四軸飛行器動力學(xué)分析與建模

1、翼飛行器動力學(xué)分析與建模1.引言四軸飛行器，又稱四旋翼飛行器、四旋翼直升機(jī)，簡稱四軸、四旋翼。這四軸飛行器 (Quadrotor)是一種多旋翼飛行器。四軸飛行器的四個螺旋槳都是電機(jī)直連的簡單機(jī)構(gòu)，十 字形的布局允許飛行器通過改變電機(jī)轉(zhuǎn)速獲得旋轉(zhuǎn)機(jī)身的力，從而調(diào)整自身姿態(tài)。因為它固 有的復(fù)雜性，歷史上從未有大型的商用四軸飛行器。近年來得益于微機(jī)電控制技術(shù)的發(fā)展, 穩(wěn)定的四軸飛行器得到了廣泛的關(guān)注，應(yīng)用前景十分可觀。本章通過分析四旋翼直升機(jī)的動力學(xué)機(jī)制，運用己知的物理定律和方程來建立表征系統(tǒng) 動態(tài)過程的數(shù)學(xué)模型。2.四旋翼飛行器簡介!1!2.1四旋翼飛行器結(jié)構(gòu)四旋翼直升機(jī)主體構(gòu)成有：產(chǎn)生升力的四個

2、旋翼、飛行控制設(shè)備及其支撐旋翼的機(jī)身。 有時為了保護(hù)飛行器，避免旋翼的損壞，特別裝設(shè)了保護(hù)架。其中，每個旋翼包括直流電機(jī)、 翼翅及連接件等部分。如下圖所示：2. 2四旋翼飛行器飛行原理四旋翼直升機(jī)與傳統(tǒng)的直升機(jī)相比，有著自己獨特的地方。它的四個呈十字平均分布的 旋翼取代了傳統(tǒng)的單獨的旋翼，對機(jī)身產(chǎn)生單獨的力和力矩。四旋翼直升機(jī)通過改變旋翼轉(zhuǎn) 速來控制飛行器的姿態(tài)，且四個旋翼的動態(tài)特性高度根含。!1!旋翼飛行器動力學(xué)方程3.1坐標(biāo)描述及其轉(zhuǎn)換關(guān)系0機(jī)的姿態(tài)角、E行速度的大小和方向等參數(shù)總是和坐標(biāo)系聯(lián)系在一起的，要確切地描述飛機(jī)的運動狀態(tài)，就要先建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系。卜而定義幾種坐標(biāo)系，并分析各坐標(biāo)之

3、間的 相互轉(zhuǎn)換關(guān)系：(1) 地面坐標(biāo)系E (OXYZ)地面坐標(biāo)系用語研究飛機(jī)相對于地面的運動，確定飛機(jī)在空間的位置坐標(biāo)X、Y、Z,從 而方便研究飛機(jī)的姿態(tài)、航向以及飛機(jī)相對起飛點的空間位置。該坐標(biāo)系原點固定于地面上 飛機(jī)的起飛點，0X軸指向飛機(jī)制定的飛行方向，0Z軸垂直水平面向上，0Y軸垂直O(jiān)XZ平面。(2) 機(jī)體坐標(biāo)系B (Oxyz)機(jī)體坐標(biāo)系固定在機(jī)體匕原點設(shè)在飛機(jī)重心，縱軸Ox平行于前后旋翼的連線，指向 前方為正方向，豎軸Oz平行于左右旋翼的連線，指向右方為正方向：軸Oy與軸Ox、Oz所 在平面垂直，并與軸Ox、軸Oz組成右手坐標(biāo)系。(3) 地面坐標(biāo)系和機(jī)體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換在飛機(jī)飛行動力學(xué)中

4、，對于描述地面坐標(biāo)系和機(jī)體坐標(biāo)系之間的關(guān)系的角度可用如卜定 義的三個歐拉角加以確定。偏航角W 一一機(jī)體軸Ox在地面坐標(biāo)系水平面0X7上的投影線X'與X軸之間的夾角俯仰角e 一一機(jī)體軸Ox與地面坐標(biāo)系水平面OXY的夾角滾轉(zhuǎn)角6 -機(jī)體軸Oz和包含機(jī)體軸Ox間的夾角宙此可得到物體坐標(biāo)系到地面坐標(biāo)系各個軸的轉(zhuǎn)換炬陣，分別A小為(21)式、(22)式和(2-1)(2-2)(2-3|(2-4)(23)式ri o00 cos中 sin4>0 sin4> cos4>.'cosO0 sinO'010sinO0 cos。.cosipsinip 0sinipcosip 0

5、001.Rx=Rv=Rz=綜合可得機(jī)體坐標(biāo)系B到地面坐標(biāo)系E的轉(zhuǎn)換矩陣為:cospcos4>R= R2 Ry Rx= sinipcosO -sinOcosOcos4>cosipsin6sin4> cosipsin0cos4> + sinxpsi 酒 sinipsin6sin<P sinipsin6cos4> - cosipsin cos0sin4>3. 2動力學(xué)方程的建立 3. 2.1模型假設(shè)1）飛機(jī)是剛體，在其運動過程中質(zhì)量保持不變2）地面坐標(biāo)系為慣性坐標(biāo)，由于本文針對微型飛機(jī)，飛行距離不是很遙遠(yuǎn)，飛行高度不 是很高，所以視地球表面為平面，視重力加速

6、度不隨飛行高度的變化而變化3）不計地球自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)運動的影響1）機(jī)體坐標(biāo)系的xoz平面為R機(jī)幾何形狀和質(zhì)量的對稱平面，慣性枳Ixy=Iyz=O3. 2. 2模型建立在忽略彈性振動及形變的情況卜，微小型四旋翼飛行器的運動可以看成是六個自由度的 剛體運動，即包含繞三個軸的轉(zhuǎn)動（偏航、俯仰和滾動）和重心沿三個軸的線運動（進(jìn)退、 左右側(cè)飛和升降）o根據(jù)牛頓第二定律，飛機(jī)動力學(xué)方程的向量形式為：(2-5)(2-6)戶=娉M = dt式中，F(xiàn)一一作用在四旋翼飛行器上的所有外力的和M飛機(jī)的質(zhì)量：V飛機(jī)的質(zhì)心速度；M一一作用在飛機(jī)上的所有外力矩的和：H一一飛機(jī)相對于地面坐標(biāo)系的絕對動星矩。假設(shè)FX、FY、FZ；

7、 u、v、w： p、q、r分別為禮譏疽在機(jī)體坐標(biāo)系三個坐標(biāo)軸ox、oy、OZ上的分量。1）線運動方程：作用在四旋翼直升機(jī)機(jī)體上的外力有重力，四個旋翼的升力和外界的阻力。重力可以表示為：G=mg（2-7）阻力可以表示為：Di=ipCdo）f=kdav（2-8）每個旋翼產(chǎn)生的升力為：TipCtktco?（2-9）其中g(shù)為重力加速度，p為空氣密度，Cd為旋翼的阻力系數(shù)，Ct為旋翼的升力系數(shù)，通 常他們的值取決于飛機(jī)的運動狀態(tài)和構(gòu)型，大氣參數(shù)等譜久撲. 3,0= 1,2,3,4）是第i個 旋翼的角速度。由于上述各式是在地面坐標(biāo)系卜建立的，通過轉(zhuǎn)梭矩陣R轉(zhuǎn)換到機(jī)體坐標(biāo)系卜，并帶入（2-5）式，可得到:X

8、yz = wkT V* 3? (sin sin 0+cos sin 0 cos 0)-K尤F _k .y 知 Y 3?(cos W sin 0+sin Wsin 6 cos 0)-K2 頊 p = >J=mm-3 . kT > co? (cos 0 cos (b )-Kri_ Fz-rng-Kyz _ rZjl=ir) 3w m-g其中Ki為綜合的阻力系數(shù)。2)角動量方程:歐拉角的角速度和機(jī)體的角速度之間有如卜的關(guān)系:6 - W sin 86 cos 小 + W sin (p cos 00 sin 寺 + W cos (p cos 0(2-10)12-11)由此可以解出:cosd

9、qsin4>sin6 rcos4>sin0 -cosOqsin<P + rsi灑 qsin4> +rcos4>cos0-(2-12)四旋翼無人機(jī)外形結(jié)構(gòu)和質(zhì)值分布都具有較好的對稱性，重心近似位于機(jī)體中心，因此 可以假定無人機(jī)的慣性矩陣I為對角陣：(1*0。1= oly0(2-13)001J根據(jù)剛體轉(zhuǎn)動定律可以得到角速度運動方程為：PM = I q(2-14)LrJ根據(jù)動量矩的計算方法，仿照線運動方程的推導(dǎo)，可以得到角速度方程式:Mx譏-rlx2 + qr(lz -Zy)- pqlxzMyqly + pr(lx - z2) +(P2- r2)zx2(2-15)M-

10、rlz 一 Wxz + PqQy - 4)+ qrlxz.其中Mx、My、Mz是四旋翼直升機(jī)的合力矩在機(jī)體坐標(biāo)系三個坐標(biāo)軸ox、oy、oz上的分Mo整理可得:(2-16)綜合以上分析，得到四旋翼直升機(jī)的作線性運動方程:X = Uy = vz = wFt Kj xU =mm命=F廠mg -上2(2-17) xWy+(/r-/X)rpq =； _ M-+(/x-/y)pq了 = l屆 _ pcosd qsin4>sm6 rcos4>sin0 cosO0 = qsin4> + rsin4>COS0中 _ qsin4> +rcos4>3.2.3模型的簡化為了把四旋翼

11、直升機(jī)非線性耦合模型分解成四個獨立的控制通道，定義系統(tǒng)的控制輸入 狀為:"1=&+2 + 鳥 + 與=化 2： X23”2 = % -旦=處(成-媛)U3 = F3 Fi =虹(co| 了)4 =旦 + 昂后月=kd(3j + a)? +其中,U1垂直速度控制量,U2滾動輸入控制量,U3俯仰控制輸入危，U4偏航控制量。為各旋翼轉(zhuǎn)速，F(xiàn)為各旋翼所受到的拉力。考慮外界條件時控制設(shè)計比較夏雜，所以先研究室內(nèi)或室外無風(fēng)情況卜直升機(jī)慫停和慢 速乜行控制，這樣就可以忽略阻力系數(shù)Ki,整理得到數(shù)學(xué)模型如卜.：r. _ (sinsin.+cosWcos。函-凹 m._ (cos W sin,

12、+sin W sin。cos 0)U'm藝 _ (cos8 cos，)Uim-g'X - lu2+e *yTz)(2"9)0 _螞+寸也)hS _ lUq+e。Qx-垃)到目前為止，我們計算了飛行器的作用力，接下來計算扭矩。每個轉(zhuǎn)子貢獻(xiàn)一點關(guān)于機(jī) 體Z軸的扭矩。這扭矩是用來保持螺旋槳旋轉(zhuǎn)和提供推力：它產(chǎn)生瞬時角加速度和克服了 摩擦阻力。由流體動力學(xué)可以得到摩擦力為：Fd = ；Ud 舶 °4. 其中p是周圍流體密度，A是參考面積(是螺旋獎的截面，而不是螺旋槳掃過的面積)，CD是-個無量綱的常量。這樣的近似盡管有些地方不太好，就我們而己，結(jié)果精度是 足夠好的。

13、于是推出由摩擦力產(chǎn)生的扭矩：rD = jRpCD>v2 = RpCDA（6JR）2 =其中co是螺旋槳的角速度，R是螺旋槳的半徑，b是摩擦常數(shù)。注意到，我們己經(jīng)假定 所有的力作用于螺旋槳的末梢，這是當(dāng)然不準(zhǔn)確；然而，對我們而言唯一重要的結(jié)果是摩擦 扭矩與角速度的平方成正比。我們有以z為軸的完整第i個電機(jī)的扭矩：其中IM是電機(jī)關(guān)于z軸的轉(zhuǎn)動慣量，勿是螺旋槳的角加速度，b是阻力系數(shù)。注意到, 在租態(tài)飛行（即不起飛或著陸）時燈乃°因為大部分時間的螺旋槳會維持恒定的（或幾乎不變 的）的推力而不會加速。因此，我們忽略了這一時期，對整個表達(dá)式簡化： =（-】廣崎其中（T）i+1項是正的如果

14、第i個螺旋槳式順時針轉(zhuǎn)，否則為負(fù)。關(guān)于z的總扭矩是每個 螺旋槳軸扭矩的和：r-=b（of _成+戒一戒）在此基礎(chǔ)上便町以對我們小組研究的課題進(jìn)行討論。4.四旋翼飛行器旋轉(zhuǎn)過程中的受力分析!1!四旋翼飛行器的旋轉(zhuǎn)指的是飛行器繞自身中心軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，而不改變其高度、位置等其 他參數(shù)，在專業(yè)術(shù)語中稱為偏航運動。四旋翼弋行器偏航運動可以借助旋翼產(chǎn)生的反扭矩來實現(xiàn)。旋翼轉(zhuǎn)動過程中由于空氣阻 力作用會形成與轉(zhuǎn)動方向相反的反扭矩，為了克服反扭矩影響，可使四個旋翼中的兩個正轉(zhuǎn), 兩個反轉(zhuǎn)，旦對角線上的來年各個旋翼轉(zhuǎn)動方向相同。反扭矩的大小與旋翼轉(zhuǎn)速有關(guān)，當(dāng)四個電機(jī)轉(zhuǎn)速相同時，四個旋翼產(chǎn)生的反扭矩相互平 衡，四旋

15、翼飛行器不發(fā)生轉(zhuǎn)動：當(dāng)四個電機(jī)轉(zhuǎn)速不完全相同時，不平衡的反扭矩會引起四旋 翼R行器轉(zhuǎn)動。在圖d中，當(dāng)電機(jī)1和電機(jī)3的轉(zhuǎn)速上升，電機(jī)2和電機(jī)4的轉(zhuǎn)速下降時，旋翼1和 旋翼3對機(jī)身的反扭矩大于旋翼2和旋翼4對機(jī)身的反扭短，機(jī)身便在富余反扭矩的作用下 繞z軸轉(zhuǎn)動，實現(xiàn)飛行器的偏航運動，轉(zhuǎn)向與電機(jī)1、電機(jī)3的轉(zhuǎn)向相反。借助力矩之間的平衡，己經(jīng)在3中提出的懸停原理，可以在保證飛行器高度保持不變的 情況卜進(jìn)行偏航運動，進(jìn)而達(dá)到旋轉(zhuǎn)鏡頭的目的。5.四旋翼飛行器側(cè)飛過程的受力分析!1!做到慫停之后，四旋翼飛行器又如何前進(jìn)呢?這需要力的方向發(fā)生變化，一定要有使其 向前的力，如下圖所示，在懸停的基礎(chǔ)上增加后而翅膀

16、的轉(zhuǎn)速使得升力增大，減小前面翅膀 的轉(zhuǎn)速使得升力減小，如此四旋翼飛行器的身體便會產(chǎn)生傾斜，翅膀的升力差便會產(chǎn)生向前 的分量，四旋翼飛行器便可以向前飛行了。同時，要想實現(xiàn)飛行器在水平面內(nèi)前后、左右的運動，必須在水平面內(nèi)對飛行器施加一 定的力。在卜圖中，增加電機(jī)3轉(zhuǎn)速，使拉力增大，相應(yīng)減小電機(jī)1轉(zhuǎn)速，使拉力減小，同 時保持其它兩個電機(jī)轉(zhuǎn)速不變，反扭矩仍然要保持平衡。按圖b的理論，飛行器首先發(fā)生一 定程度的傾斜，從而使旋翼拉力產(chǎn)生水平分量，因此可以實現(xiàn)飛行器的前飛運動。向后飛行 與向前飛行正好相反。6.本文總結(jié)本章通過分析四旋翼直升機(jī)的動力學(xué)機(jī)制，運用己知的物理定律和方程來建立表征系統(tǒng) 動態(tài)過程的數(shù)學(xué)模型。微小型四旋翼直升機(jī)以其新穎的外形，低廉的成本，簡單的結(jié)