全等三角形新課

1、全等三角形全等三角形八年級數學上八年級數學上活動一活動一:找出下列圖形中形狀、大小相同的圖形。找出下列圖形中形狀、大小相同的圖形。FFFadcbhgfe解后思：解后思：位置不同，位置不同，但形狀、大但形狀、大小相同小相同活動2：你能再舉一些生活中形狀、大小相你能再舉一些生活中形狀、大小相同的圖形嗎？同的圖形嗎？能夠能夠完全重合完全重合的兩個圖形稱為的兩個圖形稱為全等形全等形兩張紙重合后剪紙，得到的兩個圖形大小、兩張紙重合后剪紙，得到的兩個圖形大小、形狀相同。形狀相同。 像上面能夠完全重合的三角形叫像上面能夠完全重合的三角形叫ABCABCABCABCABCABCABCABCBACABC全等三角形

2、n互相重合的頂點叫做對應頂點，互相重合的邊叫做對應邊，互相重合的角叫做對應角。記做：ABC ABC 讀做：ABC全等于ABC根據上圖指出對應頂點、對應邊和對應角。1、觀察上圖中的全等三角形應表示為、觀察上圖中的全等三角形應表示為: 。 ABC DEF注意：記兩個三角形全等時，通常把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上。2、根椐全等三角形的定義試想它們的對應邊、對應、根椐全等三角形的定義試想它們的對應邊、對應角有什么關系？角有什么關系？ 請完成下面填空：請完成下面填空： ABC DEF（已知）（已知） AB DE，BC EF，AC DF A D，B E，C F。3、由此可得全等三角形的性質：、由此

3、可得全等三角形的性質： 全等三角形的對應邊相等全等三角形的對應邊相等 全等三角形的對應角相等全等三角形的對應角相等思考一：思考一： 若你手上有一張長方形紙片，如何是長方若你手上有一張長方形紙片，如何是長方形變成兩個最大的全等三角形，而總面積又形變成兩個最大的全等三角形，而總面積又沒有沒有 變化？變化？思考二：拓展與延伸思考二：拓展與延伸 下圖是一個等邊三角形，你能把它分成兩下圖是一個等邊三角形，你能把它分成兩個全等三角形嗎？你能把它分成三個全等三角個全等三角形嗎？你能把它分成三個全等三角形嗎？四個呢？形嗎？四個呢？例例 如圖已知如圖已知 AOC BOD求證：求證：ACBDABCD2 如圖ABC

4、 CDA，AB=CD，用等式寫出兩個三角形其它的對應邊和對應角。3 如圖：已知ABD ACE，且AB=AC，用等式寫出兩個三角形的其它對應邊和對應角。CEBAD公共角為對應角ABDEC4 如圖ABC EDC，A=E，用等式寫出兩個三角形其它的對應角和對應邊。對頂角為對應角5 如圖：ABC ABD，且AC=AD，用等式寫出這兩個三角形的其它對應邊和對應角。 公共邊為對應邊ABCD三、請指出下列全等三角形的對應邊和對應角三、請指出下列全等三角形的對應邊和對應角1、 ABE ACF對應角是：對應角是： A和和A、 ABE和和ACF、 AEB和和AFC；對應邊；對應邊是是AB和和AC、AE和和AF、B

5、E和和CF。2、 BCE CBF對應角是：對應角是： BCE和和 CBF、 BEC和和CFB、 CBE和和 BCF。對應邊是：。對應邊是：CB和和BC、CE和和BF、CF和和BE。3、 BOF COE對應角是: BOF和和COE、 BFO 和和CEO、 FOB和和EOC。對應邊是：。對應邊是：OF和和OE、OB和和OC、BF和和CE。3、如圖、如圖 ABD CDB，若，若AB=4，AD=5，BD=6，則，則BC= ，CD= 。4、如圖、如圖ABD EBC，AB=3cm,BC=5cm,求求DE的長的長課堂小結課堂小結1、能夠完全重合的兩個三角形叫做、能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形全等三角

6、形2、全等三角形的對應邊相等、對應角相等、全等三角形的對應邊相等、對應角相等3、全等三角形用符號、全等三角形用符號“ ”表示，且一般對應頂點寫表示，且一般對應頂點寫在對應位置上在對應位置上4 、找全等三角形對應邊和對應角的方法：找全等三角形對應邊和對應角的方法：達標測試達標測試1、能夠、能夠 的兩個圖形叫做全等形。兩個三角形重合的兩個圖形叫做全等形。兩個三角形重合時，互相時，互相 的頂點叫做對應頂點。記兩個全等三角形時，的頂點叫做對應頂點。記兩個全等三角形時，通常把表示通常把表示 頂點的字母寫在頂點的字母寫在 的位置上。的位置上。ABCDE2、如圖、如圖ABC ADE若若D= B， C= AE

7、D，則則DAE= ； DAB= 。 全等三角形的運用舉例全等三角形的運用舉例例1 已知如圖ABC DFE，A=96，B=25，DF=10cm。求 E的度數及AB的長。BACEDF例2 已知如圖 CDAB于D，BEAC于E，ABE ACD，C=20，AB=10，AD=4，G為AB延長線上的一點。求 EBG的度數及CE的長。ECADBGF例3如圖：已知ABC ADE，BC的延長線交DA于F，交DE于G，ACB=105，CAD=10，D=25。求 EAC，DFB，DGB的度數。DGEACFB2. . 叫做全等三角形叫做全等三角形。1. 能夠完全重合的兩個圖形叫做能夠完全重合的兩個圖形叫做 。全等形全

8、等形4.全等三角形的全等三角形的 和和 相等相等對應邊對應邊對應角對應角對應頂點對應頂點全等三角形知識回顧全等三角形知識回顧 能夠完全重合的兩個三角形能夠完全重合的兩個三角形3.“.“全等全等”用符號用符號“ ”來表示，讀作來表示，讀作“ ”對應邊對應邊對應角對應角全等于全等于 其中：互相重合的頂點叫做其中：互相重合的頂點叫做 互相重合的邊叫做互相重合的邊叫做互相重合的角叫做互相重合的角叫做 1. 1.與圖與圖1 1所示圖形全等的圖形所示圖形全等的圖形是是2.將圖將圖2所示繞所示繞A點順時針轉點順時針轉90所得到的圖形是所得到的圖形是圖圖1AABCBACDBCD圖圖2DB 3. ABC FED

9、寫出圖中所有相等的線段，相等的角；寫出圖中所有相等的線段，相等的角； 圖中線段、角除相等外，還有什么關系嗎？圖中線段、角除相等外，還有什么關系嗎？ A B C D E F 百百 “練練” 成成 鋼鋼不要漏掉不要漏掉BD=ECBD=ECABFE ACFDABFE ACFD4.4.如圖如圖, ,矩形矩形ABCDABCD沿沿AMAM折疊折疊, ,使使D D點落在點落在BCBC上的上的N N點點處處, ,如果如果AD=4cm,DM=3cm, DAM=39AD=4cm,DM=3cm, DAM=39, ,則則AN=_cm, NM=_cm, NAB=_ AN=_cm, NM=_cm, NAB=_ _._.M

10、DANBC4cm3cm）3943 3911.211.2全等三角形的判定全等三角形的判定學習 目標1掌握三角形全等的“邊邊邊”定理2了解三角形的穩(wěn)定性3經歷探索三角形全等條件的過程，體會利經歷探索三角形全等條件的過程，體會利用操作、用操作、 歸納獲得數學結論的過程 預習 探路1你能用尺規(guī)作兩個三角形全等嗎？你能用尺規(guī)作兩個三角形全等嗎？2 2什么是什么是”邊邊邊邊邊邊”定理定理. .你能說說它的作用嗎你能說說它的作用嗎? ?AB=DE BC=EF CA=FD A= D B=E C= FABCDEF 1、 什么叫全等三角形？什么叫全等三角形？能夠重合能夠重合的兩個三角形叫的兩個三角形叫 全等三角形

11、。全等三角形。2、 全等三角形有什么性質？全等三角形有什么性質？ 創(chuàng)設情境創(chuàng)設情境ABCDEFAB=DE CA=FD BC=EF A= D B=E C= F1.滿足這六個條件可以保證滿足這六個條件可以保證ABC DEF嗎？嗎？2.如果只滿足這些條件中的一部分如果只滿足這些條件中的一部分,那么能保證那么能保證ABC DEF嗎嗎?思考：思考：1.只給一條邊時；只給一條邊時；331.只給一個條件只給一個條件452.只給一個角時；只給一個角時；45結論結論: :只有一條邊或一個角對應相等只有一條邊或一個角對應相等的的兩個三角形不一定全等兩個三角形不一定全等. .兩邊；兩邊；兩角。兩角。一邊一角；一邊一

12、角； 2.如果滿足如果滿足兩個兩個條件，你能說出條件，你能說出有哪幾種可能的情況？有哪幾種可能的情況？如果三角形的兩邊分別為如果三角形的兩邊分別為4cm4cm，6cm 6cm 時時6cm6cm4cm4cm結論結論: :兩條邊對應相等的兩條邊對應相等的兩個三角形不一定全等兩個三角形不一定全等. .三角形的一條邊為三角形的一條邊為4cm,一個內角為一個內角為30時時:4cm4cm3030結論結論: :一條邊一個角對應相等的一條邊一個角對應相等的兩個兩個三角形不一定全等三角形不一定全等. .45304530如果三角形的兩個內角分別是如果三角形的兩個內角分別是3030，4545時時結論結論: :兩個角

13、對應相等的兩個角對應相等的兩個三角形不一定全等兩個三角形不一定全等. .根據三角形的內角和為根據三角形的內角和為180180度，則第三角一定確定，度，則第三角一定確定，所以當三內角對應相等時，兩個三角形不一定全等所以當三內角對應相等時，兩個三角形不一定全等兩個條件兩個條件兩角；兩角；兩邊；兩邊；一邊一角一邊一角。結論：只給出一個或兩個條件時，結論：只給出一個或兩個條件時，都不能保證所畫的三角形一定全等。都不能保證所畫的三角形一定全等。一個條件一個條件一角；一角；一邊；一邊；三角三角；三邊；三邊；兩邊一角；兩邊一角；兩角一邊。兩角一邊。 3.如果滿足如果滿足三個三個條件，你能說出有條件，你能說出

14、有哪幾種可能的情況？哪幾種可能的情況？探索三角形全等的條件探索三角形全等的條件已知兩個三角形的三個內角分別為已知兩個三角形的三個內角分別為3030，6060 ，9090 它們一定全等嗎？它們一定全等嗎？這說明有三個角對應相等的兩個三角形這說明有三個角對應相等的兩個三角形不一定全等不一定全等三個角三個角已知兩個三角形的三條邊都分別為已知兩個三角形的三條邊都分別為3cm3cm、4cm4cm、6cm 6cm 。它們一定全等嗎？。它們一定全等嗎？3cm4cm6cm4cm6cm3cm6cm4cm3cm三條邊三條邊先任意畫出一個先任意畫出一個ABC，再畫出一個，再畫出一個ABC ,使使AB= AB ,BC

15、 =BC, A C =AC.把畫好把畫好ABC的剪的剪下，放到下，放到ABC上，他們全等嗎？上，他們全等嗎？畫法畫法: 1.畫線段畫線段 BC =BC;2.分別以分別以 B ， C為圓心為圓心,BA,BC為半徑畫弧為半徑畫弧,兩兩弧交于點弧交于點A;3. 連接線段連接線段 AB ， AC .上述結論反映了什么規(guī)律？上述結論反映了什么規(guī)律？三邊對應相等的兩個三角形全等。三邊對應相等的兩個三角形全等。簡寫為簡寫為“邊邊邊邊邊邊”或或“SSS”SSS”邊邊邊公理邊邊邊公理 注：注： 這個定理說明，只要三角形的這個定理說明，只要三角形的三邊的長度確定了，這個三角形的形三邊的長度確定了，這個三角形的形狀

16、和大小就完全確定了，這也是三角狀和大小就完全確定了，這也是三角形具有形具有穩(wěn)定性穩(wěn)定性的原理。的原理。如何用符號語言來表達呢如何用符號語言來表達呢?在在ABC與與DEF中中ABCDEFAB=DEAC=DFBC=EFABC DEF（SSS）判斷兩個三角形全等的推理過程，判斷兩個三角形全等的推理過程，叫做證明三角形全等。叫做證明三角形全等。全等三角形的判定定理全等三角形的判定定理1：三邊對應相等的兩個三角形全等，三邊對應相等的兩個三角形全等，簡寫為簡寫為“邊邊邊邊邊邊”或或“SSS”。 理性提升理性提升ABCDEF在在ABC和和 DEF中中 ABC DEF（SSS） AB=DE BC=EF CA=

17、FD思考：你能用思考：你能用“邊邊邊邊邊邊”解釋三角形具有穩(wěn)定解釋三角形具有穩(wěn)定性嗎？性嗎？ 判斷兩個三角形全等的推理過程，叫做證明三角形判斷兩個三角形全等的推理過程，叫做證明三角形全等。全等。例例11. 如下圖，如下圖，ABC是一個剛架，是一個剛架，AB=AC，AD是連接是連接A與與BC中點中點D的支架。的支架。 求證：求證： ABD ACD 要證明要證明 ABD ACD，首先看，首先看這兩個三角形的三條邊是否對應相等。這兩個三角形的三條邊是否對應相等。 理性提升理性提升 方法構想方法構想例例11. 如下圖，如下圖，ABC是一個剛架，是一個剛架，AB=AC，AD是連接是連接A與與BC中點中點

18、D的支架。的支架。 求證：求證： ABD ACD 理性提升理性提升證明：證明：D是是BC的中點的中點BD=CD在在ABD與與ACD中中AB=AC（已知）（已知）BD=CD（已證）（已證）AD=AD（公共邊）（公共邊）ABD ACD（SSS） 例例2:2:如圖，如圖，AB=ACAB=AC，AE=ADAE=AD，BD=CEBD=CE，求證：求證：AEB AEB ADC ADC。CABDE 方法構想方法構想兩個三角形中已經的兩組邊對應兩個三角形中已經的兩組邊對應相等相等,只需要再證第三條邊對應相只需要再證第三條邊對應相等就行了等就行了.證明：證明：BD=CE BD-ED=CE-ED， 即即BE=CD

19、。CABDE在在AEB和和ADC中，中，AB=ACAE=ADBE=CD AEB ADC (sss) 例例2:2:如圖，如圖，AB=ACAB=AC，AE=ADAE=AD，BD=CEBD=CE，求證：求證：AEB AEB ADC ADC。我們利用前面的結論，還可以得到作一個角等于已知我們利用前面的結論，還可以得到作一個角等于已知角的方法。角的方法。例3：已知AOB求作：AOB=AOB作法：1、以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點C、D； 2、畫一條射線OA，以點O為圓心，OC長為半徑畫弧，交OA于點C； 3、以點C為圓心，CD長為半徑畫弧，與第2步中所畫的弧交于點D； 4、過點D畫

20、射線OB，則AOB=AOBCCOABDOABD分析已有條件分析已有條件,準備所缺條件：準備所缺條件：證全等時要用的間接條件要先證好；證全等時要用的間接條件要先證好；三角形全等書寫三步驟：三角形全等書寫三步驟： 寫出在哪兩個三角形中寫出在哪兩個三角形中 擺出三個條件用大括號括起來擺出三個條件用大括號括起來 寫出全等結論寫出全等結論全等三角形證明的基本步驟：全等三角形證明的基本步驟： 小結歸納小結歸納1、已知：如圖，、已知：如圖，AB=AD，BC=CD， 求證：求證：ABC ADCABCD 隨堂練習隨堂練習2、如圖，、如圖，AB=CD，AC=BD，ABC和和DCB是否全等？試是否全等？試說明理由。

21、說明理由。 A ABCD證明：在證明：在ABCABC與與ADCADC中中 AB=ADAB=AD BC=DC BC=DC AC=AC AC=AC ABC ABC ADCADC解：解：ABC與與DCB全等，全等，理由如下：理由如下：在在ABCABC與與DCBDCB中中 AB=CDAB=CD BC=CB BC=CB AC=BD AC=BD ABC ABC DCBDCB 中考鏈接中考鏈接 已知如圖：已知如圖：AC=FE，BC=DE，點，點A，D，B，F在一條直線上，在一條直線上，AD=FB求證：求證：ABC FDE， 當堂測試當堂測試如圖，已知如圖，已知AB=CD，AD=CB，E、F分別是分別是AB，

22、CD的中點，且的中點，且DE=BF.求證：求證：ADE CBF,A=CADBCFEADE CBFA=C證明證明:點點E,F分別是分別是AB,CD的中點的中點AE= AB, CF = CDAB=CD AE=CF在在ADE與與CBF中中 AE=CFAD=CBDE=BF12121. 三邊對應相等的兩個三角形全等三邊對應相等的兩個三角形全等（邊邊邊或（邊邊邊或SSS）；）；2.證明全等三角形書寫格式：證明全等三角形書寫格式：準備條件；準備條件； 三角形全等書寫的三步驟。三角形全等書寫的三步驟。3、證明是由題設（已知）出發(fā)，經過一步步、證明是由題設（已知）出發(fā)，經過一步步的推理，最后推出結論正確的過程。

23、的推理，最后推出結論正確的過程。 小結歸納小結歸納全等三角形判定全等三角形判定 因鋪設電線的需要，要測量因鋪設電線的需要，要測量A A、B B兩點的距兩點的距離。（如圖），因無法直接量出離。（如圖），因無法直接量出A A、B B兩點的距兩點的距離，現有一足夠的米尺，且池塘右面是開闊平離，現有一足夠的米尺，且池塘右面是開闊平地，你能想辦法測出地，你能想辦法測出A A、B B兩點之間的距離嗎？兩點之間的距離嗎？。AB知識回顧 三邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫三邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫為為“邊邊邊邊邊邊”或或“SSS”）。）。ABCDEF用用 數學語言表述數學語言表述：在在ABC和

24、和 DEF中中 ABC DEF（SSS） AB=DE BC=EF CA=FD探究1：畫三角形，尋找全等的條件對于三個角對應相等的兩個三角形全等嗎？對于三個角對應相等的兩個三角形全等嗎？ABCDE如圖，如圖， ABC和和ADE中，如中，如果果 DEAB，則，則A=A，B=ADE，C= AED，但但ABC和和ADE不重合，所不重合，所以不全等。以不全等。三個角對應相等的兩個三角形不一定全等三個角對應相等的兩個三角形不一定全等畫一個三角形，使它得的三角分別為畫一個三角形，使它得的三角分別為400、600、800你還能從身邊找到這樣的反例嗎？你還能從身邊找到這樣的反例嗎？做一做：畫做一做：畫ABC,使

25、使AB=3cm，AC=4cm，A=45 。畫法：畫法：2. 在射線在射線AM上截取上截取AB= 3cm3. 在射線在射線AN上截取上截取AC=4cm1. 畫畫MAN= 454.連接連接BCABC就是所求的三角形就是所求的三角形把你們所畫的三角形剪下來與同桌所畫的三角把你們所畫的三角形剪下來與同桌所畫的三角形進行比較，它們能互相重合嗎？形進行比較，它們能互相重合嗎？探究2三角形全等判定方法三角形全等判定方法2 2用符號語言表達為：用符號語言表達為：在在ABC與與DEF中中AB=DEB=EBC=EFABC DEF（SAS）ABCDEF 兩邊和它們的兩邊和它們的夾角夾角對應相等的兩個三角形對應相等的

26、兩個三角形全等。全等。簡寫成簡寫成“邊角邊邊角邊”或或概念運用：概念運用：1.在下列推理中填寫需要補充的條件，使結論在下列推理中填寫需要補充的條件，使結論成立：如圖，在成立：如圖，在AOB和和DOC中，中，AO=DO（已知）（已知）_ = _ （ )BO=CO(已知）已知）ABC DEF（ ）SAS對頂角相等對頂角相等AOBDOC2.在下列推理中填寫需要補充的條件，使結論在下列推理中填寫需要補充的條件，使結論成立：如圖，在成立：如圖，在AEC和和ADB中，中，_=_（已知）（已知）A = A （公共角（公共角)_=_(已知）已知）AEC ADB（ ）AEADACABSAS3.在下列推理中填寫需

27、要補充的條件，使結論在下列推理中填寫需要補充的條件，使結論成立：如圖成立：如圖在在ABD和和DCB中，中，AD=CB（已知）（已知）_ = _ （已知（已知)BD=_( ）ABD CDB（ SAS ）ADBCBDDB公共邊公共邊總結體會：總結體會：1.1.已知：如圖，已知：如圖， AB=CB AB=CB ， ABD= CBD ABD= CBD ABD ABD 和和 CBD CBD 全等嗎？全等嗎？學以致用學以致用分析分析: ABD ABD CBD CBD邊邊:角角:邊邊:AB=CB(已知已知)ABD= CBD(ABD= CBD(已知已知) )？ABCD(SAS)BD=BD (公共邊）公共邊）證

28、明：在證明：在 ABD 和和 CBD 中中 BA=BC（已知）（已知） ABD=CBD（已知）（已知） BD=BD(公共邊）公共邊） ABD CBD（SAS）追問：例追問：例1的已知條件不改變的已知條件不改變, 問問AD=CD嗎嗎? ?BD平分平分ADC嗎？嗎？ 已知：如圖，已知：如圖， AB=CB AB=CB ， ABD= CBD ABD= CBD 。問問AD=CDAD=CD， DB平分平分 ADC 嗎？嗎？例題例題推廣推廣ABCDABCD變式：變式： 已知已知:AD=CD:AD=CD， BD BD 平分平分 ADC ADC 。 問問A= C A= C 嗎？嗎？2.2.已知：如圖，已知：如圖

29、， AO=BO AO=BO ，DO=CODO=CO求證：求證：ADCB歸納：歸納：判定兩條線段相等或二個角相等可以通判定兩條線段相等或二個角相等可以通過從它們所在的兩個三角形全等而得到過從它們所在的兩個三角形全等而得到。練習：練習：1.如圖，如圖，AC=BD，CAB= DBA，你能判斷，你能判斷BC=AD嗎？說明理由。嗎？說明理由。ABCDABCD2.已知：四邊形已知：四邊形ABCD中，中，ABCD，且，且AB=CD求證：求證：AD=BCBDOAC綜合提高綜合提高已知：已知：AB=AD，CB=CD.求證：求證：ACBD.分析：欲證ACBD，只需證AOB= AOD，這就要證明 ABO ADO，它

30、已經具備了兩個條件： AB=AD，OA=AO,所以只需證BAO= DAO，為了證明這一點，還需證明ABC ADC.證明：證明： 在在ABC 和和ADC中，中，AB = AD (已知），已知）， CB = CD（已知），（已知），AC = AC (公共邊）公共邊） ABC ADC（SSS），）， BAO = DAO (全等三角形的對應角相等）全等三角形的對應角相等）在在ABO 和和ADO中，中，AB = AD (已知），已知）， BAO = DAO (已證），已證），AO= AO (公共邊）公共邊） ABO ADO（SAS），）， AOB = AOD (全等三角形的對應角相等）全等三角形的對應角

31、相等） AOB = AOD= 90 ACBD(垂直定義）垂直定義）. 又又AOB + AOD =180(鄰補角定義）鄰補角定義）如右圖，如右圖， 因鋪設電線的需要，要測量因鋪設電線的需要，要測量A A、B B兩點的距兩點的距離。（如圖），因無法直接量出離。（如圖），因無法直接量出A A、B B兩點的距兩點的距離，現有一足夠的米尺，且池塘右面是開闊平離，現有一足夠的米尺，且池塘右面是開闊平地，你能想辦法測出地，你能想辦法測出A A、B B兩點之間的距離嗎？兩點之間的距離嗎？。AB問題探究問題探究小明的設計方案：先在池塘旁取一個能直接到達小明的設計方案：先在池塘旁取一個能直接到達A和和B處的點處的

32、點C，連結，連結AC并延長至并延長至D點，使點，使AC=DC，連結，連結BC并延長至并延長至E點，點，使使BC=EC，連結，連結DE，用米尺測出，用米尺測出DE的長，這個長度就等于的長，這個長度就等于A，B兩點的距離。請你說明理由。兩點的距離。請你說明理由。BAEDC 以以2.5cm，3.5cm為三角形的兩邊，長度為三角形的兩邊，長度為為2.5cm的邊所對的角為的邊所對的角為4040 ，情況又怎樣？，情況又怎樣？動手畫一畫，你發(fā)現了什么？動手畫一畫，你發(fā)現了什么？ABCDEF2.5cm3.5cm40403.5cm2.5cm結論：結論：兩邊及其一邊所對的角相等，兩兩邊及其一邊所對的角相等，兩個三

33、角形個三角形不一定不一定全等全等探究2 三邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫三邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫為為“邊邊邊邊邊邊”或或“SSS”）。）。ABCDEF在在ABC和和 DEF中中 ABC DEF（SSS）AB=DEBC=EFCA=FD知識回顧知識回顧: :在在ABC與與DEF中中ABC DEF（SAS） 兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等。等。(可以簡寫成可以簡寫成“邊角邊邊角邊”或或知識回顧知識回顧: :FEDCBAAC=DFC=FBC=EF知識梳理知識梳理: :DCBAABDABC1.若若AB=AC，則添加，則添加一個一個什么條

34、件可得什么條件可得ABD ACD?ABD ACDAB=ACABDCBAD= CADSA SAD=ADBD=CDS2.如圖，要證如圖，要證ACB ADB ，至少選，至少選用哪些條件用哪些條件?ABCDACB ADBSASAB=AB CAB= DAB AC=ADSBC=BD？回首往事：回首往事：1.什么樣的圖形是全等三角形？什么樣的圖形是全等三角形？2.判斷三角形全等至少要有幾個條件？判斷三角形全等至少要有幾個條件？答：至少要有三個條件答：至少要有三個條件邊邊邊公理邊邊邊公理： 有有三邊三邊對應相等的兩個三角形全等。對應相等的兩個三角形全等。邊角邊公理邊角邊公理： 有有兩邊兩邊和它們和它們夾角夾角

35、對應相等的兩個對應相等的兩個三角形全等。三角形全等。ABCABC問題：問題： 如果已知一個三角形的如果已知一個三角形的兩角及一邊兩角及一邊，那，那么有幾種可能的情況呢？么有幾種可能的情況呢？答：答：角邊角（角邊角（ASA） 角角邊（角角邊（AAS） 先任意畫出一個先任意畫出一個ABC，再畫一個，再畫一個A/B/C/，使使A/B/=AB， A/ =A， B/ =B (即使兩角和它們的夾邊對應相等即使兩角和它們的夾邊對應相等)。把畫好的把畫好的A/B/C/剪下，放到剪下，放到ABC上，它們全等嗎？上，它們全等嗎？探究探究5B BA AC C畫法：畫法：1、畫、畫A/B/AB；2、在、在 A/B/的

36、同旁畫的同旁畫DA/ B/ =A ， EB/A/ =B， A/ D，B/E交于點交于點C/。通過實驗你發(fā)現了什么規(guī)律？通過實驗你發(fā)現了什么規(guī)律？ACBABCED已知：任意已知：任意 ABC，畫一個，畫一個 A/B/C/，使使A/B/AB， A/ =A， B/ =B ： A/B/C/就是所要畫的三角形。就是所要畫的三角形。CDAABEA=A （已知已知 ） AB=AC（已知已知 ）B=C（已知已知 ）在在ABE和和ACD中中 ABE ACD（ASA）用數學符號表示用數學符號表示: 兩角兩角和它們的和它們的夾邊夾邊對應相等的兩個三角形全對應相等的兩個三角形全等等 (可以簡寫成可以簡寫成“角邊角角邊

37、角”或或“ASA”）。）。探究反映的規(guī)律是：探究反映的規(guī)律是：如圖，應填什么就有如圖，應填什么就有 AOC BOD:A=B,（已知）（已知） ,1=2, （已知）（已知）AOC BOD (ASA)OACDBAO=BO 兩角兩角和它們的和它們的夾邊夾邊對應相等的兩個三角形全對應相等的兩個三角形全等等 (可以簡寫成可以簡寫成“角邊角角邊角”或或“ASA”）。）。12例題講解例題講解例例1.已知：點已知：點D在在AB上，點上，點E在在AC上，上，BE和和CD相交相交于點于點O，AB=AC，B=C。 求證：求證：(1)AD=AE; (2)BD=CE。 證明證明 ：在在ADC和和AEB中中A=A（公共角

38、公共角）AC=AB（已知已知）C=B（已知已知）ACD ABE（ASA）AD=AE（全等三角形的對應邊相等全等三角形的對應邊相等）又又AB=AC（已知已知） BD=CEDBEAOC1.如圖如圖,O是是AB的中點，的中點，A= B， AOC與與BOD全等嗎全等嗎?為什么？為什么？OABCD兩角和夾邊兩角和夾邊對應相等對應相等BABOAOBODAOC BODAOCDD)(ASABODAOCDD和(已知已知)(中點的定義中點的定義)(對頂角相等對頂角相等)解：解：在在 中中2. 如圖，點如圖，點B、E、C、F在一條直線上，在一條直線上，ABDE，ABDE，AD 求證：求證：BE=CFFEDCBA 小

39、明踢球時不慎把一塊小明踢球時不慎把一塊三角形玻璃打碎為兩塊三角形玻璃打碎為兩塊,他是他是否可以只帶其中的一塊碎片否可以只帶其中的一塊碎片到商店去到商店去,就能配一塊于原來就能配一塊于原來一樣的三角形玻璃呢一樣的三角形玻璃呢? 如果可以如果可以,帶哪塊去合適帶哪塊去合適呢呢?為什么為什么?(2)(1)CBEAD(1)(2)探究探究6 如下圖，在如下圖，在ABC和和DEF中中,A D, BE, BCEF, ABC與與DEF全等嗎？能利用全等嗎？能利用角邊角角邊角條件證明你的結論嗎？條件證明你的結論嗎？E EF FD DB BA AC C在在ABC和和DEF中中,A +B +C1800, D +E

40、+F =1800, A D, BE, CF, BE, BCEF, CF, ABC DEF （ASA）CDAABEAE=AD（已知已知 ）A=A （已知已知 ） B=C（已知已知 ）在在ABE和和ACD中中 ABE ACD（AAS）用數學符號表示用數學符號表示:兩個角兩個角和其中和其中一個角的對邊一個角的對邊對應相等的兩個三角對應相等的兩個三角形全等形全等（可以簡寫成（可以簡寫成“角角邊角角邊”或或“AASAAS”）。）。探究反映的規(guī)律是：探究反映的規(guī)律是：例例: 如圖如圖,O是是AB的中點，的中點，C= D， AOC與與BOD全等嗎全等嗎?為什么？為什么？OABCD兩角和對邊兩角和對邊對應相等

41、對應相等BOAOBODAOC BODAOCDDBODAOCDD和(已知已知)(中點的定義中點的定義)(對頂角相等對頂角相等)解：解：在在 中中C= D(AAS) 到目前為止到目前為止, ,我們一共探索出判定三我們一共探索出判定三角形全等的四種規(guī)律，它們分別是角形全等的四種規(guī)律，它們分別是: :1 1、邊邊邊、邊邊邊 ( (SSS)3 3、角邊角、角邊角 ( (ASA) )4 4、角角邊、角角邊 (AAS)2 2、邊角邊、邊角邊 (SAS)練一練：練一練：1、如圖、如圖ACB=DFEACB=DFE，BC=EFBC=EF，根據，根據SAS,ASASAS,ASA或或AASAAS， 那么應補充一個直接

42、條件那么應補充一個直接條件 -，（寫出一個即可），才能使（寫出一個即可），才能使ABCABCDEF.DEF.2、如圖，、如圖，BE=CD，1=2，則，則AB=AC嗎？為什么？嗎？為什么？ABCDEFAC=DFAC=DF或或B=EB=E或或A=DA=DCAB12EDAB=ACAB=AC相等相等知識應用知識應用1. 如圖，要測量河兩岸相對的兩點如圖，要測量河兩岸相對的兩點A，B的距離，可以的距離，可以在在AB的垂線的垂線BF上取兩點上取兩點C，D，使，使BC=CD，再定出，再定出BF的垂線的垂線DE，使，使A， C，E在一條直線上，在一條直線上，這時測得這時測得DE的長就是的長就是AB的長。為什么

43、？的長。為什么？ABCDEF在在ABC和和EDC中中, B=EDC=900 BCDC, 12, ABC DEF （ASA） ABED.12證明：證明：2.2.如圖如圖,ABBC, ADDC, 1=2.,ABBC, ADDC, 1=2. 求證求證: AB=AD.: AB=AD. 知識應用知識應用在在ABC和和ADC中中, B=D, 12, ACAC, ABC ADC （AAS） ABAD.證明：證明： ABBC, ADDC, ABBC, ADDC, B=D=900, , 練練 習習 ACB= DEFAB=DEAB=DE、AC=DFA= D1 1、邊邊邊、邊邊邊 ( (SSS)3 3、角邊角、角邊

44、角 ( (ASA) )4 4、角角邊、角角邊 (AAS)2 2、邊角邊、邊角邊 (SAS)(1) 圖中的兩個三角形全等嗎圖中的兩個三角形全等嗎? 請說明理由請說明理由.全等全等 因為兩角和其中一角的對邊對應相等的兩因為兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等個三角形全等.3535110110ABCDDBCABCDABCBC DBCABCDD()AASABCDBCDD和解：在中(已知已知)(已知已知)(公共邊公共邊)練練 習習相等嗎？與，那么且，于，于中，）已知（DCBDCFBEFADCFEADBEABCD2DABCEFBEADCFAD，證明：90 (BEDCFD垂直的定義）中和在CDFBD

45、EDDBEDCFD （已證）BDECDF 對頂（角相等）BECF（已知）BDECDF AASD D（）BDCD全等三角形對應（邊相等）(3) 如圖，如圖，AC、BD交于點交于點O,AC=BD,AB=CD.求證：求證：BC) 1 (ODOA )2(ABCDO證明證明: (1)連接連接AD, 在在ADC和和DAB中中AD=DA（公共邊公共邊）AC=DB（已知已知）DC=AB（已知已知）ADC DAB （SSS）C=B（全等三角形的對應角相等全等三角形的對應角相等） (2) 在在 AOB 和和 DOC中中 B = C （已證已證）1=2 （對頂角相等對頂角相等）DC=AB（已知已知）DOC AOB

46、（AAS）OA=OD（全等三角形的對應邊相等全等三角形的對應邊相等）12練練 習習綜合應用綜合應用1.如圖，點如圖，點E在在AB上，上，1=2，3=4，那么那么CB等于等于DB嗎？為什么？嗎？為什么？EDCBA4321-全等三角形判定全等三角形判定2.2.如圖，如圖，說出說出ABAB 的理由。的理由。 3. 3. 如圖，如圖，AB=DEAB=DE，AF=CDAF=CD，EF=BCEF=BC，AADD，試說明：試說明：BFCE BFCE ABCDEF 4. 如圖，在如圖，在AFD和和BEC中，點中，點A、E、F、C在在同一直線上，有下列四個論斷：同一直線上，有下列四個論斷： AD=CB，AE=C

47、F，BD， AC.請用其中三個作為條件，余下一個作為結論，請用其中三個作為條件，余下一個作為結論，編一道數學問題，并寫出解答過程。編一道數學問題，并寫出解答過程。ABCDEF5. 如圖，在如圖，在ABC和和BAD中，中，BC = AD，請你，請你再補充一個條件，使再補充一個條件，使ABC BAD你補充的你補充的條件是條件是 .DABCABCEF6. 已知：如圖，已知：如圖， AEF 與與ABC中，中， E =B, EF=BC.請你添加一個條件，請你添加一個條件，使使AEF ABC.對于添加條件使兩三角形全等的問題，當已有兩個對于添加條件使兩三角形全等的問題，當已有兩個條件（包括隱含條件）時，如

48、何思考？條件（包括隱含條件）時，如何思考？7.在在ABC中中, ACB=90,AC=BC,直線直線MN經過經過點點C, ADMN于點于點D, BE MN于點于點E,（1）當直線）當直線MN旋轉到如圖旋轉到如圖(1)所示的位置時所示的位置時,猜想猜想線段線段AD、BE、DE的數量關系，并證明你的猜想。的數量關系，并證明你的猜想。NMEDCBA圖圖(1)7.在在ABC中中, ACB=90,AC=BC,直線直線MN經經過點過點C, ADMN于點于點D, BE MN于點于點E,（2）當直線）當直線MN旋轉到圖旋轉到圖(2)的位置時的位置時,猜想線段猜想線段AD,BE,DE的數量關系，并證明你的猜想的數

49、量關系，并證明你的猜想NMEDCBA圖圖(2)7.在在ABC中中, ACB=90,AC=BC,直線直線MN經經過點過點C, ADMN于點于點D, BE MN于點于點E,（3）當直線）當直線MN旋轉到圖旋轉到圖(3)的位置時的位置時,猜想線段猜想線段AD,BE,DE的數量關系，并證明你的猜想的數量關系，并證明你的猜想NMEDCBA圖圖(3)（2010江蘇南通）如圖，已知：點江蘇南通）如圖，已知：點B、F、C、E在一條直在一條直線上，線上，FB=CE，AC=DF能否由上面的已知條件證明能否由上面的已知條件證明ABED？如果能，請給出證？如果能，請給出證明；如果不能，請從下列三個條件中選擇一個合適的

50、條件，明；如果不能，請從下列三個條件中選擇一個合適的條件，添加到已知條件中，使添加到已知條件中，使ABED成立，并給出證明成立，并給出證明供選擇的三個條件（請從其中選擇一個）：供選擇的三個條件（請從其中選擇一個）：AB=ED；BC=EF；ACB=DFEABDEFC11.2.4 三角形全等的判定三角形全等的判定(HL)1：如圖：如圖:ABC DEF，指出它們的對應角、，指出它們的對應角、對應邊。對應邊。ADBECF2：我們已經學過判定全等三角形的方法有哪些？：我們已經學過判定全等三角形的方法有哪些？ABDEACDFBCEFADBDEFACBF（SSS）、（）、（SAS）、（）、（ASA）、（）、

51、（AAS）復習舊知 引入新知ABCA1B1C1如圖，舞臺背景的形狀是兩個直角三角形，工如圖，舞臺背景的形狀是兩個直角三角形，工作人員想知道這兩個直角三角形是否全等，但作人員想知道這兩個直角三角形是否全等，但兩個三角形都有一條直角邊被花盆遮住無法測兩個三角形都有一條直角邊被花盆遮住無法測量量. .你能幫他想個辦法嗎？你能幫他想個辦法嗎？創(chuàng)設情景 引入課題ABCA1B1C1方法方法1 1：用直尺量出斜邊：用直尺量出斜邊AB, AAB, A1 1B B1 1的長度，再用量角的長度，再用量角器量出其中一個銳角（如器量出其中一個銳角（如AA與與AA1 1 ）的大小，若）的大小，若它們對應相等，據根它們對

52、應相等，據根（ ）可以證明兩直角三角形是可以證明兩直角三角形是全等的。全等的。 方法方法2 2：用直尺量出不被遮住的直角邊：用直尺量出不被遮住的直角邊AC, AAC, A1 1C C1 1的長的長度，再用量角器量出其中一個銳角（如度，再用量角器量出其中一個銳角（如AA與與AA1 1 ）的大小，若它們對應相等，據根的大小，若它們對應相等，據根（ ）可以證明兩直可以證明兩直角三角形是全等的。角三角形是全等的。AAS ASAABCA1B1C1如果他只帶了一個卷尺，能完成這個任務？如果他只帶了一個卷尺，能完成這個任務？那么他只能測直角邊那么他只能測直角邊和斜邊了，只滿足斜和斜邊了，只滿足斜邊和一條直角

53、邊對應邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角相等的兩個直角三角形能全等嗎？形能全等嗎？畫一畫：畫一畫： 任意畫一個任意畫一個RtACB ，使，使C90，再畫一個，再畫一個 RtACB使使CC，BCBC，ABAB（1）：你能試著畫出來嗎？與小組交流一下。）：你能試著畫出來嗎？與小組交流一下。作法：作法：1、畫、畫MCN=902、在射線、在射線CM上取上取BC=BC3、以、以B為圓心，為圓心，AB為半徑畫弧，交射線為半徑畫弧，交射線CN于點于點A4、連接、連接AB，ACB就是所作三角形。就是所作三角形。（2）：把畫好的）：把畫好的RtACB放到放到RtACB上，上， 它們全等嗎？你能發(fā)現什么規(guī)律？它

54、們全等嗎？你能發(fā)現什么規(guī)律？ 動手實踐 探索規(guī)律直角直角三角形全等的判定方法三角形全等的判定方法:斜邊斜邊和一條和一條直角邊直角邊對應相等的兩個直角三角形全等。對應相等的兩個直角三角形全等。簡寫成簡寫成“斜邊、直角邊斜邊、直角邊”或或“HL”.例例4:如圖，ACBC， BDAD， ACBD，求證：BCADABCD證明：證明： ACBC， BDAD C與與D都是直角都是直角. AB=BA, AC=BD .RtRtABCABCRtRtBAD BAD ( (HLHL). ). BC BCADAD在在 RtRtABC ABC 和和 RtRtBAD BAD 中，中，總結規(guī)律 運用新知AFCEDB如圖，如

55、圖，AB=CD, BFAC,DEAC,AE=CFAB=CD, BFAC,DEAC,AE=CF求證：求證：BF=DEBF=DE鞏固練習AFCEDB如圖，如圖，AB=CD, BFAC,DEAC,AE=CFAB=CD, BFAC,DEAC,AE=CF求證：求證：BDBD平分平分EFEFG G變式訓練1如圖，如圖，AB=CD, BFAC,DEAC,AE=CFAB=CD, BFAC,DEAC,AE=CF想想：想想：BDBD平分平分EFEF嗎嗎? ?CDAFEBG變式訓練2議一議議一議如圖，有兩個長度相同的滑梯，如圖，有兩個長度相同的滑梯，左邊滑梯的高度左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯與右邊滑梯水平方向的長度

56、水平方向的長度DF相等，兩個滑相等，兩個滑梯的傾斜角梯的傾斜角ABC和和DFE的大的大小有什么關系？小有什么關系？ABC+DFE=90聯系實際 綜合應用解解：在：在RtABC和和RtDEF中中 BC=EF, AC=DF . RtABC RtDEF (HL).ABC=DEF(全等三角形對應角相等全等三角形對應角相等). DEF+DFE=90,ABC+DFE=90 E D C B A N M O1.1.如圖所示如圖所示, ,已知點已知點C C為線段為線段ABAB上一點上一點, ,ACMACM、BCNBCN是等邊三是等邊三角形角形. .(1)(1)求證求證:AN=BM;:AN=BM;綜合應用綜合應用

57、（2 2）若等邊三角形）若等邊三角形CBNCBN繞頂點繞頂點C C順時針旋轉后（旋轉角順時針旋轉后（旋轉角180180），此時，此時ANAN與與BMBM是否還相等？若相等，給出證明；若不相等，說明是否還相等？若相等，給出證明；若不相等，說明理由理由 E C B A N M F (3) (3)若把原題中若把原題中“ACMACM和和BCNBCN是兩個等邊三角形是兩個等邊三角形”換成兩換成兩個正方形個正方形( (如圖所示如圖所示),AN),AN與與BMBM的關系如何的關系如何? ?請說明理由請說明理由. .128感悟與反思：感悟與反思：、平行、平行角相等；角相等；、對頂角、對頂角角相等；角相等；、公

58、共角、公共角角相等；角相等；、角平分線、角平分線角相等；角相等；、垂直、垂直角相等；角相等；、中點、中點邊相等；邊相等；、公共邊、公共邊邊相等；邊相等；、旋轉、旋轉角相等，邊相等。角相等，邊相等。1 1能夠能夠 的兩個圖形叫做全等圖形的兩個圖形叫做全等圖形2 2判定兩個三角形全等除用定義外，還有幾種方法，它們分別可以簡寫判定兩個三角形全等除用定義外，還有幾種方法，它們分別可以簡寫成成_；_；_；_；_3 3已知，如圖，已知，如圖，AD=ACAD=AC，BD=BCBD=BC，O O為為ABAB上一點，那么，圖中共有上一點，那么，圖中共有 對全對全等三角形等三角形4 4如圖，如圖，ABCABCAD

59、EADE，則，則，AB=AB= ，E=E= 若若BAE=120BAE=120，BAD=40BAD=40，則，則BAC= BAC= 5 5ABCABCDEFDEF，且，且ABCABC的周長為的周長為1212，若，若AB=3AB=3，EF=4EF=4，則，則AC= AC= 6 6如圖，如圖，AE=BFAE=BF，ADBCADBC，AD=BCAD=BC，則有，則有ADF ADF ，且，且DF= DF= 7 7如圖，在如圖，在ABCABC與與DEFDEF中，如果中，如果AB=DEAB=DE，BE=CFBE=CF，只要加上，只要加上 = ，或，或 ，就可證明，就可證明ABCDEFABCDEF8 8ABC

60、ABCBADBAD，A A和和B B，C C和和D D是對應頂點，如果是對應頂點，如果AB=8cmAB=8cm，BD=6cmBD=6cm，AD=5cmAD=5cm，則，則BC=_cmBC=_cm完全重合完全重合6題圖題圖一、填空題（每題一、填空題（每題2分，共分，共32分）分） ODCBACBAED第3題圖 第4題圖圖6ADBCEFD圖7BFACE7題圖題圖SSSSASASAAASHL三三ADC805BCECEBDEFAB DE59 9ABCABC中，中，C=90C=90，ADAD平分平分BACBAC交交BCBC于點于點D D，且，且CD=4cmCD=4cm，則點，則點D D到到ABAB的距離