2020年天津卷數(shù)學高考試題及答案解析

1、高考真題絕密啟用前2020年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(天津卷)數(shù)學本試卷分為第I卷(選擇題)和第n卷(非選擇題)兩部分，共150分，考試用時120分鐘。第I卷1至3頁，第n卷4至6頁。答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試 用條形碼。答卷時，考生務必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題 卡一并交回。祝各位考生考試順利！第I卷注意事項：1 .每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。2 .本卷共9小題，每小題5分，共45分.參考公式： 如果事件 A與事

2、件B互斥，那么P(AjB) P(A) P(B) . 如果事件 A與事件B相互獨立，那么 P(AB) P(A)P(B). 球的表面積公式 S 4#2,其中R表示球的半徑.一.選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1 .設全集 U 3, 2, 1,0,1,2,3,集合 A 1,0,1,2, B 3,0,2,3,則 AH BA. 3,3B. 0,2C. 1,1D. 3, 2, 1,1,32 .設 a R ,則 a 1”是 a2 a”的A .充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D .既不充分也不必要條件4x3 .函數(shù)y f-的圖象大致為x2 1A4 .從一批零件中抽取80

3、個，測量其直徑(單位：mm),將所得數(shù)據(jù)分為9組：5.31,5.33),5.33,5.35),川,5.45,5.47),5.47,5.49,并整理得到如下頻率分布直方圖，則在被抽取的零件中，直徑落在區(qū)間5.43,5.47)內(nèi)的個數(shù)為A. 10B. 18C. 20D. 365.若棱長為2J3的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為A. 12 兀B. 24 兀C. 36 兀D. 144 7t高考真題1616.設 a30.7, b (-)30.8,c10go.7 0.8,則a,b, c的大小關系為A. a b cB.C. b c aD. C7.設雙曲線C的方程為0,b 0),過拋物線y2 4x

4、的焦點和點(0,b)的直線為1 .若C的一條漸近線與1平行，另一條漸近線與1垂直,則雙曲線C的方程為22xyA. 4422 yB. x 42 x C.4y2 1D. x2y2 18.已知函數(shù)f(x) sin(x .給出下列結(jié)論:f (x)的最小正周期為2兀;f()是f(x)的最大值;把函數(shù)y sin x的圖象上所有點向左平移個單位長度，可得到函數(shù) y3f(x)的圖象.其中所有正確結(jié)論的序號是A.B.C.D.3.,、 x , x9.已知函數(shù)f (x)x,x0,若函數(shù)g(x) 0.f(x)kx2 2x (k R)恰有4個零點，則k的取值范圍是A.(, 1)U(2三B.C. (,0)|J(0,2揚D

5、., 2業(yè)0,2亞,0)IJ(2'2,)注意事項:i.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上.2.本卷共11小題，共105 分.填空題：本大題共6小題,對的給5分.10. i是虛數(shù)單位，復數(shù)11 .在(x4)5的展開式中,x每小題5分，共30分.試題中包含兩個空的，答對 1個的給3分，全部答2 ，一 一 x的系數(shù)是12.已知直線x 6y 8 0和圓x2 y2 r2(r 0)相交于A,B兩點.若|AB| 6,則r的值為-8的最小值為 a bAD BC, AD aB的值為，若M ,N是線段BC上的動點，且|的最小值為mN| 1,則1 - 113 .已知甲、乙兩球落入盒子的概率分別為一和

6、一 .假定兩球是否洛入盒子互不影響，則甲、乙兩球都洛23入盒子的概率為；甲、乙兩球至少有一個落入盒子的概率為 . c .c 一 . / 1114 .已知a 0,b 0,且ab 1 ,則 2a 2b15 .如圖，在四邊形ABCD中， B 60 , AB三.解答題：本大題共5小題，共75分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16 .(本小題滿分14分)在4ABC中，角A, B,C所對的邊分別為 a,b,c.已知a 2 J2,b 5,c 而.(i)求角C的大小；(n)求sin A的值；(出)求sin(2A ;)的值.17 .(本小題滿分15分)如圖，在三柱 ABC ABC1 中，CC1 平面

7、ABC,AC BC,AC BC 2, CC1 3,點 D, E分別在棱AA1和棱CCi上，且AD 1,CE 2,M為棱AB1的中點.(I)求證：C1M B1D；(n)求二面角 B B1ED的正弦值;(m)求直線AB與平面DBiE所成角的正弦值.18.(本小題滿分15分)22已知橢圓x2 4 1(aa2 b2b 0)的一個頂點為A(0, 3),右焦點為F ,且|OA| |OF|,其中。為原(i)求橢圓的方程；(n)已知點C滿足3OC oF，點B在橢圓上(B異于橢圓的頂點)，直線AB與以C為圓心的圓19.相切于點P,且P為線段AB的中點.求直線(本小題滿分15分)已知為等差數(shù)列， bn為等比數(shù)列，

8、a1(i)an和bn的通項公式;(n)an的前n項和為Sn,求證：SnSn3an 2(出)對任意的正整數(shù)n ,設cnanan 2AB的方程.bi 1自 5 a 4 ag ,b5 4 b4 0 .2S21 n N* ；bn,n為奇數(shù)，求數(shù)列cn的前2 n項和.心,n為偶數(shù). bn 120.(本小題滿分16分)已知函數(shù)f (x) x3 klnx(k R), f (x)為f (x)的導函數(shù).(I)當 k6時,(i)求曲線y f (x)在點(1,f (1)處的切線方程;(ii)求函數(shù)9g(x) f (x) f (x) 一的單倜區(qū)間和極值;x(n)當 k,，一 ，, 一，f x f x23時，求證：對任

9、息的 x1,x2 1,)，且 x1 x2 ,有xx21. C二.填空題:10. 3三.解答題2020年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(天津卷)數(shù)學參考解答每小題2. A每小題2i16.滿分14分.5分，滿分45分.3. A4. B5. C 6. D7. D8. B9. D5分，滿分11. 10(I)解：在 zXABC 中,因為e (0,力，所以e(n)解：在ABC 中,(m)解：由進而sin 2A30分.試題中包含兩個空的,12. 5113.6由余弦定理及由正弦定理及答對1個的給14. 43分，全部答對的給15.135分.p2 .13a c及sin A ,可得2、2 b冗4，a5,c2 2,c1

10、3八.八n 12八 2一2sin AcosA ,cos2A 2cos A 113所以，sin(2A -) 4一 c a 一一 冗 一一c 一 冗 12sin 2 Acos - cos2Asin一4 1317.滿分15分.依題意，以e為原點，分別以VT3,有 cosebj2ab叵.又2VT3 ,可得 sin Aasin C2.13132sin A3.1313 '勺13J2513217.2226CA,CB,CC1的方向為x軸，y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標系(如圖)，可得 C(0,0,0), A(2,0,0), B(0,2,0), C1(0,0,3)A(2,0,3), B1 (0,2,

11、3), D(2,0,1), E(0,0, 2),M (1,1,3).(I )證明：依題意,(1,1,0)2,BD (2, 2, 2),從而2 0 0,所以CiMBiD .(H)解：依題意,(2,0,0)是平面BB1E的一個法向量,EBf (0,2,1),ED(2,0, 1) .設18.n (x, y, z)為平面n EBiDBiE的法向量，則 口 n ED因此有cos CA, n旦吏,|n|6F 曰 _ _十sin所以，二面角B B1E D的正弦值為(m)解：依題意，AB,nAn|AB|n|0,即0,n306(2,2,0).由(n)、33所以，直線AB與平面DB1E所成角的正弦值為滿分15分.

12、(I )解:由已知可得 b 3.記半焦距為c,J33由 |OF |2y z2x z3060,不妨設x 1 0.(1, 1,2).(1, 1,2)為平面DBE的一個法向量,|OA|可彳# c b 3.又由 a2 b2c2,可得a2 18.189(n)解：因為直線 AB與以C為圓心的圓相切于點P ,所以AB CP .依題意，直線AB和直線CP2 x 所以，橢圓的方程為 一212k 6k2 3 m,一2一 因2k2 1 2k2 1y kx 3,的斜率均存在.設直線 AB的方程為y kx 3.由方程組 x2 y2消去y,可得1,18 92k2 1 x2 12kx 0,解得x 0,或x 12k .依題意

13、，可得點B的坐標為2k 1為P為線段AB的中點，點A的坐標為(0, 3),所以點P的坐標為.由 3OC2k2 1 2k2 1OF19.得點C的坐標為(1,0),故直線CP的斜率為3-2k1 1,整理得2k22k2 6k 1所以，直線AB的方程為y滿分15分.(i)解：設等差數(shù)列an3k 13,或y得d 1 ,從而 an的通項公式為ann解得q 2,從而bn的通項公式為bn(n)證明：由(i)可得Snn(n 1)21)(n 2)(m)解:當n為奇數(shù)時,3anan 1n 12n對任意的正整數(shù)n ,c2k k 12k 14k342142343IIIc2k1242III2n因此，ckk 1c2kk 1

14、c2kk 1_32k2 16k2k2 10,解得等比數(shù)列bn2n 1故 Sns 20,所以2 bnanan 2_5432n4n1,b5,即 2k236k.又因為ABCP,所以的公比為qa5a4a314 n(n 1)(n 2)(n 3)SnSn 2S2(3n 2)2n 1n(n2)2n 12n 10,可得4q1)2為偶數(shù)時,22k2k-2k 2222n2k2n 11,1112n4n4n2n 14n 12n 14n 16n2n 19 4n1;2n4n 1從而得nc2kk 16n 59 4n6n 59 4n4n所以，數(shù)列 cn的前2n項和為 n2n 120.滿分16分.(i)解：當 k 6時，f(x

15、) x36lnf (x)3x2 -.可得 f(1) 1 xf (1)9,所以曲線yf (x)在點(1,f (1)處的切線方程為9(x1),即 y 9x 8.(ii)解:依題意，g(x) x3 3x2 6ln x3-,x x(0,2).從而可得g (x) 3x6x32， x整理可得3g(x)令g(x)xx(0,1)1(1,)g (x)-0+g(x)極小值當x變化時，g (x), g(x)的變化情況如下表:g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為g(x)的極小值為(1,);所以，函數(shù)g(1) 1,無極大值.(n)證明:f(x)x3 k In x,得 f (x)3x2 - x對任意的x1,x21,)，且 x1x2 ,人為令一x2t(t 1),X x2fxix2x1f x2x1 x2 3x；x13x2x23x13x2kln 二 x23x13x1x2x22kln 上 x23 x3 x2 t3t2 3t1- 21nt. t令 h(x)1x 一 2ln x,x x1,) .當 x1 時，h(x)1 2 x1 2 0,由此可得h(x)在 x1c1,)單調(diào)遞增，所以當t 1時，h h(1),即t - 21nt 0.323因為 X2 1 , t