向量與三角形內(nèi)心、外心、重心、垂心知識的交匯

1、1 / 4 向量與三角形內(nèi)心、外心、重心、垂心知識的交匯一、四心的概念介紹（1）重心中線的交點：重心將中線長度分成2：1；（2）垂心高線的交點：高線與對應(yīng)邊垂直；（3）內(nèi)心角平分線的交點（內(nèi)切圓的圓心）：角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等；（4）外心中垂線的交點（外接圓的圓心）：外心到三角形各頂點的距離相等。二、四心與向量的結(jié)合（1）0ocoboao是abc的重心 . 證法 1：設(shè)),(),(),(),(332211yxcyxbyxayxo0ocoboa0)()()(0)()()(321321yyyyyyxxxxxx33321321yyyyxxxxo是abc的重心 . 證法 2：如圖ocob

2、oa02odoaodao2doa、三點共線，且o分ad為 2： 1 o是abc的重心（2）oaococoboboao為abc的垂心 . 證明：如圖所示o 是三角形abc 的垂心， be 垂直 ac，ad 垂直 bc ， d、e 是垂足 . 0)(caobocoaobocoboboaacob同理bcoa，aboco為abc的垂心（3）設(shè)a,b,c是三角形的三條邊長，o 是abc 的內(nèi)心ooccobboaa0為abc的內(nèi)心 . 證明：baccab、分別為acab、方向上的單位向量，baccab平分bac, oabcde2 / 4 (aobaccab)，令cbabccbabcao（baccab) 化

3、簡得0)(accabboacba0occobboaa（4）ocoboao為abc的外心。典型例題：例 1 ：o是平面上一定點，cba、是平面上不共線的三個點，動點p滿足)(acaboaop，,0，則點p的軌跡一定通過abc的（）a外心b內(nèi)心c重心d 垂心分析：如圖所示abc，ed、分別為邊acbc、的中點 . adacab2adoaop2apoaopadap2ap/ad點p的軌跡一定通過abc的重心，即選c. 例 2： （03 全國理 4）o是平面上一定點，cba、是平面上不共線的三個點，動點p滿足)(acacababoaop，,0，則點p的軌跡一定通過abc的（b ）a外心b內(nèi)心c重心d 垂

4、心分析：acacabab、分別為acab、方向上的單位向量，acacabab平分bac, 點p的軌跡一定通過abc的內(nèi)心，即選b. 例 3 ：o是平面上一定點，cba、是平面上不共線的三個點，動點p滿足abcde3 / 4 )coscos(cacacbababoaop，,0，則點p的軌跡一定通過abc的（）a外心b內(nèi)心c重心d 垂心分析：如圖所示ad 垂直 bc ，be 垂直 ac ， d、e 是垂足. )coscos(cacacbababbc=cacbcacbabbcabcoscos=caccbcacbabbbcabcoscoscoscos=bc+bc=0 點p的軌跡一定通過abc的垂心，即

5、選d. 練習(xí)：1已知abc三個頂點cba、與平面內(nèi)一點p，滿足0pcpbpa，若實數(shù)滿足：apacab，則的值為（）a2 b23c3 d 6 2若abc的外接圓的圓心為o，半徑為 1，0ocoboa， 則oboa( ) a21b0 c1 d213 點o在abc內(nèi)部且滿足022ocoboa，則abc面積與凹四邊形aboc面積之比是（）a0 b23c45d344abc的外接圓的圓心為o，若ocoboaoh，則h是abc的（）a外心b內(nèi)心c重心d 垂心5o是平面上一定點，cba、是平面上不共線的三個點，若222obbcoa222abocca，則o是abc的（）abcde4 / 4 a外心b內(nèi)心c重心d 垂心6abc的外接圓的圓心為o， 兩條邊上的高的交點為h，)(ocoboamoh，則實數(shù) m = 7 （06xx ） 已知非零向量 ab與ac滿足 (ab|ab|+ac|ac|) bc=0 且ab|ab|ac|ac|=12, 則abc 為( ) a三邊均不相等的三角形b直角三角形c等腰非等邊三角形d 等邊三角形8已知abc三