彈性力學(xué)板彎曲ding新

1、會計學(xué)1彈性力學(xué)板彎曲彈性力學(xué)板彎曲ding新新第1頁/共90頁 3. 薄板彎曲問題屬于空間問題。薄板彎曲理論，是從空間問題的基本方程和邊界條件出發(fā)，應(yīng)用薄板的三個計算假定進行簡化，并按位移法導(dǎo)出薄板彎曲問題的基本方程和邊界條件。 最后歸結(jié)的基本位置函數(shù)（撓度w(x,y)）和相應(yīng)的方程、邊界條件。薄板問題也屬于二維問題。 4. 對于矩形薄板，基本的解法是納維法和萊維法。 5. 對于圓板問題，類似于極坐標(biāo)中的平面問題，可以建立相應(yīng)的圓板彎曲問題的方程。對于軸對稱圓板的彎曲問題，其通解已經(jīng)解出。第2頁/共90頁第3頁/共90頁第4頁/共90頁薄板是一種常見的工程構(gòu)件形式機械、航空和土建工程中應(yīng)用廣

2、泛特殊形式小撓度薄板第5頁/共90頁第6頁/共90頁第7頁/共90頁第8頁/共90頁板板中面為平面中面為平面殼殼曲面曲面小撓度的彎曲薄板小撓度的彎曲薄板薄板薄板寬度與厚度的比值在寬度與厚度的比值在15以上。以上。第9頁/共90頁第10頁/共90頁第11頁/共90頁 Plate middle plane（中面）（中面） The plane parallel to the faces of the plate and bisecting the thickness is called the middle plane of the plate. 中面：中面：平分厚度的平面稱為板的中間平面，或簡稱板

3、的平分厚度的平面稱為板的中間平面，或簡稱板的 中面。中面。第12頁/共90頁第13頁/共90頁第14頁/共90頁第15頁/共90頁第16頁/共90頁第17頁/共90頁xyz第18頁/共90頁第19頁/共90頁第20頁/共90頁Loads（荷載）第21頁/共90頁 xMwEI 薄板彈性曲面：薄板彈性曲面：當(dāng)薄板彎曲時，中面所彎成的曲面。當(dāng)薄板彎曲時，中面所彎成的曲面。qwD4 xqxxM22dd第22頁/共90頁第23頁/共90頁z00zwz),(yxww 即即：橫向位移：橫向位移w(x,y)只是只是x,y的函數(shù)，不隨的函數(shù)，不隨z變化。變化。因此因此，在中面的任一根法線上各點都具有相同的橫向，

4、在中面的任一根法線上各點都具有相同的橫向位移，也就等于撓度。位移，也就等于撓度。z第24頁/共90頁zyzxz和,0, 0yzxz0, 0ywzvxwzuxwzuywzv彈性曲面的法線。保持不伸縮，并且稱為板彎曲時，可見中面的法線在薄和由于00, 0zyzxz思考： 梁彎曲時中性軸的概念？第25頁/共90頁zyzxz和,xyxyxyyyxxEEE)1 (2)(1)(1 薄板小撓度問題中的物理方程與薄板平面應(yīng)力問題的薄板小撓度問題中的物理方程與薄板平面應(yīng)力問題的物理方程相同（但兩種問題中應(yīng)力和形變分量沿厚度方物理方程相同（但兩種問題中應(yīng)力和形變分量沿厚度方向的分布是不同的）。向的分布是不同的）。

5、第26頁/共90頁0)(, 0)(00zzvuyuxvyvxuxyyx,因為：0)(, 0)(, 0)(000zxyzyzx 也就是說：也就是說：中面的任意一部分，雖然彎曲成彈性曲面的一部分，但中面的任意一部分，雖然彎曲成彈性曲面的一部分，但它在它在xy面上的投影性狀卻保持不變面上的投影性狀卻保持不變。 在材料力學(xué)里分析直梁的彎曲時，也采用了與上相似的計算假設(shè)，只在材料力學(xué)里分析直梁的彎曲時，也采用了與上相似的計算假設(shè)，只是在這里，是在這里，薄板的中面代替了梁的軸線，薄板的彈性曲面代替了直梁的彈薄板的中面代替了梁的軸線，薄板的彈性曲面代替了直梁的彈性曲線，性曲線，薄板的雙向彎曲（實際上是薄板的

6、雙向彎曲（實際上是連彎帶扭連彎帶扭）代替了直梁的單向彎曲。）代替了直梁的單向彎曲。第27頁/共90頁xyyx,xyyx,yzxz,z第28頁/共90頁基本未知函數(shù): w(x,y)小撓度薄板位移解法小撓度薄板位移解法zywvzxwu,zyxwxvyuzywyvzxwxuxyyx222222位移與應(yīng)變：位移與應(yīng)變：第29頁/共90頁薄板薄板應(yīng)力：應(yīng)力：yxwEzxwywEzywxwEzxyyx2222222222221)(1)(1第30頁/共90頁yxwDMxwywDMywxwDMxyyx222222222)1 ()()()1 (1223EDyxwywxwxyyx22222廣義力 廣義應(yīng)變 曲率扭

7、率 薄板彎曲內(nèi)力：薄板彎曲剛度第31頁/共90頁Dqywyxwxw44224442q22wD薄板平衡方程：第32頁/共90頁xwzuywzv前面已經(jīng)導(dǎo)出：對 z 進行積分),(1yxfzywv),(2yxfzxwu0)(0zu由于：0),(2yxf0),(1yxf0)(0zv因此：zxwuzywv ，第33頁/共90頁xyyx,zywvxuxzxwuzxwx22yvyzywy22xvyuxyzxwuzyxwxy22zywv第34頁/共90頁由薄板的物理方程：xyxyzyyyxxEEE)1 (2)(1)(1xyxyxyyyxxEEE)1 (2)(1)(122zxwx22zywy22zyxwy22

8、yxwEzxwywEzywxwEzxyyx22222222222)1 ()(1)(1由于 w 不隨 z 而變，三個主要應(yīng)力分量都與z 成正比，與梁的彎曲應(yīng)力相似。第35頁/共90頁 由于次要應(yīng)力分量zx,zy引起的形變忽略不計，相應(yīng)的物理方程已經(jīng)放棄。使用平衡方程推導(dǎo)。yxzyxxzx平衡方程前兩式：xyzyxyzy0, 0yxff體力分量：yxwEzxwywEzywxwEzxyyx22222222222)1 ()(1)(1將應(yīng)力分量代入后，得：wyEzxywywEzzwxEzyxwxwEzzzyzx222333222233321)(11)(1對 z 進行積分第36頁/共90頁wyEzxwxE

9、zxzyzx22222211對 z 進行積分),()1 (2),()1 (222221222yxFwyEzyxFwxEzzyzx上下板面邊界條件：0| )(2zzxwxEyxF2221)1 (2)2/(),(wyEyxF2222)1 (2)2/(),(0| )(2zzxwyzEzwxzEzyzx222222222)4()1 (2)4()1 (2兩個切應(yīng)力沿橫向為拋物線分布，與材料力學(xué)中梁的切應(yīng)力相似。第37頁/共90頁平衡方程第三式：0zf體力分量：表示。即：并用上板面的面力中去，一歸入到面積內(nèi)的體力和面力都，可以把薄板的每單位若體力分量qfz02/2/22dz)()(zzzzzfffq這樣處

10、理只會對z引起誤差，對其他應(yīng)力分量無影響。這樣處理，和材料力學(xué)中對梁的處理相同。yxzzyzxz對 z 進行積分),()34()1 (234322yxFwzzEzwzEzz4222)4()1 (2第38頁/共90頁),()34()1 (234322yxFwzzEz下板面邊界條件：0)(2zzwEyxF43323)248()1 (2),(wzzEz43322)8(31)2(4)1 (2wzzE4223121)1 (6第39頁/共90頁由上板面的邊界條件：qzz2)(zwzzE4223121)1 (6qwE423)1 (12q為薄板每單位面積內(nèi)的橫向荷載，包括橫向面力及橫向體力。)1 (1223E

11、DqwD4D薄板的彎曲剛度薄板的彈性曲面微分方程，或撓曲線微分方程。在上述推導(dǎo)過程中，已經(jīng)考慮并完全滿足空間問題的平衡方程、在上述推導(dǎo)過程中，已經(jīng)考慮并完全滿足空間問題的平衡方程、幾何方程和物理方程，以及薄板上下板面的主要邊界條件，并得幾何方程和物理方程，以及薄板上下板面的主要邊界條件，并得出了求解撓度出了求解撓度w的基本微分方程?；疚⒎址匠探Y(jié)合薄板側(cè)面的的基本微分方程。基本微分方程結(jié)合薄板側(cè)面的邊界條件，可以求出撓度邊界條件，可以求出撓度w,然后可以求得應(yīng)力分量然后可以求得應(yīng)力分量。第40頁/共90頁第41頁/共90頁第42頁/共90頁yxwDMxwywDMxyy22222)1 ()()(

12、2222ywxwDMx)1 (1223EDyxwywxwxyyx22222廣義力 廣義應(yīng)變 曲率扭率 薄板彎曲內(nèi)力：薄板彎曲剛度第43頁/共90頁wyEFwxEFMyxwEMxwywEMywxwEMSySxxyyxyx22222223222223222223)1 (12)1 (12)1 (12)()1 (12)()1 (12第44頁/共90頁從薄板中取出一個平行六面體，如下圖所示：).()(,xyxxyxxzxyxMMzx和扭矩只可能分別合成彎矩上的主矢量都等于零，所以他們在薄板全厚度零，成正比，且在中面上為都與及。因為著為常量的截面上，作用在第45頁/共90頁合成扭矩合成彎矩合成橫向剪力xx

13、MxyxyMSxxzF2/2/dzzMxx2/2/dzzMxyxy2/2/dzFxzSx2/2/222222)(1dzzywxwEMx)()1 (12222223ywxwE第46頁/共90頁合成扭矩合成彎矩合成橫向剪力xxMxyxyMSxxzF2/2/dzzMxx2/2/dzzMxyxy2/2/dzFxzSxxM)()1 (12222223ywxwE2/2/22)1 (dzzyxwEMxyyxwE23)1 (12第47頁/共90頁合成扭矩合成彎矩合成橫向剪力SxxzF2/2/dzFxzSx)()1 (12222223ywxwEMxyxwEMxy23)1 (122/2/2222)4()1 (2d

14、zzwxEFSxwxE222)1 (12第48頁/共90頁合成扭矩合成彎矩合成橫向剪力)()1 (12222223ywxwEMxyxwEMxy23)1 (12wxEFsx222)1 (12第49頁/共90頁方法與方法與x面上類似：面上類似：合成扭矩合成彎矩合成橫向剪力wyEFMyxwEMxwywEMSyxyyxy22223222223)1 (12)1 (12)()1 (12yyMyxyxMSyyzF第50頁/共90頁wyEFwxEFMyxwEMxwywEMywxwEMSySxxyyxyx22222223222223222223)1 (12)1 (12)1 (12)()1 (12)()1 (12

15、第51頁/共90頁由應(yīng)力的正負(fù)方向的規(guī)定得出：正的應(yīng)力合成的主矢量為正，正的應(yīng)力乘以正的矩臂合成的主矩為正；反之為負(fù)。第52頁/共90頁前面講過：yxwEzxwywEzywxwEzxyyx22222222222)1 ()(1)(1wyzEzwxzEzyzx222222222)4()1 (2)4()1 (2wzzEz4223121)1 (6wyEFwxEFMyxwEMxwywEMywxwEMSySxxyyxyx22222223222223222223)1 (12)1 (12)1 (12)()1 (12)()1 (12第53頁/共90頁3312,12yyxxMzM)4(6)4(6223223zFz

16、FSyyzSxxzzzqz12122zMxyyxxy312各應(yīng)力分量與彎矩、扭矩、橫向剪力或荷載之間的關(guān)系。第54頁/共90頁面。的最大值發(fā)生在板的上的最大值發(fā)生在中面，的最大值發(fā)生在板面，zyzxzxyyx,2226)()(xzxzxM23)(23)(00SyzyzSxzxzFFqzz2/)(22/2/6)()(xyzxyzxyM2226)()(yzyzyM注意：以上提到的內(nèi)力，都是作用在薄板每單位寬度上的內(nèi)力，所以彎矩和扭矩的量綱為：LMT-2,橫向剪力的量綱為：MT-2。注意：在薄板彎曲問題中，彎應(yīng)力和扭應(yīng)力在數(shù)值注意：在薄板彎曲問題中，彎應(yīng)力和扭應(yīng)力在數(shù)值上最大，因而是上最大，因而是主

17、要應(yīng)力主要應(yīng)力；橫向切應(yīng)力在數(shù)值上較；橫向切應(yīng)力在數(shù)值上較小，是小，是次要應(yīng)力次要應(yīng)力；擠壓應(yīng)力在數(shù)值上最小，是；擠壓應(yīng)力在數(shù)值上最小，是更次更次要的應(yīng)力要的應(yīng)力。因此在計算薄板的內(nèi)力時，主要計算彎。因此在計算薄板的內(nèi)力時，主要計算彎矩和扭矩，橫向剪力一般無需計算。因此有關(guān)手冊矩和扭矩，橫向剪力一般無需計算。因此有關(guān)手冊中只給出彎矩和扭矩的計算公式或圖表，而并不提中只給出彎矩和扭矩的計算公式或圖表，而并不提及橫向剪力。及橫向剪力。成正比，稱為擠壓應(yīng)力與荷載力，成正比，稱為橫向切應(yīng)與橫向剪力切應(yīng)力成正比，稱為扭應(yīng)力，與扭矩切應(yīng)力成正比，稱為彎應(yīng)力；分別與彎矩正應(yīng)力qFFMMMzSySxyzxzx

18、yxyyxyx,第55頁/共90頁第56頁/共90頁利用平衡方程：力矩式和投影式。0; 0)(; 0)(zxyFMM第57頁/共90頁00)(0)(zxyFMM0)(yMyMxMFxyxSx0)(xMxMyMFxyySy第58頁/共90頁00)(0)(zxyFMM0zFqyFxFSySxwyEFwxEFSySx222222)1 (12)1 (120)()(qdxdydydxxFFdxFdxdyyFFdxFSxSxSxSySySyqwE423)1 (12第59頁/共90頁滿足基本方程和給定的邊界條件基本方程 為四階偏微分方程矩形薄板，每個邊界必須給出兩個邊界條件。q22wD第60頁/共90頁 1

19、 幾何邊界條件幾何邊界條件在邊界上給定邊界撓度w和邊界切線方向轉(zhuǎn)角 。固定邊界2混合邊界條件混合邊界條件邊界同時給出廣義 力和廣義位移簡支邊界 tw 薄板彎曲問題的薄板彎曲問題的典型邊界條件典型邊界條件第61頁/共90頁3 面力邊界條件 在邊界上給定橫向在邊界上給定橫向剪力和彎矩剪力和彎矩自由邊界第62頁/共90頁 與板的上下板面相比，板邊是板邊是次要邊界條件。次要邊界條件。 因此，在板邊可以應(yīng)用圣維南原理，把應(yīng)力邊界條件替換稱為內(nèi)力的邊界條件，即橫向剪力及橫向剪力及彎矩邊界條件彎矩邊界條件。 同時，板邊的位移邊界條件也相應(yīng)地替換為中面的撓度及轉(zhuǎn)角為中面的撓度及轉(zhuǎn)角的條件的條件。第63頁/共9

20、0頁如右圖：OA邊為固定邊，OC邊是簡支邊，AB邊和BC邊為自由邊。0, 0)(022220yyxwyww簡支邊簡支邊OC邊邊(y=0):0, 0)(00yyyMw0, 0| )0 ,(0220yyxwxw0, 0)(0220yyyww如果簡直邊上有分布的力矩荷載M(一般是x的函數(shù))，則(My)y=0=M。但仍可以化簡為撓度w的形式。第64頁/共90頁如右圖：OA邊為固定邊，OC邊是簡支邊，AB邊和BC邊為自由邊。固定邊OA邊(x=0):簡支邊OC邊(y=0):0, 0)(00 xxxww0, 0)(0220yyyww第65頁/共90頁自由邊自由邊AB邊邊(y=b):0, 0, 0)(bySy

21、byyxbyyFMM薄板任一邊的扭矩都可以變換薄板任一邊的扭矩都可以變換為等效的橫向剪力為等效的橫向剪力，即，即扭扭矩的等效剪力矩的等效剪力。與原來的橫向剪力合并，。與原來的橫向剪力合并，邊界條件由三邊界條件由三個歸并為兩個個歸并為兩個。第66頁/共90頁邊界AB上的分布扭矩就變換為等效的分布剪力。xMxy等效的分布剪力為：xMFFxySytSy總的分布剪力為：。（也就等于集中反力）點沒有抵消的集中剪力點和在BAByxRBAAyxRABMFMF)(,)(第67頁/共90頁自由邊AB邊(y=b):0, 0, 0)(bySybyyxbyyFMM0)(, 0)(byxySybytSybyyxMFFM

22、用撓度w表示0)2(, 023332222bybyyxwywxwyw自由邊邊界條件注意：若在這個自由邊上由分布的力矩荷載M和分布的橫向荷載Ft，上式邊界條件右邊不等于零。第68頁/共90頁自由邊BC邊(x=a)(與y=b)類似。0, 0, 0)(axSxaxxyaxxFMM0)(, 0)(axyxSxaxtSxaxxyMFFM用撓度w表示0)2(, 023332222axaxxywxwywxw自由邊邊界條件注意：若在這個自由邊上由分布的力矩荷載M和分布的橫向荷載Ft，上式邊界條件右邊不等于零。BxyRBCCxyRCBMFMF)(,)(第69頁/共90頁自由邊AB與BC的交點(x=a,y=b)用

23、撓度w表示BBRxywDF2)1 (2兩個自由邊交點集中力表達(dá)式。注意：若在注意：若在B點沒有任何支柱對薄板對薄點沒有任何支柱對薄板對薄板施以此項集中反力，則在板施以此項集中反力，則在B點還需要補點還需要補充以交點條件：充以交點條件：FRB=00)()(,byaxRBCRBAbyaxRBFFF0)(,2,byaxbyaxRBxywF如果在B交有支柱阻止撓度發(fā)生。則上述交點的邊界條件變?yōu)椋?)(,byaxw第70頁/共90頁0, 0)(0220 xxxww邊界條件為：0, 0)(0220yyyww0, 0)(22bybyyww0, 0)(22axaxxww第71頁/共90頁納維把撓度w的表達(dá)式取

24、為重三角級數(shù)：11sinsinnmnmbymaxmAwm，n為正整數(shù)。上式滿足全部邊界條件。qwE423)1 (12qbymaxmAbnamDimni1222214sinsin把q=q(x,y)展開為重三角級數(shù)：11sinsinimnibymaxmCqdydxsinsin400 bamnbymaxmqabC第72頁/共90頁納維把撓度w的表達(dá)式取為重三角級數(shù)：11sinsinnmnmbymaxmAw1222214sinsinimnibymaxmAbnamD11sinsinimnibymaxmCqdydxsinsin400 bamnbymaxmqabC2222400dydxsinsin4bnam

25、abDbymaxmqabAbamn11sinsinnmnmbymaxmAw第73頁/共90頁利用均布荷載作用的結(jié)果，可以求出集中力F作用的結(jié)果。bmambnamabDFbmamyxFbnamabDAmnsinsin4dxdysinsindd422224222241222214sinsinsinsin4nmbymaxmbnambmamabDFw),(第74頁/共90頁均布荷載作用下：22224000dydxsinsin4bnamabDbymaxmqabAbamn11sinsinnmnmbymaxmAw0qq22226016bnamDmnqAmn)5 , 3 , 1;5 , 3 , 1(nm5 ,

26、 3 , 15 , 3 , 1sinsinnmnmbymaxmAw求出內(nèi)力。第75頁/共90頁0, 0)(0220 xxxww邊界條件為：0, 0)(22axaxxww承受任意橫向荷載：),(yxq萊維將表達(dá)式取為：1sinmmaxmYw第76頁/共90頁萊維把撓度w的表達(dá)式取為單三角級數(shù)：qwE423)1 (12DqaxmYamdyYdamdyYdmmmm1422244sin2把q=q(x,y)展開為三角級數(shù)： 10sin2maaxmdxaxmDqaDq)(coshsinhsinhcoshyfaymaymDaymCaymaymBaymAYmmmmmm1sinmmaxmYw第77頁/共90頁萊

27、維把撓度w的表達(dá)式取為單三角級數(shù)：)(coshsinhsinhcoshyfaymaymDaymCaymaymBaymAYmmmmmm1sinmmaxmYw)(yfm非其次方程的任意一個特解。非其次方程的任意一個特解。待定系數(shù)由邊界條件求得。（參考書上待定系數(shù)由邊界條件求得。（參考書上P193194）重三角函數(shù)解和單三角函數(shù)解的比較（參考書上重三角函數(shù)解和單三角函數(shù)解的比較（參考書上P194）第78頁/共90頁Dqw004)(彈性曲面的微分方程：差分方程：Dhq401211109876543210)()(2)(820第79頁/共90頁差分方程：Dhq401211109876543210)()(2)(820邊界條件：只有簡支邊和固定邊界：0w簡支邊：022Constxxw022Constyyw固定邊：0Constxxw0Constyyw第80頁/