離散數(shù)學(xué)：B_6_2_6.2-群的定義

1、第六章 群、環(huán)、域 一、半群一、半群二、群二、群三、群的性質(zhì)三、群的性質(zhì)四、置換群四、置換群一、半群定義定義6.2.1設(shè)設(shè)G是一個(gè)是一個(gè)非空非空集合，若集合，若為為G上的上的二元代二元代數(shù)運(yùn)算數(shù)運(yùn)算，且滿足，且滿足結(jié)合律結(jié)合律，則稱該代數(shù)系統(tǒng)（，則稱該代數(shù)系統(tǒng)（G,）為半群。為半群。 若（若（G,）是半群，且）是半群，且G中存在對(duì)于中存在對(duì)于運(yùn)算的運(yùn)算的單位元單位元e，則把（，則把（G,）稱為獨(dú)異點(diǎn)。）稱為獨(dú)異點(diǎn)。例例1 1設(shè)設(shè)S S是一個(gè)非空集合，是一個(gè)非空集合，(S)(S)是是S S的冪集，的冪集，和和是是(S)(S)上的交運(yùn)算和并運(yùn)算，則上的交運(yùn)算和并運(yùn)算，則 (S),) (S),)為半

2、群，為半群， (S),) (S),)為半群。為半群。一、半群例例2 2設(shè)設(shè)S S是一個(gè)是一個(gè)非空非空集合，規(guī)定集合，規(guī)定S S上的運(yùn)算上的運(yùn)算 如下：如下：a a b=bb=b，其中，其中a a、b b是是S S中任意元素。中任意元素。顯然顯然 為為S S上的上的二元代數(shù)運(yùn)算二元代數(shù)運(yùn)算。 對(duì)對(duì)S S中任意三個(gè)元素中任意三個(gè)元素a a、b b、c c，有：，有：(a(a b)b) c=bc=b c=cc=c， a a ( (b b c)=ac)=a c=cc=c，故故(a(a b)b) c=ac=a ( (b b c)c)， 滿足滿足結(jié)合律結(jié)合律。因此，因此，(S,(S, ) )為半群。為半群

3、。 一、半群例例3 3對(duì)于自然數(shù)集對(duì)于自然數(shù)集N N、整數(shù)集、整數(shù)集Z Z、有理數(shù)集、有理數(shù)集Q Q、實(shí)數(shù)、實(shí)數(shù)集集R R、正整數(shù)集、正整數(shù)集Z Z+ +，以及數(shù)的加法，以及數(shù)的加法+ +、減法、減法- -、乘法、乘法：（1 1）代數(shù)系統(tǒng)）代數(shù)系統(tǒng)(Z,-)(Z,-)、(Q,-)(Q,-)、(R,-)(R,-)不是半群。因不是半群。因?yàn)閿?shù)的減法運(yùn)算不滿足結(jié)合律。為數(shù)的減法運(yùn)算不滿足結(jié)合律。（2 2）代數(shù)系統(tǒng)）代數(shù)系統(tǒng)(Z(Z+ +,+),+)是半群不是獨(dú)異點(diǎn)。因?yàn)槭前肴翰皇仟?dú)異點(diǎn)。因?yàn)閆 Z+ +中中不含數(shù)的加法運(yùn)算單位元。不含數(shù)的加法運(yùn)算單位元。（3 3）代數(shù)系統(tǒng)）代數(shù)系統(tǒng)(N,+)(N,+

4、)、(N,(N,) )、(Z,+)(Z,+)、(Z,(Z,) )、(Q,+)(Q,+)、(Q,(Q,) )、(R,+)(R,+)、(R,(R,) )、(Z(Z+ +, ,) )都是半群，都是半群，也都是獨(dú)異點(diǎn)。也都是獨(dú)異點(diǎn)。二、群TherootsystemoftheexceptionalLiegroupE8.Liegroupshavemanysymmetries.-WIKIPEDIA二、群定義定義6.2.2設(shè)（設(shè)（G,）為半群，如果滿足下面條件：）為半群，如果滿足下面條件：(1) G中有一個(gè)元素中有一個(gè)元素1，使得對(duì)于，使得對(duì)于G中任意元素中任意元素a，都，都有有1a=a1=a；(2) 對(duì)于對(duì)

5、于G中任意中任意a，都可找到，都可找到G中一個(gè)元素中一個(gè)元素a-1，使，使得得aa-1=a-1a =1；則稱（則稱（G,）為群。元素）為群。元素1稱為稱為G的單位元或壹元，的單位元或壹元，a-1稱為稱為a的逆元。如果群的逆元。如果群G包含的元素個(gè)數(shù)有限，則包含的元素個(gè)數(shù)有限，則稱稱G為有限群，否則稱為有限群，否則稱G為無限群。為無限群。 為簡便起見，今后可以用為簡便起見，今后可以用|G|表示有限群表示有限群G中中所包含的元素個(gè)數(shù)。所包含的元素個(gè)數(shù)。二、群群的定義實(shí)際上包含群的定義實(shí)際上包含5個(gè)條件：個(gè)條件：（1）G非空；非空；（2）運(yùn)算封閉；運(yùn)算封閉；（3）運(yùn)算滿足結(jié)合律；運(yùn)算滿足結(jié)合律；（4

6、）運(yùn)算在運(yùn)算在G中有單位元；中有單位元；（5）G中任意元素關(guān)于中任意元素關(guān)于運(yùn)算有逆。運(yùn)算有逆。二、群例例4 4設(shè)設(shè)Z Z為整數(shù)集，為整數(shù)集，+ +、是數(shù)的加法和乘法，則半是數(shù)的加法和乘法，則半群（群（Z,+Z,+）是群，稱為整數(shù)加法群。因?yàn)椋海┦侨?，稱為整數(shù)加法群。因?yàn)椋海? 1）存在元素）存在元素0 0，適合對(duì)于，適合對(duì)于Z Z中任意元素中任意元素a a，都有，都有0+a=a+0=a0+a=a+0=a，即，即0 0為單位元素；為單位元素；（2 2）對(duì)于）對(duì)于Z Z中任意中任意a a，都可找到，都可找到Z Z中一個(gè)元素中一個(gè)元素-a-a，滿，滿足足a+(-a)=(-a)+a=0a+(-a)=

7、(-a)+a=0，即，即-a-a為為a a的逆元素。的逆元素。但半群（但半群（Z,Z,）不是群。因?yàn)椋海┎皇侨?。因?yàn)椋篫 Z中除中除1 1和和-1-1外，其外，其他元素均無逆元素。他元素均無逆元素。二、群例例5 5G=1,-1G=1,-1關(guān)于整數(shù)乘法運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)群關(guān)于整數(shù)乘法運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)群. .例例6 6G=1,-1,i,-iG=1,-1,i,-i關(guān)于復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)群關(guān)于復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)群, , 其中其中 i=(-1)i=(-1)1/21/2。例例7 7N N階非奇異實(shí)數(shù)矩陣的集合關(guān)于矩陣乘法運(yùn)算階非奇異實(shí)數(shù)矩陣的集合關(guān)于矩陣乘法運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)群。構(gòu)成一個(gè)群。二、群例例8 8設(shè)設(shè)Z Z

8、m m=0,1,=0,1,m-1,m-1，規(guī)定，規(guī)定Z Zm m上的模上的模m m加法運(yùn)算加法運(yùn)算 如下：如下：a a b=b=其中其中a a、b b是是Z Zm m中任意元素，中任意元素，+ +、- -為數(shù)的加減，則為數(shù)的加減，則(Z(Zm m, , ) )為群，稱為模為群，稱為模m m整數(shù)加法群。整數(shù)加法群。a+b a+b ，當(dāng)，當(dāng)a+bma+b1n1）階可逆矩陣的）階可逆矩陣的全體關(guān)于矩陣的乘法組成群，都是非交換群，叫全全體關(guān)于矩陣的乘法組成群，都是非交換群，叫全線性群，記為線性群，記為GL(n,R)GL(n,R)或或GL(n,C)GL(n,C)。三、群的性質(zhì)定理定理6.2.5 在一個(gè)在

9、一個(gè)AbelAbel群群(G(G,)中，一個(gè)乘積可以任意中，一個(gè)乘積可以任意顛倒因子的次序而求其值。顛倒因子的次序而求其值。證明：證明：考慮一個(gè)乘積考慮一個(gè)乘積a1an。對(duì)。對(duì)n用數(shù)學(xué)歸納法，用數(shù)學(xué)歸納法，n=1時(shí)定理顯然成立。假定時(shí)定理顯然成立。假定n-1時(shí)定理已真，往證時(shí)定理已真，往證n時(shí)時(shí)定理亦真。定理亦真。 設(shè)任意顛倒因子次序后的乘積為設(shè)任意顛倒因子次序后的乘積為ak1akn。構(gòu)造構(gòu)造1,n上的一個(gè)一對(duì)一變換上的一個(gè)一對(duì)一變換使使(i)=ki(1in)。這樣，欲證這樣，欲證 ak1akn=a1an只需證只需證 a(1)a(n)=a1an。三、群的性質(zhì)對(duì)對(duì)P = a(1)a(n)，因子因

10、子an必在必在P中某處出現(xiàn)，因而中某處出現(xiàn)，因而P可以寫成如下形式可以寫成如下形式 P =(P)an(P)。由結(jié)合律、交換律有，由結(jié)合律、交換律有，P = P(anP)= P(Pan)= (PP)an， 現(xiàn)在現(xiàn)在PP中只有中只有n-1個(gè)元素個(gè)元素a1、an-1，只不過次，只不過次序有顛倒，故由歸納假設(shè)，序有顛倒，故由歸納假設(shè)，PP=a1an-1。因。因此，此，P =(PP)an=a1an-1an。三、群的性質(zhì)可以證明，在可以證明，在Abel群中，第三指數(shù)律成立：群中，第三指數(shù)律成立： (ab)m=ambm，m為任意整數(shù)。為任意整數(shù)。一般來說，在群中第三指數(shù)律不成立。一般來說，在群中第三指數(shù)律不

11、成立。三、群的性質(zhì) 今后，如果沒有特殊說明，我們將寫法上形如今后，如果沒有特殊說明，我們將寫法上形如(G,+)的群的群稱為加法群，并對(duì)加法群稱為加法群，并對(duì)加法群(G,+)作如下默認(rèn)規(guī)定：作如下默認(rèn)規(guī)定： （1）(G,+)為一個(gè)為一個(gè)Abel群；群； （2）將其單位元記為）將其單位元記為0（即（即a+0=a）；）； （3）將加法群中任一元素）將加法群中任一元素a的逆元素記為的逆元素記為-a （即（即a+(-a)=0）；）； （4）用）用na表示表示a+a （即（即n個(gè)個(gè)a相加后所對(duì)應(yīng)的群中元素）。相加后所對(duì)應(yīng)的群中元素）。據(jù)以上規(guī)定可知，在加法群中，三個(gè)指數(shù)定律表現(xiàn)為如下形式：據(jù)以上規(guī)定可知，

12、在加法群中，三個(gè)指數(shù)定律表現(xiàn)為如下形式：(m+n)a=ma+na，m(a+b)=ma+mb， m(na)=(mn)a。1習(xí)題習(xí)題6.1.12習(xí)題習(xí)題6.1.43習(xí)題習(xí)題6.2.2 作業(yè)2四、置換群用用m種顏色對(duì)手鐲上的種顏色對(duì)手鐲上的n顆珠子染色，顆珠子染色，共有多少種染色方案？共有多少種染色方案？四、置換群用紅、藍(lán)用紅、藍(lán)2種顏色對(duì)種顏色對(duì)4顆珠子染色顆珠子染色四、置換群用紅、藍(lán)用紅、藍(lán)2種顏色對(duì)種顏色對(duì)4顆珠子染色顆珠子染色四、置換群一一二二三三四四五五六六旋轉(zhuǎn)等價(jià)旋轉(zhuǎn)等價(jià)a b c db c d a四、置換群如何用數(shù)學(xué)語言表達(dá)如何用數(shù)學(xué)語言表達(dá)“旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)”操作？操作？順時(shí)針旋轉(zhuǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

13、90a b c dc d a b順時(shí)針旋轉(zhuǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180a b c dd a b c順時(shí)針旋轉(zhuǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)270， r r， r r ra b c da b c d順時(shí)針旋轉(zhuǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)0( I, r, r2, r3 ， )是一個(gè)群是一個(gè)群，記為，記為r，記為，記為I四、置換群3 32 21 10 00 02 21 10 03 31 10 03 32 20 03 32 21 13 32 21 10 03 32 21 1 4r3r2rIIr2rIr3rIr3r2Ir3r2rr3r2rIr3r2r 四、置換群旋轉(zhuǎn)等價(jià)旋轉(zhuǎn)等價(jià)翻轉(zhuǎn)等價(jià)翻轉(zhuǎn)等價(jià)四、置換群a b c dd c b aa b c da d

14、c b翻轉(zhuǎn)翻轉(zhuǎn)a b c dc b a d翻轉(zhuǎn)翻轉(zhuǎn)， s r， s r r ra b c db a d c翻轉(zhuǎn)，記為翻轉(zhuǎn)，記為s 翻轉(zhuǎn)翻轉(zhuǎn)， s r r( I, r, r2, r3, s, sr, sr2, sr3 ， )是一個(gè)群是一個(gè)群( I, r, r2, r3 ， ) 是是 它的一個(gè)它的一個(gè)子群子群( I, r, r2, r3, s, sr, sr2, sr3 ， )是否還有是否還有其它四元子群？其它四元子群？四、置換群定義定義6.2.4（置換）（置換）設(shè)設(shè)M為非空有限集合，為非空有限集合，M的一個(gè)的一個(gè)一對(duì)一變換一對(duì)一變換f稱為一個(gè)置換。如果稱為一個(gè)置換。如果|M|=n，則，則f稱為稱

15、為n元元置換或置換或n階置換。階置換。設(shè)設(shè)M=a1,a2,an，則，則M的置換的置換可簡記為可簡記為 ，其中，其中，bi=(ai)（ 1in ）。）。四、置換群結(jié)論：結(jié)論：（1）若）若(ai)=ai，i=1,2,n，則稱，則稱為為n元恒等元恒等置換，記為置換，記為I I。（2）M的置換共有的置換共有n！個(gè)。！個(gè)。 （3）把所有）把所有n！個(gè)置換作成的集合記為！個(gè)置換作成的集合記為Sn。permutationrelatestotheactofarrangingallthemembersofasetintosomesequenceororder四、置換群例例1414設(shè)設(shè)M=1M=1，2 2，33，

16、則有，則有3 3！=6=6個(gè)個(gè)3 3元置換，元置換，1 1 ，2 2 ，3 34 4 ，5 5 ，6 6故故S S3 3= = 1 1,2 2,3 3,4 4,5 5,6 6 。四、置換群定義（置換的乘積）定義（置換的乘積）對(duì)對(duì)M中任意元素中任意元素a及及M的任意兩的任意兩個(gè)置換個(gè)置換、，規(guī)定，規(guī)定(a)=(a)。 置換乘積的性質(zhì)置換乘積的性質(zhì)（1）滿足結(jié)合律：對(duì)）滿足結(jié)合律：對(duì) 、 Sn，有，有()=()。（2）設(shè)）設(shè)n元恒等置換記為元恒等置換記為I，則對(duì)，則對(duì) Sn，有，有I=I=。（3）對(duì)）對(duì) = Sn，都有：，都有： = 。四、置換群例例1515設(shè)設(shè) ， ，則則= = ，= = 。四、

17、置換群定理定理6.2.6 n元置換的全體作成的集合元置換的全體作成的集合Sn對(duì)置換的乘對(duì)置換的乘法作成一個(gè)群，稱為法作成一個(gè)群，稱為n 次對(duì)稱群。次對(duì)稱群。 當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)，時(shí)，M=a，S1= 關(guān)于置換乘法作成關(guān)于置換乘法作成1次對(duì)稱群，次對(duì)稱群，為為Abel群；群； 當(dāng)當(dāng)n=2時(shí)，時(shí)，M=a,b，S2= , 關(guān)于置換乘法作關(guān)于置換乘法作成成2次對(duì)稱群，為次對(duì)稱群，為Abel群；群；當(dāng)當(dāng)n3時(shí)，時(shí)，Sn不是交換群。不是交換群。四、置換群比如，在順時(shí)針旋轉(zhuǎn)比如，在順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180的置換的置換g作用下：作用下：因此，因此，fix(g)=4。Burnside引理引理：四、置換群定義定義6.2.5（輪換

18、）（輪換）設(shè)設(shè)是是M的置換，若可取到的置換，若可取到M的元的元素素a1,ar 使使 (a1)a2, (a2)=a3, , (ar-1)=ar, (ar)=a1，而而不變換不變換M的其余元素（自己變換到本身），則的其余元素（自己變換到本身），則稱為一個(gè)輪換，稱為一個(gè)輪換， 記為記為 （a1 a2 ar）并稱輪換并稱輪換的長度為的長度為r。當(dāng)然，也可以把任一元素當(dāng)然，也可以把任一元素ai排在頭一位而改寫成排在頭一位而改寫成 （ai ai+1 ar a1 a2 ai-1 ）四、置換群例例1616 (1 3 4)(1 3 4)。 問題討論問題討論給定給定M=1,2,3,4,5,6：（1）輪換）輪換(3

19、 4 1)和和(4 1 3)分別表示什么分別表示什么?（2）兩個(gè)輪換的乘積）兩個(gè)輪換的乘積(1 3 4)(3 4 6)表示什么？表示什么？只要保持輪換只要保持輪換中各元素的變換次序，將哪一個(gè)元素放在第一位寫都可以。中各元素的變換次序，將哪一個(gè)元素放在第一位寫都可以。(3 4 1)(3 4 1)(4 1 3)(4 1 3) 。(1 3 4)(3 4 6) (1 3)(4 6)（3）(3 4 6)(1 3 4)=(1 3 4)(3 4 6)？(1 3)(4 6)=(4 6)(1 3)？四、置換群定義定義6.2.6（不相交輪換（不相交輪換） M的兩個(gè)輪換的兩個(gè)輪換 =(a1ar)和和=(b1bs)說

20、是不相雜或不相交，如果說是不相雜或不相交，如果 a1,ar和和b1,bs都不相同（即都不相同（即a1, ,arb1,bs=）。）。例例1717給定給定M=1,2,3,4,5,6M=1,2,3,4,5,6，那么，那么(1 3 5)(1 3 5)和和(4 6)(4 6)是兩個(gè)不相雜輪換。而它們的乘積是兩個(gè)不相雜輪換。而它們的乘積 (1 3 5)(4 6)(1 3 5)(4 6) (4 6)(1 3 5)(4 6)(1 3 5)四、置換群結(jié)論結(jié)論 若若和和是是M的兩個(gè)不相雜的輪換，則的兩個(gè)不相雜的輪換，則=。證明：設(shè)證明：設(shè)=（a1ar），），=（b1bs），）， 和和不相雜。命不相雜。命x為為M的

21、任意元素。的任意元素。（1）若）若xa1,ar，設(shè)，設(shè)x=ai (1i1，則奇置換的個(gè)，則奇置換的個(gè)數(shù)和偶置換的個(gè)數(shù)相等，都等于數(shù)和偶置換的個(gè)數(shù)相等，都等于 。（證明略）。（證明略）n次交代群：所有次交代群：所有n元偶置換作成的集合，對(duì)置元偶置換作成的集合，對(duì)置換的乘法構(gòu)成一個(gè)群，稱為換的乘法構(gòu)成一個(gè)群，稱為n次交代群。次交代群。n次交代群的元數(shù)為次交代群的元數(shù)為 。四、置換群例例2020設(shè)設(shè)G=aG=a1 1,a,a2 2, ,a,an n 為群，則為群，則G G的運(yùn)算表的每行的運(yùn)算表的每行每列都是每列都是G G中元素的一個(gè)置換。中元素的一個(gè)置換。證明：對(duì)任意的證明：對(duì)任意的i=1,2,i=1,2,n,n，設(shè)，設(shè)a ai1i1,a,ai2i2, ,a,ainin是運(yùn)算是運(yùn)算表的第表的第i i行行, ,假設(shè)假設(shè)a aisis=a=aitit，根據(jù)運(yùn)算表的定義有，根據(jù)運(yùn)算表的定義有a ai ia as