類型三 其他探究題-備考2022年中考數(shù)學(xué)第二輪重難題型突破（解析版）

1、類型三 其他探究題例1、已知正方形abcd中，e為對(duì)角線bd上一點(diǎn)，過(guò)e點(diǎn)作efbd交bc于f，連接df，g為df中點(diǎn)，連接eg，cg（1）直接寫出線段eg與cg的數(shù)量關(guān)系；（2）將圖1中bef繞b點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45º，如圖2所示，取df中點(diǎn)g，連接eg，cg你在（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明 （3）將圖1中bef繞b點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖3所示，再連接相應(yīng)的線段，問(wèn)（1）中的結(jié)論是否仍然成立？（不要求證明）fbace圖3dfbadceg圖2fbadceg圖1【答案】解：（1）cg=eg（2）（1）中結(jié)論沒(méi)有發(fā)生變化，即eg=cg證明：連接ag，過(guò)g點(diǎn)作mnad于

2、m，與ef的延長(zhǎng)線交于n點(diǎn)fbadcegmnn圖 2在dag與dcg中， ad=cd，adg=cdg，dg=dg， dagdcg ag=cg在dmg與fng中， dgm=fgn，fg=dg，mdg=nfg， dmgfng mg=ng fbadce圖3g 在矩形aenm中，am=en在rtamg 與rteng中， am=en， mg=ng， amgeng ag=eg eg=cg （3）（1）中的結(jié)論仍然成立例2、請(qǐng)閱讀下列材料問(wèn)題：如圖1，在等邊三角形abc內(nèi)有一點(diǎn)p，且pa=2， pb=， pc=1求bpc度數(shù)的大小和等邊三角形abc的邊長(zhǎng)李明同學(xué)的思路是：將bpc繞點(diǎn)b順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60

3、6;，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形（如圖2）連接pp，可得ppc是等邊三角形，而ppa又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可證）所以apc=150°，而bpc=apc=150°進(jìn)而求出等邊abc的邊長(zhǎng)為問(wèn)題得到解決請(qǐng)你參考李明同學(xué)的思路，探究并解決下列問(wèn)題：如圖3，在正方形abcd內(nèi)有一點(diǎn)p，且pa=，bp=，pc=1求bpc度數(shù)的大小和正方形abcd的邊長(zhǎng)圖2圖3圖1【答案】解：（1）如圖，將bpc繞點(diǎn)b逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得bpa，則bpcbpaap=pc=1，bp=bp=連結(jié)p p，在rtbpp中， bp=bp=，pbp=90°， p p=2，bpp=45

4、6; 在app中， ap=1，p p=2，ap=， ，即ap 2 + pp 2 = ap2 app是直角三角形，即a p p=90° apb=135° bpc=apb=135° （2）過(guò)點(diǎn)b作beap 交ap 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)e ep b=45°. ep=be=1. ae=2. 在rtabe中，由勾股定理，得ab= bpc=135°，正方形邊長(zhǎng)為例3、如圖1，已知abc=90°，abe是等邊三角形，點(diǎn)p為射線bc上任意一點(diǎn)（點(diǎn)p與點(diǎn)b不重合），連結(jié)ap，將線段ap繞點(diǎn)a逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段aq，連結(jié)qe并延長(zhǎng)交射線bc于點(diǎn)f

5、.（1）如圖2，當(dāng)bp=ba時(shí)，ebf=°，猜想qfc= °；（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)p為射線bc上任意一點(diǎn)時(shí)，猜想qfc的度數(shù)，并加以證明；圖1acbeqfp（3）已知線段ab=，設(shè)bp=，點(diǎn)q到射線bc的距離為y，求y關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式圖2abeqpfc【答案】解: （1） 30° = 60° （2）=60°不妨設(shè)bp, 如圖1所示 bap=bae+eap=60°+eap eaq=qap+eap=60°+eap bap=eaq 在abp和aeq中 ab=ae，bap=eaq， ap=aqabpaeq（sas） aeq=abp=9

6、0°bef=60° (事實(shí)上當(dāng)bp時(shí)，如圖2情形，不失一般性結(jié)論仍然成立，不分類討論不扣分）(3)在圖1中，過(guò)點(diǎn)f作fgbe于點(diǎn)gabe是等邊三角形 be=ab=，由（1）得30°在rtbgf中， bf= ef=2abpaeq qe=bp= qf=qeef過(guò)點(diǎn)q作qhbc，垂足為h在rtqhf中，（x0）即y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是：.例4、如圖，將oa= 6，ab = 4的矩形oabc放置在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)m、n以每秒個(gè)單位的速度分別從點(diǎn)a、c同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)m沿ao向終點(diǎn)o運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)n沿cb向終點(diǎn)b運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了t秒時(shí)，過(guò)點(diǎn)n作npbc，交ob于點(diǎn)p，

7、連接mp （1）點(diǎn)b的坐標(biāo)為；用含t的式子表示點(diǎn)p的坐標(biāo)為；（2）記omp的面積為s，求s與t的函數(shù)關(guān)系式（0 < t < 6）；并求t為何值時(shí)，s有最大值？（3）試探究：當(dāng)s有最大值時(shí)，在y軸上是否存在點(diǎn)t，使直線mt把onc分割成三角形和四邊形兩部分，且三角形的面積是onc面積的？若存在，求出點(diǎn)t的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由（備用圖）【答案】解：（1）（6，4）；（）.（2）somp =×om×，s =×（6 -t）×=+2t （0 < t <6）當(dāng)時(shí)，s有最大值（3）存在由（2）得：當(dāng)s有最大值時(shí)，點(diǎn)m、n的坐標(biāo)分別為：m（

8、3，0），n（3，4），則直線on的函數(shù)關(guān)系式為：（備用圖）r2t1t2r1d2d1設(shè)點(diǎn)t的坐標(biāo)為（0，b），則直線mt的函數(shù)關(guān)系式為：，解方程組得直線on與mt的交點(diǎn)r的坐標(biāo)為例5、如圖，在rtabc中，acb90°，a30°，點(diǎn)o為ab中點(diǎn)，點(diǎn)p為直線bc上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)b、點(diǎn)c重合)，連接oc、op，將線段op繞點(diǎn)p逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段pq，連接bq.(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)p在線段bc上時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段bq與cp的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)p在cb延長(zhǎng)線上時(shí)，(1)中結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)加以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖，當(dāng)點(diǎn)p在bc延長(zhǎng)線上時(shí)

9、，若bpo45°，ac，請(qǐng)直接寫出bq的長(zhǎng)第3題圖【答案】解：(1)cpbq; 【解法提示】如解圖，連接oq，第3題解圖由旋轉(zhuǎn)可知，pqop，opq60°，poq是等邊三角形，opoq，poq60°，在rtabc中，o是ab中點(diǎn)，ocoaob，boc2a60°poq，copboq，在cop和boq中，copboq(sas)，cpbq；(2)成立，理由如下：如解圖，連接oq，第3題解圖由旋轉(zhuǎn)知pqop，opq60°，poq是等邊三角形，opoq，poq60°，在rtabc中，o是ab中點(diǎn)，ocoaob，boc2a60°poq，copboq，在cop和boq中，copboq(sas)，cpbq；(3)bq.【解法提示】在rtabc中，a30