導數(shù)與微分(教案)

1、重慶工商大學融智學院微積分教案（上冊）章節(jié)名稱：第三章導數(shù)與微分主講教師：岳斯瑋聯(lián)系方式：15178738810106微積分（上冊）教案第三章 導數(shù)與微分本章教學目標與要求理解導數(shù)的概念，會利用導數(shù)定義求導數(shù)。了解導數(shù)的物理意義（速度）， 幾何意義（切線的斜率）和經(jīng)濟意義（邊際）， 掌握基本初等函數(shù)的導數(shù)公式，導數(shù)的四則運算法則，復合函數(shù)求導法則。掌握反函數(shù)和隱函數(shù)求導法，對數(shù)求導法。理解可導性與連續(xù)性的關系。 了解高階導數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的高階導數(shù)。理解微分的概念，導數(shù)與微分之間的關系，以及一階微分形式的不變性，會求函數(shù)的微分。了解導數(shù)在經(jīng)濟中的應用本章教學重點與難點1導數(shù)概念及其求導法

2、則；2隱函數(shù)的導數(shù)；3復合函數(shù)求導；4微分的概念，可微和可導的關系，微分的計算§3.1 導數(shù)的概念教學目的與要求1.理解函數(shù)導數(shù)的概念及其幾何意義. 2.掌握基本初等函數(shù)的導數(shù)，會求平面曲線的切線和法線.3.了解導數(shù)與導函數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系.4.理解左右導數(shù)的概念、可導與連續(xù)的關系.教學重點與難點1. 函數(shù)導數(shù)的概念、基本初等函數(shù)的導數(shù)2. 函數(shù)導數(shù)的概念、利用定義求函數(shù)在某一點的導數(shù)教學過程一、引例導數(shù)的思想最初是由法國數(shù)學家費馬(Fermat)為研究極值問題而引入的，但與導數(shù)概念直接相聯(lián)系的是以下兩個問題：已知運動規(guī)律求速度和已知曲線求它的切線這是由英國數(shù)學家牛頓(Newton)和德

3、國數(shù)學家萊布尼茨(Leibniz)分別在研究力學和幾何學過程中建立起來的下面我們以這兩個問題為背景引入導數(shù)的概念 1瞬時速度 思考：已知一質(zhì)點的運動規(guī)律為，為某一確定時刻，求質(zhì)點在時刻的速度。在中學里我們學過平均速度，平均速度只能使我們對物體在一段時間內(nèi)的運動大致情況有個了解， 這不但對于火箭發(fā)射控制不夠，就是對于比火箭速度慢的多的火車、汽車運行情況也是不夠的，火車上坡、下坡、轉(zhuǎn)彎、穿隧道時速度都有一定的要求， 至于火箭升空那就不僅要掌握火箭的速度，而且要掌握火箭飛行速度的變化規(guī)律. 不過瞬時速度的概念并不神秘，它可以通過平均速度的概念來把握.根據(jù)牛頓第一運動定理，物體運動具有慣性，不管它的速

4、度變化多么快，在一段充分短的時間內(nèi)，它的速度變化總是不大的，可以近似看成勻速運動.通常把這種近似代替稱為“以勻代不勻”. 設質(zhì)點運動的路程是時間的函數(shù) ，則質(zhì)點在 到 這段時間內(nèi)的平均速度為可以看出它是質(zhì)點在時刻速度的一個近似值，越小，平均速度 與 時刻的瞬時速度越接近.故當時，平均速度就發(fā)生了一個質(zhì)的飛躍，平均速度轉(zhuǎn)化為物體在時刻的瞬時速度，即物體在 時刻的瞬時速度為 （1）思考：按照這種思想和方法如何計算自由落體的瞬時速度？因為自由落體運動的運動方程為：，按照上面的公式，可知自由落體運動在時刻的瞬時速度為。這正是我們高中物理上自由落體運動的速度公式.2切線的斜率 思考：圓的的切線的定義是什

5、么？這個定義適用于一般的切線嗎？引導學生得出答案：與圓只有一個交點的直線叫做圓的切線，但這個定義只適用于圓周曲線，并不適用于一般的曲線.因此，曲線的某一點的切線應重新定義.（1）切線的概念曲線C上一點M的切線的是指：在M外另取C上的一點N，作割線MN，當點N沿曲線C趨向點M時，如果割線MN繞點M轉(zhuǎn)動而趨向極限位置MT，直線MT就叫做曲線C在點M處的切線。簡單說：切線是割線的極限位置。這里的極限位置的含義是：只要弦長趨于0，也趨向于0.（如圖所示）（2）求切線的斜率設曲線C為函數(shù)的圖形，則，點為曲線C上一動點，割線MN的斜率為：根據(jù)切線的定義可知，當點N沿曲線C趨于M時，即，割線的斜率趨向于切線

6、的斜率。也就是說，如果時，上式的極限存在，則此極限便為切線的斜率記為，即 （2）3.邊際成本設某產(chǎn)品的成本C是產(chǎn)量x的函數(shù)，試確定產(chǎn)量為個單位時的邊際成本。用前兩例類似的方法處理得：表示由產(chǎn)量變到時的平均成本，如果極限 （3） 存在，則此極限就表示產(chǎn)量為個單位時成本的變化率或邊際成本。 思考：上述三個問題的結(jié)果有沒有共同點？上述兩問題中，第一個是物理學的問題，第二個是幾何學問題，第三個是經(jīng)濟學問題，分屬不同的學科，但問題都歸結(jié)到求形如 （4）的極限問題.事實上，在學習物理學時會發(fā)現(xiàn)，在計算諸如物質(zhì)比熱、電流強度、線密度等問題中，盡管其背景各不相同，但最終都歸化為討論形如（4）的極限問題.為了統(tǒng)

7、一解決這些問題，引進“導數(shù)”的概念.二、導數(shù)的定義1導數(shù)的概念定義 設函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，當自變量在點處取得增量（點仍在該鄰域內(nèi)）時，函數(shù)相應地取得增量，如果極限存在，則這個極限叫做函數(shù)在點處的導數(shù)，記為當函數(shù)在點處的導數(shù)存在時，就說函數(shù)在點處可導，否則就說在點處不可導.特別地，當時，為了方便起見，有時就說在點處的導數(shù)為無窮大.關于導數(shù)有幾點說明：（1）導數(shù)除了定義中的形式外，也可以取不同的形式，常見的有（2）反映是自變量 x 從改變到時，函數(shù)的平均變化速度，稱為函數(shù)的平均變化率；而導數(shù)反映的是函數(shù)在點處的變化速度，稱為函數(shù)在點處的變化率。2導函數(shù)的概念上面講的是函數(shù)在某一點處可導，如果

8、函數(shù)在開區(qū)間I的每一點都可導，就稱函數(shù)在開區(qū)間I上可導，這時，都對應的一個確定的導數(shù)值，就構成一個新的函數(shù)，這個函數(shù)叫做的導函數(shù)，記作：。即，導函數(shù)的定義式為：或在這兩個式子中，可以取區(qū)間I的任意數(shù)，然而在極限過程中，是常量，或才是變量；并且導數(shù)恰是導函數(shù)在點處的函數(shù)值.3.單側(cè)導數(shù)的概念我們知道在極限有左、右極限之分，而導數(shù)實質(zhì)是一個“比值”的極限。因此，根據(jù)左右極限的定義，不難得出函數(shù)左右導數(shù)的概念。定義 極限和分別叫做函數(shù)在點處的左導數(shù)和右導數(shù)，記為和.如同左、右極限與極限之間的關系，顯然：函數(shù)在點處可導的充分必要條件是左導數(shù)和右導數(shù)都存在并且相等.還應說明：如果在開區(qū)間上可導，且和都存

9、在，就說在閉區(qū)間上可導.三、按定義求導數(shù)舉例1根據(jù)定義求函數(shù)的導數(shù)的步驟根據(jù)導數(shù)的定義可以總結(jié)出求函數(shù)某一點的步驟為： 求增量： 算比值： 求極限：2運用舉例例1 求的導數(shù)（C為常數(shù)）.解 求增量作比值 取極限 所以 即常量的導數(shù)等于零.例2 求函數(shù)的導數(shù).解 ，即注意：以后會證明當指數(shù)為任意實數(shù)時，公式仍成立，即例如：，例3 求的導數(shù).解 即.用類似方法，可求得. 例4 求的導數(shù).解 所以特別地，當時，有例5 教材例3.4四、導數(shù)的幾何意義由前面對切線問題的討論及導數(shù)的定義可知：函數(shù)在點處的導數(shù)在幾何上表示曲線在點M（）處的切線的斜率。因此，曲線在點M（）處的切線方程為. 思考：曲線某一點處

10、切線和法線有什么關系？能否根據(jù)點M處切線的斜率求點M處的法線方程？ 根據(jù)法線的定義：過點M（）且垂直于曲線在該點處的切線的直線叫做曲線在點M（）處的法線.如果，根據(jù)解析幾何的知識可知，切線與法線的斜率互為倒數(shù)，則可得點M處法線方程為：例6 求雙曲線在點處的切線的斜率，并寫出該點處的切線方程和法線方程.解 根據(jù)導數(shù)的幾何意義知，所求的切線的斜率為：所以切線的方程為，即 .法線的方程為，即 .五、可導與連續(xù)的關系定理 函數(shù)在某點處可導，則一定在該點連續(xù).證明：因為如果函數(shù)在點處可導，即，從而有，其中，于是，因而，當時，有。這說明函數(shù)在點處連續(xù)。 思考：定理的逆命題成立嗎？例7 討論函數(shù)在處是否可導

11、。解 因，即在點處的左導數(shù)、右導數(shù)都存在但不相等，從而在處不可導。注意：通過例7可知，函數(shù)在原點（0,0）處雖然連續(xù)，但該點卻不可導，所以函數(shù)在某點處可導，則一定連續(xù)，反之不一定成立.課堂小結(jié)1.導數(shù)的表達式：2.基本初等函數(shù)的導數(shù)： 3.可導與連續(xù)的關系：函數(shù)在某點處可導，則一定在該點連續(xù)，反之不一定成立。4.導數(shù)的幾何意義：函數(shù)某一點處的導數(shù)值，在幾何表示為曲線在此點的切線的斜率。§3.2 求導法則與導數(shù)的基本公式教學目標與要求1. 掌握并能運用函數(shù)的和、差、積、商的求導法則2. 理解反函數(shù)的導數(shù)并能應用；3. 理解復合函數(shù)的導數(shù)并會求復合函數(shù)的導數(shù)；4. 掌握隱函數(shù)的求導方法；

12、5. 掌握并能運用對數(shù)求導法；6. 熟記求導法則以及基本初等函數(shù)的導數(shù)公式。教學重點與難度1. 會用函數(shù)的和、差、積、商的求導法則求導；2. 會求反函數(shù)的導數(shù)；3. 會求復合函數(shù)的導數(shù)4. 會求隱函數(shù)的導數(shù)以及能運用對數(shù)求導法。教學過程前面，我們根據(jù)導數(shù)的定義，求出了一些簡單函數(shù)的導數(shù)。但是，如果對每一個函數(shù)都用定義去求它的導數(shù),有時候?qū)⑹且患浅碗s或困難的事情。因此，本節(jié)介紹求導數(shù)的幾個基本法則和基本初等函數(shù)的導數(shù)公式。鑒于初等函數(shù)的定義，有了這些法則和公式，就能比較方便地求出常見的函數(shù)初等函數(shù)的導數(shù)。一、函數(shù)的和、差、積、商求導法則1.函數(shù)的和、差求導法則定理1 函數(shù)與在點x處可導，則函

13、數(shù)在點x處也可導，且。 同理可證：即證。注意：這個法則可以推廣到有限個函數(shù)的代數(shù)和，即，即有限個函數(shù)代數(shù)和的導數(shù)等于導數(shù)的代數(shù)和。例1 教材例3.92.函數(shù)積的求導公式定理2 函數(shù)與在點x處可導，則函數(shù)在點x也可導，且。注意：1）特別地，當（c為常數(shù)）時，即常數(shù)因子可以從導數(shù)的符號中提出來。而且將其與和、差的求導法則結(jié)合，可得：。2）函數(shù)積的求導法則，也可以推廣到有限個函數(shù)乘積的情形，即。例2 求下列函數(shù)的導數(shù)。1）； 2）。解 1）2）例3 求下列函數(shù)的導數(shù)（教材例3.10）。1）； 2）解 1）2）3.函數(shù)商的求導法則定理3 函數(shù)與在點x處可導，且，則函數(shù)在點x處也可導，且。注意：特別地，

14、當（c為常數(shù)）時，。思考：請各位同學總結(jié)一下三角函數(shù)的導數(shù)公式?？偨Y(jié)：根據(jù)上一節(jié)中求出的正弦和余弦的導數(shù)公式，可得三角函數(shù)的導數(shù)為：二、反函數(shù)的導數(shù)想一想：在基本初等函數(shù)中，還有那么函數(shù)沒有求導法則？在基本初等函數(shù)中，我們還有反三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的導數(shù)求法沒有討論，如何求呢？易知，反三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)分別是三角函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。能否通過三角函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的導數(shù)來求反三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)呢？這是可以的，這就是我們下面將要介紹的反函數(shù)的導數(shù)：定理4 設函數(shù)在某一區(qū)間是單調(diào)連續(xù)，在區(qū)間任一點x處可導，且，則它的反函數(shù)在相應區(qū)間內(nèi)也處處可導，且或證 因為函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)是單調(diào)連續(xù)函數(shù)，可知其反函數(shù)

15、在相應區(qū)間內(nèi)也是單調(diào)連續(xù)函數(shù)。當?shù)姆春瘮?shù)的自變量y取得改變量時，由的單調(diào)性知，于是又因為連續(xù)，所以當時，。由條件知，所以故或。即證。 例6 求下列反三角函數(shù)的導數(shù)。 1）； 2）；3）； 4）。 例7 求函數(shù)的導數(shù)。解 由于為對數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，根據(jù)反函數(shù)的導數(shù)法則得所以，指數(shù)函數(shù)的導數(shù)公式為特別地，當時，有三、復合函數(shù)的求導法則綜上，我們對基本初等函數(shù)的導數(shù)都進行討論，根據(jù)基本初等函數(shù)的求導公式，以及求導法則，就可以求一些較復雜的初等函數(shù)了。但是，在初等函數(shù)的構成過程中，除了四則運算外，還有復合函數(shù)形式，例如：。思考：如果，是否有？因此，要完全解決初等函數(shù)的求導法則還必須研究復合函數(shù)的求導法則

16、。定理 設函數(shù)在點x處有導數(shù)，函數(shù)在對應點u處有導數(shù)，則復合函數(shù)在點x處也有導數(shù)，且簡記為或。（證明略）注意：（1）復合函數(shù)的求導法則表明：復合函數(shù)對自變量的的導數(shù)等于復合函數(shù)對中間變量求導乘以中間變量對自變量求導。這種從外向內(nèi)逐層的求導的方法，形象稱為鏈式法則。（2）復合函數(shù)的求導法則可以推廣到有限個中間變量的情形。例如，設，則或（3）在熟練掌握復合函數(shù)的求導法則后，求導時不必寫出具體的復合步驟。只需記住哪些變量是自變量，哪些變量是中間變量，然后由外向內(nèi)逐層依次求導。例8 教材例3.15例9 教材例3.16例10 求冪函數(shù)的導數(shù)。例11 教材例3.17（抽象函數(shù)求導）例12 求下列函數(shù)的導數(shù)

17、。1）； 2）。四、隱函數(shù)的導數(shù)及對數(shù)求導法1.隱函數(shù)的導數(shù)（1）隱函數(shù)的概念函數(shù)表示兩個變量y與x之間的對應關系，這種對應關系可以用各種不同的方式表達。例如等，用這種方式表達的函數(shù)稱為y是x得顯函數(shù)。而有些函數(shù)自變量x與因變量y之間的對應規(guī)律是由一個包含x，y的方程來確定的，例如等，用這種方式表達的函數(shù)稱為y為x的隱函數(shù)。（2）隱函數(shù)的求導方法1）可以化為顯函數(shù)的隱函數(shù)：先化為顯函數(shù)，再用前面所學的方法求導。2）不易或不能化為顯函數(shù)的隱函數(shù)：將方程兩邊同時對自變量x求導，對與只含x的項，按通常的方法求導，對于含有y以及y的函數(shù)的項求導時，則分別作為x的函數(shù)和x的復合函數(shù)求導。這樣求導后，就得

18、到一個含有x，y，的等式，從等式中解出，即得隱函數(shù)的導數(shù)。（3）隱函數(shù)求導舉例例13 （教材例3.18）由方程確定y是x得函數(shù)，求y的導數(shù)。解 將方程中的y看成x的函數(shù)，利用復合函數(shù)的求導法則，將方程兩邊同時對x求導得，解出。 例14 教材例3.192.對數(shù)求導法（1）方法對于某些類型的函數(shù)，可以采用先取對數(shù)，變成隱函數(shù)，利用隱函數(shù)的求導方法：對x求導,解出的方法求導。即所謂的對數(shù)求導法。（2）適用范圍：對數(shù)求導法對冪指函數(shù)與多個函數(shù)乘積的形式特別方便。它可以使積、商導數(shù)的運算化為和、差的導數(shù)運算。例15 求函數(shù)的導數(shù)。例16 教材例3.22課堂小結(jié) 想一想：求導法則、基本初等函數(shù)的公式、反函

19、數(shù)求導法則、復合函數(shù)的求導法則？通過本節(jié)以及上一節(jié)學習，到目前為止。我們已經(jīng)學習了全部初等函數(shù)的求導公式和函數(shù)的求導法則，以及反函數(shù)、復合函數(shù)、隱函數(shù)的求導法則。從而解決了初等函數(shù)的求導問題。這些公式和法則是基礎，所以，必須要牢記和熟記。歸納如下：1.求導法則（1） （2）（3）（c為常數(shù)） （4） （5）（c為常數(shù)）（6）（7），其中2.基本初等函數(shù)的導數(shù)公式§3.3 高階導數(shù)教學目標與要求 1.高階導數(shù)的定義以及求法； 2.熟記一些常見函數(shù)的高階導數(shù)公式。教學重點與難點 高階導數(shù)的求法教學過程一、回顧一階導數(shù)的相關概念1導數(shù)的定義2到函數(shù)的概念二、高階導數(shù)1.高階導數(shù)的定義思考：

20、什么是變速直線運動物體的加速度？ 前面講過，若質(zhì)點的運動方程，則物體的運動速度為，或，而加速度是速度對時間的變化率，即是速度對時間的導數(shù)：或，由上可見，加速度是的導函數(shù)的導數(shù)，這樣就產(chǎn)生了高階導數(shù)，一般地，先給出下列定義：定義 若函數(shù)的導函數(shù)在x點可導，就稱在點x的導數(shù)為函數(shù)在點x處的二階導數(shù)，記為或，即，此時，也稱函數(shù)在點x處二階可導。關于高階導數(shù)有以下幾點說明：1）若在區(qū)間上的每一點都二次可導，則稱在區(qū)間上二次可導，并稱為在上的二階導函數(shù)，簡稱二階導數(shù)；2）仿上定義，由二階導數(shù)可定義三階導數(shù)，即。由三階導數(shù)可定義四階導數(shù)，一般地，可由階導數(shù)定義階導數(shù)；3）二階和二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù)

21、，高階導數(shù)與高階導函數(shù)分別記為：， ，或與或； 4）開始所述的加速度就是對的二階導數(shù)，依上記法，可記或； 5）未必任何函數(shù)所有高階都存在； 6）由定義不難知道，對，其導數(shù)（也稱為一階導數(shù)）的導數(shù)為二階導數(shù)，二階導數(shù)的導數(shù)為三階導數(shù)，三階導數(shù)的導數(shù)為四階導數(shù)，一般地，階導數(shù)的導數(shù)為階導數(shù)，否則，因此，求高階導數(shù)是一個逐次向上求導的過程，無須其它新方法，只用前面的求導方法就可以了。2.求高階導數(shù)舉例例1 ，求。解 。例2 教材例3.23例3 ，求各階導數(shù)。解 ，顯然易見，對任何，有， 即。例4 ，求各階導數(shù)。解 一般地，有，即 。 同樣可求得 。例5 ，求各階導數(shù)。解 ， ， 一般地，有 即 。例

22、6 ，為任意常數(shù)，求各階導數(shù)。解 ， ，一般地， 即 。當為正整數(shù)時， 時，； 時，； 時，。注意：上述例子中，所得的結(jié)論是一些常見函數(shù)的高階導數(shù)公式，因此。請各位同學牢記，以后直接作為公式應用。為了便于同學們掌握，特歸納如下：課堂小結(jié)1. 二節(jié)導數(shù)的定義是什么？2. 常見函數(shù)的高階導數(shù)公式。§3.4 函數(shù)的微分教學目標與要求1. 理解函數(shù)微分的定義以及可微與可導的關系；2. 知道微分的幾何意義；3. 掌握微分的基本公式和運算法則。教學重點與難點1 微分的定義的理解；2 微分的基本公式和運算法則的運用。教學過程一、微分的定義1.微分的定義思考：在學習微分之前，請同學們想一想，導數(shù)有何

23、實際意義？根據(jù)導數(shù)的知識，知道導數(shù)表示函數(shù)相對于自變量的變化快慢的程度。在實際生活中，還會經(jīng)常遇到與導數(shù)密切相關的一種問題，即在運動或變化過程中，當自變量有一個微小的改變量時，要計算相應的函數(shù)改變量。但是，通常，計算函數(shù)的改變量是比較困難的，因此，希望能找到函數(shù)改變量的一個便于計算的近似表達式，這樣就引入了微分學中的另一個重要概念微分。那么，微分的定義是什么呢？首先，我們通過一個簡單的例子來體會一下微分的思想。引例：一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響，其邊長由變到，如圖所示，問此薄片的面積改變了多少？ 設正方形的邊長為x，面積為S，則有。因此，當薄片受溫度變化的影響時面積改變量可以看成是當自變

24、量x由由變到時，函數(shù)相應的改變量。即。從上式可以看出，由兩部分構成：1）第一部分是的線性函數(shù)；2）第二部分，當時，是比高階的無窮小。于是，當很小時，面積S的增量可以近似地用其線性主部來代替。即。數(shù)學上，這樣的例子有很多，思考：是否所有函數(shù)的都可以分成兩部分：一部分是的線性部分，其余部分是的高階無窮??？并不是所有函數(shù)的都具有上述特點，數(shù)學上，將具有上述特性的函數(shù)的的線性部分稱為函數(shù)的微分。因此，微分的定義如下;定義 設函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)由定義，x及在這區(qū)間內(nèi)，如果函數(shù)的增量可以表示為，其中A是不依賴的常數(shù)，而是的高階無窮小量。則稱函數(shù)在點x處可微，并稱為函數(shù)在點x處的微分，記為或，即或。 如果改變量

25、不能表示為的形式，則稱函數(shù)在點x處不可微或微分不存在。根據(jù)微分定義，易知： 2微分與導數(shù)的關系注意：綜上可知，求微分的問題可歸結(jié)為求導數(shù)的問題，因此求導數(shù)與求微分的方法稱為微分法。二、微分的幾何意義設函數(shù)的圖形如圖所示，過曲線上一點處作切線，設的傾角為，則當自變量有增量時，切線的縱坐標相應地有增量因此，微分幾何上表示當自變量有增量時，曲線在對應點處的切線的縱坐標的增量. 由近似代替就是用點處的縱坐標的增量近似代替曲線的縱坐標的增量。由圖可知，函數(shù)的微分與函數(shù)的增量相差的量在圖中以表示，當時，變動的是的高階無窮小量.因此，在點M的鄰近，可以用切線段來近似代替曲線段。簡稱“以直代曲”。三、微分的基

26、本公式與運算法則由微分的定義可以看出，要計算函數(shù)的微分，只要計算函數(shù)的導數(shù)，再乘以自變量的微分。因此，利用函數(shù)求導的基本公式和運算法則，可得出求函數(shù)微分的基本公式和運算法則. 為使用方便，列出如下. 1.微分公式（1） （為任意常數(shù)）（2） （為任意實數(shù)）（3） （且） 特殊 （4） （且） 特殊 （5） （6） 2微分的運算法則 （為任意常數(shù)） （證明略） 3復合函數(shù)的微分法則設函數(shù)分別關于u和x可導，則由復合函數(shù)的求導法則可知于是，根據(jù)微分的定義有并且。所以，或。注意：由此可見不管自變量u是自變量還是中間變量，微分的形式總保持不變，我們稱此性質(zhì)為微分形式的不變性。4微分的運算舉例例3 教材

27、例3.27例4 教材例3.28 課堂小結(jié)1. 微分的概念；2. 微分的幾何意義；3. 微分的基本公式4. 微分的運算法則。§3.5 導數(shù)與微分的簡單應用教學目標與要求 1.掌握導數(shù)在經(jīng)濟學中的應用：邊際分析與彈性分析 2.了解微分的應用：近似計算與誤差分析教學重點與難點理解并能運用邊際分析與彈性分析教學過程一、導數(shù)在經(jīng)濟學中的應用邊際與彈性是經(jīng)濟學中的兩個重要概念。從實質(zhì)上講，它們都是變量的某種增量比的極限。由于增量比值的極限總與導數(shù)有關，而許多經(jīng)濟函數(shù)又均可視為一個連續(xù)、可導的函數(shù)，因此可利用導數(shù)的概念來研究經(jīng)濟變量的邊際和彈性。在經(jīng)濟學中，常把用導數(shù)研究經(jīng)濟變量邊際和彈性的方法，

28、稱為邊際分析與彈性分析。下面我們就具體來介紹邊際分析與彈性分析.（一）邊際與邊際分析1函數(shù)的變化率與邊際函數(shù)在經(jīng)濟學中，常常用到平均變化率與邊際這兩個概念。設函數(shù)可導，在數(shù)量關系上，1）平均變化率指的是函數(shù)值的改變量與自變量的改變量的比值，如果用函數(shù)形式來表示的話，就是，它表示在內(nèi)的平均變化速度。2）而邊際則是自變量的改變量趨于零時的極限，即，可以說，導數(shù)應用在經(jīng)濟學上就是邊際，在點的導數(shù)稱為在點的邊際函數(shù)值，表示在點處的變化速度。值得注意是：對于經(jīng)濟函數(shù)，經(jīng)濟變量x在有一個改變量，則經(jīng)濟變量y的值也有一個相應的改變量為特別是，當時，則。這就說明當x在改變“一個單位”時，y相應地近似改變個單位

29、。在實際應用中，經(jīng)濟學家常常略去“近似”而直接說y改變個單位，這就是邊際函數(shù)值的含義。2邊際成本設某產(chǎn)品生產(chǎn)q個單位時的總成本為C = C ( q )，當產(chǎn)量達到q 個單位時，任給產(chǎn)量一個增量，相應的總成本將增加，于是再生產(chǎn)個單位時的平均成本為(總成本在產(chǎn)量從q變到q+時的平均變化率)：如果總成本為C = C ( q )在q可導，那么，稱為產(chǎn)量為q個單位時的邊際成本，一般記為： 。邊際成本的經(jīng)濟意義是：當產(chǎn)量達到q 個單位時，再增加一個單位的產(chǎn)量，即時，總成本將增加個單位（近似值）。例1 設一企業(yè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的日產(chǎn)量為800臺，日產(chǎn)量為q個單位時的總成本函數(shù)為：求（1）產(chǎn)量為600臺時的總成本；

30、 （2）產(chǎn)量為600臺時的平均總成本； （3）產(chǎn)量由600臺增加到700臺時總成本的平均變化率； （4）產(chǎn)量為600臺時的邊際成本，并解釋其經(jīng)濟意義。解 （1）； （2） （3） （4）這說明，當產(chǎn)量達到600臺時，再增加一臺的產(chǎn)量，總成本大約增加122。3邊際收益設某商品銷售量為q個單位時的總收入函數(shù)為R = R (q)，當銷量達到q 個單位時，再給銷量一個增量，其相應的總收入將增加，于是再多銷售個單位時的平均收益為：如果總收入函數(shù)R = R (q)在q可導，那么，稱為銷售量為q個單位時的邊際收入，一般記為：邊際收入的經(jīng)濟意義是：銷售量達到q個單位的時候，再增加一個單位的銷量，即時，相應的總

31、收入增加個單位。例3設某種電器的需求價格函數(shù)為：。其中，p為銷售價格，q為需求量。求銷售量為60件時的邊際收益，銷售量達到70件時，邊際收益如何？并作出相應的經(jīng)濟解釋。（單位：元）解 由已知總收入函數(shù)為： 于是，銷售量為60件時的總收入為：（元）； 所以，銷售量為60件時的邊際收益為：。 這說明，當銷售量達到60件時，再增加一件的銷量，不增加總收入。 銷售量為70件時的邊際收益為：。 這說明，當銷售量達到70件時，再增加一件的銷量，總收入會減少5元。 4邊際利潤設某商品銷售量為q個單位時的總利潤函數(shù)為L = L (q)，當銷量達到q 個單位時，再給銷量一個增量，其相應的總利潤將增加，于是再多銷

32、售個單位時的平均利潤為：如果總利潤函數(shù)在q可導，那么，稱為銷售量為q個單位時的邊際利潤，一般記為：邊際利潤的經(jīng)濟意義是：銷售量達到q個單位的時候，再增加一個單位的銷量，即時，相應的總利潤增加個單位。由于總利潤、總收入和總成本有如下關系：因此，邊際利潤又可表示成：例3 設生產(chǎn)q件某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為：如果該產(chǎn)品銷售單價為：p = 280元件，求（1）該產(chǎn)品的總利潤函數(shù)；（2）該產(chǎn)品的邊際利潤函數(shù)以及銷量為個單位時的邊際利潤，并對此結(jié)論作出經(jīng)濟意義的解釋。（3）銷售量為何值時利潤最大？解（1）由已知可得總收入函數(shù)：，因此總利潤函數(shù)為： （2）該產(chǎn)品的邊際利潤函數(shù)為：；這說明，銷售量達到420件時，

33、多銷售一件該產(chǎn)品，總利潤會減少6元。 （3）令，解得（件），又，所以當銷售量件時，獲利最大。（二）彈性與彈性分析1彈性函數(shù)在引入概念之前，我們先看一個例子：有甲、乙兩種商品，它們的銷售單價分別為p1 = 12元，p2 = 1200元，如果甲、乙兩種商品的銷售單價都上漲10元，從價格的絕對改變量來說，它們是完全一致的。但是，甲商品的上漲是人們不可接受的，而對乙商品來說，人們會顯得很平靜。就其原因，就是相對改變量的問題。相比之下，甲商品的上漲幅度為83.33，而乙商品的漲幅只有0.0083，乙商品的漲幅人們自然不以為然。在這一部分，我們將給出函數(shù)的相對變化率的概念，并進一步討論它在經(jīng)濟分析中的應用

34、。定義 設f ( x )在x0處可導，那么函數(shù)的相對改變量與自變量的相對改變量的比值：稱為函數(shù)y = f ( x )從到之間弧彈性，令，的極限稱為y = f ( x )在的點彈性，一般就稱為彈性。并記為。即。y = f ( x )在任一點x的彈性記為：，并稱其為彈性函數(shù)。一般來說，因此函數(shù)的彈性反映了自變量相對改變量對相應函數(shù)值的相對改變量影響的靈敏程度。即表示當自變量在點處變化1%時，函數(shù)近似地變化%，在實際應用問題中解釋彈性的具體意義時，略去“近似”二字。例4 教材例3.322需求彈性和供給彈性（1）需求彈性定義1 設某種商品的需求量為Q，銷售價格為p，若需求函數(shù)為在處可導，稱為該商品在到

35、兩點間的需求彈性，記為而極限稱為該商品在處的需求彈性，記為。一般地，若需求函數(shù)可導，任意一點的需求彈性為：，稱其為需求彈性函數(shù)，記為注意：一般情況下，是減函數(shù)，價格高了，需求量反而會降低，為此。另外，其經(jīng)濟解釋為：在銷售價格為p的基礎上，價格上漲1，相應的需求量將下降。例5 教材例3.33（2）供給彈性定義2 設某種商品的供給量為Q，供給價格為p，若供給函數(shù)為在處可導，稱為該商品在到兩點間的供給彈性，記為而極限稱為該商品在處的供給彈性，記為。一般地，若供給函數(shù)可導，任意一點的供給彈性為：，稱其為供給彈性函數(shù)，記為注意：一般情況下，供給函數(shù)是增函數(shù)，價格高了，供給量會增加，為此。另外，其經(jīng)濟解釋為：在供給價格為p的基礎上，價格上漲1，相應的供給量將增加。（3）用需求彈性分析總收益的變化在商品經(jīng)濟中，經(jīng)營者關心的是提價（）或降價（）