排列組合講義(共7頁(yè))

1、排列組合方法篇 1、 兩個(gè)原理及區(qū)別1.分類計(jì)數(shù)原理(加法原理) 2.分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理） 2、 排列數(shù)公式排列數(shù)公式 =.(，N*，且)注:規(guī)定.排列恒等式 （1） ; （2）. 會(huì)推以下恒等式（1）; （2）;（3）; （4）.組合數(shù)公式 =(N*，且).組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì) （1）= ; （2）+=. 注：規(guī)定. 三、組合數(shù)公式4、 排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系 .排列組合解法特殊元素優(yōu)先排；合理分類與分步；先選后排解混合；正難則反用轉(zhuǎn)化；相鄰問(wèn)題來(lái)捆綁；間隔插空處理法;定序需要用除法；分排問(wèn)題直接法；集團(tuán)問(wèn)題先整體；有的問(wèn)題選模型。5、 二項(xiàng)式定理公式： (1) (2) （3）= (4).解決

2、排列組合一般思路:1.審題要清2.分步還是分類3.排列還是組合4.牢記右側(cè)方法六、排列組合應(yīng)用 常見(jiàn)題型歸類及決策：1. 特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略1、由0,1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù).位置分析法和元素分析法位置分析法和元素分析法是解決排列組合問(wèn)題最常用也是最基本的方法,若以元素分析為主,需先安排特殊元素,再處理其它元素.若以位置分析為主,需先滿足特殊位置的要求,再處理其它位置。若有多個(gè)約束條件，往往是考慮一個(gè)約束條件的同時(shí)還要兼顧其它條件2、有7種不同的花種在排成一列的花盆里,若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問(wèn)有多少不同的種法？二.相鄰元素捆綁策略1.

3、7人站成一排 ,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰, 共有多少種不同的排法.要求某幾個(gè)元素必須排在一起的問(wèn)題,可以用捆綁法來(lái)解決問(wèn)題.即將需要相鄰的元素合并為一個(gè)元素,再與其它元素一起作排列,同時(shí)要注意合并元素內(nèi)部也必須排列.2. 某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不同種數(shù)為 。三.不相鄰問(wèn)題插空策略1.一個(gè)晚會(huì)的節(jié)目有4個(gè)舞蹈,2個(gè)相聲,3個(gè)獨(dú)唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場(chǎng),則節(jié)目的出場(chǎng)順序有多少種？元素相離問(wèn)題可先把沒(méi)有位置要求的元素進(jìn)行排隊(duì)再把不相鄰元素插入中間和兩端2.某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個(gè)新節(jié)

4、目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為 四.定序問(wèn)題倍縮空位插入策略1. 7人排隊(duì),其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法定序問(wèn)題可以用倍縮法(元素），還可轉(zhuǎn)化為占位插（位置）空模型處理2. 10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？ 五.重排問(wèn)題求冪策略1.把6名實(shí)習(xí)生分配到7個(gè)車間實(shí)習(xí),共有多少種不同的分法允許重復(fù)的排列問(wèn)題的特點(diǎn)是以元素為研究對(duì)象，元素不受位置的約束，可以逐一安排各個(gè)元素的位置，一般地n不同的元素沒(méi)有限制地安排在m個(gè)位置上的排列數(shù)為種2.某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，那

5、么不同插法的種數(shù)為 3、某8層大樓一樓電梯上來(lái)8名乘客,他們到各自的一層下電梯,下電梯的方法六.環(huán)排問(wèn)題線排策略1. 8人圍桌而坐,共有多少種坐法?一般地,n個(gè)不同元素作圓形排列,共有(n-1)!種排法.如果從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素作圓形排列共有2. 6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈 七.多排問(wèn)題直排策略1. 8人排成前后兩排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法一般地,元素分成多排的排列問(wèn)題,可歸結(jié)為一排考慮,再分段研究. 八.排列組合混合問(wèn)題先選后排策略1.有5個(gè)不同的小球,裝入4個(gè)不同的盒內(nèi),每盒至少裝一個(gè)球,共有多少不同的裝法.解決排列組合混合問(wèn)題,先選后排是最基本

6、的指導(dǎo)思想.此法與相鄰元素捆綁策略相似嗎?2. 一個(gè)班有6名戰(zhàn)士,其中正副班長(zhǎng)各1人現(xiàn)從中選4人完成四種不同的任務(wù), 每人完成一種任務(wù),且正副班長(zhǎng)有且只有1人參加,則不同的選法有 種九.小集團(tuán)問(wèn)題先整體后局部策略1.用1,2,3,4,5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)其中恰有兩個(gè)偶數(shù)夾在1,兩個(gè)奇數(shù)之間,這樣的五位數(shù)有多少個(gè)？小集團(tuán)排列問(wèn)題中，先整體后局部，再結(jié)合其它策略進(jìn)行處理。2.計(jì)劃展出10幅不同的畫(huà),其中1幅水彩畫(huà),幅油畫(huà),幅國(guó)畫(huà), 排成一行陳列,要求同一品種的必須連在一起，并且水彩畫(huà)不在兩端，那么共有陳列方式的種數(shù)為 3. 5男生和女生站成一排照像,男生相鄰,女生也相鄰的排法有 種十.元素相

7、同問(wèn)題隔板策略1.有10個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，分給7個(gè)班，每班至少一個(gè),有多少種分配方案？ 將n個(gè)相同的元素分成m份（n，m為正整數(shù)）,每份至少一個(gè)元素,可以用m-1塊隔板，插入n個(gè)元素排成一排的n-1個(gè)空隙中，所有分法數(shù)為2. 10個(gè)相同的球裝5個(gè)盒中,每盒至少1個(gè)，有多少裝法？ 3. 求這個(gè)方程組的自然數(shù)解的組數(shù) 十一.正難則反總體淘汰策略1.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個(gè)數(shù)字中取出三個(gè)數(shù)，使其和偶數(shù),不同的取法有多少種？有些排列組合問(wèn)題,正面直接考慮比較復(fù)雜,而它的反面往往比較簡(jiǎn)捷,可以先求出它的反面,再?gòu)恼w中淘汰.2.我們班里有43位同學(xué),從中任抽5人,正、副班長(zhǎng)、團(tuán)支部書(shū)記

8、至少有一人在內(nèi)的抽法有多少種?十二.平均分組問(wèn)題除法策略1. 6本不同的書(shū)平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？平均分成的組,不管它們的順序如何,都是一種情況,所以分組后要一定要除以(為均分的組數(shù))避免重復(fù)計(jì)數(shù)。2、 將13個(gè)球隊(duì)分成3組,一組5個(gè)隊(duì),其它兩組4個(gè)隊(duì), 有多少分法？3、 10名學(xué)生分成3組,其中一組4人, 另兩組3人,但正副班長(zhǎng)不能分在同一組,有多少種不同的分組方法 3.某校高二年級(jí)共有六個(gè)班級(jí)，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學(xué)生，要安排到該年級(jí)的兩個(gè)班級(jí)且每班安排2名，則不同的安排方案種數(shù)為_(kāi)十三. 合理分類與分步策略1.在一次演唱會(huì)上共10名演員,其中8人能能唱歌,5人會(huì)跳舞,現(xiàn)要演出一個(gè)

9、2 人唱歌2人伴舞的節(jié)目,有多少選派方法解含有約束條件的排列組合問(wèn)題，可按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)過(guò)程分步，做到標(biāo)準(zhǔn)明確。分步層次清楚，不重不漏，分類標(biāo)準(zhǔn)一旦確定要貫穿于解題過(guò)程的始終。2.從4名男生和3名女生中選出4人參加某個(gè)座談會(huì)，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有 3. 3成人2小孩乘船游玩,1號(hào)船最多乘3人, 2號(hào)船最多乘2人,3號(hào)船只能乘1人,他們?nèi)芜x2只船或3只船,但小孩不能單獨(dú)乘一只船, 這3人共有多少乘船方法. 十四.構(gòu)造模型策略1. 馬路上有編號(hào)為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路燈,現(xiàn)要關(guān)掉其中的3盞,但不 能關(guān)掉相鄰的2盞或3盞,也不能關(guān)

10、掉兩端的2盞,求滿足條件的關(guān)燈方法有 多少種？一些不易理解的排列組合題如果能轉(zhuǎn)化為非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊(duì)模型，裝盒模型等，可使問(wèn)題直觀解決2.某排共有10個(gè)座位，若4人就坐，每人左右兩邊都有空位，那么不同的坐法有多少種？ 十五.實(shí)際操作窮舉策略1.設(shè)有編號(hào)1,2,3,4,5的五個(gè)球和編號(hào)1,2,3,4,5的五個(gè)盒子,現(xiàn)將5個(gè)球投入這五個(gè)盒子內(nèi),要求每個(gè)盒子放一個(gè)球，并且恰好有兩個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同,有多少投法?3號(hào)盒 4號(hào)盒 5號(hào)盒 對(duì)于條件比較復(fù)雜的排列組合問(wèn)題，不易用公式進(jìn)行運(yùn)算，往往利用窮舉法或畫(huà)出樹(shù)狀圖會(huì)收到意想不到的結(jié)果2.同一寢室4人,每人寫(xiě)一張賀年卡集中起來(lái),

11、然后每人各拿一張別人的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有多少種？ 3.給圖中區(qū)域涂色,要求相鄰區(qū)域不同色,現(xiàn)有4種可選顏色,則不同的著色方法有 種十六. 分解與合成策略1. 30030能被多少個(gè)不同的偶數(shù)整除2.正方體的8個(gè)頂點(diǎn)可連成多少對(duì)異面直線分解與合成策略是排列組合問(wèn)題的一種最基本的解題策略,把一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題分解成幾個(gè)小問(wèn)題逐一解決,然后依據(jù)問(wèn)題分解后的結(jié)構(gòu),用分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理將問(wèn)題合成,從而得到問(wèn)題的答案 ,每個(gè)比較復(fù)雜的問(wèn)題都要用到這種解題策略十七.化歸策略1. 25人排成5×5方陣,現(xiàn)從中選3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的選法有多少種？處理復(fù)雜的排列

12、組合問(wèn)題時(shí)可以把一個(gè)問(wèn)題退化成一個(gè)簡(jiǎn)要的問(wèn)題，通過(guò)解決這個(gè)簡(jiǎn)要的問(wèn)題的解決找到解題方法，從而進(jìn)下一步解決原來(lái)的問(wèn)題2.某城市的街區(qū)由12個(gè)全等的矩形區(qū)組成其中實(shí)線表示馬路，從A走到B的最短路徑有多少種？十八.數(shù)字排序問(wèn)題查字典策略1由0，1，2，3，4，5六個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)的比324105大的數(shù)？數(shù)字排序問(wèn)題可用查字典法,查字典的法應(yīng)從高位向低位查,依次求出其符合要求的個(gè)數(shù),根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理求出其總數(shù)。 2.用0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)的四位偶數(shù),將這些數(shù)字從小到大排列起來(lái),第71個(gè)數(shù)是 十九.樹(shù)圖策略1 人相互傳球,由甲開(kāi)始發(fā)球,并作為第一次傳球,經(jīng)過(guò)次傳求后,

13、球仍回到甲的手中,則不同的傳球方式有_ 對(duì)于條件比較復(fù)雜的排列組合問(wèn)題，不易用公式進(jìn)行運(yùn)算，樹(shù)圖會(huì)收到意想不到的結(jié)果2.分別編有1，2，3，4，5號(hào)碼的人與椅，其中號(hào)人不坐號(hào)椅（）的不同坐法有多少種？二十.復(fù)雜分類問(wèn)題表格策略1有紅、黃、蘭色的球各5只,分別標(biāo)有A、B、C、D、E五個(gè)字母,現(xiàn)從中取5只,要求各字母均有且三色齊備,則共有多少種不同的取法 一些復(fù)雜的分類選取題,要滿足的條件比較多, 無(wú)從入手,經(jīng)常出現(xiàn)重復(fù)遺漏的情況,用表格法,則分類明確,能保證題中須滿足的條件,能達(dá)到好的效果.二十一：住店法策略解決“允許重復(fù)排列問(wèn)題”要注意區(qū)分兩類元素：一類元素可以重復(fù)，另一類不能重復(fù)，把不能重復(fù)的元素看作“客”，能重復(fù)的元素看作“店”，再利用乘法