數(shù)列的極限(共8頁(yè))

1、數(shù)列的極限【知識(shí)概要】1. 數(shù)列極限的定義 1）數(shù)列的極限，在無(wú)限增大的變化過(guò)程中，如果數(shù)列中的項(xiàng)無(wú)限趨向于某個(gè)常數(shù)，那么稱為數(shù)列的極限，記作. 換句話說(shuō)，即：對(duì)于數(shù)列，如果存在一個(gè)常數(shù)，對(duì)于任意給定的，總存在自然數(shù)，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，把叫做數(shù)列的極限，記為. 注： 理解數(shù)列極限的關(guān)鍵在于弄清什么是無(wú)限增大，什么是無(wú)限趨近； 有限項(xiàng)的數(shù)列不存在極限問(wèn)題，只有無(wú)窮項(xiàng)數(shù)列才存在極限問(wèn)題； 這里的常數(shù)是唯一的，每個(gè)無(wú)窮數(shù)列不一定都有極限，例如：； 研究一個(gè)數(shù)列的極限，關(guān)注的是數(shù)列后面無(wú)限項(xiàng)的問(wèn)題，改變?cè)摂?shù)列前面任何有限多個(gè)項(xiàng)，都不能改變這個(gè)數(shù)列的極限； “無(wú)限趨近于”是指數(shù)列后面的項(xiàng)與的“距離”可

2、以無(wú)限小到“零”. 例1 判斷下列結(jié)論的正誤 （1）若，則越來(lái)越小； （2）若，且不是常數(shù)數(shù)列，則無(wú)限接近，但總不能達(dá)到； （3）在數(shù)列中，如果對(duì)一切總有，則沒(méi)有極限； （4）若，則. 解：（1）不正確，例如：， （2）不正確，例如：，. （3）不正確，例如：，但. （4）正確2. 數(shù)列極限的運(yùn)算性質(zhì) 1）數(shù)列極限的運(yùn)算性質(zhì) 如果，那么 ； ； .特別地，如果是常數(shù)，那么2）四種常見(jiàn)的重要極限 （1） （2） （3） （4）例2 下列命題中正確的命題是（ ） （A）若，則（B）若，則（C）若，則（D）若，則 解：選（D） 例3 已知，求. 解： 例4 求下列數(shù)列的極限 （1）若，則 ， . （

3、2）； （3）； （4）； （5） （6）.3.數(shù)列極限常見(jiàn)的解題技巧現(xiàn)階段求數(shù)列的極限，總是把被求極限的數(shù)列變形四個(gè)常見(jiàn)的基本極限，再依據(jù)極限的四則運(yùn)算法則求解。所謂的解題“技巧”，也就是如何變形的問(wèn)題。一般來(lái)說(shuō)，關(guān)于的數(shù)列通項(xiàng)，如果僅僅只在底數(shù)的位置中含序號(hào)，往往變形為，利用求解；如果僅僅只在指數(shù)的位置中含序號(hào)，往往變形成，利用求解；如果既在底數(shù)的位置中含序號(hào)，又在指數(shù)的位置中含序號(hào)，往往變形成的形式，利用求解.同時(shí)遵循先化簡(jiǎn)再變形的原則.例5 若，求 解：根據(jù)求解，可得【課堂練習(xí)】1. 下列命題正確的是（ ）數(shù)列沒(méi)有極限 數(shù)列的極限為0 數(shù)列的極限為 數(shù)列沒(méi)有極限A. B. C. D.

4、答案：D2. 命題：?jiǎn)握{(diào)遞減的無(wú)窮數(shù)列不存在極限；常數(shù)列的極限是這個(gè)常數(shù)本身；搖擺的無(wú)窮數(shù)列不存在極限.以上命題正確的是( )A.0 B.1 C.2 D.3答案：B. 由極限的定義僅有是正確的.的反例是an=這是無(wú)窮單調(diào)遞減數(shù)列，它的極限是零；的反例是an=它是搖擺的無(wú)窮數(shù)列，它的極限是零.因?yàn)閨an0|=|0|=可以任意小.故選B.3. 已知，則的值是( B )A. B.C. D.不存在4. 設(shè)是無(wú)窮等比數(shù)列的前項(xiàng)和,若=,則首項(xiàng)的取值范圍是( C )A. （0，） B.（0，） C.（0，）（） D.（0，）（，1）5. 在數(shù)列中，若,則=_.6.設(shè)數(shù)列,均為等差數(shù)列，（公差都不為零），=

5、3,則=_.7. 已知，則=_,=_.8. 已知無(wú)窮等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為且有（，則首項(xiàng)的取值范圍是_. 答案： 5. 6. 7. 1 1 8. a1,且a11.9. 若，則a的取值范圍是（ ）A B或 C D或分析：由（a為常數(shù)），知，所以由已知可得，解這個(gè)不等式就可求得a的取值范圍解：由，得，所以，兩邊平方，得：，所以或答案 B10. 在數(shù)列中，已知，且，求. 解： 11. 已知 (x0),設(shè)，求：(1)數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2） 解：（1）由an+12·f(an)=2,得an+12·=2an+12an2=4an2是以1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，an2=1+4(n1)=

6、4n3an0an=(2)原式=當(dāng)|b|2,即2b2時(shí)，原式=當(dāng)|b|=2，即b=±2時(shí)，原式=當(dāng)|b|2，即b2或b2時(shí)，原式=b2綜上，原式=12. 如圖，在邊長(zhǎng)為的等邊ABC中，圓為ABC的內(nèi)切圓，圓與圓外切，且與AB、BC相切，圓與圓外切，且與AB、BC相切，如此無(wú)限繼續(xù)下去，記圓的面積為，. ()證明是等比數(shù)列；（）求的值. 解：（）記rn為圓On的半徑.r1=tan30°=l， =sin30°=rn=rn1(n2)a1=r12=an成等比數(shù)列.（)an=()n1·a1(nN)（a1+a2+an)=.13. 設(shè)數(shù)列滿足+=a2n1, 的前項(xiàng)和為.

7、(1)求；(2)求；（3）求證： 解：（1） a1+=a2n1a1+=a2(n1)1(n2)a2(n1)1+=a2n1an=n(a2na2n2)(n2)a1=a21當(dāng)n=1時(shí)，等式亦成立.an=n(a2na2n2)nN*(2)由（1）an=n(a2na2n2)=n(a21)a2n2Sn=(a21)(1+2a2+3a4+na2n2)a2Sn=(a21)(a2+2n4+(n1)a2n2+na2n)a2SnSn=(1+a2+a4+a2n2na2n)(a21)(a21)Sn=(na2n)(a21)Sn=+na2n=(3)若要證（n+2)(n+1)an+n(n+2)an+12n(n+1)an+2，只要證2·2·=2×=(a21)·a2n2