然設(shè)出了它們的坐標(biāo)，但并沒有去求它，而是利用曲線與方程的概念達(dá)到了目標(biāo)從解題的角度上說，這

11、是一種“ 設(shè)而不求 ” 的技巧，從知識內(nèi)容的角度上說，還體現(xiàn)了對曲線與方程的關(guān)系的深刻理解以及對直線方程是一次方程的本質(zhì)認(rèn)識它的應(yīng)用很廣泛例 7、 求過點(3,1)m，且與圓22(1)4xy相切的直線l的方程 解： 設(shè)切線方程為1(3)yk x，即310kxyk，圓心(1,0)到切線l的距離等于半徑2，22|31|21kkk，解得34k， 切線方程為31(3)4yx，即34130 xy，當(dāng)過點m的直線的斜率不存在時，其方程為3x，圓心(1,0)到此直線的距離等于半徑2，故直線3x也適合題意。所以，所求的直線l的方程是34130 xy或3x補(bǔ)充： 圓022feydxyx的切點弦方程：類型三：弦長

12、、弧問題例 8、 求直線063:yxl被圓042:22yxyxc截得的弦ab的長 . 名師總結(jié)優(yōu)秀知識點例 9、 直線0323yx截圓422yx得的劣弧所對的圓心角為解： 依題意得，弦心距3d，故弦長2222drab，從而 oab 是等邊三角形，故截得的劣弧所對的圓心角為3aob. 例 10、圓 c：25)2() 1(22yx，直線)(047)1(12rmmymxm）（，（）證明：不論m 取何值時，l與 c 恒有兩個交點；（）求最短弦長所在直線方程。分析： 本題最關(guān)鍵的是直線交點系方程的轉(zhuǎn)化，挖掘出直線恒過定點。再探究定點在圓內(nèi)，下一步只需要去探究點到直線的距離最大時，直線方程是什么。類型四：

13、直線與圓的位置關(guān)系例 11、已知直線0323yx和圓422yx，判斷此直線與已知圓的位置關(guān)系. 例 12、若直線mxy與曲線24xy有且只有一個公共點，求實數(shù)m的取值范圍 . 解： 曲線24xy表示半圓)0(422yyx，利用數(shù)形結(jié)合法，可得實數(shù)m的取值范圍是22m或22m. 例 13、圓9)3()3(22yx上到直線01143yx的距離為1 的點有幾個？分析： 借助圖形直觀求解或先求出直線1l、2l的方程，從代數(shù)計算中尋找解答解法一： 圓9)3()3(22yx的圓心為)3,3(1o，半徑3r設(shè)圓心1o到直線01143yx的距離為d，則324311343322d如圖，在圓心1o同側(cè)，與直線01

14、143yx平行且距離為1 的直線1l與圓有兩個交點，這兩個交點符合題意 又123dr與直線01143yx平行的圓的切線的兩個切點中有一個切點也符合題意符合題意的點共有3 個解法二： 符合題意的點是平行于直線01143yx，且與之距離為1 的直線和圓的交點設(shè)所求直線為043myx，則1431122md，511m，即6m，或16m，也即06431yxl ：，或016432yxl ：設(shè)圓9)3()3(221yxo：的圓心到直線1l、2l的距離為1d、2d，名師總結(jié)優(yōu)秀知識點則34363433221d，143163433222d1l與1o相切，與圓1o有一個公共點；2l與圓1o相交，與圓1o有兩個公共

15、點即符合題意的點共3 個類型五：圓中的最值問題例 14、圓0104422yxyx上的點到直線014yx的最大距離與最小距離的差是解：圓18)2()2(22yx的圓心為 （2，2） ，半徑23r，圓心到直線的距離rd25210，直線與圓相離，圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是262)()(rrdrd. 例 15、(1)已知圓1)4()3(221yxo：，),(yxp為圓o上的動點，求22yxd的最大、最小值(2)已知圓1)2(222yxo ：，),(yxp為圓上任一點求12xy的最大、最小值，求yx2的最大、最小值分析： (1)、 (2)兩小題都涉及到圓上點的坐標(biāo)，可考慮用圓的參數(shù)方程或數(shù)

16、形結(jié)合解決本題類比于2017 年高考理科全國二卷12 題，這類型題目的處理方法就是通過幾何意義用線性規(guī)劃的思路來處理，或者用圓的參數(shù)方程，分別把 x,y 表示出來，通過研究三角函數(shù)的最值研究。解：(1)圓上點到原點距離的最大值1d等于圓心到原點的距離1d加上半徑1，圓上點到原點距離的最小值2d等于圓心到原點的距離1d減去半徑1所以6143221d4143222d所以36maxd16mind(2)設(shè)kxy12，則02kykx由于),(yxp是圓上點，當(dāng)直線與圓有交點時，如圖所示，兩條切線的斜率分別是最大、最小值由11222kkkd，得433k所以12xy的最大值為433，最小值為433令tyx2，同理兩條切線在x軸上的截距分別是最大、最小值由152md，得52m所以yx2的最大值為52，最小值為52例 16、已知)0, 2(a，)0,2(b