醫(yī)學(xué)高等數(shù)學(xué)：理論10-矩陣

1、 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa221122222121112121111. 線性方程組線性方程組的解取決于的解取決于 , 2 , 1,njiaij 系數(shù)系數(shù) n,ibi21 常數(shù)項(xiàng)常數(shù)項(xiàng) nnnnnnnbaaabaaabaaa21222221111211對(duì)線性方程組的對(duì)線性方程組的研究可轉(zhuǎn)化為對(duì)研究可轉(zhuǎn)化為對(duì)這張表的研究這張表的研究.線性方程組的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)按原位置可排為線性方程組的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)按原位置可排為2. 某航空公司在某航空公司在A,B,C,D四四城市之間開辟了若干航線城市之間開辟了若干航線 ,如圖所示表示了四城市間的如圖所示表示了四城市間的航班圖航班

2、圖,如果從如果從A到到B有航班有航班,則用帶箭頭的線連接則用帶箭頭的線連接 A 與與B.ABCD四城市間的航班圖情況常用表格來表示四城市間的航班圖情況常用表格來表示:發(fā)站發(fā)站到站到站ABCDABCD其中其中 表示有航班表示有航班.為了便于計(jì)算為了便于計(jì)算,把表中的把表中的 改成改成1,空白地方填上空白地方填上0,就得到一個(gè)數(shù)表就得到一個(gè)數(shù)表:1111111000000000這個(gè)數(shù)表反映了四城市間交通聯(lián)接情況這個(gè)數(shù)表反映了四城市間交通聯(lián)接情況.ABCDABCD 由由 個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)排成的排成的 行行 列的數(shù)表列的數(shù)表nm mn njmiaij, 2 , 1;, 2 , 1 mnmmnnaaaaaaaa

3、a212222111211稱為稱為 矩陣矩陣. .簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱 矩陣矩陣. .nm nm 記作記作 mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為 .ijnmijnmaaAA .mnA這這個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)稱稱為為的的元元素素主對(duì)角線主對(duì)角線副對(duì)角線副對(duì)角線例如例如 34695301是一個(gè)是一個(gè) 實(shí)矩陣實(shí)矩陣,42 421是一個(gè)是一個(gè) 矩陣矩陣,13 9532是一個(gè)是一個(gè) 矩陣矩陣,41 4是一個(gè)是一個(gè) 矩陣矩陣.11 例如例如2222221613是一個(gè)是一個(gè)3 階方陣階方陣.幾種特殊矩陣幾種特殊矩陣(2)(2)只有一行的矩陣只有一行的矩陣 ,21naaaA 稱為稱為行矩陣行矩陣( (

4、或或行向量行向量) ).(1)(1)行數(shù)與列數(shù)都等于行數(shù)與列數(shù)都等于 的矩陣的矩陣 ，稱為，稱為 階階nnA.nA方陣方陣. .也可記作也可記作,21 naaaB只有一列的矩陣只有一列的矩陣稱為稱為列矩陣列矩陣( (或或列向量列向量).). 稱為稱為( (或或）. n 00000021（3）形如形如 的方陣的方陣, ,OO不全為不全為0 （4）元素全為零的矩陣稱為元素全為零的矩陣稱為零矩陣零矩陣， 零零矩陣記作矩陣記作 或或 . .nm nmo o注意注意 .00000000000000000000 不同階數(shù)的零矩陣是不相等的不同階數(shù)的零矩陣是不相等的.例如例如記作記作 .,21ndiagA

5、(5)方陣方陣100010001nII 稱為稱為單位矩陣單位矩陣（或（或單位陣單位陣）.(.(部分教科書記部分教科書記I I為為E)E) 同型矩陣與矩陣相等的概念同型矩陣與矩陣相等的概念 1.1.兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等, ,列數(shù)相等時(shí)列數(shù)相等時(shí), ,稱為稱為同同型矩陣型矩陣.全為全為1 2. 2.兩個(gè)矩陣兩個(gè)矩陣 為為同型矩陣同型矩陣,并且并且對(duì)應(yīng)元素相等對(duì)應(yīng)元素相等,即即 ijijbBaA與與 , 2 , 1;, 2 , 1njmibaijij 則則稱稱矩陣矩陣 相等相等,記作記作BA與與.BA 例如例如 9348314736521與與為為同型矩陣同型矩陣.例例1之之個(gè)變量個(gè)變

6、量與與個(gè)變量個(gè)變量mnyyymxxxn,2121間的關(guān)系式間的關(guān)系式 .,22112222121212121111nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay的的到變量到變量表示一個(gè)從變量表示一個(gè)從變量mnyyyxxx,2121線性變換線性變換.為常數(shù)為常數(shù)其中其中ija .,22112222121212121111nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣線性變換與矩陣之間存在著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系線性變換與矩陣之間存在著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系. .若線性變換為若線性變換為 nnxyxyxy,221

7、1稱之為稱之為恒等變換恒等變換. . nnxyxyxy,2211對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng) 100010001 單位陣單位陣. .線性變換線性變換 .cossin,sincos11yxyyxx 對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng) cossinsincosXYO yxP, 111, yxP這是一個(gè)以原點(diǎn)為中心這是一個(gè)以原點(diǎn)為中心旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn) 角的角的旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換. 例例2 設(shè)設(shè),131,213321 zyxBA.,zyxBA求求已知已知 解解,BA . 2, 3, 2 zyx(1)(1)矩陣的概念矩陣的概念 mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211列的一個(gè)數(shù)表列的一個(gè)數(shù)表行行nm(2) 特殊矩陣特殊矩陣 方陣方陣 ;nm

8、行矩陣與列矩陣行矩陣與列矩陣;單位矩陣單位矩陣; ;零矩陣零矩陣.100010001 ,21 naaaB ,21naaaA n 00000021矩陣與行列式的有何區(qū)別矩陣與行列式的有何區(qū)別? ? 矩陣與行列式有本質(zhì)的區(qū)別，行列式是一個(gè)矩陣與行列式有本質(zhì)的區(qū)別，行列式是一個(gè)算式算式，一個(gè)數(shù)字行列式經(jīng)過計(jì)算可求得其值，而，一個(gè)數(shù)字行列式經(jīng)過計(jì)算可求得其值，而矩陣僅僅是一個(gè)矩陣僅僅是一個(gè)數(shù)表數(shù)表，它的行數(shù)和列數(shù)可以不同它的行數(shù)和列數(shù)可以不同.7.2.2 7.2.2 矩陣矩陣的運(yùn)算的運(yùn)算w一、矩陣的加法w二、數(shù)與矩陣相乘w三、矩陣與矩陣相乘w四、矩陣的其他運(yùn)算w五、小結(jié)、思考題、定義、定義 mnmnm

9、mmmnnnnbababababababababaBA221122222221211112121111設(shè)有兩個(gè)設(shè)有兩個(gè) 矩陣矩陣 那末矩陣那末矩陣 與與 的和記作的和記作 ，規(guī)定為，規(guī)定為nm ,bB,aAijij ABBA 說明說明 只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算行加法運(yùn)算.例如例如 1234569818630915312 1826334059619583112.98644741113 2 2、 矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律 ;1ABBA .2CBACBA mnmmnnaaaaaaaaaA1122221112113 ., 04BABAA

10、A ,ija .負(fù)矩陣負(fù)矩陣的的稱為矩陣稱為矩陣A1 1、定義、定義.112222111211 mnmmnnaaaaaaaaaAA 規(guī)定為規(guī)定為或或的乘積記作的乘積記作與矩陣與矩陣數(shù)數(shù), AAAAA數(shù) 和矩陣 的乘積，與數(shù) 和行列式 的乘積的區(qū)別 ;1AA ;2AAA .3BABA 2 2、數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律、數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來, ,統(tǒng)稱為矩陣的統(tǒng)稱為矩陣的線線性運(yùn)算性運(yùn)算. .（設(shè)（設(shè) 為為 矩陣，矩陣， 為數(shù)）為數(shù)） ,nm BA、定義、定義 skkjiksjisjijiijbabababac12211 , 2 , 1;, 2 , 1njmi

11、 并把此乘積記作并把此乘積記作.ABC 設(shè)設(shè) 是一個(gè)是一個(gè) 矩陣，矩陣， 是一個(gè)是一個(gè) 矩陣，那末規(guī)定矩陣矩陣，那末規(guī)定矩陣 與矩陣與矩陣 的乘積的乘積是一個(gè)是一個(gè) 矩陣矩陣 ，其中，其中 ijaA sm ijbB ns nm ijcC AB例例222263422142 C22 16 32 816設(shè)設(shè) 415003112101A 121113121430B例例2 2?故故 121113121430415003112101ABC. 解解 ,43 ijaA ,34 ijbB .33 ijcC5 671026 2 17 10注意注意只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)

12、矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘. 106861985123321例如例如 123321 132231 .10 不存在不存在.、矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律、矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律 ;1BCACAB ,2ACABCBA ;CABAACB BABAAB 3（其中（其中 為數(shù)）為數(shù)）; 4;AIIAA 若若A是是 階矩陣，則階矩陣，則 為為A的的 次冪，即次冪，即 并且并且 5nkAk 個(gè)個(gè)kkAAAA ,AAAkmkm .mkkmAA 為為正正整整數(shù)數(shù)k,m注意注意矩陣不滿足交換律，即：矩陣不滿足交換律，即：,BAAB .BAABkkk 例例 設(shè)設(shè) 1111A 1111B則則,0000

13、 AB,2222 BA.BAAB 故故但也有例外，比如設(shè)但也有例外，比如設(shè),2002 A,1111 B則有則有, AB22 2 2 BA22 2 2.BAAB 例例3 3 計(jì)算下列乘積：計(jì)算下列乘積： 21322 1 解解 213221 12 22 12 22 13 23 .634242 解解 0010010010012A.002012222 .001001kAA求求設(shè)設(shè) 例例4 4 00100100201222223AAA 32323003033 由此歸納出由此歸納出 200021121 kkkkkAkkkkkkk 4324434460400A 用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)當(dāng) 時(shí)，顯然

14、成立時(shí)，顯然成立.2 k假設(shè)假設(shè) 時(shí)成立，則時(shí)成立，則 時(shí)，時(shí)，nk 1 nk ,001001000211211 nnnnnnnnnnnnAAA所以對(duì)于任意的所以對(duì)于任意的 都有都有k .00021121 kkkkkkkkkkkA ,00102111111 nnnnnnnnnn 定義定義 把矩陣把矩陣 的行換成同序數(shù)的列得到的的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做新矩陣，叫做 的轉(zhuǎn)置矩陣，記作的轉(zhuǎn)置矩陣，記作 . AAA例例,854221 A;825241 TA ,618 B.618 TB、轉(zhuǎn)置矩陣、轉(zhuǎn)置矩陣轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì)轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì) ;1AATT ;2TTTBABA ;3TTAA .

15、4TTTABAB 例例5 5 已知已知,102324171,231102 BA .TAB求求解法解法1 102324171231102AB,1013173140 .1031314170 TAB解法解法2 TTTABAB 213012131027241.1031314170 2、方陣的行列式、方陣的行列式定義定義 由由 階方陣階方陣 的元素所構(gòu)成的行列式，的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣叫做方陣 的行列式，記作的行列式，記作 或或nAAA.det A 8632A例例8632 A則則. 2 運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算性質(zhì) ;1AAT ;2AAn ;3BAAB .BAAB 3、對(duì)稱陣與伴隨矩陣、對(duì)稱陣與伴隨矩陣定義

16、定義設(shè)設(shè) 為為 階方陣，如果滿足階方陣，如果滿足 ，即，即那末那末 稱為稱為對(duì)稱陣對(duì)稱陣.AnTAA n,j , iaajiij21 A.A為對(duì)稱陣為對(duì)稱陣?yán)缋?6010861612.稱稱為為反反對(duì)對(duì)稱稱的的則則矩矩陣陣如如果果AAAT 對(duì)稱陣的元素以主對(duì)角線為對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)相對(duì)稱陣的元素以主對(duì)角線為對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)相 等等.說明說明定義定義 行列式行列式 的各個(gè)元素的代數(shù)余子式的各個(gè)元素的代數(shù)余子式 所所構(gòu)成的如下矩陣構(gòu)成的如下矩陣AijA nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111性質(zhì)性質(zhì)AAA AA I稱為矩陣稱為矩陣 的的伴隨矩陣伴隨矩陣.A矩陣運(yùn)算矩陣運(yùn)算 加法加法數(shù)與矩陣相

17、乘數(shù)與矩陣相乘矩陣與矩陣相乘矩陣與矩陣相乘轉(zhuǎn)置矩陣轉(zhuǎn)置矩陣對(duì)稱陣與伴隨矩陣對(duì)稱陣與伴隨矩陣方陣的行列式方陣的行列式（2）只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的）只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)列數(shù)等于第二個(gè)等于第二個(gè)矩陣的矩陣的行數(shù)行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘,且矩陣相乘且矩陣相乘不滿足交換律不滿足交換律.（1）只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能）只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算進(jìn)行加法運(yùn)算.注意注意 （3）矩陣的數(shù)乘運(yùn)算與行列式的數(shù)乘運(yùn)算）矩陣的數(shù)乘運(yùn)算與行列式的數(shù)乘運(yùn)算不同不同.思考題思考題問等式問等式階方陣階方陣為為與與設(shè)設(shè),nBA BABABA 22成立的充要條件是什么成立的充要條件是什么

18、?思考題解答思考題解答答答 ,22BABBAABABA 故故 成立的充要條件為成立的充要條件為 BABABA 22.BAAB 7.2.3 7.2.3 逆逆矩陣矩陣w一、逆矩陣的引入一、逆矩陣的引入w二、逆矩陣的概念與性質(zhì)二、逆矩陣的概念與性質(zhì)w三、逆矩陣的求法三、逆矩陣的求法w四、小結(jié)、思考題四、小結(jié)、思考題, 111 aaaa11,AAA AI則矩陣則矩陣 稱為稱為 的可逆矩陣或逆陣的可逆矩陣或逆陣.A1 A在數(shù)的運(yùn)算中，在數(shù)的運(yùn)算中，當(dāng)數(shù)當(dāng)數(shù) 時(shí)，時(shí)，0 a有有aa11 a其中其中 為為 的倒數(shù)，的倒數(shù)，a （或稱（或稱 的逆）；的逆）； 在矩陣的運(yùn)算中，在矩陣的運(yùn)算中， 單位陣單位陣 I

19、相當(dāng)于數(shù)的乘法運(yùn)算中相當(dāng)于數(shù)的乘法運(yùn)算中 的的1，A那么，對(duì)于矩陣那么，對(duì)于矩陣 ，1 A如果存在一個(gè)矩陣如果存在一個(gè)矩陣 ,使得使得 定義定義 對(duì)于對(duì)于 階矩陣階矩陣 ，如果有一個(gè)，如果有一個(gè) 階矩陣階矩陣 則說矩陣則說矩陣 是是可逆可逆的，并把矩陣的，并把矩陣 稱為稱為 的的逆矩陣逆矩陣.nAB,ABBAIBAnA, ,使得使得.1 AA的逆矩陣記作的逆矩陣記作例例 設(shè)設(shè),21212121,1111 BA,ABBAI.的一個(gè)逆矩陣的一個(gè)逆矩陣是是AB說明說明 若若 是可逆矩陣，則是可逆矩陣，則 的逆矩陣是的逆矩陣是唯一唯一的的.AA若設(shè)若設(shè) 和和 是是 的可逆矩陣，的可逆矩陣，BCA則有則

20、有,ABBAIACCAI可得可得BIB BCA ABC .CIC所以所以 的逆矩陣是唯一的的逆矩陣是唯一的,即即A.1 ACB例例 設(shè)設(shè),0112 A.的逆陣的逆陣求求A解解設(shè)設(shè) 是是 的逆矩陣的逆矩陣, dcbaBA則則 dcbaAB0112 1001 100122badbca利用待定系數(shù)法利用待定系數(shù)法 , 1, 0, 02, 12badbca . 2, 1, 1, 0dcba又因?yàn)橛忠驗(yàn)?0112 2110 0112 2110,1001 所以所以.21101 AABAB定理定理1 1 矩陣矩陣 可逆的充要條件是可逆的充要條件是 ，且，且 ,11 AAAA0 A.的伴隨矩陣的伴隨矩陣為矩陣

21、為矩陣其中其中AA .,0,0非非奇奇異異矩矩陣陣稱稱為為時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)稱稱為為奇奇異異矩矩陣陣時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)AAAA 奇異矩陣與非奇異矩陣的定義奇異矩陣與非奇異矩陣的定義.為為非非奇奇異異矩矩陣陣是是可可逆逆陣陣的的充充要要條條件件是是由由此此可可得得AA1,.ABIBAIBA若或則推論推論 .,1111AAAA 且且亦可逆亦可逆則則可逆可逆若若逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì)逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì) 且且可逆可逆則則數(shù)數(shù)可逆可逆若若, 0,2AA .111 AA .1212 AA推推廣廣1AmA1 mA1 1A .,4AAAAT 且且亦可逆亦可逆則則可逆可逆若若TT1 1 且且亦可逆亦可逆則則為同階方陣且均可逆為同階方陣且均

22、可逆若若,3ABBA 1ABB1 1 A .AA,A115 則有則有可逆可逆若若例例1 1 求方陣求方陣 的逆矩陣的逆矩陣. . 343122321A解解343122321 A, 2.1存在存在 A, 2341211 A, 3331212 A同理可得同理可得, 2, 6, 6, 223222113 AAAA, 2, 5, 4333231 AAA,222563462 A得得故故 AAA11 22256346221.11125323231 ,331212321 A.1151531132 B解解331212321 A010430321 .,?,矩矩陣陣求求出出其其逆逆若若可可逆逆是是否否可可逆逆下下

23、列列矩矩陣陣BA例例2 2010430321 0143 4 , 0 .A可逆可逆所以所以, 3332111 A, 4312212 A, 5311213 A.A,A,A,A,A,A341103333231232221 同理可求得同理可求得 33231332221231211111AAAAAAAAAAAAA. 315404133411151531132 B由于由于, 0 .B不不可可逆逆故故,130231,3512,343122321 CBA例例3 3 設(shè)設(shè).CAXBX 使?jié)M足使?jié)M足求矩陣求矩陣解解, 02343122321 A, 013512 B.,11都存在都存在 BA,111253232311 A且且,25131 BCAXB 又由又由1111 CBAAXBBA.11 CBAX于是于是11 CBAX 251313023111125323231E 2513202011.4104