13.1.2線段垂直平分線的性質(zhì).PPT

1、1 如圖，某鎮(zhèn)計(jì)劃在張村和李村之間修一如圖，某鎮(zhèn)計(jì)劃在張村和李村之間修一 條筆直的馬路，使馬路（不考慮路的寬度）條筆直的馬路，使馬路（不考慮路的寬度）上的每一個(gè)點(diǎn)與兩村的距離都相等，同學(xué)上的每一個(gè)點(diǎn)與兩村的距離都相等，同學(xué)們，你們認(rèn)為應(yīng)該如何修路呢？們，你們認(rèn)為應(yīng)該如何修路呢？A張張村村李李村村綿陽(yáng)中學(xué)育才學(xué)校：鄭皓綿陽(yáng)中學(xué)育才學(xué)校：鄭皓31 1. .什么叫線段的垂直平分線？什么叫線段的垂直平分線？2 2. .線段是不是軸對(duì)稱圖形？如果線段是不是軸對(duì)稱圖形？如果是，請(qǐng)說(shuō)出它的對(duì)稱軸。是，請(qǐng)說(shuō)出它的對(duì)稱軸。線段線段AB的中垂線的中垂線MN，垂足為，垂足為C；在；在MN上上任取一點(diǎn)任取一點(diǎn)P，連結(jié)

2、，連結(jié)PA、PB； 量一量：量一量：PA、PB的長(zhǎng)，你能發(fā)現(xiàn)什么的長(zhǎng)，你能發(fā)現(xiàn)什么？PMNCPA=PBP1A=P1B由此你能得到由此你能得到什么規(guī)律？什么規(guī)律？命題命題：線段垂直平分線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。畫畫一一畫畫ABP1命題：線段垂直平分線上的命題：線段垂直平分線上的點(diǎn)點(diǎn)和和這條線段這條線段兩個(gè)端點(diǎn)兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。的距離相等。 已知：如圖，已知：如圖， 直線直線MNAB,垂垂足為足為C,且且AC=CB.點(diǎn)點(diǎn)P在在MN上上求證：求證： PA=PB證明：證明：MNAB PCA= PCB 在在 PAC和和 PBC中，中， AC

3、=BC PCA= PCB PC=PC PAC PBC(SAS) PA=PB證一證證一證ABPMN NC性質(zhì)定理：性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。ABPMNCPA=PB點(diǎn)點(diǎn)P P在線段在線段ABAB的的垂直平分線上垂直平分線上性質(zhì)定理有何作用？性質(zhì)定理有何作用？可證明線段相等可證明線段相等數(shù)學(xué)語(yǔ)言數(shù)學(xué)語(yǔ)言：AC=BC,MNAB,P是是MN上任意一點(diǎn)上任意一點(diǎn)PA=PB(線段垂直平分線性質(zhì)線段垂直平分線性質(zhì))線段垂直平分線性質(zhì)線段垂直平分線性質(zhì)判斷判斷（1 1）如圖，）如圖，CDCD ABAB于于D D，則，則ACACB

4、CBC。（。（ ）ABCDA AB BC CD D 判斷判斷A AB BC CD D（2 2）如圖，）如圖，ADADBDBD，則，則ACACBCBC。（ ）ABCD(3)、如圖直線、如圖直線MN垂直平垂直平分線段分線段AB，則，則AE=AFABMEFN 基礎(chǔ)闖關(guān)基礎(chǔ)闖關(guān)如圖如圖,已知已知AB是線段是線段CD的垂直平的垂直平分線分線,E是是AB上的一點(diǎn)上的一點(diǎn),如果如果EC=7cm,那么那么ED= cm;如果如果ECD=600,那么那么EDC= 0.EDABC760 如圖如圖,AB,AB是是ABCABC的一條邊，的一條邊，DEDE是是ABAB的垂直平分線，垂足為的垂直平分線，垂足為E E，并交，

5、并交BCBC于于點(diǎn)點(diǎn)D D，已知，已知AB=8cm,BD=6cm,AB=8cm,BD=6cm,那么那么EA=_, DA=_EA=_, DA=_._.ABEDC（1）4cm6cm12出現(xiàn)垂直平分線想：出現(xiàn)垂直平分線想：ABPMNC中點(diǎn)中點(diǎn)：AC=BC垂直垂直：PCA=PCB=900性質(zhì)性質(zhì)：PA=PB 如圖，在如圖，在ABCABC中，中，AB=AC=16cmAB=AC=16cm，ABAB的垂直平分線的垂直平分線交交ACAC于于DD，如果，如果BC=10cmBC=10cm，那么，那么BCDBCD的周長(zhǎng)是的周長(zhǎng)是_cm._cm. ABCDE (2)26練習(xí)練習(xí)1 1：P621P621練習(xí)練習(xí)2 2：

6、P656P656N14.1 線段的垂直平分線線段的垂直平分線例例1 已知已知:如圖如圖,在在ABC中中,邊邊AB，BC的垂直平分線交于的垂直平分線交于P.求證：求證：PA=PB=PC;BACMNMN PPA=PB=PCPB=PC點(diǎn)點(diǎn)P在線段在線段BC的垂的垂直平分線上直平分線上PA=PB點(diǎn)點(diǎn)P在線段在線段AB的的垂直平分線上垂直平分線上分析：分析：結(jié)論：結(jié)論： 三角形三邊垂直平分線交于一點(diǎn)，三角形三邊垂直平分線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。這一點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。 已知已知:如圖如圖,在在ABC中中,邊邊AB，BC的垂的垂直平分直平分 線交于線交于P.求證：求證：PA=

7、PB=PC;證明：證明：點(diǎn)點(diǎn)P在線段在線段AB的垂直平分的垂直平分線線MN上，上，PA=PB（垂直平分線性質(zhì)垂直平分線性質(zhì)）同理同理 PB=PC.PA=PB=PC.BACMNMN PBACMNEFO開啟智慧開啟智慧這點(diǎn)這點(diǎn)O是三角是三角形的形的 心，心，它到三角形三它到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離個(gè)頂點(diǎn)的距離相等相等外外結(jié)論：結(jié)論： 三角形三邊垂直平分線交于一點(diǎn)，三角形三邊垂直平分線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。這一點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。ABPCPA=PBPA=PB點(diǎn)點(diǎn)P P在線段在線段ABAB的垂直的垂直平分線上平分線上（利用全等（利用全等, ,仿照性仿照性質(zhì)定理自己證明）質(zhì)定

8、理自己證明）反過(guò)來(lái)，如果反過(guò)來(lái)，如果PA=PBPA=PB，那么點(diǎn)，那么點(diǎn)P P是否是否在線段在線段ABAB的垂直平分線上的垂直平分線上? ?換一換換一換性質(zhì)定理：性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。已知：線段已知：線段AB，點(diǎn)，點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)且是平面內(nèi)一點(diǎn)且PA=PB 求證：求證：P點(diǎn)在點(diǎn)在AB的垂直平分線上的垂直平分線上證明：過(guò)點(diǎn)證明：過(guò)點(diǎn)P作已知線段作已知線段AB的垂線的垂線PC，PCA=PCB=90 在在RtPAC RtPBC中中 PA=PB（已知）（已知） PC=PC（公共邊），（公共邊），RtPAC RtPB

9、C(HL)CBPA AC=BC（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）即，即，P點(diǎn)在點(diǎn)在AB的垂直平分線上的垂直平分線上證法二：證法二：取取AB的中點(diǎn)的中點(diǎn)C，連接，連接P,C APC與與BPC中中 AP=BP PC=PC AC=CB APC BPC(SSS)BPA已知：線段已知：線段AB，點(diǎn)，點(diǎn)P是平面內(nèi)一是平面內(nèi)一點(diǎn)且點(diǎn)且PA=PB 求證：求證：P點(diǎn)在點(diǎn)在AB的垂直平分線上的垂直平分線上CPCA=PCB(全等三角全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等形的對(duì)應(yīng)角相等)又又PCA+PCB=180 PCA=PCB=90即即PCAB P點(diǎn)在點(diǎn)在AB的垂直平分線上的垂直平分線上21線段垂直平分線的判定：線段

10、垂直平分線的判定：判定判定定理：定理：到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上幾何語(yǔ)言：幾何語(yǔ)言： PA=PB(已知已知),點(diǎn)點(diǎn)P在在AB的垂直平分線上的垂直平分線上(到一條線段到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直在這條線段的垂直平分線上平分線上).判定定理有何作用？判定定理有何作用？用途：判定一條直線是線段的中垂線用途：判定一條直線是線段的中垂線 判定定理：與判定定理：與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。 性質(zhì)定理：性質(zhì)

11、定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。PA=PBPA=PB點(diǎn)點(diǎn)P P在線段在線段ABAB的垂直的垂直平分線上平分線上判定判定ABPC性質(zhì)性質(zhì)題設(shè)和結(jié)論正好相反，是互逆關(guān)系題設(shè)和結(jié)論正好相反，是互逆關(guān)系線段垂直平分線線段垂直平分線練習(xí)練習(xí)1、如圖，、如圖，AB=AC，MB=MC，直線，直線AM是線是線段段BC的垂直平分線嗎？的垂直平分線嗎？ABCM例例1：尺規(guī)作圖：尺規(guī)作圖： 經(jīng)過(guò)已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線經(jīng)過(guò)已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線已知：直線已知：直線AB和和AB外一點(diǎn)外一點(diǎn)C求作：求作：AB的垂線，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)的垂線

12、，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)CABC （1 1）線段）線段ABAB的垂直平分線上的所有點(diǎn)都滿的垂直平分線上的所有點(diǎn)都滿 足足“與點(diǎn)與點(diǎn)A A、B B的距離相等的距離相等”這一條件嗎？這一條件嗎？線段的垂直平分線線段的垂直平分線可以看作是和線段可以看作是和線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有的點(diǎn)的集合的所有的點(diǎn)的集合想一想想一想 （2 2）滿足）滿足“與與A A、B B的距離相等的距離相等”的所有點(diǎn)的所有點(diǎn)都都在線段在線段ABAB的垂直平分線上嗎？的垂直平分線上嗎？二、逆定理：二、逆定理：與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。

13、線段的垂直平分線線段的垂直平分線一、性質(zhì)定理：一、性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。PA=PBPA=PB點(diǎn)點(diǎn)P P在線段在線段ABAB的垂直的垂直平分線上平分線上線段垂直平分線判定線段垂直平分線判定線段垂直平分線性質(zhì)線段垂直平分線性質(zhì)三、三、 線段的垂直平分線的集合定義：線段的垂直平分線的集合定義： 線段的垂直平分線可以看作是和線段兩個(gè)線段的垂直平分線可以看作是和線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合13.3 角的平分線角的平分線ODEABPC定理定理1 在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的角的兩邊的距離相等距離相等。定理定理2 到一個(gè)角的兩邊的到一個(gè)角的兩邊的距離相等距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上。的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上。 角的平分線是到角的角的平分線是到角的兩邊兩邊距離距離相等相等的所有點(diǎn)的集合的所有點(diǎn)的集合 14.1 線段的垂直平分線線段的垂直平分線定定 理理 線段垂直平分線上的點(diǎn)和這線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等距離相等。逆定理逆定理 和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相距離相等等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。 線段