第15講 非常規(guī)思維問題-備考2022年中考數(shù)學(xué)《二輪沖刺核心重點(diǎn)難點(diǎn)熱點(diǎn)15講》(全國通用)原卷板

1、硬核：狙擊2020中考數(shù)學(xué)重點(diǎn)/難點(diǎn)/熱點(diǎn)一、軸對稱/翻折的性質(zhì) 1. 關(guān)于某條直線對稱的兩個(gè)圖形是全等形； 2. 如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任意一對對應(yīng)點(diǎn)連線段的垂直平分線； 3. 對稱軸上的任意一點(diǎn)與每一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段相等； 4. 若對應(yīng)線段或?qū)?yīng)線段的延長線相交，則交點(diǎn)一定在對稱軸上.二、梯形常見輔助線的作法 三、圓冪定理 四、正弦定理與余弦定理五、阿基米德折弦定理【例題1】（1）如圖1，四邊形abcd是菱形，bad=bcd=60°，當(dāng)ac=12時(shí)，則bcd的周長=_.（2）如圖2，若四邊形abcd不是菱形，bad=2acb=2acd=60°，ac=

2、12，判斷bcd的周長是否發(fā)生變化，并說明理由。（3）如圖2，在四邊形abcd中，bad=acb=acd=45°，ac=12，求bcd的周長。 【變式1】已知：如圖（1）在rtabc中，bac90°，abac，點(diǎn)d、e分別為線段bc上兩動(dòng)點(diǎn)，若dae45°（1）探究線段bd、de、ec三條線段之間的數(shù)量關(guān)系；（2）已知：如圖（2），等邊三角形abc中，點(diǎn)d、e在邊ab上，且dce30°，請你找出一個(gè)條件，使線段de、ad、eb能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，并求出此時(shí)等腰三角形頂角的度數(shù) 圖(1) 圖(2) 【例題2】如圖，四邊形abcd中，adbc，abc+dc

3、b90°，且bc2ad，以ab、bc、dc為邊向外作正方形，其面積分別為s1、s2、s3，若s13，s39，則s2的值為_. 【變式2-1】如圖所示梯形abcd中，abcd，a+b90°，abp，cdq，e，f分別為ab，cd的中點(diǎn)，求ef【變式2-2】如圖，在梯形abcd中，adbc，求b、d【例題3】如圖，pa切o于a，pbc是o的割線，如果pb2，pc4，則pa的長為【變式3-1】如圖，cd是o的直徑，以d為圓心的圓與o交于a、b兩點(diǎn)，ab交cd于點(diǎn)e，cd交d于p，已知pc6，pe：ed2：1，則ab的長為（）abcd【變式3-2】九年級學(xué)生小剛是一個(gè)喜歡看書的好學(xué)

4、生，他在學(xué)習(xí)完第二十四章圓后，在家里突然看到爸爸的初中數(shù)學(xué)書上居然還有一個(gè)相交弦定理（圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等），非常好奇，仔細(xì)閱讀原來就是：papbpcpd，小剛很想知道是如何證明的，可已證明部分污損看不清了，只看到輔助線的做法，分別連結(jié)ac、bd聰明的你一定能幫他證出，請?jiān)趫D1中做出輔助線，并寫出詳細(xì)的證明過程小剛又看到一道課后習(xí)題，如圖2，ab是o弦，p是ab上一點(diǎn)，ab10cm，pa4cm，op5cm，求o的半徑，愁壞了小剛，樂于助人的你肯定會(huì)幫助他，請寫出詳細(xì)的證明過程 【例題4】問題呈現(xiàn)：阿基米德折弦定理：如圖1，ab和bc是o的兩條弦（即折線abc是圓的一

5、條折弦），bcab，m是的中點(diǎn)，則從m向bc所作垂線的垂足d是折弦abc的中點(diǎn)，即cdab+bd下面是運(yùn)用“截長法”證明cdab+bd的部分證明過程證明：如圖2，在cb上截取cgab，連接ma，mb，mc和mgm是的中點(diǎn)，mamc（1）請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；實(shí)踐應(yīng)用：（2）如圖3，已知abc內(nèi)接于o，bcabac，d是的中點(diǎn)，依據(jù)阿基米德折弦定理可得圖中某三條線段的等量關(guān)系為（3）如圖4，已知等腰abc內(nèi)接于o，abac，d為ab上一點(diǎn)，連接db，acd45°，aecd于點(diǎn)e，bdc的周長為4+2，bc2，請求出ac的長【變式4-1】我們知道，如圖1，ab是o的

6、弦，點(diǎn)f是的中點(diǎn)，過點(diǎn)f作efab于點(diǎn)e，易得點(diǎn)e是ab的中點(diǎn)，即aeebo上一點(diǎn)c（acbc），則折線acb稱為o的一條“折弦”（1）當(dāng)點(diǎn)c在弦ab的上方時(shí)（如圖2），過點(diǎn)f作efac于點(diǎn)e，求證：點(diǎn)e是“折弦acb”的中點(diǎn)，即aeec+cb（2）當(dāng)點(diǎn)c在弦ab的下方時(shí)（如圖3），其他條件不變，則上述結(jié)論是否仍然成立？若成立說明理由；若不成立，那么ae、ec、cb滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出，不必證明（3）如圖4，已知rtabc中，c90°，bac30°，rtabc的外接圓o的半徑為2，過o上一點(diǎn)p作phac于點(diǎn)h，交ab于點(diǎn)m，當(dāng)pab45°時(shí)，求ah的長 【

7、例題5】閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)托勒密定理：托勒密（ptolemy）（公元90年公元168年），希臘著名的天文學(xué)家，他的要著作天文學(xué)大成被后人稱為“偉大的數(shù)學(xué)書”，托勒密有時(shí)把它叫作數(shù)學(xué)文集，托勒密從書中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密（ptolemy）定理托勒密定理：圓內(nèi)接四邊形中，兩條對角線的乘積等于兩組對邊乘積之和已知：如圖1，四邊形abcd內(nèi)接于o，求證：abcd+bcadacbd下面是該結(jié)論的證明過程：證明：如圖2，作baecad，交bd于點(diǎn)eabeacdabeacdabcdacbeacbade（依據(jù)1）baecadbae+eaccad+eac即baceadabcaed（依據(jù)

8、2）任務(wù)：（1）請繼續(xù)完成上面的證明過程，并回答上述過程中的“依據(jù)1”和“依據(jù)2”分別是什么（2）當(dāng)圓內(nèi)接四邊形abcd是矩形時(shí)，托勒密定理就是我們非常熟知的一個(gè)定理： （3）如圖3，四邊形abcd內(nèi)接于o，ab3，ad5，bad60°，點(diǎn)c為的中點(diǎn)，求ac的長【變式5-1】問題探究：（1）已知：如圖，abc中請你用尺規(guī)在bc邊上找一點(diǎn)d，使得點(diǎn)a到點(diǎn)bc的距離最短（2）托勒密（ptolemy）定理指出，圓的內(nèi)接四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積如圖，p是正abc外接圓的劣弧bc上任一點(diǎn)（不與b、c重合），請你根據(jù)托勒密（ptolemy）定理證明：papb+pc問題解決：（3

9、）如圖，某學(xué)校有一塊兩直角邊長分別為30m、60m的直角三角形的草坪，現(xiàn)準(zhǔn)備在草坪內(nèi)放置一對石凳及垃圾箱在點(diǎn)p處，使p到a、b、c三點(diǎn)的距離之和最小，那么是否存在符合條件的點(diǎn)p？若存在，請作出點(diǎn)p的位置，并求出這個(gè)最短距離（結(jié)果保留根號）；若不存在，請說明理由【例題6】如圖，在rtabc中，以下是小亮探究與之間關(guān)系的方法：sina，sinb，c，c，根據(jù)你掌握的三角函數(shù)知識在圖的銳角abc中，探究、之間的關(guān)系，并寫出探究過程【變式6-1】觀察與思考：閱讀下列材料，并解決后面的問題在銳角abc中，a、b、c的對邊分別是a、b、c，過a作adbc于d（如圖（1），則，即adcsinb，adbsin

10、c，于是csinbbsinc，即，同理有：，所以即：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等在銳角三角形中，若已知三個(gè)元素（至少有一條邊），運(yùn)用上述結(jié)論和有關(guān)定理就可以求出其余三個(gè)未知元素根據(jù)上述材料，完成下列各題（1）如圖（2），abc中，b45°，c75°，bc60，則a；ac；（2）自從去年日本政府自主自導(dǎo)“釣魚島國有化”鬧劇以來，我國政府靈活應(yīng)對，現(xiàn)如今已對釣魚島執(zhí)行常態(tài)化巡邏某次巡邏中，如圖（3），我漁政204船在c處測得a在我漁政船的北偏西30°的方向上，隨后以40海里/時(shí)的速度按北偏東30°的方向航行，半小時(shí)后到達(dá)b處，此時(shí)又測得釣魚島

11、a在的北偏西75°的方向上，求此時(shí)漁政204船距釣魚島a的距離ab（結(jié)果精確到0.01，）【變式6-2】在abc中，cosa，cosb，cosc，我們稱為余弦定理，請用余弦定理完成下面的問題請用余弦定理完成下面的問題：（1）如圖，已知def，e60°，de4，df，求ef的長度；（2）通過合理的構(gòu)造，試求cos105°1. 如圖，ab是圓o的直徑，弦cdab于e，p是ba延長線上一點(diǎn)，連接pc交圓o于f，若pf7，fc13，pa：ae：eb2：4：1，則cd長為2. 定義：圓中有公共端點(diǎn)的兩條弦組成的折線稱為圓的一條折弦阿基米德折弦定理：如圖1，ab和bc組成圓的

12、折弦，abbc，m是弧abc的中點(diǎn)，mfab于f，則affb+bc如圖2，abc中，abc60°，ab8，bc6，d是ab上一點(diǎn)，bd1，作deab交abc的外接圓于e，連接ea，則eac°3. 如圖，在rtabc中，acb90°，點(diǎn)d是ac上一點(diǎn)，以cd為直徑的圓與ab相切于點(diǎn)e，若cd3，tanaed，則ad的長為4. 已知：如圖，直角梯形abcd中adbc，a90°，cdcb2ad點(diǎn)q是ab邊中點(diǎn)，點(diǎn)p在cd邊上運(yùn)動(dòng)，以點(diǎn)p為直角頂點(diǎn)作直角mpn，mpn的兩邊分別與ab邊、cb邊交于點(diǎn)m、n（1）若點(diǎn)p與點(diǎn)d重合，點(diǎn)m在線段aq上，如圖（1）求證：

13、（2）若點(diǎn)p是cd中點(diǎn)，點(diǎn)m在線段bq上，如圖（2）線段mq、cn、bc的數(shù)量關(guān)系是：，并證明你的猜想5. 已知：如圖所示，e是等腰梯形一腰c(diǎn)d的中點(diǎn)，efab，垂足為f，求證：s梯形abcdabef6. 如圖，在o中，abac，點(diǎn)d是上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)d不與c、b重合），連接da、db、dc，bac120°（1）若ac4，求o的半徑；（2）寫出da、db、dc之間的關(guān)系，并證明7. 如圖：已知點(diǎn)a、b、c、d順次在圓o上，abbd，bmac，垂足為m證明：amdc+cm8. 小明學(xué)習(xí)了垂徑定理，做了下面的探究，請根據(jù)題目要求幫小明完成探究（1）更換定理的題設(shè)和結(jié)論可以得到許多真命題如圖1

14、，在o中，c是劣弧ab的中點(diǎn)，直線cdab于點(diǎn)e，則aebe請證明此結(jié)論；（2）從圓上任意一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦所組成的折線，成為該圓的一條折弦如圖2，pa，pb組成o的一條折弦c是劣弧ab的中點(diǎn)，直線cdpa于點(diǎn)e，則aepe+pb可以通過延長db、ap相交于點(diǎn)f，再連接ad證明結(jié)論成立請寫出證明過程；（3）如圖3，papb組成o的一條折弦，若c是優(yōu)弧ab的中點(diǎn)，直線cdpa于點(diǎn)e，則ae，pe與pb之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論，不必證明9. 閱讀與思考：阿基米德（公元前287年一公元前212年），偉大的古希臘哲學(xué)家、百科式科學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、力學(xué)家，靜態(tài)力學(xué)和流體靜力學(xué)的奠基人，阿基米

15、德流傳于世的著作有10余種，多為希臘文手稿下面是阿基米德全集中記載的一個(gè)命題：ab是o的弦，點(diǎn)c在o上，且cdab于點(diǎn)d，在弦ab上取點(diǎn)e，使adde，點(diǎn)f是上的一點(diǎn)，且，連接bf可得bfbe（1）將上述問題中弦ab改為直徑ab，如圖1所示，試證明bfbe；（2）如圖2所示，若直徑ab10，eoob，作直線l與o相切于點(diǎn)f過點(diǎn)b作bpl于點(diǎn)p求bp的長10. 閱讀下面的材料：如圖（1），在以ab為直徑的半圓o內(nèi)有一點(diǎn)p，ap、bp的延長線分別交半圓o于點(diǎn)c、d求證：apac+bpbdab2證明：連接ad、bc，過p作pmab，則adbamp90°，點(diǎn)d、m在以ap為直徑的圓上；同理：

16、m、c在以bp為直徑的圓上由割線定理得：apacamab，bpbdbmba，所以，apac+bpbdamab+bmabab（am+bm）ab2當(dāng)點(diǎn)p在半圓周上時(shí)，也有apac+bpbdap2+bp2ab2成立，那么：（1）如圖（2）當(dāng)點(diǎn)p在半圓周外時(shí)，結(jié)論apac+bpbdab2是否成立？為什么？（2）如圖（3）當(dāng)點(diǎn)p在切線be外側(cè)時(shí)，你能得到什么結(jié)論？將你得到的結(jié)論寫出來11. 已知o半徑為r（1）如圖1，過o內(nèi)一點(diǎn)p作弦ab，連接op求證：papbr2op2（2）如圖2，過o外一點(diǎn)p，作割線pab，求證：papbop2r212. （1）在abc中，角a、b、c所對的邊分別為a，b，c，試?yán)盟鶎W(xué)知識證明：sabcabsincacsinbbcsina（2）在數(shù)學(xué)中人們把（1）的結(jié)論稱之為正弦定理的三角形面積公式，它在