非平穩(wěn)和季節(jié)時(shí)間序列模型分析方法

1、非平穩(wěn)和季節(jié)時(shí)間序列模型分析方法 在第四章中，我們介紹了非平穩(wěn)時(shí)間序列模型，但是在前面的討論中，對(duì)于時(shí)間序列的特性分析，以及模型的統(tǒng)計(jì)分析都集中于平穩(wěn)時(shí)間序列問(wèn)題上。本章將介紹幾個(gè)非平穩(wěn)時(shí)間序列的建模方法，并且分析不同的非平穩(wěn)時(shí)間序列模型的動(dòng)態(tài)性質(zhì)。18.1 ARIMA模型的分析方法模型的分析方法8.1.1 ARIMA模型的結(jié)構(gòu)模型的結(jié)構(gòu)具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為求和自回歸移動(dòng)平均(Autoregressive Integrated Moving Average)，簡(jiǎn)記為ARIMA(p,d,q)模型： (8.1) 式中：2( )( )( )0,( ),()0,()0,dtttttsstBXBEVa

2、rEstE Xst 11(1)( )1ARMA(p,q)( )1ARMA(p,q)ddppqqBBBBBBB ，為平穩(wěn)可逆模型的自回歸系數(shù)多項(xiàng)式，為平穩(wěn)可逆模型的移動(dòng)平滑系數(shù)多項(xiàng)式2 式(8.1)可以簡(jiǎn)記為： 式中， 為零均值白噪聲序列。 由式(8.2)顯而易見(jiàn)，ARIMA模型的實(shí)質(zhì)就是差分運(yùn)算與ARMA模型的組合。這一關(guān)系意義重大，這說(shuō)明任何非平穩(wěn)序列只要通過(guò)適當(dāng)階數(shù)的差分運(yùn)算實(shí)現(xiàn)差分后平穩(wěn)，就可以對(duì)差分后序列進(jìn)行ARMA模型擬合了。而ARMA模型的分析方法非常成熟，這意味著對(duì)差分平穩(wěn)序列的分析也將是非常簡(jiǎn)單、非?？煽康牧?。 ( )( )dttBXB(8.2) t3 例如，設(shè)ARIMA(1,

3、1,1)模型 圖8.1是給出的ARIMA(1,1,1)模型一個(gè)模擬數(shù)據(jù)，樣本容量為200，可以看出時(shí)間趨勢(shì)是非常明顯的。圖8.2是經(jīng)過(guò)一階差分得到的數(shù)據(jù)。經(jīng)過(guò)一階差分我們看到下降的時(shí)間趨勢(shì)被去掉，新的序列看起來(lái)是平穩(wěn)的。1 0.511 0.3, . .0,1tttBB XBiid N4圖8.1 ARIMA(1,1,1)模型一個(gè)模擬數(shù)據(jù) 圖8.2 模擬數(shù)據(jù)的一階差分?jǐn)?shù)據(jù) 5 求和自回歸移動(dòng)平均模型這個(gè)名字的由來(lái)是因?yàn)殡A差分后序列可以表示為： 式中， ，即差分后序列等于原序 列的若干序列值的加權(quán)和，而對(duì)它又可以擬合自回歸移動(dòng)平均(ARMA)模型，所以稱它為求和自回歸移動(dòng)平均模型。 11( 1)dd

4、ditdtiXC X!()!iddCidi6 特別地， 當(dāng)d=0時(shí)，ARIMA(p,d,q)模型實(shí)際上就是ARMA(p,q)模型； 當(dāng)p=0時(shí)，ARIMA(o,d,q)模型可以簡(jiǎn)記為IAM(d,q)模型； 當(dāng)q=0時(shí)，ARIMA(p,d,0)模型可以簡(jiǎn)記為ARI(p,d)模型. 當(dāng)d=1,p=q=0時(shí)，ARIMA(0,1,0)模型為： (8.3) 該模型被稱為隨機(jī)游走(Random Walk)模型，或醉漢模型。12()0,(),()0,()0,ttttttsstXXEVarEstE Xst 7 隨機(jī)游走模型的產(chǎn)生有一個(gè)有趣的典故。它最早于1905年7月由卡爾皮爾遜(Karl Pearson)在

5、自然雜志上作為一個(gè)問(wèn)題提出：假如有一個(gè)醉漢醉得非常嚴(yán)重，完全喪失方向感，把他放在荒郊野外，一段時(shí)間之后再去找他，在什么地方找到他的概率最大呢？ 考慮到他完全喪失方向感，那么他第步的位置將是他第步的位置再加一個(gè)完全隨機(jī)的位移。用數(shù)學(xué)模型來(lái)描述任意時(shí)刻這個(gè)醉漢可能的位置，即為一個(gè)隨即游走模型(8.3)。 81905年8月，雷利爵士(Lord Rayleigh)對(duì)卡爾皮爾遜的這個(gè)問(wèn)題作出了解答。他算出這個(gè)醉漢離初始點(diǎn)的距離為至的概率為：且當(dāng)n很大時(shí)，該醉漢離初始點(diǎn)的距離服從零均值正態(tài)分布。這意味著，假如有人想去尋找醉漢的話，最好是去初始點(diǎn)附近找他，該地點(diǎn)是醉漢未來(lái)位置的無(wú)偏估計(jì)值。作為一個(gè)最簡(jiǎn)單的A

6、RIMA模型，隨機(jī)游走模型目前廣泛應(yīng)用于計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域。傳統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)學(xué)家普遍認(rèn)為投機(jī)價(jià)格的走勢(shì)類似于隨機(jī)游走模型，隨機(jī)游走模型也是有效市場(chǎng)理論(Efficient Market Theory)的核心。22/22rnler rnl98.1.2 ARIMA模型的性質(zhì)模型的性質(zhì) 一、平穩(wěn)性一、平穩(wěn)性 假如服從ARIMA(p,d,q)模型： 式中： 記 ， 被稱為廣義自回歸系數(shù)多項(xiàng)式。顯然ARIMA模型的平穩(wěn)性完全由 的根的性質(zhì)決定。( )( )dttBXB 11(1)()1()1ddppqqBBBBBBB( )( )dBB ( )B( )0B10 因?yàn)殡A差分后平穩(wěn)，服從ARMA(p,q)模型，所以不妨

7、設(shè) 則 (8.4) 由式(8.4)容易判斷，ARIMA(p,d,q)模型的廣義自回歸系數(shù)多項(xiàng)式共有p+d個(gè)特征根，其中p個(gè)在單位圓內(nèi)，d個(gè)在單位圓上。因?yàn)橛衐個(gè)特征根在單位圓上而非單位圓內(nèi)，所以當(dāng) 時(shí)，ARIMA(p,d,q)模型不平穩(wěn)。1( )(1),1;1,2,piiiBBip1( )( )(1)(1)pddiiBBBB 0d 11二、方差齊性二、方差齊性對(duì)于ARIMA(p,d,q)模型，當(dāng) 時(shí)，不僅均值非平穩(wěn)，序列方差也非平穩(wěn)。以最簡(jiǎn)單的隨機(jī)游走模型ARIMA(0,1,0)為例：則這是一個(gè)時(shí)間的遞增函數(shù)，隨著時(shí)間趨向無(wú)窮，序列 的方差也趨向無(wú)窮。但1階差分之后，差分后序列方差齊性0d 1

8、21011 ttttttttXXXX2011()()tttVar XVar XttXttX2()tVarX128.1.3 ARIMA模型建模模型建模 在掌握了ARMA模型建模的方法之后，嘗試使用ARIMA模型對(duì)觀察序列建模是一件比較簡(jiǎn)單的事情。它遵循如下的操作流程，如下圖所示： 13圖8.3 ARIMA模型建模流程148.1.4 ARIMA模型預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè) 在最小均方誤差預(yù)測(cè)原理下，ARIMA模型的預(yù)測(cè)和ARMA模型的預(yù)測(cè)方法非常類似。 ARIMA(p,d,q)模型的一般表示方法為： 和ARMA模型一樣，也可以用歷史觀測(cè)值的線性函數(shù)表示它： 式中， 的值由如下等式確定：( )(1)( )dtt

9、BBXB 1122 ( )tttttXB 12, ( )(1)( )( )dBBBB 15 如果把 記為廣義自相關(guān)函數(shù)，有 容易驗(yàn)證 的值滿足如下遞推公式： 式中， 那么， 的真實(shí)值為：*( )B*212()()(1)1dBBBBB 12, 1112112211 jjp djp dj 0,10,1,0jjjjqj；t lX111111()()t lt lt lltltltX 16 由于 的不可獲得性，所以 的估計(jì)值只能為： 真實(shí)值與預(yù)報(bào)值之間的均方誤差為： 要使均方誤差最小，當(dāng)且僅當(dāng)：11,t lt lt tlX*01122 ( )ttttx l 2222* 22110( )(1)()t lt

10、tl jjjE Xx l *jlj 17 所以，在均方誤差最小的原則下，期預(yù)報(bào)值為： 期預(yù)報(bào)誤差為： 真實(shí)值等于預(yù)報(bào)值加上預(yù)報(bào)誤差： 期預(yù)報(bào)的方差為：1122 ( )tltltltx l ll11111( )ttt llte l 112211111() () = ()()t ll tltlttt lltttXx le l 22211 ( )(1)ttVar e l 18 例例8.1 對(duì)1950年2005年我國(guó)進(jìn)出口貿(mào)易總額數(shù)據(jù)（單位：億元人民幣）序列建立ARIMA模型（數(shù)據(jù)見(jiàn)附錄1.15）1. 對(duì)原序列（NX）的分析 (1) 做出1950年2005年我國(guó)進(jìn)出口貿(mào)易總額數(shù)據(jù)（NX）的時(shí)序圖及自相

11、關(guān)圖，如圖8.4，圖8.5。19 圖圖8.4 圖圖8.520 (2) 對(duì)該序列做單位根檢驗(yàn)，原假設(shè)：；備擇假設(shè)：，檢驗(yàn)結(jié)果如圖8.4。圖圖8.6 根據(jù)圖8.6的檢驗(yàn)結(jié)果，我們可以認(rèn)為這一序列非平穩(wěn)。21 2. 對(duì)原序列取對(duì)數(shù)并分析 由于這一序列有著非常明顯的指數(shù)趨勢(shì)，因此我們對(duì)它進(jìn)行取對(duì)數(shù)的運(yùn)算，以消除指數(shù)趨勢(shì)的影響，將取對(duì)數(shù)后的序列命名為 ，即 。 作出序列 的時(shí)序圖與自相關(guān)圖分別如圖8.7，8.8。 圖圖8.7 圖圖8.8tyln()tyNX ty22 依然對(duì)序列 做單位根檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果如圖8.9。 圖圖8.9 根據(jù)這一檢驗(yàn)結(jié)果，我們看到這一序列依然沒(méi)有平穩(wěn)，結(jié)合圖8.7和圖8.8，我們看

12、到在序列 中有著明顯的增長(zhǎng)趨勢(shì)，因此我們還需要對(duì)其進(jìn)行差分處理。 ty ty23 3. 對(duì)序列 進(jìn)行查分處理 我們將序列 進(jìn)行一階差分處理，得到一個(gè)新序列 ，即 。 畫(huà)出序列 的時(shí)序圖，并進(jìn)行相應(yīng)的單位根檢驗(yàn)，如圖8.10，圖8.11。 圖圖8.10 圖圖8.11 根據(jù)上述結(jié)果，可以認(rèn)為這一序列已經(jīng)平穩(wěn)，接下來(lái)，可以針對(duì)該序列做進(jìn)一步的建模擬合。 tY tYtX(1)ttXB YtX24 4. 針對(duì)平穩(wěn)序列 的建立ARMA模型 (1) 畫(huà)出序列 的自相關(guān)圖，如圖。根據(jù)該圖，我們可以初步判斷該序列的偏自相關(guān)圖一階截尾，而針對(duì)自相關(guān)圖并不能馬上做出判斷。tXtX圖圖8.1225(2) 針對(duì)序列 我

13、們嘗試幾種不同的模型擬合，比如ARMA（1，1），ARMA（1，2），ARMA（1，3）等。經(jīng)過(guò)不斷的嘗試，我們最終選擇了ARMA（1，6）模型，并且該模型中移動(dòng)平均部分的系數(shù)只有MA（6）的系數(shù)是顯著的，這樣我們就把1-5階的系數(shù)全部放棄，最終的估計(jì)結(jié)果如圖8.13。 圖圖8.13通過(guò)圖8.11，我們可以看到最終選擇的模型的整體檢驗(yàn)效果還是良好的。tX26 (5) 對(duì)擬合模型后的殘差序列做純隨機(jī)性檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果如圖8.14。 圖圖8.14 通過(guò)這一檢驗(yàn)，我們看到殘差序列已經(jīng)可以認(rèn)為是一個(gè)純白噪聲的序列，說(shuō)明我們的模型已經(jīng)將有用信息充分提取了。 這一模型的整體擬合效果見(jiàn)圖8.15。27 圖圖8

14、.15 綜合上述分析過(guò)程，實(shí)際上我們是針對(duì)原序列（NX）：1950年2005年我國(guó)進(jìn)出口貿(mào)易總額數(shù)據(jù)序列，建立了一個(gè)ARIMA（1，1，6）模型進(jìn)行擬合，模型機(jī)構(gòu)如下：162(1)(ln)0.557897(1)(ln)0.475266( )0( )()00ttttttststBNXBNXEVarEstENXst ，288.2 季節(jié)時(shí)間序列模型的分析方法季節(jié)時(shí)間序列模型的分析方法8.2.1季節(jié)時(shí)間序列的重要特征季節(jié)時(shí)間序列的重要特征一、季節(jié)時(shí)間序列表示一、季節(jié)時(shí)間序列表示許多商業(yè)和經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列都包含季節(jié)現(xiàn)象，例如，冰淇淋的銷量的季度序列在夏季最高，序列在每年都會(huì)重復(fù)這一現(xiàn)象。相應(yīng)的周期為4。類似

15、地，在美國(guó)汽車的月度銷售量和銷售額數(shù)據(jù)在每年的7月和8月也趨于下降，因?yàn)槊磕赀@時(shí)汽車廠家將會(huì)推出新的產(chǎn)品；在西方，玩具的銷售量在每年12月份會(huì)增加，主要是因?yàn)槭フQ節(jié)的緣故；在中國(guó)，每年農(nóng)歷5月份糯米的銷售量大大地增加，這是因?yàn)橹袊?guó)的端午節(jié)有吃粽子的習(xí)慣。以上三種情況的季節(jié)周期都是12個(gè)月。由上面的例子可以看到，很多的實(shí)際問(wèn)題中，時(shí)間序列會(huì)顯示出周期變化的規(guī)律，這種周期性是由于季節(jié)變化或其他物理因素所致，我們稱這類序列為季節(jié)性序列。單變量的時(shí)間序列為了分析方便，可以編制成一個(gè)二維的表格，其中一維表示周期，另一維表示某個(gè)周期的一個(gè)觀測(cè)值，如表8.1所示。 29 表表8.1 單變量時(shí)間序列觀測(cè)數(shù)據(jù)表

16、單變量時(shí)間序列觀測(cè)數(shù)據(jù)表 例如，19932000年各月中國(guó)社會(huì)消費(fèi)品零售總額序列，是一個(gè)月度資料，其周期S=12，起點(diǎn)為1993年1月，具體數(shù)據(jù)見(jiàn)附錄。30 二、季節(jié)時(shí)間序列的重要特征二、季節(jié)時(shí)間序列的重要特征 季節(jié)性時(shí)間序列的重要特征表現(xiàn)為周期性。在一個(gè)序列中，如果經(jīng)過(guò)S個(gè)時(shí)間間隔后觀測(cè)點(diǎn)呈現(xiàn)出相似性，比如同處于波峰或波谷，我們就說(shuō)該序列具有以S為周期的周期特性。具有周期特性的序列稱為季節(jié)時(shí)間序列，S為周期的長(zhǎng)度，不同的季節(jié)時(shí)間序列會(huì)表現(xiàn)出不同的周期，季度資料的一個(gè)周期表現(xiàn)為一年的四個(gè)季度，月度資料的周期表現(xiàn)為一年的12各月，周資料表現(xiàn)為一周的7天或5天。 例如，圖8.16的數(shù)據(jù)是1993年

17、1月到2000年12月的中國(guó)社會(huì)消費(fèi)品月銷售總額。31 圖圖8.16 1993年年1月月2000年年12月的中國(guó)社會(huì)消費(fèi)品月銷售總額月的中國(guó)社會(huì)消費(fèi)品月銷售總額當(dāng)然影響一個(gè)季節(jié)性時(shí)間序列的因素除了季節(jié)因素外，還存在趨勢(shì)變動(dòng)和不規(guī)則變動(dòng)等。我們研究季節(jié)性時(shí)間序列的目的就是分解影響經(jīng)濟(jì)指標(biāo)變量的季節(jié)因素、趨勢(shì)因素和不規(guī)則因素，據(jù)以了解它們對(duì)經(jīng)濟(jì)的影響。50010001500200025003000350040001993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000SALES328.2.2 季節(jié)時(shí)間序列模型季節(jié)時(shí)間序列模型 一、隨機(jī)季節(jié)模型一、隨機(jī)季節(jié)模型 季節(jié)性隨機(jī)時(shí)間序

18、列時(shí)間間隔為周期長(zhǎng)度S的兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的隨機(jī)變量有相對(duì)較強(qiáng)的相關(guān)性，或者說(shuō)季節(jié)性時(shí)間序列表現(xiàn)出周期相關(guān)，比如對(duì)于月度數(shù)據(jù)，S=12， 與 有相關(guān)關(guān)系，于是我們可以利用這種周期相關(guān)性在 與 之間進(jìn)行擬合。 設(shè)一個(gè)季節(jié)性時(shí)間序列 通過(guò)D階的季節(jié)差分 后為一平穩(wěn)時(shí)間序列 ，即 ，則一階自回歸季節(jié)模型為 或 (8.5) 其中， 為白噪聲序列。將 代入式（8.5），得 (8.6)tX12tX12tXtXtX(1)SDBtW(1)SDttWBX1tt StWW1(1)SttBWt(1)SDttWBX1(1)(1)SSDttBBX33 同樣的思路，一個(gè)一階移動(dòng)平均季節(jié)模型為 或 (8.7) 推廣之，季節(jié)性的S

19、ARIMA為 (8.8) 其中，1ttt sW 1(1)(1)SDSttBXB()(1)()SSDSttU BBXV B212()1SSSkSkU BBBB -212() 1SSSmSmV BHBHBB -H34 二、乘積季節(jié)模型二、乘積季節(jié)模型 式(8.8)的季節(jié)性SARIMA模型中，我們假定是 白噪聲序列，值得注意的是實(shí)際中 不一定是白噪聲序列。因?yàn)槭?8.8)的模型中季節(jié)差分僅僅消除了時(shí)間序列的季節(jié)成分，自回歸或移動(dòng)平均僅僅消除了不同周期相同周期點(diǎn)之間具有的相關(guān)部分，時(shí)間序列還可能存在長(zhǎng)期趨勢(shì)，相同周期的不同周期點(diǎn)之間也有一定的相關(guān)性，所以，模型可能有一定的擬合不足，如果假設(shè) 是ARIM

20、A（p,d,q）模型，則式(8.8)可以改為 (8.9)tatata( )()( ) ()SdDSSttB U BXB V B 35 其中， 稱式(8.9)為乘積季節(jié)模型，記為 。如果將模型的AR因子和MA因子分別展開(kāi)，可以得到類似的 模型，不同的是模型的系數(shù)在某些階為零，故 是疏系數(shù)模型或子集模型。212()1SSSkSkU BBBB -212() 1SSSmSmV BHBH BB -H1( ) 1ppBBB 1( ) 1qqBBB (1)ddB (1)DS DSB ARIMA(k,D,m) (p,d,q)ARIMA(kS+p,mS+q)ARIMA(k,D,m) (p,d,q)36三、常見(jiàn)的

21、隨機(jī)季節(jié)模型三、常見(jiàn)的隨機(jī)季節(jié)模型 為了讀者學(xué)習(xí)起來(lái)方便，這里列舉幾個(gè)常見(jiàn)的隨機(jī)季節(jié)模型，并簡(jiǎn)介其生成的過(guò)程。 在實(shí)際問(wèn)題中，季節(jié)性時(shí)間序列所含有的成分不同，記憶性長(zhǎng)度各異，因而模型形式也是多種多樣的。這里以季節(jié)周期S=12為例，介紹幾種常見(jiàn)的季節(jié)模型。37 模型一模型一 (8.10) 模型(8.10)先對(duì)時(shí)間序列 做雙重差分，移動(dòng)平均算子由 和 兩個(gè)因子構(gòu)成，該模型是交叉乘積模型 。實(shí)際上該模型是由兩個(gè)模型組合而成。由于序列存在季節(jié)趨勢(shì)，故先對(duì)序列進(jìn)行季節(jié)差分 ，差分后的序列是一階季節(jié)移動(dòng)平均模型，則 (8.11)1212112(1)(1)(1)(1)ttBBXBB1(1)B1212(1)B

22、tXARIMA(0,1,1) (0,1,1)1212(1)B 121212(1)(1)ttBXBu38 但式(8.11)僅僅擬合了間隔時(shí)間為周期長(zhǎng)度點(diǎn)之間的相關(guān)關(guān)系，序列還存在非季節(jié)趨勢(shì)，相鄰時(shí)間點(diǎn)上的變量還存在相關(guān)關(guān)系，所以模型顯然擬合不足， 不僅是非白噪聲序列而且非平穩(wěn)， 如滿足以下的模型 (8.12) 式(8.12)擬合了序列滯后期為一期的時(shí)間點(diǎn)之間的相關(guān)， 為白噪聲序列，將式(8.12)代入式(8.11)，則得到模型一。tutu1(1)(1)ttB uBta39 模型二模型二 (8.13) 模型(8.13)也是由兩個(gè)模型組合而成，一個(gè)是 (8.14) 它刻畫(huà)了不同年份同月的資料之間的相

23、關(guān)關(guān)系，但是又有欠擬合存在，因?yàn)?不是白噪聲序列。如果 滿足以下MA（1）的模型，則 (8.15) 將式(8.15)代入式(8.14)，得到模型二。 1212112(1)(1)(1)ttBXBB121212(1)(1)ttBXBututu1(1)ttuB408.2.3 季節(jié)性檢驗(yàn)和季節(jié)模型的建立季節(jié)性檢驗(yàn)和季節(jié)模型的建立檢驗(yàn)一個(gè)時(shí)間序列是否具有季節(jié)性是十分必要的，如果一個(gè)時(shí)間序列季節(jié)性顯著，那么擬合適應(yīng)的季節(jié)時(shí)間序列模型是合理的，否則會(huì)有欠擬合之嫌。如果不是一個(gè)具有顯著季節(jié)性的時(shí)間序列，即使是一個(gè)月度數(shù)據(jù)資料，也不應(yīng)該擬合季節(jié)性時(shí)間序列模型。下面我們討論如何識(shí)別一個(gè)時(shí)間序列的季節(jié)性。一、季節(jié)性

24、時(shí)間序列自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)的檢驗(yàn)一、季節(jié)性時(shí)間序列自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)的檢驗(yàn)根據(jù)Box-Jenkins的建模方法，自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)的特征是識(shí)別非季節(jié)性時(shí)間序列的工具。從第七章第二節(jié)的討論已經(jīng)看到季節(jié)性時(shí)間序列模型實(shí)際上是一種特殊的ARIMA模型，不同的是它的系數(shù)是稀疏的，即部分系數(shù)為零，所以對(duì)于乘積季節(jié)模型的階數(shù)識(shí)別，基本上可以采用Box-Jenkins的方法，考察序列樣本自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)，從而對(duì)季節(jié)性進(jìn)行檢驗(yàn)。41 1. 季節(jié)性MA模型的自相關(guān)函數(shù) 假設(shè)某一季節(jié)性時(shí)間序列適應(yīng)的模型為 (8.16) (8.17) 是白噪聲序列。將式(8.17)代入(8.16)，可得

25、整理后，有 這實(shí)際上是一個(gè)疏系數(shù)的MA(S+1)模型，除滯后期為1，S和S+1時(shí)的滑動(dòng)平均參數(shù)不為零以外，其余的均為零。根據(jù)前面第三章的討論，不難求出其自相關(guān)函數(shù)。S(1)SttXBu1(1)ttuBtaS1(1)(1)SttXBB1111tttS t ss t sX 424344 可見(jiàn)當(dāng)?shù)玫綐颖镜淖韵嚓P(guān)函數(shù)后，各滑動(dòng)平均參數(shù)的矩法估計(jì)式也就不難得到了。 更一般的情形，如果一個(gè)時(shí)間序列服從模型 (8.18) 其中， 。整理后可以看出該時(shí)間序列模型是疏系數(shù)MA(ms+q)，可以求出其自相關(guān)函數(shù)，從而了解時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)特征。2s2( )(1)ssmstsmstXBBBB212( )1qqBBBB

26、45 2. 季節(jié)性AR模型的偏自相關(guān)函數(shù)假定 是一個(gè)季節(jié)時(shí)間序列，服從如果我們將上式展開(kāi)整理后，可以得到這是一個(gè)階段為S+1的疏系數(shù)AR模型，根據(jù)偏自相關(guān)函數(shù)的定義，該模型的滯后期1，S和S+1不為零，其他的偏自相關(guān)函數(shù)可能會(huì)顯著為零。更一般的情形，如果一個(gè)時(shí)間序列服從模型 (8.19)其中， ，整理后可以看到該時(shí)間序列模型是疏系數(shù)AR(kS+p)模型，求出其偏自相關(guān)函數(shù)，可以了解時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)特征。 1(1)(1)ssttBBX111(1)ssssttBBBX22( )(1)ssksssksttBBBBX212( )1ppBBBB tX46 季節(jié)時(shí)間序列的樣本自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)既不拖尾

27、也不截尾，也不呈現(xiàn)出線性衰減趨勢(shì)，如果在滯后期為周期S的整倍數(shù)時(shí)出現(xiàn)峰值，則建立乘積季節(jié)模型是適應(yīng)的，同時(shí)SAR算子 和SMA算子 的階數(shù)也可以通過(guò)自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)的表現(xiàn)得到。 關(guān)于差分階數(shù)和季節(jié)差分階數(shù)的選擇是試探性的，可以通過(guò)考察樣本的自相關(guān)函數(shù)來(lái)確定。一般情況下，如果自相關(guān)函數(shù)緩慢下降同時(shí)在滯后期為周期S的整倍數(shù)時(shí)出現(xiàn)峰值，通常說(shuō)明序列同時(shí)有趨勢(shì)變動(dòng)和季節(jié)變動(dòng)，應(yīng)該做一階差分和季節(jié)差分。如果差分后的序列所呈現(xiàn)的自相關(guān)函數(shù)有較好的截尾和拖尾性，則差分階數(shù)是適宜的。 ()SU B()SV B47例例8.3 繪制1993年1月至2000年12月中國(guó)社會(huì)消費(fèi)品零售總額序列的自相關(guān)和偏自相

28、關(guān)圖（圖8.17）。 圖圖8.17圖8.17顯示中國(guó)社會(huì)消費(fèi)品零售總額月度時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)緩慢下降，且在滯后期為周期倍數(shù)時(shí)出現(xiàn)峰值，滯后期為12的自相關(guān)函數(shù)為0.645，滯后期為24的自相關(guān)函數(shù)為0.318，說(shuō)明該時(shí)間序列是一個(gè)典型的既有趨勢(shì)又有季節(jié)變動(dòng)的序列，由于該序列不是一個(gè)平穩(wěn)的時(shí)間序列，所以我們不能由其偏自相關(guān)函數(shù)簡(jiǎn)單建立一個(gè)自回歸模型，該序列建模必須將序列進(jìn)行差分變化，使其平穩(wěn)化。48495051525354555657EVIEWS軟件介紹軟件介紹()一、一、X-12季節(jié)調(diào)整方法簡(jiǎn)介季節(jié)調(diào)整方法簡(jiǎn)介X-12-ARIMA方法最早由美國(guó)普查局Findley等人在20世紀(jì)90年代左右提

29、出，現(xiàn)已成為對(duì)重要時(shí)間序列進(jìn)行深入處理和分析的工具，也是處理最常用經(jīng)濟(jì)類指標(biāo)的工具，在美國(guó)和加拿大被廣泛使用。其在歐洲統(tǒng)計(jì)界也得到推薦，并在包括歐洲中央銀行在內(nèi)的歐洲內(nèi)外的許多中央銀行、統(tǒng)計(jì)部門和其他經(jīng)濟(jì)機(jī)構(gòu)被廣泛應(yīng)用。X-12-ARIMA方法提供了四個(gè)方面的改進(jìn)和提高，（1）可選擇季節(jié)、交易日及假日進(jìn)行調(diào)整，包括調(diào)整用戶定義的回歸自變量估計(jì)結(jié)果，選擇輔助季節(jié)和趨勢(shì)過(guò)濾器，以及選擇季節(jié)、趨勢(shì)和不規(guī)則因素的分解形式；（2）對(duì)各種選項(xiàng)條件下調(diào)整的質(zhì)量和穩(wěn)定性做出新診斷；（3） 對(duì)具有ARIMA誤差及可選擇穩(wěn)健估計(jì)系數(shù)的線性回歸模型，進(jìn)行廣泛的時(shí)間序列建模和模型選擇能力分析；（4）提供一個(gè)新的易于分批處理大量時(shí)間序列能力的用戶界面。 X-12-ARIMA方法現(xiàn)已廣泛應(yīng)用于世界各國(guó)的中央銀行、統(tǒng)計(jì)部門和其他經(jīng)濟(jì)機(jī)構(gòu)，并且已成為對(duì)重要時(shí)間序列進(jìn)行深入處理和分析的工具。58 二、案例：二、案例：1993-2000年中國(guó)社會(huì)消費(fèi)品零售總額月度序年中國(guó)社會(huì)消費(fèi)品零售總額月度序列（單位：億元）列（單位：億元） 通過(guò)1993-2000年中國(guó)社會(huì)消費(fèi)品零售