備考2022數(shù)學專題10 三角形問題（解析版）

1、決勝2020中考數(shù)學壓軸題全揭秘精品專題10 三角形問題【典例分析】【考點1】三角形基礎知識【例1】（2019·浙江中考真題）若長度分別為的三條線段能組成一個三角形，則a的值可以是（ ）a1b2c3d8【答案】c【解析】【分析】根據(jù)三角形三邊關系可得53a5+3，解不等式即可求解【詳解】由三角形三邊關系定理得：53a5+3，即2a8，由此可得，符合條件的只有選項c，故選c【點睛】本題考查了三角形三邊關系，能根據(jù)三角形的三邊關系定理得出53a5+3是解此題的關鍵，注意：三角形的兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊之差小于第三邊【變式1-1】（2019·北京中考真題）如圖，已知ab

2、c，通過測量、計算得abc的面積約為_cm2.（結果保留一位小數(shù)） 【答案】1.9【解析】【分析】過點c作cdab的延長線于點d，測量出ab，cd的長，再利用三角形的面積公式即可求出abc的面積【詳解】解：過點c作cdab的延長線于點d，如圖所示經(jīng)過測量，ab=2.2cm，cd=1.7cm，（cm2）故答案為：1.9【點睛】本題考查了三角形的面積，牢記三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半是解題的關鍵【變式1-2】（2019·山東中考真題）把一塊含有角的直角三角板與兩條長邊平行的直尺如圖放置(直角頂點在直尺的一條長邊上)若，則_【答案】68【解析】【分析】由等腰直角三角形的性質得出a

3、=c=45°，由三角形的外角性質得出agb=68°，再由平行線的性質即可得出2的度數(shù)【詳解】如圖，是含有角的直角三角板，；故答案為68【點睛】此題主要考查了等腰直角三角形的性質、平行線的性質以及三角形的外角性質，關鍵是掌握兩直線平行，同位角相等【考點2】全等三角形的判定與性質的應用【例2】（2019·山東中考真題）在中，于點（1）如圖1，點，分別在，上，且，當，時，求線段的長；（2）如圖2，點，分別在，上，且，求證：；（3）如圖3，點在的延長線上，點在上，且，求證：【答案】(1) ；(2)見解析；(3)見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質、直角三角形

4、的性質得到 adbddc ，求出 mbd30°，根據(jù)勾股定理計算即可； （2）證明bdeadf，根據(jù)全等三角形的性質證明； （3）過點 m作 mebc交 ab的延長線于 e，證明bmeamn，根據(jù)全等三角形的性質得到 bean，根據(jù)等腰直角三角形的性質、勾股定理證明結論【詳解】（1）解：，由勾股定理得，即，解得，；（2）證明：，在和中，；（3）證明：過點作交的延長線于，則，在和中，【點睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定和性質、直角三角形的性質，掌握全等三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵【變式2-1】（2019·貴州中考真題）（1）如圖，在四邊形中，點

5、是的中點，若是的平分線，試判斷，之間的等量關系解決此問題可以用如下方法：延長交的延長線于點，易證得到，從而把，轉化在一個三角形中即可判斷，之間的等量關系_；（2）問題探究：如圖，在四邊形中，與的延長線交于點，點是的中點，若是的平分線，試探究，之間的等量關系，并證明你的結論【答案】（1）；（2），理由詳見解析.【解析】【分析】（1）先根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質證得，再根據(jù)aas證得，于是，進一步即得結論；（2）延長交的延長線于點，如圖，先根據(jù)aas證明，可得，再根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質證得，進而得出結論.【詳解】解：（1）.理由如下：如圖，是的平分線，.點是的中點，又，（aas），

6、.故答案為：.（2）.理由如下：如圖，延長交的延長線于點.，又，（aas），是的平分線，.【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質、平行線的性質、角平分線的定義和等角對等邊等知識，添加恰當輔助線構造全等三角形是解本題的關鍵【變式2-2】（2019·廣西中考真題）如圖，點在上（1）求證：平分；（2）求證：【答案】（1）見解析；（2）見解析.【解析】【分析】（1）由題中條件易知：abcadc，可得ac平分bad；（2）利用（1）的結論，可得baedae，得出be=de【詳解】解：（1）在與中，即平分；（2）由（1）在與中，得【點睛】熟練運用三角形全等的判定，得出三角形全等，轉化邊角關系是

7、解題關鍵【考點3】等腰三角形與等邊三角形的判定與性質的應用【例3】（2019·浙江中考真題）如圖，在中，.已知線段ab的垂直平分線與bc邊交于點p，連結ap，求證：；以點b為圓心，線段ab的長為半徑畫弧，與bc邊交于點q，連結aq，若，求的度數(shù).【答案】（1）見解析；（2）b=36°.【解析】【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質，得到pa=pb，再由等腰三角形的性質得到pab=b，從而得到答案；（2）根據(jù)等腰三角形的性質得到baq=bqa，設b=x，由題意得到等式aqc=b+baq=3x，即可得到答案.【詳解】（1）證明：因為點p在ab的垂直平分線上，所以pa=pb，所以pa

8、b=b，所以apc=pab+b=2b.（2）根據(jù)題意，得bq=ba，所以baq=bqa，設b=x，所以aqc=b+baq=3x，所以baq=bqa=2x，在abq中，x+2x+2x=180°，解得x=36°，即b=36°.【點睛】本題考查垂直平分線的性質、等腰三角形的性質，解題的關鍵是掌握垂直平分線的性質、等腰三角形的性質.【變式3-1】（2019·遼寧中考真題）如圖，是等邊三角形，延長到點，使，連接若，則的長為_【答案】【解析】【分析】ab=ac=bc=cd，即可求出bad=90°，d=30°，解直角三角形即可求得【詳解】解：是等邊

9、三角形，故答案為【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，等腰三角形的性質以及解直角三角形等，證得abd是含30°角的直角三角形是解題的關鍵【變式3-2】（2019·遼寧中考真題）如圖，把三角形紙片折疊，使點a、點c都與點b重合，折痕分別為ef，dg，得到，若，則fg的長為_【答案】【解析】【分析】根據(jù)折疊的性質可得：fg是abc的中位線，ac的長即為bde的周長.在rtbde中，根據(jù)30°角的直角三角形的性質和勾股定理可分別求出bd與be的長，從而可得ac的長，再根據(jù)三角形的中位線定理即得答案.【詳解】解：把三角形紙片折疊，使點a、點c都與點b重合，故答案為：【點睛】

10、本題考查了折疊的性質、三角形中位線定理、30°角的直角三角形的性質和勾股定理等知識，根據(jù)折疊的性質得出fg是abc的中位線，ac的長即為bde的周長是解本題的關鍵.【考點4】直角三角形的性質【例4】（2019·寧夏中考真題）如圖，在中，以頂點為圓心，適當長度為半徑畫弧，分別交于點，再分別以點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，作射線交于點若，則_【答案】【解析】【分析】利用基本作圖得bd平分，再計算出，所以，利用得到，然后根據(jù)三角形面積公式可得到的值【詳解】解：由作法得平分，在中，.故答案為【點睛】本題考查了作圖基本作圖：熟練掌握基本作圖作一條線段等于已知線段；作一個角

11、等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線【變式4-1】（2019·黑龍江中考真題）一張直角三角形紙片，點為邊上的任一點，沿過點的直線折疊，使直角頂點落在斜邊上的點處，當是直角三角形時，則的長為_【答案】或【解析】【分析】依據(jù)沿過點d的直線折疊，使直角頂點c落在斜邊ab上的點e處，當bde是直角三角形時，分兩種情況討論：deb=90°或bde=90°，分別依據(jù)勾股定理或者相似三角形的性質，即可得到cd的長【詳解】分兩種情況：若，則， ，連接，則，設，則，中，解得，；若，則，四邊形是正方形，設，則，解得，綜上所述，的長為或，故答案

12、為：或【點睛】此題考查折疊的性質，勾股定理，全等三角形的判定與性質，解題關鍵在于畫出圖形【變式4-2】（2019·河北中考真題）勘測隊按實際需要構建了平面直角坐標系，并標示了a，b，c三地的坐標，數(shù)據(jù)如圖（單位：km）筆直鐵路經(jīng)過a，b兩地（1）a，b間的距離為_km；（2）計劃修一條從c到鐵路ab的最短公路l，并在l上建一個維修站d，使d到a，c的距離相等，則c，d間的距離為_km【答案】20 13 【解析】【分析】（1）由垂線段最短以及根據(jù)兩點的縱坐標相同即可求出ab的長度；（2）根據(jù)a、b、c三點的坐標可求出ce與ae的長度，設cd=x，根據(jù)勾股定理即可求出x的值【詳解】（1）

13、由a、b兩點的縱坐標相同可知：abx軸，ab=12（8）=20；（2）過點c作lab于點e，連接ac，作ac的垂直平分線交直線l于點d，由（1）可知：ce=1（17）=18，ae=12，設cd=x，ad=cd=x，由勾股定理可知：x2=（18x）2+122，解得：x=13，cd=13故答案為：（1）20；（2）13【點睛】本題考查了勾股定理，解題的關鍵是根據(jù)a、b、c三點的坐標求出相關線段的長度，本題屬于中等題型【考點5】相似三角形的判定與性質的應用【例5】（2019·四川中考真題）如圖，db平分adc，過點b作交ad于m連接cm交db于n（1）求證：；（2）若，求mn的長【答案】（

14、1）見解析；（2）.【解析】【分析】（1）通過證明，可得，可得結論；（2）由平行線的性質可證即可證，由和勾股定理可求mc的長，通過證明，可得，即可求mn的長【詳解】證明：（1）db平分，且，（2），且，且，且【點睛】考查了相似三角形的判定和性質，勾股定理，直角三角形的性質，求mc的長度是本題的關鍵【變式5-1】（2019·全國初三課時練習）如圖，在abc中，ab=ac，點p、d分別是bc、ac邊上的點，且apd=b,（1）求證：accd=cpbp；（2）若ab=10，bc=12，當pdab時，求bp的長【答案】（1）證明見解析；（2）. 【解析】（2）易證apd=b=c，從而可證到a

15、bppcd，即可得到，即abcd=cpbp，由ab=ac即可得到accd=cpbp；（2）由pdab可得apd=bap，即可得到bap=c，從而可證到bapbca，然后運用相似三角形的性質即可求出bp的長解：（1）ab=ac，b=capd=b，apd=b=capc=bap+b，apc=apd+dpc，bap=dpc，abppcd，abcd=cpbpab=ac，accd=cpbp；（2）pdab，apd=bapapd=c，bap=cb=b，bapbca，ab=10，bc=12，bp=“點睛”本題主要考查了相似三角形的判定與性質、等腰三角形的性質、平行線的性質、三角形外角的性質等知識，把證明acc

16、d=cpbp轉化為證明abcd=cpbp是解決第（1）小題的關鍵，證到bap=c進而得到bapbca是解決第（2）小題的關鍵【變式5-2】（2019·陜西中考模擬）大唐芙蓉園是中國第一個全方位展示盛唐風貌的大型皇家園林式文化主題公園，全園標志性建筑一紫云樓為代表，展示了“形神升騰紫云景，天下臣服帝王心”的唐代帝王風范（如圖）小風和小花等同學想用一些測量工具和所學的幾何知識測量“紫云樓”的高度，來檢驗自己掌握知識和運用知識的能力，他們經(jīng)過研究需要兩次測量：首先，在陽光下，小風在紫云樓影子的末端c點處豎立一根標桿cd，此時，小花測得標桿cd的影長ce2米，cd2米；然后，小風從c點沿bc

17、方向走了5.4米，到達g處，在g處豎立標桿fg，接著沿bg后退到點m處時，恰好看見紫云樓頂端a，標桿頂端f在一條直線上，此時，小花測得gm0.6米，小風的眼睛到地面的距離hm1.5米，fg2米如圖，已知abbm，cdbm，fgbm，hmbm，請你根據(jù)題中提供的相關信息，求出紫云樓的高ab【答案】紫云樓的高ab為39米【解析】【分析】根據(jù)已知條件得到abbc，過h作hnab于n，交fg于p，設abbcx，則hnbmx+5.4+0.6x+6，anx1.5，fp0.5，phgm0.6，根據(jù)相似三角形的性質即可得到結論【詳解】解：cdbm，fgbm，ce2，cd2，abbc，過h作hnab于n，交fg

18、于p，設abbcx，則hnbmx+5.4+0.6x+6，anx1.5，fp0.5，phgm0.6，anhfph90°，ahnfhp，anhfph，即，x39，紫云樓的高ab為39米【點睛】本題考查了相似三角形的應用，正確的識別圖形是解題的關鍵【考點6】銳角三角函數(shù)及其應用【例6】（2019·貴州中考真題）三角板是我們學習數(shù)學的好幫手.將一對直角三角板如圖放置，點c在fd的延長線上，點b在ed上，abcf，facb90°，e45°，a60°，ac10，則cd的長度是_.【答案】155.【解析】【分析】過點b作bmfd于點m，根據(jù)題意可求出bc的長

19、度，然后在efd中可求出edf45°，進而可得出答案.【詳解】過點b作bmfd于點m，在acb中，acb90°，a60°，ac10，abc30°，bc10×tan60°10，abcf，bcm=abc=30°，bmbc×sin30°5，cmbc×cos30°15，在efd中，f90°，e45°，edf45°，mdbm5，cdcmmd155，故答案是：155.【點睛】本題考查了解直角三角形，正確添加輔助線，構建直角三角形是解題的關鍵.【變式6-1】（2019&

20、#183;山東中考真題）自開展“全民健身運動”以來，喜歡戶外步行健身的人越來越多，為方便群眾步行健身，某地政府決定對一段如圖1所示的坡路進行改造如圖2所示，改造前的斜坡米，坡度為；將斜坡的高度降低米后，斜坡改造為斜坡，其坡度為求斜坡的長（結果保留根號）【答案】斜坡的長是米【解析】【分析】根據(jù)題意和銳角三角函數(shù)可以求得的長，進而得到的長，再根據(jù)銳角三角函數(shù)可以得到的長，最后用勾股定理即可求得的長【詳解】，坡度為，斜坡的坡度為，即，解得，米，答：斜坡的長是米【點睛】本題考查解直角三角形的應用坡度坡角問題，解答本題的關鍵是明確題意，利用銳角三角函數(shù)和數(shù)形結合的思想解答【變式6-2】（2019

21、3;海南中考真題）如圖是某區(qū)域的平面示意圖，碼頭a在觀測站b的正東方向，碼頭a的北偏西方向上有一小島c，小島c在觀測站b的北偏西方向上，碼頭a到小島c的距離ac為10海里（1）填空： 度， 度；（2）求觀測站b到ac的距離bp（結果保留根號）【答案】（1）30，45；（2）（55）海里【解析】【分析】（1）由題意得：，由三角形內角和定理即可得出的度數(shù)；（2）證出是等腰直角三角形，得出，求出，由題意得出，解得即可【詳解】解：（1）由題意得：，；故答案為30，45；（2），是等腰直角三角形，解得：，答：觀測站b到ac的距離bp為海里【點睛】本題考查了解直角三角形的應用方向角問題，通過解直角三角形得

22、出方程是解題的關鍵【達標訓練】1（2019·河北中考真題）根據(jù)圓規(guī)作圖的痕跡，可用直尺成功找到三角形外心的是（）abcd【答案】c【解析】【分析】根據(jù)三角形外心的定義得到三角形外心為三邊的垂直平分線的交點，然后利用基本作圖對各選項進行判斷【詳解】三角形外心為三邊的垂直平分線的交點，由基本作圖得到c選項作了兩邊的垂直平分線，從而可用直尺成功找到三角形外心故選c【點睛】本題考查了作圖基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）也考查了三角形的外心2（2019·江蘇中考真題）已知n正整

23、數(shù)，若一個三角形的三邊長分別是n+2、n+8、3n，則滿足條件的n的值有( )a4個b5個c6個d7個【答案】d【解析】【分析】分n+8與3n最大兩種情況，根據(jù)三角形三邊關系列出不等式組，解不等式組后求出正整數(shù)解即可得答案.【詳解】n+2<n+8，分n+8最大與3n最大兩種情況，當n+8最大時，解得 ：2<n4，又n為正整數(shù)，n=3，4；當3n最大時，解得：4n<10，又n為正整數(shù)，n=4，5，6，7，8，9，綜上：n的值可以為3、4、5、6、7、8、9，共7種可能，故選d.【點睛】本題考查了一元一次不等式組的應用，三角形三邊關系，熟練掌握相關內容并正確分類討論是解題的關鍵.

24、3（2019·浙江中考真題）如圖，已知在四邊形中，平分，則四邊形的面積是（ ）a24b30c36d42【答案】b【解析】【分析】過d作deab交ba的延長線于e，根據(jù)角平分線的性質得到de=cd=4，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結論【詳解】如圖，過d作deab交ba的延長線于e，bd平分abc，bcd=90°，de=cd=4，四邊形的面積 故選：b.【點睛】本題考查了角平分線的性質，三角形的面積的計算，正確的作出輔助線是解題的關鍵4（2019·湖北中考真題）通過如下尺規(guī)作圖，能確定點是邊中點的是（ ）abcd【答案】a【解析】【分析】作線段的垂直平分線可得線段的中

25、點【詳解】作線段的垂直平分線可得線段的中點由此可知：選項a符合條件，故選a【點睛】本題考查作圖復雜作圖，解題的關鍵是熟練掌握五種基本作圖5（2019·廣東中考真題）如圖，矩形abcd中，對角線ac的垂直平分線ef分別交bc，ad于點e，f，若be=3，af=5，則ac的長為（ ）abc10d8【答案】a【解析】【分析】連接ae，由線段垂直平分線的性質得出oa=oc，ae=ce，證明aofcoe得出af=ce=5，得出ae=ce=5，bc=be+ce=8，由勾股定理求出ab=4，再由勾股定理求出ac即可【詳解】解：如圖，連結ae，設ac交ef于o，依題意，有aooc，aofcoe，oa

26、foce，所以，oafoce（asa），所以，ecaf5，因為ef為線段ac的中垂線，所以，eaec5，又be3，由勾股定理，得：ab4，所以，ac【點睛】本題考查了全等三角形的判定、勾股定理，熟練掌握是解題的關鍵.6（2019·湖南中考真題）已知m、n是線段ab上的兩點，ammn2，nb1，以點a為圓心，an長為半徑畫弧；再以點b為圓心，bm長為半徑畫弧，兩弧交于點c，連接ac，bc，則abc一定是( )a銳角三角形b直角三角形c鈍角三角形d等腰三角形【答案】b【解析】【分析】依據(jù)作圖即可得到acan4，bcbm3，ab2+2+15，進而得到ac2+bc2ab2，即可得出abc是直

27、角三角形【詳解】如圖所示，acan4，bcbm3，ab2+2+15，ac2+bc2ab2，abc是直角三角形，且acb90°，故選b【點睛】本題主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2c2，那么這個三角形就是直角三角形7（2019·黑龍江中考真題）如圖，在abc中，be是abc的平分線，ce是外角acm的平分線，be與ce相交于點e，若a=60°，則bec是（ ）a15°b30°c45°d60°【答案】b【解析】【分析】根據(jù)角平分線的定義得到ebm=abc、ecm=acm，根據(jù)三角形的外角性質計

28、算即可【詳解】解：be是abc的平分線，ebm=abc，ce是外角acm的平分線，ecm=acm，則bec=ecm-ebm=×（acm-abc）=a=30°，故選：b【點睛】本題考查的是三角形的外角性質、角平分線的定義，掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和是解題的關鍵8（2019·海南中考真題）如圖，在中，點p是邊ac上一動點，過點p作交bc于點q，d為線段pq的中點，當bd平分時，ap的長度為（）abcd【答案】b【解析】【分析】根據(jù)勾股定理求出ac，根據(jù)角平分線的定義、平行線的性質得到，得到，根據(jù)相似三角形的性質列出比例式，計算即可【詳解】解：，又

29、，即，解得，故選b【點睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質，掌握相似三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵9（2019·遼寧中考真題）如圖，在中，連接bc，cd，則的度數(shù)是（）a45°b50°c55°d80°【答案】b【解析】【分析】連接ac并延長交ef于點m由平行線的性質得，再由等量代換得，先求出即可求出【詳解】解：連接ac并延長交ef于點m，故選：b【點睛】本題主要考查了平行線的性質以及三角形的內角和定理，屬于基礎題型10（2019·四川中考真題）如圖，四邊形是邊長為1的正方形，是等邊三角形，連接并延長交的延長線于點h，連接交于

30、點q，下列結論：；其中正確的有（ ）abcd【答案】d【解析】【分析】根據(jù)等邊三角形和正方形的性質對進行判斷，根據(jù)相似三角形對進行判斷，根據(jù)三角形的性質對進行判斷，由三角形面積公式對進行判斷.【詳解】解：是等邊三角形，四邊形是正方形，則，故正確；，又，故正確；如圖，過點q作于e，設，則，由知，解得，則，故錯誤；，又，故正確；故選：d【點睛】本題考查等邊三角形、正方形的性質對、相似三角形、三角形的性質和三角形面積公式，解題的關鍵是熟練掌握等邊三角形、正方形的性質對、相似三角形、三角形的性質和三角形面積公式.11（2019·遼寧中考真題）如圖，ad是abc的外角eac的平分線，adbc，

31、b32°，則c的度數(shù)是（）a64°b32°c30°d40°【答案】b【解析】【分析】根據(jù)平行線的性質求出ead，根據(jù)角平分線的定義得到eac=2ead=64°，根據(jù)三角形的外角性質計算即可【詳解】解：adbc，ead=b=32°，ad是abc的外角eac的平分線，eac=2ead=64°，eac是abc的外角，c=eac-b=64°-32°=32°，故選：b【點睛】本題考查的是平行線的性質、三角形的外角性質、角平分線的定義，掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和是解題的關鍵1

32、2（2019·青海中考真題）如圖，直線與這三條平行線分別交于點和點已知ab=1，bc=3，de=1.2，則df的長為（）abcd【答案】b【解析】【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理即可解決問題【詳解】解：，即，故選：【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型13（2019·遼寧中考真題）如圖，在abc中，c90°，de是ab的垂直平分線，ad恰好平分bac若de1，則bc的長是_【答案】3【解析】【分析】根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得adbd，再根據(jù)等邊對等角的性質求出dabb，然后根據(jù)角平分線的定義

33、與直角三角形兩銳角互余求出b30°，再根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出bd，然后求解即可【詳解】解：ad平分bac，且deab，c90°，cdde1，de是ab的垂直平分線，adbd，bdab，dabcad，caddabb，c90°，cad+dab+b90°，b30°，bd2de2，bcbd+cd1+23，故答案為：3【點睛】本題考查了角平分線的定義和性質，線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，屬于基礎題，熟記性質是解題的關鍵14（2019&

34、#183;廣西中考真題）如圖，在中，則的長為_【答案】【解析】【分析】過a作ad垂直于bc，在直角三角形abd中，利用銳角三角函數(shù)定義求出ad的長，在直角三角形acd中，利用銳角三角函數(shù)定義求出cd的長，再利用勾股定理求出ac的長即可【詳解】解：過作，在中，在中，即，根據(jù)勾股定理得：，故答案為【點睛】此題考查了解直角三角形，涉及的知識有：銳角三角函數(shù)定義，以及勾股定理，熟練掌握各自的性質是解本題的關鍵15（2019·山東中考真題）如圖，一架長為米的梯子斜靠在一豎直的墻上，這時測得，如果梯子的底端外移到，則梯子頂端下移到，這時又測得，那么的長度約為_米（，）【答案】【解析】【分析】直接

35、利用銳角三角函數(shù)關系得出，的長，進而得出答案【詳解】由題意可得：，解得：，解得：，則，答：的長度約為米故答案為：【點睛】此題主要考查了解直角三角形的應用，正確得出，的長是解題關鍵16（2019·山東中考真題）把兩個同樣大小含角的三角尺按如圖所示的方式放置，其中一個三角尺的銳角頂點與另一個三角尺的直角頂點重合于點，且另外三個銳角頂點在同一直線上若，則_【答案】【解析】【分析】先利用等腰直角三角形的性質求出 ，再利用勾股定理 求出 df，即可得出結論【詳解】如圖，過點作于，在中，兩個同樣大小的含角的三角尺，在中，根據(jù)勾股定理得，故答案為：【點睛】此題主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性

36、質，正確作出輔助線是解本題的關鍵17（2019·湖北中考真題）如圖，已知，添加下列條件中的一個：，其中不能確定的是_（只填序號）【答案】【解析】【分析】一般三角形全等的判定方法有sss，sas，aas，asa，據(jù)此可逐個對比求解【詳解】已知，且若添加，則可由判定；若添加，則屬于邊邊角的順序，不能判定；若添加，則屬于邊角邊的順序，可以判定故答案為：【點睛】本題考查全等三角形的幾種基本判定方法，只要判定方法掌握得牢固，此題不難判斷18（2019·貴州中考真題）如圖，在中，且，點是斜邊上的一個動點，過點分別作于點，于點，連接，則線段的最小值為_【答案】【解析】【分析】由勾股定理求

37、出的長，再證明四邊形是矩形，可得，根據(jù)垂線段最短和三角形面積即可解決問題【詳解】解：，且，四邊形是矩形.如圖，連接ad，則，當時，的值最小，此時，的面積，的最小值為；故答案為：【點睛】本題考查了矩形的判定和性質、勾股定理、三角形面積、垂線段最短等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，本題屬于中考常考題型19（2019·青海中考真題）如圖，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，經(jīng)測量得到如下數(shù)據(jù)：am=4米，ab=8米，mad=45°，mbc=30°，則警示牌的高cd為_米（結果保留根號）【答案】一4【解析】【分析】分析:利用特殊三角函數(shù)值，解直角三角形,am=md

38、,再用正切函數(shù)，利用mb求cm,作差可求dc.【詳解】因為mad=45°, am=4,所以md=4，因為ab=8，所以mb=12,因為mbc=30°，所以cm=mbtan30°=4.所以cd=4-4.【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，熟練掌握三角函數(shù)的相關定義以及變形是解題的關鍵.20（2019·山西中考真題）如圖，在abc中，bac=90°，ab=ac=10cm，點d為abc內一點，bad=15°，ad=6cm，連接bd，將abd繞點a逆時針方向旋轉，使ab與ac重合，點d的對應點e，連接de，de交ac于點f，則cf的長為_c

39、m.【答案】【解析】【分析】過點a作ahde，垂足為h，由旋轉的性質可得 ae=ad=6，cae=bad=15°，dae=bac=90°，再根據(jù)等腰直角三角形的性質可得hae=45°，ah=3，進而得haf=30°，繼而求出af長即可求得答案.【詳解】過點a作ahde，垂足為h，bac=90°，ab=ac，將abd繞點a逆時針方向旋轉，使ab與ac重合，點d的對應點e，ae=ad=6，cae=bad=15°，dae=bac=90°，de=，hae=dae=45°，ah=de=3，haf=hae-cae=30

40、6;，af=，cf=ac-af=，故答案為：.【點睛】本題考查了旋轉的性質，等腰直角三角形的性質，勾股定理，解直角三角形等知識，正確添加輔助線構建直角三角形、靈活運用相關知識是解題的關鍵.21（2019·北京中考真題）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則_°（點a，b，p是網(wǎng)格線交點）.【答案】45.【解析】【分析】延長ap交格點于d，連接bd，根據(jù)勾股定理得到pd2=bd2=1+22=5，pb2=12+32=10，求得pd2+db2=pb2，于是得到pdb=90°，根據(jù)三角形外角的性質即可得到結論【詳解】解：延長ap交格點于d，連接bd，則pd2=bd2=1+22=5

41、，pb2=12+32=10，pd2+db2=pb2，pdb=90°，即pbd為等腰直角三角形，dpb=pab+pba=45°，故答案為：45【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性質，等腰直角三角形的判定和性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵22（2019·江蘇中考真題）如圖，abc中，ab=bc，abc=90°，f為ab延長線上一點，點e在bc上，且ae=cf，若bae=25°，則acf=_度【答案】70【解析】【分析】先利用hl證明abecbf，可證bcf=bae=25°，即可求出acf=45°+25

42、°=70°.【詳解】abc=90°，ab=ac，cbf=180°-abc=90°，acb=45°，在rtabe和rtcbf中，rtabertcbf(hl)，bcf=bae=25°，acf=acb+bcf=45°+25°=70°，故答案為70.【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵.23（2019·江蘇中考真題）無蓋圓柱形杯子的展開圖如圖所示將一根長為20cm的細木筷斜放在該杯子內，木筷露在杯子外面的部分至少有_cm【答

43、案】5【解析】【分析】根據(jù)題意直接利用勾股定理得出杯子內的筷子長度，進而得出答案【詳解】解：由題意可得：杯子內的筷子長度為：15，則木筷露在杯子外面的部分至少有：20155（cm）故答案為5【點睛】此題主要考查了勾股定理的應用，正確得出杯子內筷子的長是解決問題的關鍵24（2019·湖南中考真題）已知aob60°，oc是aob的平分線，點d為oc上一點，過d作直線deoa，垂足為點e，且直線de交ob于點f，如圖所示若de2，則df_【答案】4【解析】【分析】過點d作dmob，垂足為m，則dm=de=2，在rtoef中，利用三角形內角和定理可求出dfm=30°，在r

44、tdmf中，由30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可求出df的長，此題得解【詳解】過點d作dmob，垂足為m，如圖所示oc是aob的平分線，dmde2在rtoef中，oef90°，eof60°，ofe30°，即dfm30°在rtdmf中，dmf90°，dfm30°，df2dm4故答案為：4【點睛】本題考查了角平分線的性質、三角形內角和定理以及含30度角的直角三角形，利用角平分線的性質及30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，求出df的長是解題的關鍵25（2019·山東中考真題）小圓同學對圖形旋轉前后的線段之間、

45、角之間的關系進行了拓展探究.（一）猜測探究在中，是平面內任意一點，將線段繞點按順時針方向旋轉與相等的角度，得到線段，連接（1）如圖1，若是線段上的任意一點，請直接寫出與的數(shù)量關系是 ，與的數(shù)量關系是 ；（2）如圖2，點是延長線上點，若是內部射線上任意一點，連接，（1）中結論是否仍然成立？若成立，請給予證明，若不成立，請說明理由（二）拓展應用如圖3，在中，是上的任意點，連接，將繞點按順時針方向旋轉，得到線段，連接求線段長度的最小值【答案】（一）（1）結論：，理由見解析；（2）如圖2中，中結論仍然成立理由見解析；（二）的最小值為【解析】【分析】（一）結論：，根據(jù)證明即可中結論仍然成立證明方法類似（

46、二）如圖3中，在上截取，連接，作于，作于理由全等三角形的性質證明，推出當?shù)闹底钚r，的值最小，求出的值即可解決問題【詳解】（一）（1）結論：，理由：如圖1中，（），故答案為，（2）如圖2中，中結論仍然成立理由：，（），（二）如圖3中，在上截取，連接，作于，作于，（），當?shù)闹底钚r，的值最小，在中，在，根據(jù)垂線段最短可知，當點與重合時，的值最小，的最小值為【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，解直角三角形，垂線段最短等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，學會利用垂線段最短解決最值問題，屬于中考壓軸題26（2019·四川

47、中考真題）在中，已知是邊的中點，是的重心，過點的直線分別交、于點、.（1）如圖1，當時，求證：；（2）如圖2，當和不平行，且點、分別在線段、上時，（1）中的結論是否成立？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由.（3）如圖3，當點在的延長線上或點在的延長線上時，（1）中的結論是否成立？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由. 【答案】（1）證明見解析；（2）（1）中結論成立，理由見解析；（3）（1）中結論不成立，理由見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)g為重心可知，由efbc可知,，故（2）過點作交的延長線于點，、的延長線相交于點，則，故要求式子，又，d是的中點，即，故有，所以原式，又

48、有，得，故結論成立；（3）由g點為重心可知，當點與點重合時，為中點，故當點在的延長線上時，,則，同理：當點在的延長線上時，故結論不成立.【詳解】（1）證明： 是重心, 又, 則. （2）（1）中結論成立，理由如下：如圖，過點作交的延長線于點，、的延長線相交于點，則， 又而是的中點，即又結論成立； （3）（1）中結論不成立，理由如下：當點與點重合時，為中點，,點在的延長線上時，,則， 同理：當點在的延長線上時，結論不成立.【點睛】本題考查了三角形的重心，相似三角形的性質和判定，分類討論思想，解本題的關鍵是通過三角形重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2:1與相似比結合來解題，并合理作出輔

49、助線來解題.27（2019·遼寧中考真題）思維啟迪：（1）如圖1，a，b兩點分別位于一個池塘的兩端，小亮想用繩子測量a，b間的距離，但繩子不夠長，聰明的小亮想出一個辦法：先在地上取一個可以直接到達b點的點c，連接bc，取bc的中點p（點p可以直接到達a點），利用工具過點c作cdab交ap的延長線于點d，此時測得cd200米，那么a，b間的距離是 米思維探索：（2）在abc和ade中，acbc，aede，且aeac，acbaed90°，將ade繞點a順時針方向旋轉，把點e在ac邊上時ade的位置作為起始位置（此時點b和點d位于ac的兩側），設旋轉角為，連接bd，點p是線段bd

50、的中點，連接pc，pe如圖2，當ade在起始位置時，猜想：pc與pe的數(shù)量關系和位置關系分別是 ；如圖3，當90°時，點d落在ab邊上，請判斷pc與pe的數(shù)量關系和位置關系，并證明你的結論；當150°時，若bc3，del，請直接寫出pc2的值【答案】（1）200；（2）pcpe，pcpe；pc與pe的數(shù)量關系和位置關系分別是pcpe，pcpe，見解析；pc2.【解析】【分析】（1）由cdab，可得cb，根據(jù)apbdpc即可證明abpdcp，即可得abcd，即可解題（2）延長ep交bc于f，易證fbpedp（sas）可得efc是等腰直角三角形，即可證明pcpe，pcpe作bfde，交ep延長線于點f，連接ce、cf，易證fbpedp（sas），結合已知得bfdeae，再證明fbceac（sas），可得efc是等腰直角三角形，即可證明pcpe，pcpe作bfde，交ep延長線于點f，連接ce、cf，過e點作ehac交ca延長線于h點，由旋轉旋轉可知，cae150°，de與bc所成夾角的銳角為30°，得fbceac，同可證可得pcpe，pcpe，再由已知解三角形得ec2ch2+he2，即可求