材料力學(xué)題庫

1、材料力學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)、習(xí)題解析與實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練目 錄第二章 軸向拉伸與壓縮2第三章 扭轉(zhuǎn)11第四章 彎曲應(yīng)力14第五章 梁彎曲時(shí)的位移33第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問題38第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論43第八章 組合變形及連接部分的計(jì)算53第九章 壓桿穩(wěn)定63附錄 截面的幾何性質(zhì)68第三章 能量法74總復(fù)習(xí)題79模擬試題86第二章 軸向拉伸與壓縮【重點(diǎn)難點(diǎn)】(1) 用截面法求內(nèi)力時(shí)總是假設(shè)內(nèi)力是正的。畫軸力圖時(shí)正值畫在x軸上方，負(fù)值畫在x軸下方。(2) 直桿斜截面應(yīng)力中，a=0 時(shí)有最大正應(yīng)力，其值為 smax=sN /A；=45°時(shí)有最大切應(yīng)力，其值為max=s/2。(3) 對(duì)于變截面桿或軸力為變數(shù)

2、桿，利用虎克定律計(jì)算桿件軸向變形時(shí)，應(yīng)分段計(jì)算變形，然后代數(shù)相加得全桿變形。(4) 求解拉壓超靜定問題的關(guān)鍵是根據(jù)結(jié)構(gòu)的變形協(xié)調(diào)條件列出變形幾何方程。在列變形幾何方程時(shí)，注意所假設(shè)的桿件變形應(yīng)是桿件可能發(fā)生的變形，假設(shè)的內(nèi)力方向應(yīng)與變形一致。(5) 拉伸試驗(yàn)中出現(xiàn)的四個(gè)階段，三個(gè)強(qiáng)度特征值sp、ss及sb是靜載、常溫下低碳鋼的重要性質(zhì)?！袄渥饔不笔堑吞间擃愃苄圆牧系囊粋€(gè)重要現(xiàn)象。(6) 低碳鋼類塑性材料的抗拉壓性質(zhì)相同，鑄鐵類脆性材料的抗壓強(qiáng)度遠(yuǎn)大于抗拉強(qiáng)度?！玖?xí)題解析】例2-1 試畫出圖直桿的軸力圖。（圖2-1）解：此直桿在A、B、C、D點(diǎn)承受軸向外力。先求AB段軸力。在段內(nèi)任一截面1-1

3、處將桿件截開，考察左段（圖2-1b）。在截面上設(shè)出正軸力N1。由此段的平衡方程SX0得N160， N16kNN1得正號(hào)說明原先假設(shè)拉力是正確的，同時(shí)也就表明軸力是正的。AB段內(nèi)任一截面的軸力都等于+6kN。 再求BC段軸力，在BC段任一截面2-2處將桿件截開，仍考察左段（圖2-1c），在截面上仍設(shè)正的軸力N 2，由SX0得618N20 N212kN N2得負(fù)號(hào)說明原先假設(shè)拉力是不對(duì)的（應(yīng)為壓力），同時(shí)又表明軸力N2是負(fù)的。BC段內(nèi)任一截面的軸力都等于12kN。同理得CD段內(nèi)任一截面的軸力都是4kN。畫內(nèi)力圖，以水平軸x表示桿的截面位置，以垂直x的坐標(biāo)軸表示截面的軸力，按選定的比例尺畫出軸力圖，

4、如圖2-1（d）所示。由此圖可知數(shù)值最大的軸力發(fā)生在BC段內(nèi)。解題指導(dǎo)：利用截面法求軸力時(shí),在切開的截面上總是設(shè)出正軸力N ，然后由SX0求出軸力N ，如N 得正說明是正軸力（拉力），如得負(fù)則說明是負(fù)軸力（壓力）。例2-2 試求自由懸掛的直桿（圖2-2a）由縱向均勻分布荷載q（力長(zhǎng)度）引起的應(yīng)力和縱向變形。設(shè)桿長(zhǎng)l、截面積A及彈性模量E均已知。解：在桿上距下端為x處取一任意橫截面m-m，則該截面軸力為N(x)qx，根據(jù)此式可作出軸力圖如圖2-2b所示。m-m截面的應(yīng)力為s（x）N(x)/Aqx/A。顯然，懸掛端有最大軸力Nmaxql及最大正應(yīng)力 。（圖2-2）求桿縱向變形，由于各橫截面上軸力不

5、等，不能直接應(yīng)用變形公式，而應(yīng)從長(zhǎng)為dx的微段出發(fā)。在x處取微段dx，其縱向伸長(zhǎng)可寫為桿件的總伸長(zhǎng)研究上端固定桿件由于自重引起的伸長(zhǎng)時(shí)，桿件自身重量就是一種均勻縱向分布力，此時(shí)單位桿長(zhǎng)的分布力qA×1×g，此處g是材料單位體積的重量即容重。將q代入上式得到此處GAlg是整個(gè)桿的重量。上式表明等直桿自重引起的總伸長(zhǎng)等于全部重量集中于下端時(shí)伸長(zhǎng)的一半。解題指導(dǎo)：對(duì)于軸力為變數(shù)的桿，利用虎克定律計(jì)算桿件軸向變形時(shí)，應(yīng)分段計(jì)算變形，然后代數(shù)相加得全桿變形，當(dāng)軸力是連續(xù)函數(shù)時(shí)則需利用積分求桿變形。例2-3 圖2-3所示兩根圓截面桿材料相同，試計(jì)算兩桿的應(yīng)變能，并比較其大小。（圖2-3

6、）解：a桿： b桿：兩桿應(yīng)變能之比： 解題指導(dǎo)：從本例可看出，在受力相同的情況下，剛度小的桿件應(yīng)變能大?！緦?shí)戰(zhàn)訓(xùn)練】21 試求圖示各桿11、22及33截面上的軸力，并作軸力圖。答案：（a）FN130kN ，F(xiàn)N20kN ，F(xiàn)N360kN ； （b）FN120kN ，F(xiàn)N20kN ，F(xiàn)N320kN ； （c）FN120kN ，F(xiàn)N220kN ，F(xiàn)N340kN ； （d）FN125kN ，F(xiàn)N20kN ，F(xiàn)N310kN 。22 試作圖示各桿的軸力圖，并確定最大軸力| FN |max 。答案：（a）êFNïmax3kN ；（b）êFNïmax10kN ；（c）

7、êFNïmaxFP； （d）êFNïmax5kN ；（e）êFNïmaxFP ；（a）êFNïmax2FP ； （a）êFNïmaxFPAlrg 。23 桁架結(jié)構(gòu)受力如圖所示，其上所有桿的橫截面均為20×50mm的矩形。試求桿CE和桿DE橫截面上的正應(yīng)力。答案： sCE15MPa ，sDE50MPa24 圖示正方形結(jié)構(gòu)，各桿材料均為鑄鐵，拉伸許用應(yīng)力為s t 50 MPa ，壓縮許用應(yīng)力為s c 60 MPa ，各桿橫截面面積均為25 cm2 。試求此結(jié)構(gòu)的許用荷載Fp值。答案： FP

8、150kN25 圖示氣缸內(nèi)徑D560mm ，內(nèi)壓p2.5MPa ，活塞桿直徑d100mm ，所用材料的屈服應(yīng)力s s 300MPa 。試：（1）求活塞桿橫截面上的正應(yīng)力和工作安全系數(shù)；（2）若連接缸體與缸蓋的螺栓直徑d1300mm ，螺栓所用材料的許用應(yīng)力為s160 MPa ，求所需的螺栓數(shù)。答案：（1）s75.9MPa ，n3.95；（2）n14.1®16個(gè)26 圖示的桿系結(jié)構(gòu)中桿1、2為木制，桿3、4為鋼制。已知各桿的橫截面面積和許用應(yīng)力如下：桿1、2為A1A24000 mm2 ，sw 20 MPa ，桿3、4為A1A24000 mm2，ss 120 MPa 。試求許可荷載Fp值

9、。答案：FP57.6kN27 圖示為一高10 m的石砌橋墩，其橫截面的兩端為半圓形，尺寸如圖示。已知軸心壓力FP 1000 kN ，石料的密度r 2347kg/m3，試求在橋墩底面上的壓應(yīng)力大小。答案：s0.339MPa。28 變截面直桿如圖所示。已知A18cm2，A24cm2，E200GPa 。求桿的總伸長(zhǎng)量。答案：Dl0.075mm。29 設(shè)CF為剛體，BC為銅桿，DF為鋼桿，兩桿的橫截面面積分別為A1和A2，彈性模量分別為E1和E2。如果要求CF始終保持水平位置，試求x 。答案：x（l l1E2A2）/(l1E2A2l2E1A1)。210 圖示結(jié)構(gòu)中，AB為水平放置的剛性桿，1、2、3桿

10、材料相同，其彈性模量E210GPa ，已知l1m，A1A2100mm2，A3150mm2 ，F(xiàn)P20kN 。試求C點(diǎn)的水平位移和鉛垂位移。答案：DCx0.476mm ，DCy0.476mm。211 圖示圓錐形桿受軸向拉力作用，求此桿的伸長(zhǎng)。答案：Dl（4FPl）/（pEd1d2）。212 在圖示結(jié)構(gòu)中，AB為剛性桿，CD為由三號(hào)鋼制造的斜拉桿。已知FP15kN ，F(xiàn)P210kN ，l1m ，桿CD的截面積A100mm2 ，鋼的彈性模量E200GPa 。試求桿CD的軸向變形和剛桿AB在端點(diǎn)B的鉛垂位移。答案：DlCD2mm ，dBy5.65mm。 第三章 扭轉(zhuǎn)【重點(diǎn)難點(diǎn)】（1）對(duì)于變扭矩、變截面

11、的受扭圓軸應(yīng)分段計(jì)算扭轉(zhuǎn)角，再求和得總扭轉(zhuǎn)角；此類軸的最大切應(yīng)力不一定是在扭矩最大的橫截面上。 （2）圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力沿半徑線性分布，在圓心處為零，外緣處最大，應(yīng)力方向垂直于半徑，實(shí)心圓截面和空心圓截面的切應(yīng)力值的連線均過圓心。（3） 空心圓軸扭轉(zhuǎn)的抗扭截面橫量 ，注意式中a的指數(shù)是4次方。 （4）低碳鋼圓軸扭轉(zhuǎn)破壞是沿橫截面剪切破壞，鑄鐵圓軸扭轉(zhuǎn)破壞是-沿與軸線成45º的斜面被拉斷。 【習(xí)題解析】例3.1 已知傳動(dòng)軸為鋼制實(shí)心軸，最大扭矩MT7.64kNm，材料的許可切應(yīng)力t30MPa，切變模量G80GPa，許可扭角q0.3°/m，試按強(qiáng)度條件和剛度條件設(shè)計(jì)軸徑

12、d。解：根據(jù)強(qiáng)度條件式(4-6)得出：再根據(jù)剛度條件式(4-9b )得出：兩個(gè)直徑中應(yīng)選其中較大者，即實(shí)心軸直徑不應(yīng)小于117mm，說明在此設(shè)計(jì)中剛度是主要的。例3.2 已知圓軸受外力偶矩m2kNm，材料的許可切應(yīng)力t60MPa。（1）試設(shè)計(jì)實(shí)心圓軸的直徑D1;（2）若該軸改為a=d/D=0.8的空心圓軸，式設(shè)計(jì)空心圓軸的內(nèi)、外徑d2 、D2。解：（1）扭矩MT=m=2kNm，實(shí)心圓截面直徑（2）若改為a0.8的空心圓軸，設(shè)計(jì)外徑內(nèi)徑d2=0.8×D2=0.8×66.052.8mm。（3）比較二者面積空心軸的截面積：實(shí)心軸的截面積：解題指導(dǎo)：由此例可見使用空心圓軸比實(shí)心圓周

13、可以節(jié)約很多材料，其主要原因是空心圓軸的材料布置離軸心較遠(yuǎn)，充分發(fā)揮了材料的承載能力。例3.3 計(jì)算圖中受扭圓軸的應(yīng)變能。設(shè)d1=2d2，材料的切變模量為G。解：此軸扭矩是常數(shù)，MT=m，但AB和BC截面尺寸不同，因此應(yīng)分段計(jì)算應(yīng)變能，然后再相加。有  【實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練】31 試作圖示各桿的扭矩圖，并確定最大扭矩| T |max 。 答案： （a）êTïmax2Me ；（b）êTïmax2Me ；（c）êTïmax30kN.m 。32 圖示一傳動(dòng)軸，轉(zhuǎn)速n200 r/min ，輪C為主動(dòng)輪，輸入功率P60 kW ，輪A、

14、B、C均為從動(dòng)輪，輸出功率為20 kW，15 kW，25 kW。（1）試?yán)L該軸的扭矩圖。（2）若將輪C與輪D對(duì)調(diào)，試分析對(duì)軸的受力是否有利。答案：T1954.9N.m。33 傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)速n500 r/min ，主動(dòng)輪1輸入功率P1=368kW ，從動(dòng)輪2、3分別輸出功率P2147.2kW、P3221kW。已知t 70 MPa ，q1 0/m ，G80GPa 。（1）試確定AB段的直徑d1和BC段的直徑d2 ；（2）若AB和BC兩段選用同一直徑，試確定直徑d ；（3）主動(dòng)輪和從動(dòng)輪應(yīng)如何安排才比較合理？ 答案：（1）d1 ³ 84.6mm， d2 ³ 74.5mm

15、；（2）d > 84.6mm ；（3）主動(dòng)輪1放在從動(dòng)輪2和3之間比較合理。34 階梯形圓桿，AE段為空心，外徑D140mm ，內(nèi)徑d100mm ；BC段為實(shí)心，直徑d100mm 。外力偶矩MeA18kN.m ，MeB32kN.m ，MeC14kN.m 。已知： t 80 MPa ，j1.2 0/m ，G80GPa 。試校核該軸的強(qiáng)度和剛度。答案：AE段：tmax45MPa ，j0.440/m ； BC段：tmax71.3MPa ，j1.020/m 第四章 彎曲應(yīng)力【重點(diǎn)難點(diǎn)】彎曲內(nèi)力是材料力學(xué)中的一個(gè)重要的基本內(nèi)容，原理簡(jiǎn)單但容易出錯(cuò)。應(yīng)特別加以注意。（1）正確地計(jì)算支座反力是繪制內(nèi)力

16、圖的關(guān)鍵，應(yīng)確保無誤。因此利用平衡方程求出支反力后，應(yīng)進(jìn)行校核。（2）計(jì)算梁橫截面的內(nèi)力時(shí)，應(yīng)特別注意外力的方向與其引起的內(nèi)力符號(hào)的關(guān)系，以保證內(nèi)力的正負(fù)號(hào)正確。（3）梁上荷載不連續(xù)時(shí)，剪力和彎矩方程需分段列出。各段方程的x坐標(biāo)原點(diǎn)和方向可以相同，為了計(jì)算方便也可以不同。（4）作出梁的內(nèi)力圖后應(yīng)利用q、Q、M之間的微分關(guān)系進(jìn)行校核，以確保正確。（5）利用剪力Q、彎矩M與荷載集度q之間的微分關(guān)系,可得到下述結(jié)論:a）在q0的區(qū)段，剪力圖為水平直線，彎矩圖為斜直線；當(dāng)Q >0，彎矩圖（上升），Q < 0，彎矩圖 （下降）。b）在qc（常數(shù)）的區(qū)段，剪力圖為斜直線，彎矩圖為拋物線。當(dāng)q

17、() > 0，剪力圖，彎矩圖 ；當(dāng)q () < 0，剪力圖 ，彎矩圖 。c)在Q = 0的點(diǎn)處，彎矩圖有極值；在Q 突變處，彎矩圖有一個(gè)折角。（6）剪力圖、彎矩圖的一般規(guī)律：a）在集中力作用處，剪力Q圖有突變，突變量等于集中力的值，突變方向與集中力作用方向一致。彎矩M圖斜率有突變，出現(xiàn)折角。b）在集中力偶作用處，剪力Q圖無變化。彎矩M圖有突變，突變量等于該集中力偶矩值。c）在分布力的起點(diǎn)和終點(diǎn)，剪力圖有拐點(diǎn);彎矩圖為直線與拋物線的光滑連接。d)當(dāng)梁的簡(jiǎn)支端或自由端無集中力偶時(shí),彎矩為零。e）梁的最大彎矩通常發(fā)生在剪力Q=0處或集中力、集中力偶作用點(diǎn)處。f）對(duì)稱結(jié)構(gòu)承受對(duì)稱荷載作用時(shí)

18、，剪力圖是反對(duì)稱的（剪力指向仍是對(duì)稱的），彎矩圖是對(duì)稱的。對(duì)稱結(jié)構(gòu)承受反對(duì)稱荷載時(shí)，剪力圖是對(duì)稱的，彎矩圖是反對(duì)稱的。g）平面剛架的彎矩不分正負(fù)號(hào)，但應(yīng)將彎矩圖在桿件受拉的一側(cè)，此規(guī)定與水平直梁正彎矩畫在軸線下方的規(guī)定完全一致。(1) 若已知桿件彎曲成的曲率半徑r的緣弧時(shí)，由公式(7-2) 可以求出所施加彎矩。(2) 發(fā)生平面彎曲的條件為：1. 外力偶作用平面與梁的形心主慣性平面平行；2. 橫向外力作用平面與梁的形心主慣性平面平行并通過截面的彎曲中心。(3) 通常在進(jìn)行彎曲強(qiáng)度計(jì)算時(shí)，應(yīng)先畫出梁的剪力圖和彎矩圖，在彎矩(絕對(duì)值)最大的截面校核彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度，在剪力(絕對(duì)值)最大截面校核彎曲切應(yīng)

19、力強(qiáng)度。(4) 對(duì)于鑄鐵一類脆性材料梁進(jìn)行彎曲強(qiáng)度計(jì)算時(shí)，應(yīng)找出全梁的最大拉壓正應(yīng)力，然后再分別進(jìn)行拉、壓強(qiáng)度校核。當(dāng)梁上同時(shí)存在正、負(fù)彎矩，且橫截面上下不對(duì)稱時(shí)，最大拉（或壓）應(yīng)力可能不足在彎矩絕對(duì)值最大截面上。(5) 在進(jìn)行梁的截面設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)同時(shí)滿足正應(yīng)力和切應(yīng)力的強(qiáng)度條件，一般先按正應(yīng)力強(qiáng)度條件選擇截面，然后再進(jìn)行切應(yīng)力強(qiáng)度校核。(6)最大切應(yīng)力通常總是發(fā)生在中性軸上。矩形截面最大切應(yīng)力：; 圓形截面最大切應(yīng)力：;圓環(huán)形截面最大切應(yīng)力：?！玖?xí)題解析】例4.1 寫出圖示各梁的剪力方程和彎矩方程，并做剪力圖和彎矩圖。 解：（1）分兩段列Q、M方程： AC段CB段（2）作圖：AC段剪力：剪力方

20、程是x的一次函數(shù)，剪力圖是斜直線，由兩點(diǎn)即可確定該直線。當(dāng)x=0，QA=0；當(dāng)x=a，得QC=qa。BC段剪力：剪力圖是水平線，由于C點(diǎn)無集中力作用，C點(diǎn)剪力連續(xù)，QQC=qa。AC段彎矩：彎矩方程是x的二次函數(shù)，由qc<0，q與彎矩的關(guān)系知，彎矩圖是下凸拋物線。當(dāng)x=0，MA=0；當(dāng)x=a，得。BC段彎矩：彎矩方程是剪力圖是x的一次函數(shù)，彎矩圖是斜直線。因梁上沒有集中力偶，彎矩圖在C點(diǎn)應(yīng)連續(xù)，x=2a時(shí)，。作出剪力圖和彎矩圖如圖示。例4.2 試?yán)L出圖6-4所示梁的剪力圖和彎矩圖。解：(1) 利用平衡條件求出A、B支座的支反力YA和YB。SmA0，20×140YB×4

21、10×4×20 YB25kNSmB0，20×5YA×410×4×2400 YA35kN(2) 列CA段Q、M方程：建立坐標(biāo)系，以C端為x軸坐標(biāo)原點(diǎn)， CA段距左端為x的任意截面，取左側(cè)為對(duì)象，則Q120，（0x1m）(a)M120x，（0x1m）(b)(3) 列AB段Q、M方程： AB段距C端為x的任意截面，如取右側(cè)為對(duì)象，則Fs2YBq(5x)2510(5x) （1x5） (c)M2YB (5x)q(5x) (5x)/225 (5x)5(5x)2，（1x5） (d)利用(a)、(b)和(c)、(d)式可繪出CA和AB段的Q、M圖（圖

22、b，c）。(4) 檢查Q、M圖的正確性a、利用集中力、集中力偶作用處的突變關(guān)系。梁上C、A、B三處分別有集中的力20kN()、35kN()、25kN()，因而由左向右經(jīng)過上述各處時(shí)，剪力圖分別突變20kN()、35kN()、25kN()，因C、B在梁的兩端，上述突變表現(xiàn)為C右截面剪力為20kN，B左截面剪力為25kN。梁上A處有順時(shí)針集中力偶40kN×m，因而A處左截面至右截面的彎矩突變+40kN×m。b、利用微分關(guān)系對(duì)于CA段，分布荷載集度q0，剪力圖為水平直線，彎矩圖為斜直線。對(duì)于AB段，q10kN/m，剪力圖為斜直線，并在A右1.5m處（D截面）剪力為零。彎矩圖為下凸

23、的二次拋物線，并在D截面有極大值。解題指導(dǎo)：截面的內(nèi)力既可以用截面的左半部分計(jì)算也可以用截面的右半部分計(jì)算，所得結(jié)果相同。畫出內(nèi)力圖后利用微分關(guān)系和Q、M圖的規(guī)律檢查內(nèi)力圖的正確性，可以確保結(jié)果正確。例4.3 作出圖示具有中間鉸鏈（圖a）梁的彎矩圖。解：(1)求支反力：在中間鉸鏈處將梁拆開成兩部分，其間的相互作用力以QB代替，如圖 (b)所示。顯然，拆開后連續(xù)梁可以看成一個(gè)受集中力偶的簡(jiǎn)支梁和一個(gè)梁上受均布力、自由端受集中力QB的懸臂梁。由簡(jiǎn)支梁AB很容易求出QB:(2)分別作簡(jiǎn)支梁AB和懸臂梁BC的彎矩圖，如圖（c）。因單個(gè)梁的彎矩圖很容易得到，作圖過程在此不再贅述。注意兩個(gè)梁的彎矩圖應(yīng)合并

24、畫在同一條水平軸線上。解題指導(dǎo)：(1)求解有中間鉸鏈的連續(xù)梁?jiǎn)栴}，一般都從鉸接處拆開。拆開后能獨(dú)立存在的部分稱為主梁，如圖中的BC梁；不能獨(dú)立存在的部分稱為輔梁，如圖中的AB梁。先從輔梁上解出鉸鏈處的約束力，再把此約束力當(dāng)作外荷載加到主梁上，這樣就變成了兩個(gè)簡(jiǎn)單梁，作這兩個(gè)簡(jiǎn)單梁的內(nèi)力圖并連接到一起，即為有中間鉸鏈梁的內(nèi)力圖。(2) 注意中間鉸鏈B允許所連接的兩部分有相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，固中間鉸鏈只能傳遞力不能傳遞力偶。因此只要鉸鏈左右兩側(cè)沒有集中力偶，其彎矩應(yīng)為零。例4.4 利用剪力、彎矩與荷載集度的關(guān)系作圖所示梁的剪力圖和彎矩圖。解：計(jì)算支座反力YAYBqa/4AC段剪力：q=c<0，剪力為下

25、降的斜直線，A點(diǎn)剪力：QA = qa/4，C點(diǎn)偏左剪力：QC左 =3qa/4。AC段彎矩：q=c<0，彎矩為下凸拋物線，A點(diǎn)彎矩：MA =0，C點(diǎn)偏左彎矩： 在距離A端支座為a/4的D處，剪力等于零，彎矩在此截面應(yīng)有極值：BC段剪力：q=c>0，剪力為上升的斜直線，C點(diǎn)剪力：因C點(diǎn)無集中力，剪力在C點(diǎn)連續(xù)， C點(diǎn)偏右剪力：QC右 = QC左 =3qa/4；B點(diǎn)剪力：QB = qa/4。BC段彎矩：q = c>0，彎矩為上凸拋物線，C點(diǎn)偏右彎矩：MC右 =qa2/4，B點(diǎn)彎矩：MB =0。在距離B端支座為a/4的E處，剪力等于零，彎矩有極值:根據(jù)以上分析和計(jì)算，畫出剪力、彎矩圖

26、如圖 (b)、(c)所示。解題指導(dǎo)：熟練掌握剪力、彎矩圖的規(guī)律，可以不寫剪力、彎矩方程，直接繪圖。對(duì)稱結(jié)構(gòu)承受反對(duì)稱荷載時(shí)，剪力圖是對(duì)稱的，彎矩圖是反對(duì)稱的。例4.5 將一根直徑d1mm的直鋼絲繞于直徑D1m的卷筒上，已知鋼絲的彈性模量E200GPa，試求鋼絲由于彈性彎曲而產(chǎn)生的最大彎曲正應(yīng)力。又材料的屈服極限ss350MPa，求不使鋼絲產(chǎn)生塑性變形的卷筒軸徑D1應(yīng)為多大。解：（1）最大彎曲正應(yīng)力由式(7-2) ，有曲率與彎矩間的關(guān)系 即 又 （2）求軸徑D1，則得軸徑D10.571m解題指導(dǎo)：鋼絲的直徑d遠(yuǎn)小于卷筒的直徑徑D，因此鋼絲的曲率半徑可以近似為 。例4.6 T字形截面鑄鐵梁的荷載及

27、截面尺寸如圖 (a)示，C為T形截面的形心，慣矩Iz6013×104mm4，材料的許可拉應(yīng)力st40MPa，許可壓應(yīng)力sc160MPa，試校核梁的強(qiáng)度。解：梁彎矩圖如圖 (b)所示。絕對(duì)值最大的彎矩為負(fù)彎矩，發(fā)生于B截面上，應(yīng)力分布如圖(c)所示。此截面最大拉、壓應(yīng)力分別發(fā)生于截面上、下邊緣各點(diǎn)處36.2MPa<st78.6MPa<sc雖然A截面彎矩的絕對(duì)值|MA|<|MB|，但MA為正彎矩，應(yīng)力分布如圖7-8 (d)所示。最大拉應(yīng)力發(fā)生于截面下邊緣各點(diǎn)，由于y1>y2因此，全梁最大拉應(yīng)力究竟發(fā)生在哪個(gè)截面上，必須經(jīng)計(jì)算才能確定。A截面最大拉應(yīng)力為39.3MP

28、a<st 最大壓應(yīng)力在B截面下邊緣處，最大拉應(yīng)力在A截面下邊緣處，都滿足強(qiáng)度條件。解題指導(dǎo)：由此例可知，對(duì)于鑄鐵等脆性材料，由于拉、壓許可應(yīng)力不等，通常制成上、下不對(duì)稱截面，以充分發(fā)揮材料的承載潛力。應(yīng)特別注意此種梁的彎矩有正、有負(fù)時(shí)，可能出現(xiàn)兩個(gè)危險(xiǎn)截面，而且兩個(gè)危險(xiǎn)點(diǎn)可能不在同一個(gè)截面上。例4.7 矩形截面懸臂梁如圖示，試計(jì)算梁的最大切應(yīng)力和最大正應(yīng)力并比較大小。解：梁的最大彎矩在固定端處，Mmax=Pl,剪力在梁的各截面均為常數(shù)，危險(xiǎn)截面在固定端處。應(yīng)力比：解題指導(dǎo)：對(duì)于細(xì)長(zhǎng)梁，如l5h，則有tmax0.05smax，亦即最大切應(yīng)力遠(yuǎn)小于最大正應(yīng)力。這一結(jié)論適用于通常的非薄壁截面梁

29、（指厚壁截面梁及實(shí)心截面梁）。一般說來，非薄壁截面細(xì)長(zhǎng)梁橫力彎曲的強(qiáng)度計(jì)算可以只考查正應(yīng)力強(qiáng)度，不必考慮切應(yīng)力。但對(duì)于順紋方向抗剪強(qiáng)度差的材料如木制梁及切應(yīng)力較大的薄壁截面梁或短梁（跨度與梁的高度比小于5）則需同時(shí)進(jìn)行正應(yīng)力和切應(yīng)力的計(jì)算。例4.8 圖示懸臂梁由三塊膠合在一起，截面尺寸為：b=100mm，a=50mm。已知木材的s10MPa，t1MPa，膠合面的tj0.34Mpa試求許可荷載P。解：（1）由梁的抗拉強(qiáng)度確定的許可荷載P1 （a）（2）由梁的剪切強(qiáng)度確定的許可荷載P2， （3）由膠合面的剪切強(qiáng)度確定的許可荷載P3， 在三個(gè)荷載中選擇最小的，得膠合梁的許可荷載P=3.75kN。解題

30、指導(dǎo)：在上面膠合梁中假如膠合層發(fā)生破壞，則桿的彎曲特性隨之而改變，抗彎強(qiáng)度將會(huì)顯著降低。設(shè)三個(gè)梁接觸面間摩擦力甚小，每個(gè)梁可以自由彎曲，且彎曲曲率完全一樣。這時(shí)，可近似認(rèn)為每個(gè)梁上承擔(dān)的外力等于P/3，則每一梁的最大正應(yīng)力等于與式（a）比較，最大正應(yīng)力增加了三倍。例4.9 開口薄壁圓環(huán)壁厚t<<R，剪力Q的方向鉛垂向下。式求截面的彎曲中心位置。解：在環(huán)中心線上角q 處的切應(yīng)力可用書上相應(yīng)公式計(jì)算。截面對(duì)中性軸z的慣矩為IzptR3，而DB扇形面積對(duì)z軸的靜矩為切應(yīng)力微面積dARtdq 上的微剪力tdA對(duì)截面形心C的合力矩為設(shè)截面上切應(yīng)力的合力通過彎曲中心A。根據(jù)合力矩定理，合力Q對(duì)

31、C點(diǎn)之矩應(yīng)等于MC，即Q×eMCQ×2R，于是e2R，故彎曲中心A離截面形心C的距離為2R。解題指導(dǎo)：由結(jié)果可知，彎曲中心的位置與外力無關(guān)，因此彎曲中心是截面的幾何性質(zhì)?！緦?shí)戰(zhàn)訓(xùn)練】41 試求圖示各梁中截面11、22、33上的剪力和彎矩，這些截面無限接近截面C或截面D。設(shè)Fp、q、a為已知。答案：（a）FS10，F(xiàn)S2FP ，F(xiàn)S30 ，M1M2FPa ，M30 （b）FS1FS2qa ，F(xiàn)S30 ，M1M2qa2/2 ，M30 （c）FS1q0a/2，F(xiàn)S2q0a/12 ， M1M2qa2/6 （d）FS1qa，F(xiàn)S23qa /2 ， M1qa2/2 ，M22qa2 （e

32、）FS11333N，F(xiàn)S2667N，M1267N.m，M2333N.m（f）FS1FS2100 N，F(xiàn)S3200 N，M120N.m M2M340N.m  42 試列出圖示各梁的剪力方程和彎矩方程。作剪力圖和彎矩圖，并確定| Fs |max及| M |max值。 答案：（a）êFSïmax2ql ，êMïmax3ql2/2 ； （b）êFSïmaxql ，êMïmax3ql2/2 ；（c）êFSïmax5FP/3 ，êMïmax5 FP a/3

33、；（d）êFSïmax2qa ，êMïmax5ql2/2 ；（e）êFSïmax2FP ，êMïmaxFP a ；（f）êFSïmaxFP，êMïmaxFPa ；（g）êFSïmax2qa ，êMïmaxqa2 ；（h）êFSïmax3qa/8 ，êMïmax9qa2/128 ；（i）êFSïmax3Me/2a ，êMïmax3Me/2；（j）êF

34、Sïmaxqa ，êMïmaxqa2/2 ；（k）êFSïmax5qa/8 ，êMïmaxqa2/8 ；（l）êFSïmax3.5FP ，êMïmax2.5FPa ；（m）êFSïmaxqa ，êMïmaxqa2 ；（n）êFSïmaxqa/2 ，êMïmaxqa2/8 ；（o）êFSïmax30kN ，êMïmax15kN.m 43 試用簡(jiǎn)易法作圖示各梁的剪力圖和彎

35、矩圖，并確定| Fs |max及| M |max值，并用微分關(guān)系對(duì)圖形進(jìn)行校核。答案： （a）êFSïmax3qa/4 ，êMïmaxqa2/4 ；（b）êFSïmaxqa ，êMïmaxqa2 ；（c）êFSïmaxqa/2 ，êMïmaxqa2/8 ；（d）êFSïmax3Me/2l ，êMïmaxMe ；（e）êFSïmax5qa/3 ，êMïmax8qa2/9 ；（f）êFS&#

36、239;maxqa ，êMïmaxqa2 ；（g）êFSïmaxFP ，êMïmax3FPa ；（h）êFSïmax5ql/8 ，êMïmax3ql2/16 ；（i）êFSïmax3Me/2a ，êMïmax3Me/2 ；（j）êFSïmaxqa ，êMïmaxqa2 ；（k）êFSïmax3qa/2 ，êMïmaxqa2 ；（l）êFSïmaxqa ，&#

37、234;Mïmaxqa2/2；（m）êFSïmax5qa/3 ，êMïmax25qa2/18 ；（n）êFSïmaxqa ，êMïmax3qa2/4 ；（0）êFSïmaxq0a/2 ，êMïmaxq0a2/3 。44 設(shè)梁的剪力圖如圖所示。試作彎矩圖和荷載圖。已知梁上沒有作用集中力偶。45 試用疊加法繪出圖示各梁的彎矩圖答案： （a）MBAMBCqa2/2（上拉），（b）MDA0；MBDMBCFpa（上拉），（c）MRCBFpa，MLCB0，MAC2Fpa（上拉）

38、，（d）MCB2qa2，MAC3qa2（上拉），（e）MCAMCB3qa2/4（下拉），（f）MBAMBCqa2（上拉）。46 起吊一根自重為q N/m的等截面鋼筋混凝土桿，問吊裝時(shí)吊點(diǎn)的位置x應(yīng)為多少才合理(最不容易使桿折斷)？提示：使梁內(nèi)的最大正彎矩與最大負(fù)彎矩的絕對(duì)值相等。  答案：x（Ö21）l / 2。47 小車可以在梁上移動(dòng)，它的每個(gè)輪子對(duì)梁的作用力均為Fp ，試分析小車處于什么位置時(shí)梁內(nèi)的彎矩最大（以x表示梁上小車的位置）。答案： xl / 2c / 448 圖示傳動(dòng)軸，軸上之斜齒輪A上受有三個(gè)相互垂直的嚙合力FPa 650 N ，F(xiàn)Pt 650 N

39、 ，F(xiàn)Pr 173 N ，方向如圖所示。圖中D 50 mm ，l 100 mm 。試?yán)L出傳動(dòng)軸BC的內(nèi)力圖，并求其最大彎矩值。答案： êMïmax36.6N.m。49 受均布荷載的簡(jiǎn)支梁如圖所示，試計(jì)算：（1）11截面AA線上1、2兩點(diǎn)的正應(yīng)力；（2）此截面上的最大正應(yīng)力。答案： s（1）s（2）61.7MPa（壓），smax92.6MPa410 厚度為d 1.5mm的鋼帶，卷成直徑為D3m的圓環(huán)，求此時(shí)鋼帶橫截面上的最大正應(yīng)力。已知鋼的彈性模量E210GPa 。答案： smax105MPa。411 簡(jiǎn)支梁承受均布荷載q2kN/m ，梁跨度l2m ，如圖示。若分別采用截面面

40、積相等的實(shí)心和空心圓截面，如實(shí)心圓的直徑D140mm ，空心圓內(nèi)、外徑比ad2/D23/5，試分別計(jì)算他們的最大正應(yīng)力，并問空心截面比實(shí)心截面的最大正應(yīng)力減少了百分之幾？答案：實(shí)心的smax159MPa；空心的smax93.6MPa，空心比實(shí)心圓截面的最大正應(yīng)力減少了41。412 我國營造法式中，對(duì)矩形截面梁給出的尺寸比例是h：b3：2 。試用彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度證明：從圓木鋸出的矩形截面，上述尺寸比例接近最佳比值。答案： h / bÖ21.41與3 / 2接近。413 鑄鐵梁的荷載及截面尺寸如圖所示。已知許用拉應(yīng)力s t 40 Mpa ，許用壓應(yīng)力s c 160 Mpa ，試按正應(yīng)力強(qiáng)度

41、條件校核梁的強(qiáng)度。若荷載不變，但將截面倒置，是否合理，為什么？答案：stmax26.4MPa<st ，scmax52.8MPa<sc，安全。414 由三根木條膠合而成的懸臂梁，截面尺寸如圖所示，跨度l1m ，若膠合面上的t g 0.34 MPa ，木材的 s w 10MPa ， t w 1 Mpa ，試求許可荷載Fp值。答案：FP3.7kN。415 圖示一由No.16工字鋼制成的簡(jiǎn)支梁，跨中作用著集中荷載FP 。在截面CC處梁的下邊緣上，用標(biāo)距s20mm的應(yīng)變儀量得縱向伸長(zhǎng)Ds0.008mm 。已知梁的跨度l1.5m ，a1m ，彈性模量E210GPa 。試求Fp力的大小。

42、0; 答案：FP47.4kN。 第五章 梁彎曲時(shí)的位移【重點(diǎn)難點(diǎn)】1）積分法是求解梁變形的基本方法。注意梁的撓曲線微分方程是建立在以梁左端為坐標(biāo)軸原點(diǎn)，x軸向右為正，y軸向上為正的坐標(biāo)系上。如使用不同坐標(biāo)系，必須注意正負(fù)號(hào)。2）積分法求梁變形時(shí)，需注意正確利用撓曲線光滑連續(xù)特性尋找確定積分常數(shù)的條件。3）對(duì)于一些荷載未知，但曲率已知的情況，可利用公式(8-3) 求解。4）為提高梁的彎曲剛度，可以選擇彈性模量高的材料。但需注意，各種鋼材極限應(yīng)力差別較大，但它們的彈性模量卻相當(dāng)接近，選用優(yōu)質(zhì)鋼材只能提高梁的強(qiáng)度并不能提高剛度。5）卡氏第二定理適用于求解線彈性桿（或結(jié)構(gòu)）在小變形下的任意截

43、面和方向的位移。不但能夠處理直桿，還可以計(jì)算曲桿的位移?！玖?xí)題解析】例5.1 用積分法求圖所示梁撓曲線方程時(shí)，要分幾段積分？將出現(xiàn)幾個(gè)積分常數(shù)？列出確定其積分常數(shù)條件。（彈簧剛度為k）解：（a）分兩段積分，1. AC段，2.CB段。4個(gè)積分常數(shù)。邊界條件：vA=0，vB= RB/ k (RB 為B點(diǎn)支反力)連續(xù)條件：vC1vC2 q C1qC2（b）分三段積分，1. AD段，2.DC段，3.CB段。6個(gè)積分常數(shù)。邊界條件：vA=0，q A=0，vB=0，連續(xù)條件：vD1yD2， q D1q D2，vC2yC3。  解題指導(dǎo)：（1）在荷載突變處、中間約束處、截面變化處（慣性矩I突變處）

44、及材料變化處（彈性模量E值突變處）均應(yīng)作為分段積分的分段點(diǎn)。（2）中間鉸鏈連接了兩根梁，也應(yīng)作為分段點(diǎn)。（3）各分段點(diǎn)處都應(yīng)列出連續(xù)條件，中間鉸鏈只限制了兩梁在該點(diǎn)的相對(duì)位移，不能限制轉(zhuǎn)動(dòng)，故只有一個(gè)撓度連續(xù)條件。例5.2 變截面簡(jiǎn)支梁受到集中力P的作用，如圖 (a)所示，試用疊加法計(jì)算梁自由端B處的撓度vB和轉(zhuǎn)角q B。解：由于梁在C截面處截面尺寸發(fā)生變化，須分兩段計(jì)算變形，再進(jìn)行疊加。首先將梁沿截面變化處C截開，把CB段梁暫時(shí)看作是在C處固支的懸臂梁（圖 (b)），利用材料力學(xué)教材上的典型梁變形表可得B點(diǎn)位移：（ ）， （）再求AC段C截面位移。將外力P向C點(diǎn)平移，C點(diǎn)受兩個(gè)外力：集中力P

45、和集中力偶Pl/2。查表可得注意梁CB段的C截面是固定在梁AC段的C截面上，AC段C截面的位移必然會(huì)牽動(dòng)CB段，因此將梁CB段下移vC，再使整個(gè)CB段轉(zhuǎn)動(dòng)qC角，則CB段即與圖 (c)的AC段銜接而得到整個(gè)梁的變形，如圖 (d)。在此拼合過程中B點(diǎn)又獲得額外的轉(zhuǎn)角qB2和撓度vB2，由圖c可知于是B端的撓度和轉(zhuǎn)角為解題指導(dǎo)：此例題設(shè)所給出的結(jié)構(gòu)無法由手冊(cè)或表格中查到，因此對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了分解，將其等效化處理為可查表結(jié)構(gòu)，然后再對(duì)結(jié)構(gòu)疊加。疊加原理，即可以用于荷載的疊加，也可以用于結(jié)構(gòu)的疊加。【實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練】51 具有中間鉸的梁受力如圖所示。試畫出撓度曲線的大致形狀，并說明積分常數(shù)如何確定。52 變截面

46、懸臂梁受力如圖所示。試寫出其撓曲線的近似微分方程，并說明積分常數(shù)如何確定。53 試用疊加法求圖示各梁截面A的撓度和截面B的轉(zhuǎn)角。EI為已知常數(shù)。答案： （a）wA5ql4 / 768EI（¯） ，（b）wAqa4 / 8EI（¯），qB0 ，（c）wAql4 / 16EI（­），qBql3/ 12EI（逆時(shí)針）（d）wA3FPl3 / 76EI（¯），qB3ql2/ 8EI（逆時(shí)針）（e）wA41qa4 / 24EI（¯），qB3qa3/ 4EI（逆時(shí)針）（f）wA0，qBql3/ 72EI（順時(shí)針）54 試用疊加法確定圖示梁在中間鉸B處的撓度

47、wB及FP力作用點(diǎn)的位移wD 。設(shè)AB和BC兩梁的EI相同。答案： wBqb4 / 8EI2FPb3/9 EI（¯）， wDqb4 / 12EI4FP（a3/9 b3）/27EI（¯）。55 圖示梁，右端C由拉桿吊起。已知梁的截面為200mm×200mm的正方形，材料的E110GPa ，拉桿的截面積為A2500mm2 ，其E2200GPa ，試用疊加法求梁跨中截面D的垂直位移。答案： wD6.37mm（¯）56 圖示一懸臂的工字鋼梁，長(zhǎng)l4m ，在自由端作用集中力FP10kN ，已知鋼的s 170 MPa ，t 100 MPa ，E210GPa ，梁的許

48、用撓度wl / 400 ，試按強(qiáng)度和剛度條件選擇工字鋼型號(hào)。答案：選用No.32a工字鋼。 第六章 簡(jiǎn)單的超靜定問題【習(xí)題解析】例61 平行桿系1、2、3懸吊著剛性橫梁AB如圖a所示。在橫梁上作用著荷載G。如桿1、2、3的截面積、長(zhǎng)度、彈性模量均相同，分別為A、l、E。試求三根桿的軸力N1、N2、N3。解：設(shè)在荷載G作用下，橫梁移動(dòng)到A¢B¢位置（圖b），則桿1的縮短量為Dl1，而桿2、3的伸長(zhǎng)量為Dl2、Dl3。取橫梁AB為分離體，如圖c，其上除荷載G外，還有軸力N1、N2、N3以及X。由于假設(shè)1桿縮短，2、3桿伸長(zhǎng)，故應(yīng)將N1設(shè)為壓力，而N2、N3設(shè)為拉力。(1) 平衡

49、方程 （a）三個(gè)平衡方程中包含四個(gè)未知力，故為一次超靜定問題。(2) 變形幾何方程 由變形關(guān)系圖2-8b可看出B1B¢2C1C¢，即 ，或 (b)(3) 物理方程 (c)  將(c)式代入(b)式，然后與(a)式聯(lián)立求解，可得解題指導(dǎo)：在解超靜定問題中：假定各桿的軸力是拉力、還是壓力，要以變形關(guān)系圖中各桿是伸長(zhǎng)還是縮短為依據(jù)，兩者之間必須一致。經(jīng)計(jì)算三桿的軸力均為正，說明正如變形關(guān)系圖中所設(shè)，桿2、3伸長(zhǎng)，而桿1縮短。例62：試解圖所示的超靜定梁。解：（1）選擇靜定基：以B點(diǎn)約束作為多余約束，將其除去，代之以約束反力RB，稱之為靜定基，如圖8-6(b)。(2) 變

50、形協(xié)調(diào)條件：多余約束B處梁的撓度應(yīng)有: vB0。 (3)利用疊加法求vB 。對(duì)應(yīng)圖 (b)應(yīng)有：vBRvBP0 (a) 查表得（），（）將vBR、vBP代入式（a）解出 解題指導(dǎo)：用變形比較法求解超靜定梁，可以選擇不同的靜定基，以便于求解為準(zhǔn)。例如此例也可以選擇A端的轉(zhuǎn)角約束作為多余約束，其靜定基如圖8-7所示。【實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練】61 圖示一階梯形桿，上端固定，下端與剛性底面留有空隙D0.08mm ，A14000mm2 ，E1100GPa ，A22000mm2 ，E2200GPa 。在兩段交界處，受向下的軸向荷載FP ，問：（1）FP力等于多少時(shí)，下端的空隙恰好消失？（2）當(dāng)FP500kN

51、時(shí)，各段內(nèi)的應(yīng)力值為多少？答案：（1）FP32kN ；（2）s（1）86MPa，s（2）78MPa。62 兩根材料不同但截面尺寸相同的桿件，同時(shí)固定聯(lián)接于兩端的剛性板上，且E1>E2 。若要使兩桿都發(fā)生均勻拉伸，試求拉力FP的偏心距e 。 答案： eb（E1E2）/2（E1E2）。63 圖示一階梯形桿AB，其兩端部分的橫截面積為A1500mm2 ，中間部分的橫截面積為A21000mm2 ，試確定當(dāng)軸向荷載FP250kN時(shí)，在桿的中間部分的應(yīng)力。若已知該桿材料的線脹系數(shù)a 20×106 1/ 0C ，彈性模量E1000GPa 。問要使桿中間部分的應(yīng)力恰好為零時(shí)，需要使桿

52、的溫度降低多少度？  答案： s中143MPa，降低Dt100C。64 銅桿1、2、3的面積A200mm2 ，長(zhǎng)度l1m ，彈性模量E200GPa ，若在制造時(shí)桿3短了d0.8mm ，試計(jì)算安裝后桿1、2、3中的內(nèi)力。答案： FN1FN35.33kN（拉） ，F(xiàn)N210.67kN（壓）。65 圖示結(jié)構(gòu)1、2桿的抗拉剛度E1A1E2A2 ，3桿的抗拉剛度E3A3 ，3桿由于制造誤差短了d ，試求1、2、3桿的裝配內(nèi)力。答案： FN1FN2E3A3d / l2cosa（E3A3 / E1A1cos2a）（壓） FN3E3A3d / l1（E3A3 / 2E1A1cos3a）（拉

53、） 第七章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論【重點(diǎn)難點(diǎn)】（1）截取原始單元體時(shí)，應(yīng)取兩個(gè)橫截面為其中一對(duì)平面，因?yàn)闄M截面上的應(yīng)力可用已知的公式計(jì)算。（2）平面應(yīng)力狀態(tài)下，過一點(diǎn)的所有截面中，必有一對(duì)主平面和一對(duì)與主平面夾角為45º的主切應(yīng)力截面。（3）平面應(yīng)力狀態(tài)下得到的兩個(gè)主應(yīng)力排序時(shí)要注意到還有一個(gè)零主應(yīng)力。（4）在平面應(yīng)力狀態(tài)中，任意兩個(gè)相互垂直截面上的正應(yīng)力之和等于常數(shù)。（5）平面應(yīng)力狀態(tài)下有兩個(gè)主方向，其最大主應(yīng)力作用線所在的象限一定是兩相互垂直截面上切應(yīng)力箭頭所對(duì)應(yīng)的象限，其正應(yīng)力的大小和指向僅影響主方向角的大小。（6）平面應(yīng)力狀態(tài)下得到的最大切應(yīng)力是垂直于零主應(yīng)力面所有截面上切應(yīng)力的

54、最大值，并不一定是該點(diǎn)的最大的切應(yīng)力，只有按公式計(jì)算的切應(yīng)力才是最大切應(yīng)力。（7）用應(yīng)力圓分析平面應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，應(yīng)注意應(yīng)力圓上的參考點(diǎn)是對(duì)應(yīng)于x截面的A點(diǎn)。（8）應(yīng)力圓和單元體相互對(duì)應(yīng)，應(yīng)力圓上的一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于單體的一個(gè)面，應(yīng)力圓一點(diǎn)的坐標(biāo)為單元體相應(yīng)截面上的應(yīng)力值，應(yīng)力圓上的兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的圓心角是單元體上這兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)截面的外法線夾角的兩倍，這兩個(gè)角的轉(zhuǎn)向相同。應(yīng)力圓與單元體之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可總結(jié)為“點(diǎn)面對(duì)應(yīng)、轉(zhuǎn)向相同、夾角兩倍?！薄玖?xí)題解析】例7.1 試畫出圖所示簡(jiǎn)支梁A點(diǎn)處的原始單元體。解：（1）原始單元體要求其六個(gè)截面上的應(yīng)力應(yīng)已知或可利用公式直接計(jì)算，因此應(yīng)選取如下三對(duì)平面：A點(diǎn)左右側(cè)的橫

55、截面，此對(duì)截面上的應(yīng)力可直接計(jì)算得到；與梁xy平面平行的一對(duì)平面，其中靠前的平面是自由表面，所以該對(duì)平面應(yīng)力均為零。再取A點(diǎn)偏上和偏下的一對(duì)與xz平行的平面。截取出的單元體如圖 (d)所示。(2)分析單元體各面上的應(yīng)力。A點(diǎn)偏右橫截面的正應(yīng)力和切應(yīng)力如圖 (b)、(c)所示，將A點(diǎn)的坐標(biāo)x、y代入正應(yīng)力和切應(yīng)力公式得A點(diǎn)單元體左右側(cè)面的應(yīng)力為：、；由切應(yīng)力互等定律，知單元體的上下面有切應(yīng)力t；前后邊面為自由表面，應(yīng)力為零。在單元體各面上畫上應(yīng)力，得到A點(diǎn)單元體如圖 (d)。解題指導(dǎo)：原始單元體各截面的應(yīng)力應(yīng)已知或可直接計(jì)算得到。一般用橫截面和平行坐標(biāo)平面的截面截取原始單元體。例7.2 試求圖

56、(a)所示的單元體的（1）圖示斜截面上的應(yīng)力;（2）主方向和主應(yīng)力，畫出主單元體;（3）主切應(yīng)力作用平面的位置及該平面上的正應(yīng)力，并畫出該單元體。解：（1）求斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力：（2）求主方向及主應(yīng)力： 由切應(yīng)力方向知，最大主應(yīng)力在第一象限中，對(duì)應(yīng)的角度為。則主應(yīng)力由可解出因有一個(gè)為零的主應(yīng)力，因此畫出主單元體如圖 (b)。（3）主切應(yīng)力作用面的法線方向 主切應(yīng)力為此兩截面上的正應(yīng)力為 主切應(yīng)力單元體如圖9-9（c）所示。由，可以驗(yàn)證上述結(jié)果的正確性。解題指導(dǎo)：（1）圖（a）、（b）、（c）所示的單元體表示的均是同一點(diǎn)處的應(yīng)力狀況，是對(duì)一點(diǎn)處應(yīng)力狀態(tài)的不同描述方式。（2）正確使用平面應(yīng)力狀態(tài)分析公式的關(guān)鍵是正確地