第1章 電磁理論基本方程

1、高等電磁理論講稿高等電磁理論講稿樊振宏樊振宏2021-12-7考核方式平時(shí)成績: 40%期終考試: 60%辦公室: 雷達(dá)樓314Email: TEL:君眉，馮恩信編著傅君眉，馮恩信編著. 高等電磁理論高等電磁理論; 西安交通大學(xué)出版社西安交通大學(xué)出版社; 2000; ISBN： 7560512992教科書教科書 J.-M. Jin. Theory and Computation of Electromagnetic Fields. John Wiley and Sons. 2010. 楊儒貴,張世昌,金建銘,盧才成,等. 高等電磁理論. 高等教育出版社, 2008參

2、考書 C. A. Balanis. Advanced Engineering Electromagnetics. John Wiley & Sons, INC. 1989. J. A. Kong. Electromagnetic Wave Theory. John Wiley and Sons. 1990. R. F. Harrington. Time Harmonic Electromagnetic Fields. McGraw Hill., 1961 & 2001. R. E. Collin. Field Theory of Guides Waves. IEEE Press

3、, 1991. J. D. Jackson. Classical Electrodynamics. John Wiley and Sons. 1962. J. A. Stratton. Electromagnetic Theory. New York: Mcgraw-Hill, 1941外文參考書 課程內(nèi)容課程內(nèi)容l1.1.電磁理論基本方程電磁理論基本方程l2.2.基本原理和定理基本原理和定理l3.3.基本波函數(shù)基本波函數(shù)l4.4.波動(dòng)方程的積分解波動(dòng)方程的積分解l5.5.格林函數(shù)格林函數(shù)l6.6.導(dǎo)行電磁波導(dǎo)行電磁波l7.7.微波諧振器微波諧振器l8.8.運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)電磁場(chǎng)簡介運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)電磁場(chǎng)簡介

4、l9.9.瞬態(tài)電磁場(chǎng)瞬態(tài)電磁場(chǎng)CHAPTER 1 BASIC ELECTROMAGNETIC THEORYCHAPTER 2 ELECTROMAGNETIC RADIATION IN FREE SPACE CHAPTER 3 ELECTROMAGNETIC THEOREMS AND PRINCIPLES CHAPTER 4 TRANSMISSION LINES AND PLANE WAVES CHAPTER 5 FIELDS AND WAVES IN RECTANGULAR COORDINATES CHAPTER 6 FIELDS AND WAVES IN CYLINDRICAL COORDI

5、NATES CHAPTER 7 FIELDS AND WAVES IN SPHERICAL COORDINATES Theory and Computation of Electromagnetic Fields.Chapter 1 presents the basic electromagnetic theory, which includes (1) a brief review of vector analysis,(2) Maxwell s equations in both integral and differential forms, (3) boundary condition

6、s at the interface between different media and at the surface of a perfect conductor,(4) constitutive relations that characterize the electromagnetic properties of a medium (5) the concepts of electromagnetic energy and power, (6) Maxwell s equations for time - harmonic fields. In this chapter the s

7、ymbolic vector method is introduced to facilitate the vector analysis, and Maxwell s equations in integral form have been treated as fundamental postulates to derive Maxwell s equations in differential form and various boundary conditions. Chapter 1 BASIC ELECTROMAGNETIC THEORY/ knsttjutv/各章節(jié)介紹各章節(jié)介紹

8、l1.1.電磁理論基本方程電磁理論基本方程l2.2.基本原理和定理基本原理和定理l電磁理論基礎(chǔ)，給出麥克斯韋方程、波動(dòng)方程、電電磁理論基礎(chǔ)，給出麥克斯韋方程、波動(dòng)方程、電磁波基本原理和定理磁波基本原理和定理l3.3.基本波函數(shù)基本波函數(shù)l討論標(biāo)量和矢量波函數(shù)，平面波、柱面波和球面波討論標(biāo)量和矢量波函數(shù)，平面波、柱面波和球面波的基本波函數(shù)以及導(dǎo)電柱、劈、球等的散射和輻射的基本波函數(shù)以及導(dǎo)電柱、劈、球等的散射和輻射l4.4.波動(dòng)方程的積分解波動(dòng)方程的積分解l闡述標(biāo)量和矢量闡述標(biāo)量和矢量HelmholtzHelmholtz方程的積分解方程的積分解l5.5.格林函數(shù)格林函數(shù)l討論標(biāo)量和并矢格林函數(shù)及其

9、解法討論標(biāo)量和并矢格林函數(shù)及其解法l6.6.導(dǎo)行電磁波導(dǎo)行電磁波l研究電磁波在金屬波導(dǎo)、微帶、介質(zhì)波導(dǎo)中的傳播研究電磁波在金屬波導(dǎo)、微帶、介質(zhì)波導(dǎo)中的傳播及特點(diǎn)及特點(diǎn)l7.7.微波諧振器微波諧振器l討論各種常見諧振腔中的場(chǎng)討論各種常見諧振腔中的場(chǎng)l8.8.運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)電磁場(chǎng)簡介運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)電磁場(chǎng)簡介l介紹運(yùn)動(dòng)電磁場(chǎng)中的各種變換。介紹運(yùn)動(dòng)電磁場(chǎng)中的各種變換。l9.9.瞬態(tài)電磁場(chǎng)瞬態(tài)電磁場(chǎng)l研究非正弦電磁信號(hào)的輻射、散射和傳輸，討研究非正弦電磁信號(hào)的輻射、散射和傳輸，討論瞬態(tài)電磁場(chǎng)的基本性質(zhì)和一些典型問題的應(yīng)論瞬態(tài)電磁場(chǎng)的基本性質(zhì)和一些典型問題的應(yīng)用用第第1 1章章 電磁理論基本方程電磁理論基本方程l*

10、*1.1 1.1 麥克斯韋方程麥克斯韋方程l 1.2 1.2 物質(zhì)的電磁特性物質(zhì)的電磁特性l* *1.3 1.3 邊界條件和輻射的條件邊界條件和輻射的條件l 1.4 1.4 波動(dòng)方程波動(dòng)方程l* *1.5 1.5 輔助位函數(shù)及其方程輔助位函數(shù)及其方程l#1.6 #1.6 赫茲矢量赫茲矢量l 1.7 1.7 電磁能量和能流電磁能量和能流注：注： “ “* *”表示重點(diǎn)，表示重點(diǎn)，“#”#”表示難點(diǎn)表示難點(diǎn) 第一章第一章 電磁理論基本方程電磁理論基本方程 l電電磁磁現(xiàn)象是一個(gè)不可分割的統(tǒng)一體。宏觀電磁場(chǎng)遵守現(xiàn)象是一個(gè)不可分割的統(tǒng)一體。宏觀電磁場(chǎng)遵守經(jīng)典的經(jīng)典的MaxwellMaxwell方程。正像

11、牛頓定律是經(jīng)典力學(xué)的公理方程。正像牛頓定律是經(jīng)典力學(xué)的公理一樣，一樣， MaxwellMaxwell方程是經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)的公理方程是經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)的公理。l MaxwellMaxwell方程有著極其豐富的內(nèi)容。它不僅概括了電方程有著極其豐富的內(nèi)容。它不僅概括了電磁現(xiàn)象上已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的所有定律，而且還可以通過一系磁現(xiàn)象上已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的所有定律，而且還可以通過一系列的邏輯推論導(dǎo)出為實(shí)驗(yàn)所證實(shí)的新的結(jié)果。列的邏輯推論導(dǎo)出為實(shí)驗(yàn)所證實(shí)的新的結(jié)果。lMaxwellMaxwell方程是電磁理論的基本方程，也是方程是電磁理論的基本方程，也是分析、計(jì)算分析、計(jì)算電磁問題的出發(fā)點(diǎn)電磁問題的出發(fā)點(diǎn)。l在本章中將講述在本章中將

12、講述MaxwellMaxwell方程、媒質(zhì)的電磁特性、邊方程、媒質(zhì)的電磁特性、邊界條件及波動(dòng)方程和矢量位等電磁理論基本概念。界條件及波動(dòng)方程和矢量位等電磁理論基本概念。1.1 1.1 麥克斯韋方程麥克斯韋方程MaxwellMaxwell方程是英國科學(xué)家方程是英國科學(xué)家MaxwellMaxwell根據(jù)法拉第、安培根據(jù)法拉第、安培等前人關(guān)于電磁現(xiàn)象的實(shí)驗(yàn)定律創(chuàng)建的電磁學(xué)的基本等前人關(guān)于電磁現(xiàn)象的實(shí)驗(yàn)定律創(chuàng)建的電磁學(xué)的基本定律，它反映了定律，它反映了宏觀電磁現(xiàn)象宏觀電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律，是電磁理的普遍規(guī)律，是電磁理論的基本方程。論的基本方程。（1 1）基本的）基本的MaxwellMaxwell方程方程

13、 基本的麥克斯韋方程是與時(shí)間有關(guān)的電磁場(chǎng)量所基本的麥克斯韋方程是與時(shí)間有關(guān)的電磁場(chǎng)量所滿足的方程，是麥克斯韋的瞬時(shí)形式，也稱為滿足的方程，是麥克斯韋的瞬時(shí)形式，也稱為時(shí)域時(shí)域MaxwellMaxwell方程方程。時(shí)域麥克斯韋方程包括積分形式和微。時(shí)域麥克斯韋方程包括積分形式和微分形式。分形式。ddlStDHlJS （1 11 1） ddlSt BElS （1 12 2） ddSVVDS （1 13 3） d0SBS （1 14 4） 式（式（1 11 1）全電流安培環(huán)路定律全電流安培環(huán)路定律，它，它表示傳導(dǎo)電流和位移電流（即變化的表示傳導(dǎo)電流和位移電流（即變化的電場(chǎng)）都可以產(chǎn)生磁場(chǎng)電場(chǎng)）都可以

14、產(chǎn)生磁場(chǎng) 式（式（1 12 2）為）為法拉第電磁感應(yīng)定律法拉第電磁感應(yīng)定律，它表示變化的磁場(chǎng)產(chǎn)生電場(chǎng)，它表示變化的磁場(chǎng)產(chǎn)生電場(chǎng) 。式（式（1 13 3）為）為電場(chǎng)高斯定理電場(chǎng)高斯定理，它表示電荷可以產(chǎn)生電場(chǎng)；，它表示電荷可以產(chǎn)生電場(chǎng)； 式（式（1 14 4）為）為磁場(chǎng)高斯定理磁場(chǎng)高斯定理，也稱為磁通連續(xù)原理。，也稱為磁通連續(xù)原理。 式中：式中：E E電場(chǎng)強(qiáng)度（電場(chǎng)強(qiáng)度（/V m） H H磁場(chǎng)強(qiáng)度（磁場(chǎng)強(qiáng)度（/A m） D D電位移矢量或電通密度（電位移矢量或電通密度（2/C m） B B磁感應(yīng)強(qiáng)度或磁通密度（磁感應(yīng)強(qiáng)度或磁通密度（2/Wb m） J J電流密度（電流密度（2/A m ） 電荷密

15、度（電荷密度（3/C m ） 這組方程描述了任一這組方程描述了任一空間區(qū)域空間區(qū)域（體積中或曲面上）的場(chǎng)源與該空間區(qū)域的（體積中或曲面上）的場(chǎng)源與該空間區(qū)域的邊界邊界（封閉曲面或閉合曲線）上場(chǎng)的關(guān)系。（封閉曲面或閉合曲線）上場(chǎng)的關(guān)系。 時(shí)域麥克斯韋方程的積分形式時(shí)域麥克斯韋方程的積分形式“定律”是law or rule，可以用法律來理解，是只能通過實(shí)驗(yàn)證明的一種客觀規(guī)律；公理是axiom，與定律同屬客觀規(guī)律，但無法用實(shí)驗(yàn)證明而只能在一定范圍內(nèi)歸納；/ksim/ “定理”是theorem，可以理解為一種理論，是基于定律和公理推導(dǎo)出的結(jié)論，用來簡化演繹過程；/rm/“定義”（概念）是definit

16、ion，就是人為的界定，沒有為什么；/defnn/ 效應(yīng)是effect，是受變量影響的結(jié)果；principle（原理，原則）既可以表示law or rule，又可以表示theory，應(yīng)該不是一個(gè)正式的科學(xué)術(shù)語（社科常用，自然科學(xué)較少），可能會(huì)對(duì)翻譯造成影響。小常識(shí)時(shí)域麥克斯韋方程的微分形式是：時(shí)域麥克斯韋方程的微分形式是： tDHJ （1 15 5） t BE （1 16 6） 0B （1 17 7） D （1 18 8） 式（式（1 15 5）表示）表示傳導(dǎo)電流密度傳導(dǎo)電流密度和和位移電流位移電流是磁場(chǎng)的旋度源；是磁場(chǎng)的旋度源；式（式（1 16 6）表示）表示變化的磁場(chǎng)變化的磁場(chǎng)是電場(chǎng)的旋度

17、源；是電場(chǎng)的旋度源；式（式（1 17 7）表示磁場(chǎng)是無散場(chǎng)；）表示磁場(chǎng)是無散場(chǎng)；式（式（1 18 8）表示電荷密度是電場(chǎng)的散度源。）表示電荷密度是電場(chǎng)的散度源。微分形式的麥克斯韋方程描述了空間的任一點(diǎn)上場(chǎng)與場(chǎng)源的時(shí)空變化關(guān)系。由于微分形式的麥克斯韋方程描述了空間的任一點(diǎn)上場(chǎng)與場(chǎng)源的時(shí)空變化關(guān)系。由于含有對(duì)場(chǎng)量的微分，它只適用于含有對(duì)場(chǎng)量的微分，它只適用于媒質(zhì)物理性質(zhì)不發(fā)生突變媒質(zhì)物理性質(zhì)不發(fā)生突變的區(qū)域的區(qū)域。這這4 4個(gè)微分方程之間具有一定的關(guān)系，并不是完全的獨(dú)立的。如果加上電流連續(xù)個(gè)微分方程之間具有一定的關(guān)系，并不是完全的獨(dú)立的。如果加上電流連續(xù)性方程性方程t JSVddVt JS（1-9

18、b）(1-9a)時(shí)域麥克斯韋方程的微分形式時(shí)域麥克斯韋方程的微分形式兩個(gè)旋度方程式（兩個(gè)旋度方程式（1 15 5）、（）、（1 16 6）和（）和（1 19a9a）為獨(dú)立方程，）為獨(dú)立方程，另外兩個(gè)散度方程不是獨(dú)立的，可以由獨(dú)立的旋度方程導(dǎo)出。另外兩個(gè)散度方程不是獨(dú)立的，可以由獨(dú)立的旋度方程導(dǎo)出。 對(duì)式（對(duì)式（1 16 6）取散度，得）取散度，得 t EB 由于由于0E，所以，所以 0tB 因?yàn)橐驗(yàn)?tB，由此得到式（，由此得到式（1 17 7） 。） 。 對(duì)對(duì)（1 15 5）取取散散度度，得得 tHJD 由由于于0H，并并將將（1 19 9a a）式式代代入入上上式式，得得 0tD 因因?yàn)闉?/p>

19、0,0ttD，且且在在全全空空間間 t t= =0 0 時(shí)時(shí), ,0,0D由由此此得得到到式式（1 18 8） 。 注意注意: :獨(dú)立方程和非獨(dú)立的方程是相對(duì)的，也可以將（獨(dú)立方程和非獨(dú)立的方程是相對(duì)的，也可以將（1 15 5）、（）、（1 16 6）和（）和（1 18 8）考慮為獨(dú)立方程，這樣式（考慮為獨(dú)立方程，這樣式（1 17 7）和式（）和式（1 19a9a）就為非獨(dú)立方程。）就為非獨(dú)立方程。非獨(dú)立的散度方程也不是多余的非獨(dú)立的散度方程也不是多余的，因?yàn)楦鶕?jù)亥姆霍茲定理（參見，因?yàn)楦鶕?jù)亥姆霍茲定理（參見2.12.1節(jié)），矢量場(chǎng)同節(jié)），矢量場(chǎng)同時(shí)要由其旋度和散度才能唯一確定。時(shí)要由其旋度和

20、散度才能唯一確定。 tDHJ （1 15 5） t BE （1 16 6） 0B （1 17 7） D （1 18 8） （2）廣義的麥克斯韋方程）廣義的麥克斯韋方程電荷和電流稱為電荷和電流稱為電型源電型源，電荷產(chǎn)生電場(chǎng)，電荷運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生電流，電流產(chǎn)生磁場(chǎng)。，電荷產(chǎn)生電場(chǎng)，電荷運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生電流，電流產(chǎn)生磁場(chǎng)。 和電型源對(duì)比可以引入和電型源對(duì)比可以引入磁型源磁型源磁荷和磁流，磁荷產(chǎn)生磁場(chǎng)，磁荷運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生磁流，磁荷和磁流，磁荷產(chǎn)生磁場(chǎng)，磁荷運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生磁流，磁流產(chǎn)生電場(chǎng)。磁流產(chǎn)生電場(chǎng)。 磁荷密度磁荷密度m和磁流密度和磁流密度mJ 滿足滿足磁流連續(xù)性原理磁流連續(xù)性原理 mmt J （1 11010） 將電型源產(chǎn)生

21、的電磁場(chǎng)記為將電型源產(chǎn)生的電磁場(chǎng)記為,eeeeED HB 它們滿足麥克斯韋方程：它們滿足麥克斯韋方程： eetDHJ （1 11111） eet BE （1 11212） 0eB （1 11313） eD （1 11414） 將磁型源產(chǎn)生的電磁場(chǎng)記為將磁型源產(chǎn)生的電磁場(chǎng)記為,mmmmEDHB 它們滿足方程它們滿足方程 mmtDH （115） mmmt BEJ （116） mmB （117） 0mD （118） 比較式（比較式（1 11111）（）（1 11414）和（）和（1 115 15 ）（）（1 11818）可見，只要將式（）可見，只要將式（1 11111）（）（1 11414）中的源和

22、場(chǎng)量作如下變換）中的源和場(chǎng)量作如下變換 em HE em BD emEH emDB m mJJ 就可由（就可由（1 11111）（）（1 11414）得到式（）得到式（1 11515）（）（1 11818） ，反之亦然。） ，反之亦然。 式（式（1 11111）（）（1 11414）和（）和（1 115 15 ）（）（1 11818）之間的這種對(duì)偶關(guān)系稱）之間的這種對(duì)偶關(guān)系稱為對(duì)偶原理。為對(duì)偶原理。 對(duì)偶原理對(duì)偶原理 電型源電流和電荷是自然界的實(shí)際場(chǎng)源，而迄今為止電型源電流和電荷是自然界的實(shí)際場(chǎng)源，而迄今為止(?)(?)還未發(fā)現(xiàn)自然界有磁還未發(fā)現(xiàn)自然界有磁荷和磁流。電磁理論中引入的磁荷和磁流是

23、一種等效源。荷和磁流。電磁理論中引入的磁荷和磁流是一種等效源。磁偶極子天線磁偶極子天線小圓環(huán)天線小圓環(huán)天線mI ljIS如，如果定義磁偶極子對(duì)應(yīng)的磁流元如，如果定義磁偶極子對(duì)應(yīng)的磁流元mI l與面積為與面積為 S S 的小電流環(huán)的關(guān)系式是的小電流環(huán)的關(guān)系式是mI ljk ISjIS（為波阻抗，為波阻抗，k為波數(shù)） ，小電流環(huán)可以等效成磁偶極子為波數(shù)） ，小電流環(huán)可以等效成磁偶極子。其場(chǎng)與電偶極子或電流元的場(chǎng)具有對(duì)偶關(guān)系，因此可從電流元的場(chǎng)利用對(duì)偶原其場(chǎng)與電偶極子或電流元的場(chǎng)具有對(duì)偶關(guān)系，因此可從電流元的場(chǎng)利用對(duì)偶原理得到小電流環(huán)的場(chǎng)。理得到小電流環(huán)的場(chǎng)。 如果空間同時(shí)存在電型源和磁型源， 由于

24、如果空間同時(shí)存在電型源和磁型源， 由于源與場(chǎng)的關(guān)系是線性的源與場(chǎng)的關(guān)系是線性的， 空間的總電磁場(chǎng)等于電， 空間的總電磁場(chǎng)等于電型源產(chǎn)生的場(chǎng)與磁型源產(chǎn)生的場(chǎng)的疊加，即型源產(chǎn)生的場(chǎng)與磁型源產(chǎn)生的場(chǎng)的疊加，即: : emEEE emHHH 將電型源和磁型源的場(chǎng)方程式（將電型源和磁型源的場(chǎng)方程式（1 11111）（）（1 11414）和（）和（1 115 15 ）（）（1 11818）疊加，得）疊加，得 tDHJ （119） mt BEJ （120） mB （121） D （122） 這組方程稱為廣義的時(shí)域麥克斯韋方程。注意式（這組方程稱為廣義的時(shí)域麥克斯韋方程。注意式（1 11919）和式（）和式（

25、1 12020）等式的右）等式的右側(cè)相差一負(fù)號(hào)?？梢钥闯?，引入磁型源后，廣義的時(shí)域麥克斯韋方程具有很好的對(duì)側(cè)相差一負(fù)號(hào)?？梢钥闯觯氪判驮春?，廣義的時(shí)域麥克斯韋方程具有很好的對(duì)稱性。稱性。廣義的時(shí)域麥克斯韋方程廣義的時(shí)域麥克斯韋方程（3）時(shí)諧時(shí)諧麥克斯韋方程麥克斯韋方程電磁場(chǎng)量電磁場(chǎng)量,E D H B 是空間和時(shí)間的函數(shù)， 在隨時(shí)間變化的電磁場(chǎng)中最有用而又最重要的是空間和時(shí)間的函數(shù)， 在隨時(shí)間變化的電磁場(chǎng)中最有用而又最重要的是是隨時(shí)間按正弦或余弦變化的場(chǎng)隨時(shí)間按正弦或余弦變化的場(chǎng) 時(shí)諧電磁場(chǎng)。時(shí)諧電磁場(chǎng)。 例如，在直角坐標(biāo)中，場(chǎng)量例如，在直角坐標(biāo)中，場(chǎng)量 ( , )r tE寫成寫成 ( ,

26、)( , )( , )( , ) =2( ) cos()2( ) cos() 2( ) cos()xxyyzzxxxyyyzzztEtEtEtEtEtEtE rerererererer 對(duì)于時(shí)諧電磁場(chǎng)，用復(fù)數(shù)形式表示常常是有利的。上述場(chǎng)量對(duì)于時(shí)諧電磁場(chǎng)，用復(fù)數(shù)形式表示常常是有利的。上述場(chǎng)量( , )r tE的復(fù)數(shù)形式為的復(fù)數(shù)形式為 ( )=( )( )( ) = ( )( )( )yxzjjjxxyyzzxxyyzzEeEeEeEEEE rerererererer 顯顯然然，余余弦弦場(chǎng)場(chǎng)量量( , ) tE r與與其其復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)形形式式( )E r 的的關(guān)關(guān)系系為為 Re,2j tteE rE

27、r 式式中中 Re 為為取取復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)的的實(shí)實(shí)部部。上上式式表表明明， 2E r 為為場(chǎng)場(chǎng)量量,tE r的的復(fù)復(fù)振振幅幅。 將將時(shí)時(shí)諧諧電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)代代入入廣廣義義麥麥克克斯斯韋韋方方程程（1 11 19 9）（1 12 22 2） ，得得 jHJD （1 12 23 3） mj EJB （1 12 24 4） mB （1 12 25 5） D （1 12 26 6） 這這組組方方程程稱稱為為時(shí)時(shí)諧諧麥麥克克斯斯韋韋方方程程或或麥麥克克斯斯韋韋方方程程的的復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)形形式式。 時(shí)時(shí)諧諧場(chǎng)場(chǎng)中中，電電流流和和磁磁流流連連續(xù)續(xù)性性原原理理的的復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)形形式式為為: : j J （1 12 27 7）

28、mmj J （1 12 28 8） 同理，余弦場(chǎng)量( , ) tH r與其復(fù)數(shù)形式( )H r 的關(guān)系為 ,Re2j tteH rH r 對(duì)時(shí)諧電磁場(chǎng)， 復(fù)數(shù)振幅矢量( )E r 和( )H r 僅為空間坐標(biāo)的函數(shù)， 在不引起混淆的情況下，也簡記為E 和H 。 時(shí)諧時(shí)諧Maxwell方程的意義方程的意義l在時(shí)諧麥克斯韋方程中，各物理量均為時(shí)諧量復(fù)數(shù)形式（即復(fù)振在時(shí)諧麥克斯韋方程中，各物理量均為時(shí)諧量復(fù)數(shù)形式（即復(fù)振幅的有效值）。顯然，由于時(shí)諧麥克斯韋幅的有效值）。顯然，由于時(shí)諧麥克斯韋少了時(shí)間變量少了時(shí)間變量，因此求解，因此求解時(shí)諧時(shí)諧麥克斯韋方程要比求解麥克斯韋方程要比求解時(shí)變時(shí)變麥克斯韋方

29、程容易得多。麥克斯韋方程容易得多。l在時(shí)諧麥克斯韋方程中，場(chǎng)和源具有相同的頻率，因此時(shí)諧麥克在時(shí)諧麥克斯韋方程中，場(chǎng)和源具有相同的頻率，因此時(shí)諧麥克斯韋方程是斯韋方程是頻域的麥克斯韋方程頻域的麥克斯韋方程。l如果空間為如果空間為線性媒質(zhì)線性媒質(zhì)，任何時(shí)變電磁場(chǎng)都可利用傅立葉變換分解，任何時(shí)變電磁場(chǎng)都可利用傅立葉變換分解為許多時(shí)諧電磁場(chǎng)的為許多時(shí)諧電磁場(chǎng)的疊加疊加。因此在分析。因此在分析時(shí)變時(shí)變電磁場(chǎng)時(shí)，可以先將電磁場(chǎng)時(shí)，可以先將時(shí)變電磁場(chǎng)的源通過時(shí)變電磁場(chǎng)的源通過FourierFourier變換分解為變換分解為時(shí)諧時(shí)諧電磁場(chǎng)源，然后利用電磁場(chǎng)源，然后利用時(shí)諧時(shí)諧MaxwellMaxwell方程

30、求解各頻率的場(chǎng)源產(chǎn)生的時(shí)諧電磁場(chǎng)，最后對(duì)時(shí)方程求解各頻率的場(chǎng)源產(chǎn)生的時(shí)諧電磁場(chǎng)，最后對(duì)時(shí)諧電磁場(chǎng)進(jìn)行諧電磁場(chǎng)進(jìn)行Fourier Fourier 反變換求出時(shí)變電磁場(chǎng)。反變換求出時(shí)變電磁場(chǎng)。1.2 物質(zhì)的電磁特性物質(zhì)的電磁特性如果將如果將 MaxwellMaxwell 方程的兩個(gè)旋度方程及電流連續(xù)性方程作為獨(dú)立方程，這方程的兩個(gè)旋度方程及電流連續(xù)性方程作為獨(dú)立方程，這 3 3 個(gè)方程共有個(gè)方程共有 5 5個(gè)矢量函數(shù)個(gè)矢量函數(shù),E D H B J 和一個(gè)標(biāo)量函數(shù)和一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，由于一個(gè)矢量函數(shù)可以分解為，由于一個(gè)矢量函數(shù)可以分解為 3 3 個(gè)標(biāo)量函數(shù)，這個(gè)標(biāo)量函數(shù)，這相當(dāng)于共有相當(dāng)于共有 1616

31、 個(gè)標(biāo)量函數(shù)。所以，這個(gè)標(biāo)量函數(shù)。所以，這 3 3 個(gè)獨(dú)立的方程是麥克斯韋方程的非限定形式。個(gè)獨(dú)立的方程是麥克斯韋方程的非限定形式。 要使方程的數(shù)目和未知量的個(gè)數(shù)相等， 還必須利用在電磁場(chǎng)中的媒質(zhì)的特性的關(guān)系。 電磁要使方程的數(shù)目和未知量的個(gè)數(shù)相等， 還必須利用在電磁場(chǎng)中的媒質(zhì)的特性的關(guān)系。 電磁場(chǎng)中描述媒質(zhì)特性的關(guān)系稱為組成關(guān)系或結(jié)構(gòu)方程。引入結(jié)構(gòu)方程，增加了場(chǎng)中描述媒質(zhì)特性的關(guān)系稱為組成關(guān)系或結(jié)構(gòu)方程。引入結(jié)構(gòu)方程，增加了 3 3 個(gè)矢量方程，個(gè)矢量方程，即即 9 9 個(gè)標(biāo)量方程，使個(gè)標(biāo)量方程，使方程的數(shù)目和未知量的數(shù)目相等方程的數(shù)目和未知量的數(shù)目相等，場(chǎng)方程就可以求解了。因此，加上結(jié)，場(chǎng)

32、方程就可以求解了。因此，加上結(jié)構(gòu)方程，麥克斯韋方程就構(gòu)成了限定的形式。構(gòu)方程，麥克斯韋方程就構(gòu)成了限定的形式。 在自由的空間，組成關(guān)系或結(jié)構(gòu)方程最簡單，有在自由的空間，組成關(guān)系或結(jié)構(gòu)方程最簡單，有 0DE （1 12929） 0BH （1 13030） 0J （1 13131） 式中式中0和和0分別稱為自由空間的電容率（或介電常數(shù)）和導(dǎo)磁率。在國際單位制中分別稱為自由空間的電容率（或介電常數(shù)）和導(dǎo)磁率。在國際單位制中 90110/36F m 70410/H m 對(duì)于均勻、各向同性、線性媒質(zhì)，在電磁作用下，其物質(zhì)內(nèi)部電荷運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致媒質(zhì)的極化、磁化和傳導(dǎo) 3 種狀態(tài)，它們分別由極化強(qiáng)度P P 、磁化

33、強(qiáng)度M M和傳導(dǎo)電流密度J J來表示。 極化強(qiáng)度極化強(qiáng)度表示物質(zhì)內(nèi)部分子的束縛電荷形成的電偶極子在電場(chǎng)力作用下趨于整齊排列的程度，是物質(zhì)中單位體積內(nèi)分子電偶極矩的統(tǒng)計(jì)平均值； 磁化強(qiáng)度磁化強(qiáng)度表示物質(zhì)內(nèi)部電子的軌道和自旋運(yùn)動(dòng)形成的磁偶極子在磁場(chǎng)力作用下趨于整齊排列的程度，是物質(zhì)中單位體積內(nèi)分子磁偶極矩的統(tǒng)計(jì)平均值。 由于極化和磁化的作用，D D和B B分別為： 0DEP （132） 0()BHM （133） 媒質(zhì)的組成關(guān)系是以實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)的。對(duì)于線性媒質(zhì)，P P 和E E 與M M和H H均成正比關(guān)系。分別為： 0e PE （134） mMH （135） 結(jié)構(gòu)方程結(jié)構(gòu)方程(本構(gòu)關(guān)系本構(gòu)關(guān)系) 式

34、中式中e和和m分別稱為媒質(zhì)的極化率和磁化率。 將以上兩式分別代入 （分別稱為媒質(zhì)的極化率和磁化率。 將以上兩式分別代入 （1 13232） 和 （） 和 （1 13333）得得 000(1)ee DEEE 0(1)mBH 令令 01, rer （1 13636） 01, rmr （1 13737） r和和r分別稱為媒質(zhì)的相對(duì)電容率（或相對(duì)介電常數(shù)）和相對(duì)導(dǎo)磁率；而分別稱為媒質(zhì)的相對(duì)電容率（或相對(duì)介電常數(shù)）和相對(duì)導(dǎo)磁率；而和和分別稱為分別稱為媒質(zhì)的電容率（或介電常數(shù)）和導(dǎo)磁率。這樣，對(duì)于各向同性線性媒質(zhì)，媒質(zhì)的電容率（或介電常數(shù)）和導(dǎo)磁率。這樣，對(duì)于各向同性線性媒質(zhì)，D D與與E E及及B B與

35、與H H的關(guān)的關(guān)系為系為 DE （1 13838） BH （1 13939） 大寫希臘字母發(fā)音對(duì)照表希臘字母發(fā)音對(duì)照表a ab bg gd d z zA AB BG GD DE EZ Zalphabetagammadeltaepsilonzetan nx xo o s sN NX XO OP PR RS Snu xiomicronpirhosigma q qi ik kl l H HQ QI IK KL LMMetathetaiotakappalambdamut tu uf f y y T TU UF FC Cy yW Wtauupsilonphichipsiomega導(dǎo)導(dǎo)電電媒媒質(zhì)質(zhì)中中有有

36、可可自自由由運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)的的電電荷荷，在在電電場(chǎng)場(chǎng)的的作作用用下下，自自由由電電荷荷運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)形形成成電電流流。由由實(shí)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)得得到到導(dǎo)導(dǎo)電電媒媒質(zhì)質(zhì)中中的的電電流流密密度度與與電電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)強(qiáng)度度之之間間的的關(guān)關(guān)系系為為： sJE （1 14 40 0） s稱稱為為媒媒質(zhì)質(zhì)的的導(dǎo)導(dǎo)電電率率，單單位位為為S S/ /m m, , 上上式式稱稱為為歐歐姆姆定定律律的的微微分分形形式式。電電導(dǎo)導(dǎo)率率表表示示物物質(zhì)質(zhì)的的導(dǎo)導(dǎo)電電性性能能， 0s的的媒媒質(zhì)質(zhì)不不導(dǎo)導(dǎo)電電，稱稱為為理理想想介介質(zhì)質(zhì)，s 稱稱為為理理想想導(dǎo)導(dǎo)電電體體。 結(jié)構(gòu)方程結(jié)構(gòu)方程(本構(gòu)關(guān)系本構(gòu)關(guān)系) 續(xù)續(xù)媒質(zhì)的介電常數(shù)媒質(zhì)的介電常數(shù)和導(dǎo)磁率和導(dǎo)

37、磁率以及電導(dǎo)率以及電導(dǎo)率s代表了媒質(zhì)的電磁特性， 是媒質(zhì)代表了媒質(zhì)的電磁特性， 是媒質(zhì)的重要參數(shù)。不同的媒質(zhì)其電參數(shù)不同，同一種媒質(zhì)因密度、含雜質(zhì)量等差別，的重要參數(shù)。不同的媒質(zhì)其電參數(shù)不同，同一種媒質(zhì)因密度、含雜質(zhì)量等差別，以及頻率不同，其電磁參數(shù)也可能不同。以及頻率不同，其電磁參數(shù)也可能不同。對(duì)于均勻媒質(zhì)，在不太寬的頻率范圍對(duì)于均勻媒質(zhì)，在不太寬的頻率范圍內(nèi)，這些電磁參數(shù)是常數(shù)。如果頻率范圍很寬，介電常數(shù)內(nèi)，這些電磁參數(shù)是常數(shù)。如果頻率范圍很寬，介電常數(shù)和導(dǎo)磁率和導(dǎo)磁率就與頻率就與頻率有關(guān)。 例如水的相對(duì)介電常數(shù)在頻率由零升到光頻時(shí)， 其值從有關(guān)。 例如水的相對(duì)介電常數(shù)在頻率由零升到光頻時(shí)

38、， 其值從 8181 降到降到 1.81.8 左右。左右。這種媒質(zhì)稱為這種媒質(zhì)稱為色散媒質(zhì)色散媒質(zhì)。 當(dāng)頻率足夠高時(shí)，由于存在極化損耗與磁化損耗，媒質(zhì)的當(dāng)頻率足夠高時(shí)，由于存在極化損耗與磁化損耗，媒質(zhì)的介電常數(shù)和導(dǎo)磁率變?yōu)閺?fù)數(shù)介電常數(shù)和導(dǎo)磁率變?yōu)閺?fù)數(shù)，即，即j，j，虛部代表媒質(zhì)存在損耗。，虛部代表媒質(zhì)存在損耗。 對(duì)于色散媒質(zhì)，極化和磁化的響應(yīng)不是即時(shí)的，對(duì)于色散媒質(zhì)，極化和磁化的響應(yīng)不是即時(shí)的，D D及及B B不僅取決于不僅取決于E E及及H H的的當(dāng)前當(dāng)前值，還與值，還與E E及及H H對(duì)時(shí)間的各階導(dǎo)數(shù)有關(guān)，即對(duì)時(shí)間的各階導(dǎo)數(shù)有關(guān)，即 2312323tttEEEDE 2312323tttHH

39、HBH （1 14141） 對(duì)于時(shí)諧電磁場(chǎng)，以上兩式變?yōu)閷?duì)于時(shí)諧電磁場(chǎng)，以上兩式變?yōu)?23123jj DEEEE （1 142a42a） 23123jj BHHHH （1 142b42b） 將以上兩式寫成（將以上兩式寫成（1 13838）和（）和（1 13939）的形式，）的形式，介電常數(shù)和導(dǎo)磁率成為復(fù)數(shù)介電常數(shù)和導(dǎo)磁率成為復(fù)數(shù)，其實(shí)部和虛，其實(shí)部和虛部均和頻率有關(guān)。部均和頻率有關(guān)。 復(fù)介電常數(shù)和復(fù)導(dǎo)磁率復(fù)介電常數(shù)和復(fù)導(dǎo)磁率1對(duì)于導(dǎo)電媒質(zhì)，將電導(dǎo)率包含在對(duì)于導(dǎo)電媒質(zhì)，將電導(dǎo)率包含在復(fù)介電常數(shù)復(fù)介電常數(shù)中，利用全電流安培定律中，利用全電流安培定律及及sJE代入得代入得 cjjjjss HEEEE

40、 式中式中 cjs （1 14343） 是將電導(dǎo)率包含在復(fù)介電常數(shù)中后的等效介電常數(shù)。 復(fù)介電常數(shù)和復(fù)導(dǎo)磁率也可寫成極坐是將電導(dǎo)率包含在復(fù)介電常數(shù)中后的等效介電常數(shù)。 復(fù)介電常數(shù)和復(fù)導(dǎo)磁率也可寫成極坐標(biāo)形式標(biāo)形式 jjed jjeq （1 14444） 式中式中d和和q分別稱為電損耗角和磁損耗角。并有分別稱為電損耗角和磁損耗角。并有 tand tanq （1 14545） tand和和tanq分別稱為電損耗角的正切和磁損耗角的正切。電導(dǎo)率引起的損耗角正切為分別稱為電損耗角的正切和磁損耗角的正切。電導(dǎo)率引起的損耗角正切為 tansd （1 14646） 復(fù)介電常數(shù)和復(fù)導(dǎo)磁率復(fù)介電常數(shù)和復(fù)導(dǎo)磁率2

41、當(dāng)媒質(zhì)的介電常數(shù)當(dāng)媒質(zhì)的介電常數(shù)和導(dǎo)磁率和導(dǎo)磁率或者或者e和和m不隨不隨E E 及及H H 改變時(shí)，稱為線性媒質(zhì)，否則稱改變時(shí)，稱為線性媒質(zhì)，否則稱為非線性媒質(zhì)。對(duì)于非線性媒質(zhì)為非線性媒質(zhì)。對(duì)于非線性媒質(zhì) 2(1)(2)(3)0eeePEE EEE （1 147a47a） 2(1)(2)(3)mmmMHH HHH （1 147b47b） 研究非線性媒質(zhì)的電磁場(chǎng)屬于非線性電磁學(xué)及發(fā)非線性光學(xué)的范圍研究非線性媒質(zhì)的電磁場(chǎng)屬于非線性電磁學(xué)及發(fā)非線性光學(xué)的范圍 媒質(zhì)分為均勻媒質(zhì)和不均勻媒質(zhì)。均勻媒質(zhì)的電磁參數(shù)和空間坐標(biāo)無關(guān)，媒質(zhì)分為均勻媒質(zhì)和不均勻媒質(zhì)。均勻媒質(zhì)的電磁參數(shù)和空間坐標(biāo)無關(guān)，不均勻媒質(zhì)的電

42、磁參數(shù)是空間坐標(biāo)的函數(shù)。不均勻媒質(zhì)的電磁參數(shù)是空間坐標(biāo)的函數(shù)。有有一一些些媒媒質(zhì)質(zhì)的的電電磁磁參參數(shù)數(shù)與與電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)的的方方向向有有關(guān)關(guān)，這這種種媒媒質(zhì)質(zhì)稱稱為為各各向向異異性性媒媒質(zhì)質(zhì)。各各向向異異性性媒媒質(zhì)質(zhì)的的組組成成關(guān)關(guān)系系可可以以表表示示為為矩矩陣陣的的形形式式，即即 DE （1 14 48 8a a） BH （1 14 48 8b b） sJE （1 14 48 8c c） 式式中中 xxxyxzyxyyyzzxyzzz xxxyxzyxyyyzzxyzzz xxxyxzyxyyyzzxyzzzssssssssss（1 14 48 8d d） 晶晶體體就就是是一一種種各各向向異異

43、性性媒媒質(zhì)質(zhì)，恒恒定定磁磁場(chǎng)場(chǎng)中中的的等等離離子子體體也也具具有有電電各各向向異異性性。恒恒定定磁磁場(chǎng)場(chǎng)中中的的鐵鐵氧氧體體是是磁磁各各向向異異性性媒媒質(zhì)質(zhì)。而而用用s描描述述的的各各向向異異性性媒媒質(zhì)質(zhì)不不多多見見。 還還有有一一些些媒媒質(zhì)質(zhì)，電電磁磁特特性性方方程程可可以以表表示示為為 zDEH （1 14 49 9） zBEH （1 15 50 0） 這這些些關(guān)關(guān)系系表表明明，媒媒質(zhì)質(zhì)的的極極化化與與磁磁化化存存在在一一定定的的耦耦合合關(guān)關(guān)系系，這這種種媒媒質(zhì)質(zhì)稱稱為為雙雙各各向向異異性性媒媒質(zhì)質(zhì)。當(dāng)當(dāng)以以上上 4 4 個(gè)個(gè)電電磁磁張張量量參參數(shù)數(shù)均均退退化化為為標(biāo)標(biāo)量量時(shí)時(shí)，稱稱為為雙

44、雙各各向向同同性性媒媒質(zhì)質(zhì)。一一般般運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)媒媒質(zhì)質(zhì)中中具具有有這這種種電電磁磁耦耦合合關(guān)關(guān)系系。 媒媒質(zhì)質(zhì)的的電電磁磁參參數(shù)數(shù)與與頻頻率率、坐坐標(biāo)標(biāo)變變量量、方方向向無無關(guān)關(guān)，均均為為標(biāo)標(biāo)量量常常數(shù)數(shù)的的媒媒質(zhì)質(zhì)稱稱為為簡簡單單媒媒質(zhì)質(zhì)。 理想介質(zhì)理想介質(zhì) 理想導(dǎo)體理想導(dǎo)體 色散媒質(zhì)色散媒質(zhì) 有損耗的媒質(zhì)有損耗的媒質(zhì) 導(dǎo)電媒質(zhì)導(dǎo)電媒質(zhì) 線性媒質(zhì)線性媒質(zhì)不均勻媒質(zhì)不均勻媒質(zhì) 均勻媒質(zhì)均勻媒質(zhì) 非線性媒質(zhì)非線性媒質(zhì) 各向異性媒質(zhì)各向異性媒質(zhì) 雙各向異性媒質(zhì)雙各向異性媒質(zhì) 雙各向同性媒質(zhì)雙各向同性媒質(zhì) 簡單媒質(zhì)簡單媒質(zhì)媒質(zhì)分類媒質(zhì)分類1.3 1.3 邊界條件和輻射條件邊界條件和輻射條件l邊界條件邊

45、界條件l邊界條件就是在媒質(zhì)的邊界面上電磁場(chǎng)所滿足的方程。邊界條件就是在媒質(zhì)的邊界面上電磁場(chǎng)所滿足的方程。l麥克斯韋方程的微分形式只適用于媒質(zhì)的物理性質(zhì)處處連續(xù)的空間區(qū)域，麥克斯韋方程的微分形式只適用于媒質(zhì)的物理性質(zhì)處處連續(xù)的空間區(qū)域，但實(shí)際遇到的媒質(zhì)總是有界的，在邊界上其物理性質(zhì)要發(fā)生突變，導(dǎo)致邊但實(shí)際遇到的媒質(zhì)總是有界的，在邊界上其物理性質(zhì)要發(fā)生突變，導(dǎo)致邊界面處矢量場(chǎng)也發(fā)生突變。所以，在邊界面上麥克斯韋方程的微分形式已界面處矢量場(chǎng)也發(fā)生突變。所以，在邊界面上麥克斯韋方程的微分形式已失去意義。失去意義。l邊界面兩邊的矢量場(chǎng)的關(guān)系要由邊界面兩邊的矢量場(chǎng)的關(guān)系要由麥克斯韋方程的積分形式麥克斯韋方

46、程的積分形式導(dǎo)出的邊界條件導(dǎo)出的邊界條件確定。確定。ddlStDHlJS （1 11 1） ddmlSt BElJS （1 12 2） ddSVVDS （1 13 3） ddmSVVBS （1 14 4） 兩種不同媒質(zhì)的邊界兩種不同媒質(zhì)的邊界條件條件l對(duì)于如圖對(duì)于如圖1-11-1所示的兩種不同媒質(zhì)的邊界，由廣義麥克斯韋方所示的兩種不同媒質(zhì)的邊界，由廣義麥克斯韋方程的積分形式可得到邊界面兩側(cè)電磁場(chǎng)的關(guān)系為：程的積分形式可得到邊界面兩側(cè)電磁場(chǎng)的關(guān)系為： ne 11, 22, 22,EH 11,E H 圖圖 1 11 1 邊界條件邊界條件 等式左邊等式左邊ne 的表示邊界面的法向單位矢量，前兩的表示

47、邊界面的法向單位矢量，前兩式表示邊界面兩側(cè)電磁場(chǎng)的式表示邊界面兩側(cè)電磁場(chǎng)的法向分量法向分量的關(guān)系，后的關(guān)系，后兩式邊界面兩側(cè)電磁場(chǎng)的兩式邊界面兩側(cè)電磁場(chǎng)的切向分量切向分量的關(guān)系；的關(guān)系； 等式右邊為邊界面上電型源或磁型源的面密度。等式右邊為邊界面上電型源或磁型源的面密度。實(shí)際的媒質(zhì)邊界不存在磁型源，磁型源的面密度實(shí)際的媒質(zhì)邊界不存在磁型源，磁型源的面密度只有只有數(shù)學(xué)上數(shù)學(xué)上的意義。的意義。 對(duì)于兩種媒質(zhì)均為理想介質(zhì)的情況，邊界條件簡化為：對(duì)于兩種媒質(zhì)均為理想介質(zhì)的情況，邊界條件簡化為： 120(1 55)neDD 120(1 56)neBB 120(1 57)neEE 120(1 58)neH

48、H 以上以上 4 4 式的右邊都為零，表示各場(chǎng)分量在邊界面上是連續(xù)的。對(duì)于時(shí)變電磁場(chǎng)，式的右邊都為零，表示各場(chǎng)分量在邊界面上是連續(xù)的。對(duì)于時(shí)變電磁場(chǎng)，4 4 個(gè)邊界條件個(gè)邊界條件并不是完全獨(dú)立的，一般將兩個(gè)切向分量的邊界條件作為獨(dú)立的邊界條件。并不是完全獨(dú)立的，一般將兩個(gè)切向分量的邊界條件作為獨(dú)立的邊界條件。 對(duì)于有一種媒質(zhì)為理想導(dǎo)電體的情況，邊界條件簡化為：對(duì)于有一種媒質(zhì)為理想導(dǎo)電體的情況，邊界條件簡化為： (1 59)nse D 0(1 60)ne B 0(1 61)neE (1 62)nseHJ 媒質(zhì)的邊界媒質(zhì)的邊界條件特殊情況（條件特殊情況（1 1）對(duì)于有一種媒質(zhì)為理想導(dǎo)磁體的情況，邊

49、界條件簡化為：對(duì)于有一種媒質(zhì)為理想導(dǎo)磁體的情況，邊界條件簡化為： 0(1 63)ne D (1 64)mnse B (1 65)mns eEJ 0(1 66)neH 對(duì)于一般非理想導(dǎo)電體的情況，導(dǎo)電面上電型源或磁型源的面密度為零，邊界條件簡化為：對(duì)于一般非理想導(dǎo)電體的情況，導(dǎo)電面上電型源或磁型源的面密度為零，邊界條件簡化為： 120(1 67)neDD 120(1 68)neBB 120(1 69)neEE 120(1 70)neHH 媒質(zhì)的邊界媒質(zhì)的邊界條件特殊情況（條件特殊情況（1 1）電磁場(chǎng)中邊值問題的求解場(chǎng)區(qū)有兩類：電磁場(chǎng)中邊值問題的求解場(chǎng)區(qū)有兩類： 一類是一類是閉區(qū)域閉區(qū)域的邊值問題

50、，這類問題的基本方程是麥克斯韋方程、結(jié)構(gòu)方程和邊界條件；的邊值問題，這類問題的基本方程是麥克斯韋方程、結(jié)構(gòu)方程和邊界條件；一類是一類是開區(qū)域開區(qū)域的邊值問題，這類問題除涉及上述基本方程外，還要涉及場(chǎng)的輻射條件。的邊值問題，這類問題除涉及上述基本方程外，還要涉及場(chǎng)的輻射條件。 若所有的場(chǎng)源均在有限空間之中，則在無限遠(yuǎn)的場(chǎng)必須滿足輻射條件若所有的場(chǎng)源均在有限空間之中，則在無限遠(yuǎn)的場(chǎng)必須滿足輻射條件: : 若此空間是有損耗的，則無限處的場(chǎng)的任一橫向分量若此空間是有損耗的，則無限處的場(chǎng)的任一橫向分量 滿足滿足 0(1 71)r 若此空間是無損耗若此空間是無損耗的，則無限遠(yuǎn)處的場(chǎng)滿足的，則無限遠(yuǎn)處的場(chǎng)滿

51、足 SommerfeldSommerfeld 輻射條件：即場(chǎng)的任一橫向分量輻射條件：即場(chǎng)的任一橫向分量 滿足滿足 lim0(1 72)rrjkr 式中：式中：r 是從源點(diǎn)到場(chǎng)點(diǎn)的距離；是從源點(diǎn)到場(chǎng)點(diǎn)的距離；k是媒質(zhì)的傳播常數(shù)。是媒質(zhì)的傳播常數(shù)。 SommerfeldSommerfeld 輻射條件的物理意義是遠(yuǎn)離場(chǎng)源的場(chǎng)有一向外延遲的相位，且其幅度下降至少比輻射條件的物理意義是遠(yuǎn)離場(chǎng)源的場(chǎng)有一向外延遲的相位，且其幅度下降至少比1r要快。要快。 （2 2）輻射條件）輻射條件1 14 4 波動(dòng)方程波動(dòng)方程麥克斯韋方程是一組聯(lián)立的一階矢量偏微分方程，由這組矢量偏微分方程可導(dǎo)出電磁波的波麥克斯韋方程是一

52、組聯(lián)立的一階矢量偏微分方程，由這組矢量偏微分方程可導(dǎo)出電磁波的波動(dòng)方程。波動(dòng)方程是定量描述電磁波運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)方程，它揭示了電磁波的傳播規(guī)律。由麥克動(dòng)方程。波動(dòng)方程是定量描述電磁波運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)方程，它揭示了電磁波的傳播規(guī)律。由麥克斯韋方程斯韋方程可可導(dǎo)出電磁波的波動(dòng)方程。導(dǎo)出電磁波的波動(dòng)方程。 在均勻線性各向同性媒質(zhì)中，對(duì)廣義麥克斯韋方程組中的兩個(gè)旋度方程在均勻線性各向同性媒質(zhì)中，對(duì)廣義麥克斯韋方程組中的兩個(gè)旋度方程 tDHJ mt BEJ 兩邊取旋度，并利用物質(zhì)結(jié)構(gòu)方程式（兩邊取旋度，并利用物質(zhì)結(jié)構(gòu)方程式（1 1- -3838）和式（）和式（1 1- -3939） ，得） ，得 22(1 73 )

53、matt HJHJ 22(1 73 )mbtt EJEJ 利用矢量恒等式利用矢量恒等式2 AAA ，以及麥克斯韋方程組中的兩個(gè)散度方程，方程式，以及麥克斯韋方程組中的兩個(gè)散度方程，方程式變?yōu)樽優(yōu)榉驱R次非齊次矢量矢量波動(dòng)方程波動(dòng)方程 2221(1 74 )mmattHJHJ 2221(1 74 )mbttEJEJ DEBH （138） （139）非齊次矢量波動(dòng)方程的右邊非齊次項(xiàng)比較復(fù)雜，因此直接求解這非齊次矢量波動(dòng)方程的右邊非齊次項(xiàng)比較復(fù)雜，因此直接求解這 對(duì)方程很困難。但在無源區(qū)，這對(duì)方程變?yōu)辇R次矢量波動(dòng)方程對(duì)方程很困難。但在無源區(qū)，這對(duì)方程變?yōu)辇R次矢量波動(dòng)方程 2222220(1 75 )0

54、(1 75 )atbtHHEE 或 22220(1 76 )0(1 76 )atbtHHEE 非齊次矢量波動(dòng)方程非齊次矢量波動(dòng)方程用于求解用于求解有源有源區(qū)域內(nèi)的場(chǎng)，可用于計(jì)算天線、波區(qū)域內(nèi)的場(chǎng)，可用于計(jì)算天線、波導(dǎo)、諧振腔等導(dǎo)、諧振腔等有激勵(lì)的系統(tǒng)有激勵(lì)的系統(tǒng)中電磁波的傳播特性或輻射特性；中電磁波的傳播特性或輻射特性； 齊次矢量波動(dòng)方程齊次矢量波動(dòng)方程用于求解用于求解無源無源區(qū)域內(nèi)的場(chǎng)，可用于計(jì)算波導(dǎo)、自由區(qū)域內(nèi)的場(chǎng)，可用于計(jì)算波導(dǎo)、自由空間中電磁波的傳輸特性或傳播特性。空間中電磁波的傳輸特性或傳播特性。 由于波動(dòng)方程只表征了單一場(chǎng)量（由于波動(dòng)方程只表征了單一場(chǎng)量（E和和H）的時(shí)空變化關(guān)系，

55、未描述）的時(shí)空變化關(guān)系，未描述不同場(chǎng)量不同場(chǎng)量E和和H之間的關(guān)系，因此，之間的關(guān)系，因此，雖然滿足麥克斯韋方程的場(chǎng)量必然雖然滿足麥克斯韋方程的場(chǎng)量必然滿足波動(dòng)方程，但相反情況不一定成立滿足波動(dòng)方程，但相反情況不一定成立，所以，由波動(dòng)方程求出場(chǎng)量后，所以，由波動(dòng)方程求出場(chǎng)量后，還需驗(yàn)證是否滿足麥克斯韋方程。還需驗(yàn)證是否滿足麥克斯韋方程。 一般方法是由波動(dòng)方程求出電場(chǎng)強(qiáng)度或磁場(chǎng)強(qiáng)度后，再由一般方法是由波動(dòng)方程求出電場(chǎng)強(qiáng)度或磁場(chǎng)強(qiáng)度后，再由Maxwell方方程求另一場(chǎng)量，這樣的解必然同時(shí)滿足兩種方程。程求另一場(chǎng)量，這樣的解必然同時(shí)滿足兩種方程。對(duì)于均勻線性各向同性媒質(zhì)中的對(duì)于均勻線性各向同性媒質(zhì)中的

56、時(shí)諧場(chǎng)時(shí)諧場(chǎng)，非齊次波動(dòng)方程變?yōu)?，非齊次波動(dòng)方程變?yōu)?22221(1 77 )1(1 77 )mmmkjakjbHHJJEEJJ或或22(1 78 )(1 78 )mmkjakjb HHJJEEJJ 齊次波動(dòng)方程變?yōu)辇R次波動(dòng)方程變?yōu)?22220(1 79 )0(1 79 )kakbHHEE 或或 220(1 80 )0(1 80 )kakbHHEE k 稱為波數(shù)。方程式（稱為波數(shù)。方程式（1 1- -7777）和（）和（1 1- -7979）分別稱為非齊次和齊次矢量亥姆）分別稱為非齊次和齊次矢量亥姆霍茲方程?；羝澐匠獭?在直角坐標(biāo)系中，設(shè)在直角坐標(biāo)系中，設(shè)f表示矢量場(chǎng)的任一直角坐標(biāo)分量，則方程

57、（表示矢量場(chǎng)的任一直角坐標(biāo)分量，則方程（1 1- -7979）可）可分解為齊次標(biāo)量亥姆霍茲方程分解為齊次標(biāo)量亥姆霍茲方程 220(1 81)kff 有限元方法對(duì)方程式（對(duì)方程式（1 1- -8080）兩邊取散度，可直接得到矢量場(chǎng)的散度為零，也就是）兩邊取散度，可直接得到矢量場(chǎng)的散度為零，也就是說，方程式（說，方程式（1 1- -8080）中隱含）中隱含 0H 0E 這是無源區(qū)的矢量場(chǎng)解必須滿足的。這是無源區(qū)的矢量場(chǎng)解必須滿足的。 但對(duì)方程式（但對(duì)方程式（1 1- -7979）兩邊取散度，不一定滿足上式，也就是說，齊次矢量）兩邊取散度，不一定滿足上式，也就是說，齊次矢量亥姆霍茲方程的解不能保證滿

58、足上式。 因此， 齊次矢量亥姆霍茲方程的解是否亥姆霍茲方程的解不能保證滿足上式。 因此， 齊次矢量亥姆霍茲方程的解是否正確，要代入上式加以驗(yàn)證。正確，要代入上式加以驗(yàn)證。 220(1 80 )0(1 80 )kakbHHHE22220(1 79 )0(1 79 )kakbHHEE該齊次標(biāo)量亥姆霍茲方程的求解將在第該齊次標(biāo)量亥姆霍茲方程的求解將在第3章介紹。求出齊次標(biāo)量亥姆霍茲章介紹。求出齊次標(biāo)量亥姆霍茲方程的解后，就可構(gòu)成齊次矢量亥姆霍茲方程的解。方程的解后，就可構(gòu)成齊次矢量亥姆霍茲方程的解。需要指出，方程式（需要指出，方程式（1-79）與式（）與式（1-80）并不完全等效。）并不完全等效。1

59、 15 5 輔助位函數(shù)及其方程輔助位函數(shù)及其方程l由于在有源區(qū)非齊次矢量波動(dòng)方程或非齊次矢由于在有源區(qū)非齊次矢量波動(dòng)方程或非齊次矢量亥姆霍茲方程中的場(chǎng)源分布形式十分復(fù)雜，量亥姆霍茲方程中的場(chǎng)源分布形式十分復(fù)雜，直接求解比較困難。為了求解有源區(qū)的場(chǎng)，可直接求解比較困難。為了求解有源區(qū)的場(chǎng)，可仿照靜態(tài)場(chǎng)引入矢量和標(biāo)量位函數(shù)求解。仿照靜態(tài)場(chǎng)引入矢量和標(biāo)量位函數(shù)求解。l本節(jié)介紹利用輔助位函數(shù)求解電磁場(chǎng)的方法。本節(jié)介紹利用輔助位函數(shù)求解電磁場(chǎng)的方法。（1 1）矢量磁位和標(biāo)量電位）矢量磁位和標(biāo)量電位在均勻線性各向同性媒質(zhì)中，如果僅有電型源，由于在均勻線性各向同性媒質(zhì)中，如果僅有電型源，由于0B，引入矢量磁

60、位，引入矢量磁位A滿足滿足 BA (1 82) 將上式代入法拉第電磁感應(yīng)定律，得將上式代入法拉第電磁感應(yīng)定律，得 0tAE 由于標(biāo)量函數(shù)梯度的旋度為零，引入標(biāo)量位由于標(biāo)量函數(shù)梯度的旋度為零，引入標(biāo)量位F，滿足，滿足 t FAE 由上式得由上式得 t FAE (1 83) 由此可見，只要求出輔助位由此可見，只要求出輔助位A及及F，就可由式，就可由式(1(1- -82)82)及式及式(1(1- -83)83)求出電求出電場(chǎng)與場(chǎng)與磁場(chǎng)。磁場(chǎng)。 將式（將式（1-82）、式（）、式（1-83）代入麥克斯韋方程，并經(jīng)整理后得）代入麥克斯韋方程，并經(jīng)整理后得222222(1 85 )(1 85 )attbtttF FF F