關(guān)于1^2+2^2+3^2+…+n^2的多種推導(dǎo)證明方法

1、湘西州花垣縣邊城高級(jí)中學(xué)-張秀洲在數(shù)列教學(xué)過程中，大家都能熟練掌握前n個(gè)自然數(shù)的平方和公式：2222211234(1)(21)6nsnn nn，但多數(shù)學(xué)生不知道如何去證明與推導(dǎo)，為了能讓學(xué)生了解書本知識(shí)，并能有所拓展，特總結(jié)如下幾種證明方法，一方面解決學(xué)生的疑惑，另一方面能使學(xué)生舉一反三，有所創(chuàng)新。在和學(xué)生探討證明方法時(shí)，許多學(xué)生想到了用數(shù)學(xué)歸納法。方法一：數(shù)學(xué)歸納法當(dāng)1n時(shí)，左邊 =211，右邊=11 (1 1)(21 1)16左邊=右邊1n時(shí)，原式成立 . 當(dāng)2n時(shí)，左邊 =221 +25，右邊 =12 (21)(221)56左邊=右邊2n時(shí)，原式成立 . 假設(shè)nk時(shí)，22221123(1

2、)(21)6kk kk成立，則1nk時(shí)，左邊=右邊1nk時(shí)，原式成立 . 對(duì)任意nn，2222211234(1)(21)6nsnn nn都成立。數(shù)學(xué)歸納法步驟簡(jiǎn)單、計(jì)算方便。但是，歸納法只適用于知道了這個(gè)公式 “ 長(zhǎng)什么樣 ” 后進(jìn)行理論證明 .當(dāng)初第一個(gè)推導(dǎo)出這個(gè)公式的人,肯定不是用歸納法,而是通過等式左邊的222221234n,一步步把右邊的1(1)(21)6n nn“ 從無到有 ” 地推算出來的 . 方法二：觀察規(guī)律法記22222212( )12345,( )12345s nn snnn 1 2 3 4 5 n 1 3 6 10 15 1 5 14 30 55 ? 發(fā)現(xiàn)規(guī)律n 1 2 3

3、 4 5 n 方法三：代數(shù)推導(dǎo)法由公式33223()33abaa babb，得33322333322332333223323332233233321(01)030130 1112(1 1)13 113 1 1113 13 1 13(21)23213 2 1123 23214(31)333133 1133333 1(1 1)(1)3(1)13(1) 1nnnnn23323321(1)3(1)3 (1)1(1)331nnnnnnn將以上 n+1 個(gè)等式累加，得：方法四：巧用 “ 1”法方法五：構(gòu)造法（利用組合公式11mmmnnnccc）把上述 n 個(gè)等式累加得：方法六：平面幾何法圖中有 n 個(gè)正方

4、形（邊長(zhǎng)每次加 1）(我只畫出 5 個(gè))，都置于圖中最大的矩形中。矩形的寬即 n，矩形的長(zhǎng)：2(1)12322n nnnn矩形面積：23222nnnnn左下部空余部分（矩形與全部正方形的差）可以分為n-1 條。每條寬度均為 1。從上向下數(shù)第i 條長(zhǎng)度=1+2+3+ i=2(1)22i iii則第 i 條面積也為22ii。所有 n-1 條的總面積：為便于書寫，記 12+22+32+ n2=t2顯然，大矩形面積 =全部正方形面積 +空余部分面積，則即：22222(1)(21)12346n nnn方法七：三角陣法此三角陣中各項(xiàng)和為：222221234n再逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60 ：此三角陣中各項(xiàng)和為：222221234n再逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60 ：此三角陣中各項(xiàng)和為：222221234n將這 3 個(gè)三角陣相加： 21n21n這個(gè)三角陣有(1)2n n項(xiàng)，則這三個(gè)三角陣的和為：(1)(21)2n nn. 又因?yàn)榍叭齻€(gè)三角陣中各項(xiàng)的和相等，則每個(gè)三角陣中各項(xiàng)和為：(1)(21)6n nn即22222(1)(