第15講 非常規(guī)思維問題-備考2022年中考數學《二輪沖刺核心重點難點熱點15講》(全國通用)原卷板

1、硬核：狙擊2020中考數學重點/難點/熱點一、軸對稱/翻折的性質 1. 關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形； 2. 如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是任意一對對應點連線段的垂直平分線； 3. 對稱軸上的任意一點與每一對對應點所連線段相等； 4. 若對應線段或對應線段的延長線相交，則交點一定在對稱軸上.二、梯形常見輔助線的作法 三、圓冪定理 四、正弦定理與余弦定理五、阿基米德折弦定理【例題1】（1）如圖1，四邊形abcd是菱形，bad=bcd=60°，當ac=12時，則bcd的周長=_.（2）如圖2，若四邊形abcd不是菱形，bad=2acb=2acd=60°，ac=

2、12，判斷bcd的周長是否發(fā)生變化，并說明理由。（3）如圖2，在四邊形abcd中，bad=acb=acd=45°，ac=12，求bcd的周長。 【變式1】已知：如圖（1）在rtabc中，bac90°，abac，點d、e分別為線段bc上兩動點，若dae45°（1）探究線段bd、de、ec三條線段之間的數量關系；（2）已知：如圖（2），等邊三角形abc中，點d、e在邊ab上，且dce30°，請你找出一個條件，使線段de、ad、eb能構成一個等腰三角形，并求出此時等腰三角形頂角的度數 圖(1) 圖(2) 【例題2】如圖，四邊形abcd中，adbc，abc+dc

3、b90°，且bc2ad，以ab、bc、dc為邊向外作正方形，其面積分別為s1、s2、s3，若s13，s39，則s2的值為_. 【變式2-1】如圖所示梯形abcd中，abcd，a+b90°，abp，cdq，e，f分別為ab，cd的中點，求ef【變式2-2】如圖，在梯形abcd中，adbc，求b、d【例題3】如圖，pa切o于a，pbc是o的割線，如果pb2，pc4，則pa的長為【變式3-1】如圖，cd是o的直徑，以d為圓心的圓與o交于a、b兩點，ab交cd于點e，cd交d于p，已知pc6，pe：ed2：1，則ab的長為（）abcd【變式3-2】九年級學生小剛是一個喜歡看書的好學

4、生，他在學習完第二十四章圓后，在家里突然看到爸爸的初中數學書上居然還有一個相交弦定理（圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等），非常好奇，仔細閱讀原來就是：papbpcpd，小剛很想知道是如何證明的，可已證明部分污損看不清了，只看到輔助線的做法，分別連結ac、bd聰明的你一定能幫他證出，請在圖1中做出輔助線，并寫出詳細的證明過程小剛又看到一道課后習題，如圖2，ab是o弦，p是ab上一點，ab10cm，pa4cm，op5cm，求o的半徑，愁壞了小剛，樂于助人的你肯定會幫助他，請寫出詳細的證明過程 【例題4】問題呈現：阿基米德折弦定理：如圖1，ab和bc是o的兩條弦（即折線abc是圓的一

5、條折弦），bcab，m是的中點，則從m向bc所作垂線的垂足d是折弦abc的中點，即cdab+bd下面是運用“截長法”證明cdab+bd的部分證明過程證明：如圖2，在cb上截取cgab，連接ma，mb，mc和mgm是的中點，mamc（1）請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；實踐應用：（2）如圖3，已知abc內接于o，bcabac，d是的中點，依據阿基米德折弦定理可得圖中某三條線段的等量關系為（3）如圖4，已知等腰abc內接于o，abac，d為ab上一點，連接db，acd45°，aecd于點e，bdc的周長為4+2，bc2，請求出ac的長【變式4-1】我們知道，如圖1，ab是o的

6、弦，點f是的中點，過點f作efab于點e，易得點e是ab的中點，即aeebo上一點c（acbc），則折線acb稱為o的一條“折弦”（1）當點c在弦ab的上方時（如圖2），過點f作efac于點e，求證：點e是“折弦acb”的中點，即aeec+cb（2）當點c在弦ab的下方時（如圖3），其他條件不變，則上述結論是否仍然成立？若成立說明理由；若不成立，那么ae、ec、cb滿足怎樣的數量關系？直接寫出，不必證明（3）如圖4，已知rtabc中，c90°，bac30°，rtabc的外接圓o的半徑為2，過o上一點p作phac于點h，交ab于點m，當pab45°時，求ah的長 【

7、例題5】閱讀下列材料，并完成相應的任務托勒密定理：托勒密（ptolemy）（公元90年公元168年），希臘著名的天文學家，他的要著作天文學大成被后人稱為“偉大的數學書”，托勒密有時把它叫作數學文集，托勒密從書中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密（ptolemy）定理托勒密定理：圓內接四邊形中，兩條對角線的乘積等于兩組對邊乘積之和已知：如圖1，四邊形abcd內接于o，求證：abcd+bcadacbd下面是該結論的證明過程：證明：如圖2，作baecad，交bd于點eabeacdabeacdabcdacbeacbade（依據1）baecadbae+eaccad+eac即baceadabcaed（依據

8、2）任務：（1）請繼續(xù)完成上面的證明過程，并回答上述過程中的“依據1”和“依據2”分別是什么（2）當圓內接四邊形abcd是矩形時，托勒密定理就是我們非常熟知的一個定理： （3）如圖3，四邊形abcd內接于o，ab3，ad5，bad60°，點c為的中點，求ac的長【變式5-1】問題探究：（1）已知：如圖，abc中請你用尺規(guī)在bc邊上找一點d，使得點a到點bc的距離最短（2）托勒密（ptolemy）定理指出，圓的內接四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積如圖，p是正abc外接圓的劣弧bc上任一點（不與b、c重合），請你根據托勒密（ptolemy）定理證明：papb+pc問題解決：（3

9、）如圖，某學校有一塊兩直角邊長分別為30m、60m的直角三角形的草坪，現準備在草坪內放置一對石凳及垃圾箱在點p處，使p到a、b、c三點的距離之和最小，那么是否存在符合條件的點p？若存在，請作出點p的位置，并求出這個最短距離（結果保留根號）；若不存在，請說明理由【例題6】如圖，在rtabc中，以下是小亮探究與之間關系的方法：sina，sinb，c，c，根據你掌握的三角函數知識在圖的銳角abc中，探究、之間的關系，并寫出探究過程【變式6-1】觀察與思考：閱讀下列材料，并解決后面的問題在銳角abc中，a、b、c的對邊分別是a、b、c，過a作adbc于d（如圖（1），則，即adcsinb，adbsin

10、c，于是csinbbsinc，即，同理有：，所以即：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等在銳角三角形中，若已知三個元素（至少有一條邊），運用上述結論和有關定理就可以求出其余三個未知元素根據上述材料，完成下列各題（1）如圖（2），abc中，b45°，c75°，bc60，則a；ac；（2）自從去年日本政府自主自導“釣魚島國有化”鬧劇以來，我國政府靈活應對，現如今已對釣魚島執(zhí)行常態(tài)化巡邏某次巡邏中，如圖（3），我漁政204船在c處測得a在我漁政船的北偏西30°的方向上，隨后以40海里/時的速度按北偏東30°的方向航行，半小時后到達b處，此時又測得釣魚島

11、a在的北偏西75°的方向上，求此時漁政204船距釣魚島a的距離ab（結果精確到0.01，）【變式6-2】在abc中，cosa，cosb，cosc，我們稱為余弦定理，請用余弦定理完成下面的問題請用余弦定理完成下面的問題：（1）如圖，已知def，e60°，de4，df，求ef的長度；（2）通過合理的構造，試求cos105°1. 如圖，ab是圓o的直徑，弦cdab于e，p是ba延長線上一點，連接pc交圓o于f，若pf7，fc13，pa：ae：eb2：4：1，則cd長為2. 定義：圓中有公共端點的兩條弦組成的折線稱為圓的一條折弦阿基米德折弦定理：如圖1，ab和bc組成圓的

12、折弦，abbc，m是弧abc的中點，mfab于f，則affb+bc如圖2，abc中，abc60°，ab8，bc6，d是ab上一點，bd1，作deab交abc的外接圓于e，連接ea，則eac°3. 如圖，在rtabc中，acb90°，點d是ac上一點，以cd為直徑的圓與ab相切于點e，若cd3，tanaed，則ad的長為4. 已知：如圖，直角梯形abcd中adbc，a90°，cdcb2ad點q是ab邊中點，點p在cd邊上運動，以點p為直角頂點作直角mpn，mpn的兩邊分別與ab邊、cb邊交于點m、n（1）若點p與點d重合，點m在線段aq上，如圖（1）求證：

13、（2）若點p是cd中點，點m在線段bq上，如圖（2）線段mq、cn、bc的數量關系是：，并證明你的猜想5. 已知：如圖所示，e是等腰梯形一腰cd的中點，efab，垂足為f，求證：s梯形abcdabef6. 如圖，在o中，abac，點d是上一動點（點d不與c、b重合），連接da、db、dc，bac120°（1）若ac4，求o的半徑；（2）寫出da、db、dc之間的關系，并證明7. 如圖：已知點a、b、c、d順次在圓o上，abbd，bmac，垂足為m證明：amdc+cm8. 小明學習了垂徑定理，做了下面的探究，請根據題目要求幫小明完成探究（1）更換定理的題設和結論可以得到許多真命題如圖1

14、，在o中，c是劣弧ab的中點，直線cdab于點e，則aebe請證明此結論；（2）從圓上任意一點出發(fā)的兩條弦所組成的折線，成為該圓的一條折弦如圖2，pa，pb組成o的一條折弦c是劣弧ab的中點，直線cdpa于點e，則aepe+pb可以通過延長db、ap相交于點f，再連接ad證明結論成立請寫出證明過程；（3）如圖3，papb組成o的一條折弦，若c是優(yōu)弧ab的中點，直線cdpa于點e，則ae，pe與pb之間存在怎樣的數量關系？寫出結論，不必證明9. 閱讀與思考：阿基米德（公元前287年一公元前212年），偉大的古希臘哲學家、百科式科學家、數學家、物理學家、力學家，靜態(tài)力學和流體靜力學的奠基人，阿基米

15、德流傳于世的著作有10余種，多為希臘文手稿下面是阿基米德全集中記載的一個命題：ab是o的弦，點c在o上，且cdab于點d，在弦ab上取點e，使adde，點f是上的一點，且，連接bf可得bfbe（1）將上述問題中弦ab改為直徑ab，如圖1所示，試證明bfbe；（2）如圖2所示，若直徑ab10，eoob，作直線l與o相切于點f過點b作bpl于點p求bp的長10. 閱讀下面的材料：如圖（1），在以ab為直徑的半圓o內有一點p，ap、bp的延長線分別交半圓o于點c、d求證：apac+bpbdab2證明：連接ad、bc，過p作pmab，則adbamp90°，點d、m在以ap為直徑的圓上；同理：

16、m、c在以bp為直徑的圓上由割線定理得：apacamab，bpbdbmba，所以，apac+bpbdamab+bmabab（am+bm）ab2當點p在半圓周上時，也有apac+bpbdap2+bp2ab2成立，那么：（1）如圖（2）當點p在半圓周外時，結論apac+bpbdab2是否成立？為什么？（2）如圖（3）當點p在切線be外側時，你能得到什么結論？將你得到的結論寫出來11. 已知o半徑為r（1）如圖1，過o內一點p作弦ab，連接op求證：papbr2op2（2）如圖2，過o外一點p，作割線pab，求證：papbop2r212. （1）在abc中，角a、b、c所對的邊分別為a，b，c，試利用所學知識證明：sabcabsincacsinbbcsina（2）在數學中人們把（1）的結論稱之為正弦定理的三角形面積公式，它在